第21讲 空间几何体的平行与垂直-【艺考一本通】2026年高考数学小题量检测

小题量检测数学 心0，易得R=PC=√20，所以R=2@,球0的表面积 2 为4πR2=20π，故选C. 12.AC【解析】对于A,由等体积法得VB1-CDP=Vp-B1GD, 三棱锥P-BCD,的高为BB=2,S△B,Sn=2X2X2= 2,阶以V%5BP=Vp-BS4=弓×2X2=青，所以三校 锥B1一CD1P的体积为定值，故A正确.对于B,以D为 坐标原，点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,之轴，建立如 图①所示的空间直角坐标系，设P(x,y,0),0≤x≤2,0≤y 2,由题得C(0,2,2),D1(0,0,2),D(0,0,0),A1(2,0, 2),B(2,2,0),B(2,2,2),所以DP=(x,y,-2),AB= (0,2,一2)，A1C=（一2,2,0)，假设存在点P,使得DP 平面A1BC1,则D1P⊥AB,D1P⊥AC1,即D1P·AB= 2y十4=0，DD·A1C=-2x十2y=0,解得x=y=一2， 不满足0s≤2,0≤≤2，假设不成立，故B错误.对于C 由上知B1D=(-2,-2,-2),若D1P⊥B1D,则DP·BD =一2x一2y十4=0，即x十y=2,所以，点P的轨迹是线段 AC,AC=/22+2严=2√2，故C正确.对于D,连接PQ并 延长，交DC的延长线于N,连接DN交CC1于F,连接 QF,延长QP交DA的延长线于M,连接D1M交AA1于 E,连接PE,则五边形D EPQF即为经过D1,P,Q三点的 平面截正方体所得的截面，如图②，正方体ABCD一A1B1 CD1的棱长为2，则AP=1,∠APM=∠BPQ=45°，则 △AMP为等腰直角三角形，则AM=1,易知△AMEc∽ △MDE得==则AE=专AE=是，则 AM DE=√2+（告）=厘，PE=√+()- 3 正.同理可得DF=2厘QF=正，而PQ=反，所 3 3 以五边形D,EPQF的周长为2×(2厘+）+E=2 13+√2，故D错误.故选AC 13.BCD【解析】对于A:因为r= 2, =2,所以圆锥的高h=√一产 3X9 ?,所以圆锥的体积V二己 4 ×夏-37匹，故A错误；对于B:设 8 圆锥SO的侧面展开图的圆心角 为a,则2a=2r,即2a=2x×号 解得a-受，即围维S0的侧面展 开图的圆心角为，故B正确；对 于C:当△SAB为轴截面时，将圆 锥侧面展开可知，点A到点P的 最小距离为PA,如图，在△SAP中，SP=1,SA=2,∠ASP 78 =经，由余弦定理得PA=√SN+SP-2SA·SPm 4 =√5十2√2，故C正确：对于D:当△SAB为轴截面时，在 △SAB中，SA=SB=2,AB=3,因为SA2+SB2<AB,所 以此时∠ASB为钝角，又S△sB=2SA·SBsin.∠ASB= 2sin∠ASB<2,当∠ASB=90时，△SAB的面积最大，且 最大值为2，故D正确；故选BCD. 14.2【解析】如图，因为PA⊥平面 ABC,所以PA⊥BC,又AB⊥BC, PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB 可得BC⊥PB,取PC的中点O,连接 OA,OB,则OA=OB=OP=OC,可 得O为三棱锥的外接球的球心，由三 棱锥的外接球体积为4V5π，得号xX B OP=45π，解得OP=√5，则PC=25,所以AC= √/(23)2-2=2√2，在Rt△ABC中，又AB=2,所以BC =2,可得S△r=号X2X2=2. 15.8π：√3【解析】如图所示，当平面 BCD⊥平面ABD时，三棱锥A BCD的体积最大.取BD的中点 O,连接OA,OC,因为AB⊥AD,AB D =2,AD=2√3，所以BD=4,则 OB=OD=OA=2.又BC=CD=2 2,所以BC+CD=BD,所以 BC⊥CD,所以OC=2,所以三棱锥 A-BCD的外接球丰径R=2.V=专R= 3 V:m=号X号×2X2厅X2=45,所以三梭维A -BCD外接球的体积与三棱锥A-BCD的体积之比为8π :√3. 16.