第16讲 随机事件的概率、古典概型、条件概率与全概率-【艺考一本通】2026年高考数学小题量检测

小题量检测数学 x-ln x-2 (x=1),x>1,由(2)知，f(x)=x-lnx-2在 (1,十∞)上单调递增，且在区间(3,4)内存在唯一的零 点，设该零点为x∈(3,4)，则f(x0)=x0一lnxn一-2=0 故当x∈(1，)时，f(x)<0,即g(x)<0,g(x)在 (1,xo)上单调递减，当x∈(x0,十∞)时，f(x)>0,即g (x)>0,g(x)在(x0,十o∞)上单调递增，所以g(x)min= g(n）=ln+2=(-2)+边=∈（3,4），所 201 以k<g（x)m=x∈(3,4)，故整数k的最大值为3. 第16讲随机事件的概率、古典概型、条件 概率与全概率 1.ABD【解析】甲、乙、丙、丁、戊共5位志愿者被安排到A, B.C,D四所山区学校参加支教活动，则共有C号·A=240 种安排方法，故A正确：甲志愿者被安排到A学校，若A学 校只有一个人，则有C·A=36种安排方法，若A学校只 有2个人，则有A=24种安排方法， 所以甲志愿者被安排到A学校有36十24=60种安排方法， 所以甲志愿者夜安排到A学校的概率是品=子，故B正 确；若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有C· A=60种，故C错误；甲志愿者被安排到A学校有60种安 排方法，在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校 有两名志愿者的安排方法有24种，所以在甲志愿者被安排 到1A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是酷 =号，放D正确.故选ABD 2.C【解析】经过3次检查恰好将1个次品找到包括两种情 况：①第3次抽到次品，前2次抽到2个正品：②前3次抽到 的都是正品，所以经过3次检查恰好将次品找到的概率是P =CC+A=1+1=1 A TA44=2· 3.A【解析】由题意，从五月、六月、七月的六个节气中任选两 个节气，样本，点共有C洛=15（个），其中这两个节气在同一个 月包含3个样本，点，故这两个节气不在同一个月的概率P 1-名=青故选A 15 4.A【解析】设两位数学教师用1,2表示，两位英语教师用 3,4表示，不妨让A先选，B后选（不重复），则他们所有的选 择结果如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3， 1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12种情况，其中学 生A选择数学教师，学生B选择英语教师（数学在前，英语 在后)的结果有(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，共4种情况，所 以所求概率P=3 5.A【解折J由题意可得PA-CC=号，PAB)号 C 10,故P(BA)=PCAB=10_1 P(A)2 =4,故选A 5 6.ACD【解析】甲批种子15粒，能发芽的占80%，乙批种子 10粒，能发芽的占70%，则甲批种子中有15×80%=12 (粒)能发芽，乙批种子中有10×70%=7（粒）能发芽.对于 A,从甲批种子中任取2粒，至少有1粒能发芽的概率为1 C 、=,故A正确：对于B,从乙批种子中任取2粒，至多有 1粒能发车的斑率为是十℃=合故B特误：对千C从 甲、乙两批种子中各任取1粒，至少有1粒能发芽的概率为 CC=的放C正确：对于D,将两批种子混合后，随： 取出1粒：诺粒种子能发苹的颜奉为合十是一是故D正 确.故选ACD 7.C【解标1由条件概率知P(AB)=得，因为P(B)∈ (0,1□，所以P(AB)=PAB>P(AB),故A不正确：P(B P(B) 74 A)=票，PAB)=,PA)与P()不一定相 等，所以P(B1A)=P(A|B)不一定成立，故B不正确；P(B引 A)部P代AB=,所以P(BA-票 PCA BPCB.故C正确：PBB)=PB≠0故D不正 P(A) 确.故选C &【解析】因为P(B)=圣，所以P(B)=1-P(B)=子， 故PAnB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=g+子-司 =日故答案为日 9.ABC【解析】由题意7个球中任取3个球的基本事件总数 为：C=35,这3个球都是红球的基本事件数为：C=1,所 以事件A发生的概率为：P(A)=需，故A错误，这3个球中 至少有1个红球的基本事件数为：C·C+C·C十C= 8+12+1=31,所以事件B发生的概率为：P(B)=需，故B 错误，这3个球中至多有1个红球的基本事件数为：C·C 18十4=22，事件C发生的概率为P(C)=号，故 误，因为P(AB)=P(A)=需，所以由条件概率公式得：P(A |B)=P(AB=35_1 P(B) 31 =,故D正确，故选ABC 35 1O,AD【解析】由题意得：P(A)=号-马P(4)=9→ C 