第17讲 抽样方法与总体分布的估计-【艺考一本通】2026年高考数学小题量检测

第17讲抽样方法 9限时：55分钟 一、选填题(62分) 1.数据5.5,6.1,7.2,8.0,8.5,8.6,8.8,9.0， 9.2,9.8的第80百分位数为 2.某大学数学系共有本科生1000人，其中一 二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用 分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容 量为200的样本，则应抽取三年级的学生人 数为 ( A.80 B.40 C.60 D.20 3.为了解学生每天的体育运动时间，某市教育 部门对全市高中学生进行调查，随机抽取 1000名学生每天进行体育运动的时间，按照 时长（单位：分钟）分成6组：第一组[30,40)， 第二组[40,50)，第三组[50,60)，第四组[60， 70),第五组[70,80)，第六组[80,90].对统计 数据整理得到如图所示的频率分布直方图， 则下列说法不正确的是 () ↑频率组距 0.03 0.02 0.0 30405060708090时间/分钟 A.频率分布直方图中的a=0.015 B.这1000名学生中每天的体育运动时间不 少于1小时的学生人数为400 C.估计这1000名学生每天的体育运动时间 的众数是55 D.估计这1000名学生每天的体育运动时间 的第25百分位数为45.5 4.(多选)甲、乙两旅游景区某月初连续7天的 日均气温数据如图所示，则关于这7天，以下 ·31 第一部分 轮单元检测 与总体分布的估计 ⊙总分：86分 判断正确的是 ↑气温/℃ 6 。一甲 5 -乙 3 2 1234567日期 A.甲旅游景区日均气温的中位数与平均数 相等 B.甲旅游景区的日均气温比乙旅游景区的 日均气温稳定 C.乙旅游景区日均气温的极差为2℃ D.乙旅游景区日均气温的众数为5℃ .(多选)某校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机 器人五个社团，全校所有学生都参加且每人 只参加其中一个社团，校团委在全校学生中 随机选取一部分学生（这部分学生人数少于 全校学生人数)进行调查，并将调查结果绘制 成了如图所示的两个不完整的统计图，则 人数 250 00 200 合唱 150 机器人 100 演讲 50 50 航模 10% 舞蹈 20% 0 15% 演讲舞蹈航模合唱机器人社团 A.选取的这部分学生的总人数为500 B.选取的学生中参加合唱社团的学生人数 占样本量的40% C.选取的学生中参加机器人社团的学生人 数为78 D.选取的学生中参加合唱社团的学生人数 比参加机器人社团的学生人数多125 艺考一本通 数学 6.(多选)某班语文老师对该班甲、乙、丙、丁4 名同学连续7周每周阅读的天数（每周阅读 天数可以是1,2,3,4,5,6,7)进行统计，根据 统计所得数据对这4名同学这7周每周的阅 读天数分别做了如下描述： 甲：中位数为3，众数为5； 乙：中位数为4，极差为3； 丙：中位数为4，平均数为3； 丁：平均数为3，方差为3. 那么可以判断一周阅读天数一定没有出现7 天的是 () A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 7.(多选)已知由样本数据（c,y) (i=1,2,3,…,10)组成的一个样本，得到回 归直线方程为y=2x一0.4，且x=2,去除 两个歧义点（一2,1）和(2，一1)后，得到新的 回归直线的斜率为3.则下列说法正确的是 ( ) A.相关变量x,y具有正相关关系 B.去除两个歧义点后的回归直线方程为y =3x-3 C.去除两个歧义点后，样本(4,8.9)的残差 为-0.1 D.去除两个歧义点后，随x值增加相关变 量y值增加速度变小 8.某学校高一、高二、高三三个年级共有学生 3500人，其中高三学生是高一学生的两倍， 高二学生比高一学生多300人，现在按100的 抽样比例用分层抽样的方法抽取样本，则高 一学生应抽取的人数为 ) A.8 B.11 C.16 D.10 9.