弩【解析】如图所示，设项点P在底面ABC内的射影为 0,连接A0,P0,在正三角形ABC中，A0=号×号×2万 =2,则在直角三角形AP0中，OP=√(W7)2-2=√5，三 角形ABC的面积为S=5×(23)2=33,取AB的中点 M,连接PM,则PM⊥AB,则在直角 三角形PAM中，PM=√PA-A证 =√(7)2-()2=2，所以三角形 PAB的面积为S'=号X2BX2=2 A √，设正三棱锥P一ABC的内切球半 M 径为R,则由等体积法可得：XOP XS=3×号×RXS+号×RXS,即BX35=3R×25 +RX3厅，解得R-号，所以内切球的表面积为4R=4红 第21讲空间几何体的平行与垂直 1.D【解析】两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平 面内，A正确，排除A:过直线外一点有且只有一个平面与已 知直线垂直，B正确，排除B:如果共点的三条直线两两垂 直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直，C正确， 排除C:如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两 条直线不一定平行，D错误，选D. 2.B【解析】连接AB,交AB于点E,连接DE.因为BC∥ 平面ABD,平面ABC∩平面AB1D1=DE,所以BC∥ DE.由题意知E为A1B的中点，所以D为AC的中点，则 AD=1.故选B. D 3.D 4.C【解析】因为截面PQMN是正方形，所以MV∥PQ,则 MN∥平面ABC,由线面平行的性质知MN∥AC,则AC∥ 截面PQMN,同理可得MQ∥BD,又MN⊥QM,则ACI BD,故A,B正确.又因为BD∥MQ,所以异面直线PM与 BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D 正确 5.B【解析】如图所示，因为在三棱柱 A ABC-A1B1C中，M,N分别为AC,B C的中点，E,F分别为BC,B1B的中 点，所以EFC平面BCCB1,MN∩平 面BCCB1=N,V庄EF,所以直线MV 点隆维职感歌含的忠奇 AA,因为AA∩A1B1=A,PM∩PN =P,所以平面PMN∥平面ABB1A1, 因为MNC平面PMN,所以直线MW ∥平面ABBA1.故选B. 6.D【解析】由题意可知，AD⊥AB,AD=AB,所以∠ABD= 45°，故∠DBC=45°，又∠BCD=45°，所以BD⊥DC.因为平 面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以 CDL平面ABD,所以平面ACD⊥平面ABD 7.BC【解析】因为四棱锥P一ABCD 的所有棱长都相等，所以底面ABCD 是正方形.对于A,因为PB二平面 PBC,N∈平面PBC,NE直线PB M任平面PBC,所以MN与PB是异 面直线，故A错误；对于B,如图，取 E为PA的中，点，连接ME,BE,易知 EM∥AD,EM=2AD,又BN∥ AD,BN=号AD,所以BN∥EM,BN=EM,即四边形 BNME为平行四边形，所以MN∥BE,因为BEC平面 PAB,MNd平面PAB,所以MN∥平面PAB,故B正确；对 于C,因为PB=PA=AB,E为PA的中，点，所以BEPA, 又MN∥BE,所以MNPA,故C正确：对于D,假设MN 平面PAD,因为ADC平面PAD,所以MN⊥AD,如图，取 F为AD的中点，连接MF,NF,则NF⊥AD,因为MN∩ NF=N,MN,NFC平面MNF,所以AD⊥平面MNF,又 MFC平面MNF,所以MF⊥AD,又MF∥PA,所以PA AD,这与△PAD为等边三角形矛盾，假设不成立，故MN 不垂直于平面PAD,故D错误.故选BC 8.√2【解析】取圆柱下底面孤AB的另一中点D,连接CD, AD,因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC,所 以直线AC与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角， 因为C1是圆柱上底面孤AB1的中点，所以CD圆柱下底 面，所以CD⊥AD,因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形， 所以C1D=√2AD,所以直线AC1与AD所成角的正切值为 J2,所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为W√2 9.DMLPC(或BM⊥PC等)【解析】连接AC,BD,则ACL BD,因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.