4MIAPCMA>9C3 4 P(A) 4,A正确：P 9 (N|A2)= × P(A2) 4 =易B错误：P 1 AM=告X急=，C错误：P(N)=P(A)·卫 (NA)+PA)·P(NA:)=号×号+号×景= 号D正确故选AD 5 11.0.3857 【解析】设A:为零件是“第i台机床加工”(i 1,2,3),则样本空间2=AUA2UA,且A,A2,A两两 互斥，设B为“任取一零件为次品”，所以P(A)=5十7干8 5 1 8 =0.25,P(A)=5+7+8=0.35,P(A)=5+7+8=0.4. P(BA)=0.05,P(BA2)=0.04,P(BA3)=0.03,于是， 由全概率公式可得P(B)=P(A)P(BA)十P(A)P(BA) +P(A)P(BA)=0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.03 =0,385.所以PAB)=PA)P(BIA-0.25X0.05= P(B) 0.385 器故答案为0385： 25 12.0.03【解析】这个人患流感的概率为P=3%×4+3+十3十 3 3 2%×4+3+3+4%×4+3+3=0.03 13.【解析】(1)因为该市2021年男女驾驶员的比例为7：3，所 以在全市驾驶员中随机抽取1人是女驾驶员的概率为0. 3,设在全市驾驶员中随机抽取3人，女驾驶员的人数为X, 所以X~B(3,0.3).所以恰有1位女驾驶员的概率是P (X=1)=C×0.3×0.72=0.441. (2)设事件A:驾驶员为女性，事件B:驾驶员发生的交通事 故.所以P(A)=0.3,P(A)=0.7,P(B|A)=0.25× 10-4,P(BA)=2.20×10-4,所以根据全概率公式，P(B) =P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=0.075×10-4+2.2×0. 7×10-4=1.615×10-4,所以P(AB)= P(AB) P(B) P(A)P(BA) 0.075×10-4 P(A)P(BA+P(ADP(BA-1.615X10≈0.046.所 以该市一名驾驶员在2021年发生了交通事故，则其为女性 的概率是0.046. 14.【解析】(1)估计奶茶爱好者的平均年龄x=(5×0.016+15 ×0.036+25×0.028+35×0.010+45×0.008+55× 0.002)×10=21.4(岁) (2)由题图，得奶茶爱好者年龄位于区间[20,60)的频率为 (10×0.028+10×0.010+10×0.008+10×0.002) 0.48,故奶茶爱好者年龄位于区间[20,60)的概率为0.48. (3)设A={任选一名奶茶爱好者年龄位于区间[10,20)}， 设B={任选一名奶茶爱好者喜欢“古茗”}，由条件概率公 式可得：P(B|A)= P(AB)21%×35% P(A) 35% =0.21. 第17讲抽样方法与总体分布的估计 1.9.1【解析】10×80%=8，则数据5.5,6.1,7.2,8.0,8.5， 8.6,8.8,9.0,9.2,9.8的第80百分位教为9.09.2=9.1 2 故答案为9.1. 2.B【解析】因为要用分层抽样的方法从该系所有本科生中 抽取一个容量为200的样本，一、 二、三、四年级的学生比为 4:3:2:1,所以三年级要抽取的学生人数是4十3十2+ ×200=40,故选B. 3.D【解析】由频率之和为1，得10×(0.01+0.02+0.03+2a 十0.01)=1，解得a=0.015,故A中说法正确；这1000名学 生每天的体育运动时间不少于1小时的频率为(0.015十0. 015+0.01)×10=0.4,则这1000名学生中每天的体育运动 时间不少于1小时的学生人数为0.4×1000=400，故B中 说法正确：由频率分布直方图可估计这1000名学生每天的 体育运动时间的众数是55，故C中说法正确；由10×0.01= 0.10.25,10×0.01+10×0.02=0.3>0.25,得这1000名 学生每天的体育运动时间的第25百分位数位于[40,50)内， 估计这1000名学生每天的体育运动时间的第25百分位数 为40+0.250×10=47.5，故D中说法不正确.故选D 0.3-0.1 4.ACD【解析】甲旅游景区的日均气温分别为5℃，3℃ 6℃，3℃，7℃，5℃，6℃，乙旅游景区的日均气温分别为 5℃，4℃，6℃，5℃，5℃，4℃，6℃.甲旅游景区日均气温 的中位数为5℃，平均数为5+3+6+3+7+5+6=5（℃）， A正确；根据折线图知乙旅游景区的日均气温更稳定，B错 误：乙旅游景区日均气温的极差为6一4=2（℃），C正确：乙 旅游景区日均气温的众数为5℃，D正确.故选ACD. 5.ABD【解析】由两个统计图可得参加演讲社团的学生人数 为50，占选取的学生的总人数的10%，所以选取的这部分学 生的总人数为50÷10%=500，故A正确.选取的学生中参 加合唱社团的学生人数为200，则选取的学生中参加合唱社 团的学生人数占样本量的0=号 =40%,故B正确.