利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个 容量为10的样本，若第二次抽取时，余下的 每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样 过程中，每个个体被抽到的概率为( A 8房 c D. ·3 10.根据如下样本数据： 3 4 5 6 4.0 a-5.4 -0.50.5 b-0.6 得到的回归方程为y=bx十a.若样本点的 中心为(5,0.9)，则当x每增加1个单位时， y ( A.增加1.4个单位 B.减少1.4个单位 C.增加7.9个单位 D.减少7.9个单位 11.某考察团对全国10个城市进行职工人均工 资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千 元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方 程y=0.66x十1.562.若某城市居民人均消 费水平为7.675（千元），估计该城市人均消 费占人均工资收入的百分比约为 二、解答题（每题12分，共24分） 12.近年我国新能源产业的发展取得了有目共 睹的成果.2020年国务院在正式发布的《新 能源汽车产业发展规划(2021一2035年)》 中提出，到2025年，新能源汽车新车销售量 达到汽车新车销售总量的20%左右.力争 经过15年的持续努力，使纯电动汽车成为 新销售车辆的主流.在此大背景下，某市新 能源汽车保有量持续增加，有关部门将该市 从2018年到2022年的新能源汽车保有量 y(单位：万辆)进行了统计，得到y与年份代 码t(如t=1代表2018年)的统计表如下 所示. 2 3 5 y 1.53.245.3 6 (1)请通过计算样本相关系数r(结果保留 两位小数)说明y与t具有较强的线性相关 关系（若|r>0.75,则两个变量具有较强的 线性相关关系)； (2)求出y关于t的经验回归方程，并预测 该市2023年新能源汽车的保有量， 参考公式：对于一组数据(x,y)(i=1,2,…,),样 2 本相关系数”= 立✉-%-习 经验回归方程y =a+x中，b= 三x-0候- ,a=y-bz. 2x-x月 参考教据：2红-iP=10%-=12 58,4-i0y-0=1.1v25.8≈1.22 13.在现实生活中，每个人都有一定的心理压 力，压力随着现代生活节奏的加快、社会竞 争日趋激烈等逐渐增大.某市研究组为了解 该市市民压力的情况，随机邀请本市200名 市民进行心理压力测试评估，得到一个压力 分值，绘制出如图所示的频率分布直方图. 1频率 组距 8微 0.010 微 0102030405060708090100分值 (1)求a的值，并估计该市市民的压力分值 在区间[70,100]内的概率（用频率估计概 率). (2)估计该市市民压力分值的平均数（同 组数据用该组区间的中点值代表). ·3 第一部分 一轮单元检测 (3)若市民的压力分值不低于70，则称为 “高压市民”，在样本中，研究组按年龄段进 行研究，发现年龄在30岁到50岁的“高压 市民”有35人，年龄在30岁到50岁的“非 高压市民”有25人，剩余“高压市民”的年龄 分散在其他年龄段.为研究方便，记年龄在 30岁到50岁为年龄段A,其余为年龄段B. 根据所给数据，完成下面的2×2列联表，根 据小概率值α=0.001的独立性检验，能否 认为该市的市民是否为“高压市民”与其年 龄有关联。 单位：人 压力 年龄 合计 高压市民 非高压市民 年龄段A 年龄段B 合计 n(ad-bc )2 附：X=a+bc十a十c)h+d,其中n=a+ b+c+d. a 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 3·104,P(BA)=2.20×10+,所以根据全概率公式，P(B) =P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=0.075×10-4+2.2×0. 