又PA∩AC= A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC,所以当DM⊥PC (或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PCC平面PCD, 所以平面MBD⊥平面PCD. 10.(分1）【解析】如图，过D作 DGAF,垂足为G,连接GK 因为平面ABD平面ABCF,又 DK⊥AB,所以DK⊥平面 ABCF,所以DK⊥AF.因为DK∩DG=D,所以AF⊥平面 DKG,所以AF⊥GK. 【解法一】易知当F接近，点E时，K接近AB的中点，当F 接近，点C时，K接近AB的四等分点，故t的取值范围 是(2,1)： 【解法二】即在平面图形中，D,G,K三，点共线，设∠FAK 0,则∠ADK=0,AK=ADtan0=tan0,又7=tan∠CAB <tan0Ktan∠EAB=1,所以∈（号，l). 参考答案·数学 11.【证明】(1)在△CDE中，因为CD=ED =7,cos∠EDC=号，由余弦定理得 CE √CD+ED-2CD·ED·cos∠EDC B =2.在四棱锥P-ABCE中，连接AC 因为AE=2,∠AEC=60°，所以AC= 2.又AP=√3，所以在△PAE中，PA+AE=PE,即AP ⊥AE.同理，AP⊥AC.而ACC平面ABCE,AEC平面 ABCE,ACOAE=A,故AP⊥平面ABCE. (2)因为AB∥CE,且CEC平面PCE,AB工平面PCE,所 以AB∥平面PCE.又平面PAB∩平面PCE=l,所以AB ∥. 12.【解析】(1)证明：因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.又 因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC,所以BD⊥平 面PAC (2)证明：因为PA⊥平面 ABCD,AEC平面ABCD,所 以PA⊥AE.因为底面 ABCD为菱形，∠ABC= 60°，且E为CD的中点，所以 AE⊥CD,所以AB⊥AE,所 以AE⊥平面PAB,所以平 面PAB⊥平面PAE. 上≥- (3)棱PB上存在点F,使得 CF∥平面PAE.取F为PB B 的中点，取G为PA的中点，连接CF,FG,EG,则FG∥ AB,且FG=2AB.因为底面ABCD为菱形，且E为CD 的中点，所以CE∥AB,且CE=AB.所以FG∥CE,且 FG=CE,所以四边形CEGF为平行四边形，所以CF∥ EG.因为CF吐平面PAE,EGC平面PAE,所以CF∥平 面PAE. 13.【解析】(1)若平面MNQ∥平面ABCD,平面PAB∩平面 ABCD=AB,平面PAB∩平面MNQ=QN,所以QN∥ AB,又因为N为PB的中点，所以Q为PA的中点，同理 M为PD的中点，所以A==1. (2)因为∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD,如图，以A为原 点，ADAB,AP所在直线分别为x轴y轴、之轴正半轴建 立空间直角坐标系，故P (0,0,2),B(0,2,0),C (1,1,0),D(1,0,0),则P克= (0,2,-2),P℃=(1,1，-2)， 设平面PBC的法向量为t= M （x,y), 则 …武-x+y22=0,取y i·Pb=2y-2x=0, B Y =1,可得t=(1,1,1).因为 Di=入M,A0=Q,所以 D M (0).Q /1 (c0华)则励-（中品。辛），国为m 1 ∥平面PBC,所以M01i,即M破·i=0,所以(-1干）X1 +0X1+()X1=0,辛。号=0所以 后9品=0，所以=1+，将以等D 入 4以+日+4≥2级·只+4=8，当且仅当4以=分，即A 2时取等号，所以仁的最小值为8. 第22讲立体几何与空间向量 1.D【解析】由已知得M,A,B,C四点共面，所以AM在平面 ABC内，故选D. 2.B【解析】设直线l与平面a所成的角为0，则0=120°-90 =30°，故选B. 79第一部分 一轮单元检测 第21讲 空间几何体的平行与垂直 ©限时：60分钟⊙总分：87分 一、选填题(51分) 5.