选取 的学生中参加机器人社团的学生人数占样本量的1一40% 一20%一10%一15%=15%，所以选取的学生中参加机器人 社团的学生人数为500×15%=75，故C不正确.选取的学 生中参加合唱社团的学生人数为200，参加机器人社团的学 生人数为75，所以选取的学生中参加合唱社团的学生人数 比参加机器人社团的学生人数多125，故D正确.故选ABD. 6.ACD【解析】对于A,因为中位数为3，众数为5，所以这7 个数从小到大排列后，第4个数是3，所以1,2,3中一定有 一个数出现2次，5出现3次，所以这7个数中一定没有出 现7，则A正确.对于B,因为中位数为4，极差为3，所以这7 个数可以是4,4,4,4,4,4,7，则B错误.对于C,若出现1个 7,则这7个数从小到大排列后，后4个数之和最小为19，前 3个数之和最小为3，从而这7个教的平均数最小为号>3， 即这7个数的平均数不可能为3，故C正确.对于D,设这7 个数分别为xx2,x3,x4,x5,x6,x7,则x十x2十3十x4十 x5+x6+x7=21,(1-3)2+(x2-3)2+(x3-3)2+ 参考答案·数学 (x4-3)2+(x-3)2+(x6-3)2+(x-3)2=21.若x =7,则2++x4+x+x6+x7=14,（x2-3)2十 (-3)2+(x4-3)2+(6-3)2+(x6-3)2+(-3)2 =5,从而x2,x3x4,5,x6,7这6个数可能是4,4,4,4,4,3 或4,4,4,4,3,2或4,4,4,3,2,2或4,4,3,2,2,2或4,3,2， 2,2,2或3,2,2,2,2,2或5,4,3,3,3,3或5,3,3,3,3,2或 4,3,3,3,3,1或3,3,3,3,2,1，这与x2+x3+x4+x+x6+ x?=14矛盾，即这7个数中一定没有出现7，故D正确.故选 ACD. 7.ABC【解析】对A,因为回归直线的斜率大于O,即相关变 量x,y具有正相关关系，故A正确：对B,将x=2代入y= 2x一0.4得y=3.6,则去掉两个歧义点后，得到新的相关变 量的平均值分别为X=。巴=号，Y=3.6X10=9· 8 20 9 3X号=3，此时的回归直线方程为y=3x一3. 正确；对C,x=4时，y=3×4-3=9,残差为8.9-9=一0. 1,故C正确；对D,斜率3>1，此时随x值增加相关变量y 值增加速度变大，D错误.故选ABC. 8.A【解析】设高一学生有x人，则高三学生有2x人，高二学 生有(x十300)人，学校共有4x+300=3500(人)，解得x= 800(人)，由此可得按1O0的抽样比例用分层抽样的方法抽 取样本，高一学生应抽取的人数为100×800=8（人）， 9.B【解析】由题意知9 =3,所以=28，所以P=0= 2814 10.B【解析J依题意得，y=十b-2=0.9,故a十b=6.5①： 5 又样本点的中心为(5,0.9)，故0.9=5b十a②，联立①② 解得b=一1.4，a=7.9,即y=一1.4x十7.9，可知当x每增 加1个单位时，y减少1.4个单位，故选B. 11.83%【解析】由y=0.66.x+1.562知，当y=7.675时，x =63,故所求百分比为.675=7.67660≈83% 6113 12.【解析】(1)由题知r= 11.1 11.1 11.22 ≈0.99>0.75， /10X12.58 故y与1具有较强的线性相关关系.(2)由题知=山.1 10 1,11,又1=1十2+3+4+5=3，y=1.5+32+4+53+6 5 =4,所以a=4一1.11×3=0.67，故y=1.111+0.67.当t =6时，y=1.11×6十0.67=7.33，故预测该市2023年新 能源汽车的保有量为7.33万辆. 13.【解析】(1)依题意得，0.04+0.02+0.05+0.10+10a+0. 16+0.15+0.18+10a+0.04=1,解得a=0.013,估计该 市市民的压力分值在区间「70,100内的概率为(0.018+0. 013+0.004)×10=0.35. (2)由频率分布直方图及(1)知，压力分值在各分组区间内 的频率依次为0.04,0.02,0.05,0.10,0.13,0.16,0.15,0. 18,0.13,0.04,估计该市市民压力分值的平均数为5×0. 04+15×0.02+25×0.05+35×0.10+45×0.13+55×0. 16+65×0.15+75×0.18+85×0.13+95×0.04=58. (3)由(1)知，在样本中，“高压市民”有200×0.35=70 (人)，2X2列联表为： 单位：人 压力 年龄 合计 高压市民 非高压市民 年龄段A 35 25 60 年龄段B 35 105 140 合计 70 130 200 零假设为H。:该市的市民是否为“高压市民”与其年龄无关 联，根据列联表中的数据，经计算得到X= 200×(35×105-35×25)2 =800 60×140×70×130 39>20>10.828=.01 根据小概率值a=0.001的独立性检验，推断H不成立，即 认为该市的市民是否为“高压市民”与其年龄有关联 75第六单元 第16讲 随机事件的概率、 ©限时：60分钟 一、选填题(59分) 1.