7×10-4=1.615×10-4,所以P(AB)= P(AB) P(B) P(A)P(BA) 0.075×10-4 PA)P(BA)+PA)P(B不-1.615X10≈0.046.所 以该市一名驾驶员在2021年发生了交通事故，则其为女性 的概率是0.046. 14.【解析】(1)估计奶茶爱好者的平均年龄x=(5×0.016十15 ×0.036+25×0.028+35×0.010+45×0.008+55× 0.002)×10=21.4(岁) (2)由题图，得奶茶爱好者年龄位于区间[20,60)的频率为 (10×0.028+10×0.010+10×0.008+10×0.002) 0.48,故奶茶爱好者年龄位于区间[20,60)的概率为0.48. (3)设A={任选一名奶茶爱好者年龄位于区间[10,20)} 设B={任选一名奶茶爱好者喜欢“古茗”〉，由条件概率公 式可得：P(BIA)= P(AB)_21%×35%=0.21. P(A) 35% 第17讲抽样方法与总体分布的估计 1.9.1【解析】10×80%=8，则数据5.5,6.1,7.2,8.0,8.5， 8.6,88,9.0,9.2,9.8的第80百分位数为909.2=9.1 故答案为9.1. 2.B【解析】因为要用分层抽样的方法从该系所有本科生中 抽取一个容量为200的样本，一、二、三、四年级的学生比为 4:3:2:1,所以三年级要抽取的学生人数是4十3千2+ ×200=40,故选B. 3.D【解析】由频率之和为1，得10×(0.01+0.02十0.03十2a 十0.01)=1，解得a=0.015,故A中说法正确；这1000名学 生每天的体育运动时间不少于1小时的频率为(0.015十0. 015+0.01)×10=0.4,则这1000名学生中每天的体育运动 时间不少于1小时的学生人数为0.4×1000=400，故B中 说法正确：由频率分布直方图可估计这1000名学生每天的 体育运动时间的众数是55，故C中说法正确；由10×0.01= 0.1<0.25,10×0.01+10×0.02=0.3>0.25,得这1000名 学生每天的体育运动时间的第25百分位数位于「40,50)内， 估计这1000名学生每天的体育运动时间的第25百分位数 为40十0,0.X10=47.5,故D中说法不正确.故选D 4.ACD【解析】甲旅游景区的日均气温分别为5℃，3℃， 6℃，3℃，7℃，5℃，6℃，乙旅游景区的日均气温分别为 5℃，4℃，6℃，5℃，5℃，4℃，6℃.甲旅游景区日均气温 的中位教为5℃，平均数为5+3+6+3+7+5+6=5（℃）， A正确：根据折线图知乙旅游景区的日均气温更稳定，B错 误：乙旅游景区日均气温的极差为6一4=2（℃），C正确；乙 旅游景区日均气温的众数为5℃，D正确.故选ACD. 5.ABD【解析】由两个统计图可得参加演讲社团的学生人数 为50，占选取的学生的总人数的10%，所以选取的这部分学 生的总人数为50÷10%=500，故A正确.选取的学生中参 加合唱社团的学生人数为200，则选取的学生中参加合唱社 200=2 团的学生人数占样本量的500 =40%,故B正确.选取 的学生中参加机器人社团的学生人数占样本量的1一40% -20%一10%-15%=15%，所以选取的学生中参加机器人 社团的学生人数为500×15%=75，故C不正确.选取的学 生中参加合唱社团的学生人数为200，参加机器人社团的学 生人数为75，所以选取的学生中参加合唱社团的学生人数 比参加机器人社团的学生人数多125，故D正确.故选ABD. 6.ACD【解析】对于A,因为中位数为3，众数为5，所以这7 个数从小到大排列后，第4个数是3，所以1,2,3中一定有 一个数出现2次，5出现3次，所以这7个数中一定没有出 现7，则A正确.对于B,因为中位数为4，极差为3，所以这7 个数可以是4,4,4,4,4,4,7，则B错误.对于C,若出现1个 7,则这7个数从小到大排列后，后4个数之和最小为19，前 3个数之和最小为3，从而这7个教的平均数最小为号>3， 即这7个数的平均数不可能为3，故C正确.