在三棱柱ABC-A1B1C中，M,N分别为 1.下列说法错误的是 AC,B1C1的中点，E,F分别为BC,B1B的中 A.两两相交且不过同一点的三条直线必在 点，则直线MN与直线EF、平面ABB1A的 位置关系分别为 () 同一平面内 A.平行、平行 B.异面、平行 B.过直线外一点有且只有一个平面与已知 C.平行、相交 D.异面、相交 直线垂直 6.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC, C.如果共点的三条直线两两垂直，那么它们 AD=AB,∠BCD=45°，∠BAD=90°，将 中每两条直线确定的平面也两两垂直 △ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面 D.如果两条直线和一个平面所成的角相等， BCD,构成四面体A一BCD,则在四面体A BCD中，下列说法正确的是 ) 则这两条直线一定平行 2.如图，在三棱柱ABC-A B1C中，点D1是AC1上的 一点，若BC1∥平面AB, A.平面ABD⊥平面ABC D则哈 B.平面ACD⊥平面BCD C.平面ABC⊥平面BCD A司 B.1 C.2 D.3 D.平面ACD⊥平面ABD 7.(多选)已知四棱锥P一ABCD的所有棱长都 3.在四面体ABCD中，若AB=CD=√3，AC= 相等，M,N分别是棱PD,BC的中点，则 BD=2,AD=BC=√5，则直线AB与CD所 ( 成角的余弦值为 ( A.MN∥PB B.MN∥平面PAB C.MN⊥PA D.MN⊥平面PAD A-3 B-1 8.如图，已知圆柱的轴截面 4.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形， ABB1A1是正方形，C是圆 则在下列结论中，错误的是 柱下底面弧AB的中点， C是圆柱上底面弧AB, A.AC⊥BD 的中点，那么异面直线 B.AC∥截面PQMN AC1与BC所成角的正切 C.AC=BD 值为 D.异面直线PM与BD所成 9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面 的角为459 ABCD,且底面各边都相等，M是PC上的一 ·39· 艺考一本通 数学 动点，当点M满足 时，平12.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面 面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为 ABCD,底面ABCD为菱形，E为CD的 是正确的条件即可) 中点， (1)求证：BD⊥平面PAC; (2)若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平 面PAE; (3)PB上是否存在点F,使得CF∥平面 10.如图，在长方形ABCD中，AB=2,BC=1, PAE?说明理由. E为DC的中点，F为线段EC(端点除外) 上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面 ABD⊥平面ABCF.在平面ABD内过点D 作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的 取值范围是 二、解答题（每题12分，共36分） 11.如图，在平面五边形ABCDE中，AB∥CE, 13.如图，在四棱锥P一ABCD中，PA⊥平面 且AE=2,∠AEC=60°，CD=ED=V7, ABCD,PA=2,底面ABCD为直角梯形， cos∠EDC-号.将△CDE沿CE折起，使点 ∠BAD=90°，AB=2,CD=AD=1,N是 PB的中点，点M,Q分别在线段PD与AP D到P的位置，且AP=√3，得到四棱 上，且DM=入Mp,AQ=μQP. 锥P-ABCE. (1)若平面MNQ∥平面ABCD,求λ、4 的值； (2)若MQ∥平面PBC,求货的最小值. (1)求证：AP⊥平面ABCE; (2)记平面PAB与平面PCE相交于直线 l,求证：AB∥1. ·40…