对于D,设这7 个数分别为x1,2,x3,x4,x5,x6,x7,则1十x2十3十x4十 x5+x6+x=21,(.x1-3)2+(x2-3)2+(a-3)2+ 参考答案·数学 (.x4-3)2+(x-3)2+(x-3)2+(x-3)2=21.若x =7,则x2十x3十x4十x5十x6十7=14，(x2一3)2十 (.x3-3)2+(x-3)2+(x5-3)2+(x6-3)2+(x7-3)2 =5,从而x2,3,x4,x5,x6,x?这6个数可能是4,4,4,4,4,3 或4,4,4,4,3,2或4,4,4,3,2,2或4,4,3,2,2,2或4,3,2， 2,2,2或3,2,2,2,2,2或5,4,3,3,3,3或5,3,3,3,3,2或 4,3,3,3,3,1或3,3,3,3,2,1，这与2+x3+x1十x5十x6十 x7=14矛盾，即这7个数中一定没有出现7，故D正确.故选 ACD. 7.ABC【解析】对A,因为回归直线的斜率大于0，即相关变 量x,y具有正相关关系，故A正确；对B,将x=2代入y= 2x一0.4得y=3.6,则去掉两个歧义点后，得到新的相关变 量的平均值分别为又=。=号，立=36X义10=9 8 8 2, 9 3X号=一3，此时的回归直线方程为y=3x二3 正确；对C,x=4时，y=3X4一3=9，残差为8.9一9=一0. 1,故C正确；对D,斜率3>1，此时随x值增加相关变量y 值增加速度变大，D错误.故选ABC 8.A【解析】设高一学生有x人，则高三学生有2.x人，高二学 生有(x+300)人，学校共有4x+300=3500(人)，解得x 1 800(人)，由此可得按100的抽样比例用分层抽样的方法抽 取样本，高一学生应抽取的人数为00×800=8（人）， 9.B【解析】由题意知9 即=3所以n=28,所以P=品=5小 2814 10.B【解析】依题意得，y=a十2=0.9，故a十b=6.50: 5 又样本点的中心为(5,0.9)，故0.9=5b十a②，联立①② 解得b=一1.4，a=7.9,即y=-1.4x十7.9，可知当x每增 加1个单位时，y减少1.4个单位，故选B. 11.83%【解析】由y=0.66.x+1.562知，当y=7.675时，x 一6113.故所求百分比为7.675=7.67点660≈836. 6113 12.【解析】(1)由题知r= 11.1 11.1 √10X12.58≈11.22 ≈0.99>0.75， 故y与t具有较强的线性相关关系.(2)由题知6=山 10 1,11,又i=1+2+3+4+5=3,y=1.5+3.2+4+5.3+6 5 =4,所以a=4一1.11×3=0.67，故y=1.11t十0.67.当t =6时，y=1.11×6十0.67=7.33，故预测该市2023年新 能源汽车的保有量为7.33万辆. 13.【解析】(1)依题意得，0.04+0.02+0.05十0.10十10a十0 16+0.15+0.18+10a十0.04=1，解得a=0.013,估计该 市市民的压力分值在区间[70,100]内的概率为(0.018十0. 013+0.004)×10=0.35. (2)由频率分布直方图及(1)知，压力分值在各分组区间内 的频率依次为0.04,0.02,0.05,0.10,0.13,0.16,0.15,0. 18,0.13,0.04,估计该市市民压力分值的平均数为5×0. 04+15×0.02+25×0.05+35×0.10+45×0.13+55×0. 16+65×0.15+75×0.18+85×0.13+95×0.04=58. (3)由(1)知，在样本中，“高压市民”有200×0.35=70 (人)，2X2列联表为： 单位：人 压力 年龄 合计 高压市民 非高压市民 年龄段A 35 25 60 年龄段B 必 105 140 合计 70 130 200 零假设为H。:该市的市民是否为“高压市民”与其年龄无关 联，根据列联表中的数据，经计算得到X 200×(35×105-35×25)2 =800 60×140×70×130 39 >20>10.828=x0.01, 根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H不成立，即 认为该市的市民是否为“高压市民”与其年龄有关联 75