(多选)甲、乙、丙、丁、戊共5位志愿者被安排 到A,B,C,D四所山区学校参加支教活动， 要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位 志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正 确的是 )》 A.不同的安排方法共有240种 B.甲志愿者被安排到A学校的概率是 C.若A学校安排两名志愿者，则不同的安排 方法共有120种 D.在甲志愿者被安排到A学校支教的前提 下，A学校有两名志愿者的概率是号 2.4个产品中有3个正品，1个次品.现每次取 出1个做检查（检查完后不再放回），直到次 品被找到为止，则经过3次检查恰好将次品 找到的概率是 ) A R司 c n 3.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露 秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变 更，最多相差一两天.”中国的二十四节气凝 结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结 晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至， 七月有小暑、大暑，现从五月、六月、七月的六 个节气中任选两个节气，则这两个节气不在 同一个月的概率为 ( A.青 B吉 c D品 4.设A,B两名学生均从两位数学教师和两位 英语教师中选择一位教师给自己来补课，若 A,B不选同一位教师，则学生A选择数学教 师，学生B选择英语教师的概率为 B是 c D 第一部分 一轮单元检测 概率与统计 古典概型、条件概率与全概率 ⊙总分：83分 5.现从三名男同学和两名女同学中选取两人加 入数学兴趣小组，记事件A=“抽到的两名同 学性别相同”，事件B=“抽到两名女同学”， 则P(BA)= () A是 B号 c D. 6.（多选)有两批种子，甲批种子15粒，能发芽 的占80%，乙批种子10粒，能发芽的占 70%,则下列说法正确的有 () A.从甲批种子中任取2粒，至少有1粒能发 芽的概率是测 B.从乙批种子中任取2粒，至多有1粒能发 芽的概率是 C.从甲、乙两批种子中各任取1粒，至少有1 粒能发芽的概率是品 D.将两批种子混合后，随机取出1粒，该粒 种子能发券的概率为号 7.已知随机事件A,B的概率分别为P(A), P(B),且P(A)P(B)≠0，则下列说法中正确 的是 ) A.P(A B)<P(AB) B.P(B A)=P(A B) C.P(BIA)=P(A B)P(B) P(A) D.P(BB)=0 &,设A,B是随机事件，且P(A)-号，P(B)= ￥，PAUB)-3则P(AnB) 9.（多选)一袋中有3个红球，4个白球，这些球 除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个 球，事件A“这3个球都是红球”，事件B“这3 个球中至少有1个红球”，事件C“这3个球 9 艺考一本通一 数学 中至多有1个红球”，则下列判断错误的是 A事件A发生的概率为号 B.事件B发生的概率为品 C事件C发生的概率为是 DPAB=员 10.(多选)甲袋子中有5个黑球，4个白球，乙 袋子中有3个黑球，4个白球.假设这些球 除了颜色外其他都相同，分两次从袋子中取 球，第一次先从甲袋子中随机取出一球放入 乙袋子，分别用事件A1,A2表示由甲袋子 取出的球是黑球，白球：第二次再从乙袋子 中随机取出两球，分别用事件M,N表示从 乙袋子取出的球是“两球都为黑球”，“两球 为一黑一白”，则下列结论中正确的是 A.P(MIA)- &PNA,)=8 C.PAMW=月 DPN)=哥 11.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加 工的次品率为5%，第2台加工的次品率为 4%,第3台加工的次品率为3%，加工出来 的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加 工的零件数的比为5：7：8，任取一个零 件，它是次品的概率为 ;如果取到 的零件是次品，则它是第1台车床加工的概 率为 12.在某市A,B,C三个区爆发了流感，这三个 区分别有3%，2%，4%的人患了流感.若 A,B,C三个区的人数之比为4：3：3，现从 这三个区中任意选取一个人，则这个人患流 感的概率是 二、解答题（每题12分，共24分） 13.由于身体及心理方面的差异，人们往往认为 女性驾驶员比男性驾驶员更容易发生交通 事故.为调查女性驾驶员是否比男性驾驶员 更容易发生交通事故，同学们组成了调查小 组，对其所在城市进行了调查研究，结果却 显示为：该市2021年男女驾驶员的比例为 7:3,男性驾驶员平均万人的发案率为2. 20,女性驾驶员平均万人的发案率为0.25. 3 (发案即发生了交通事故，暂不区分其是否 为肇事责任人) (1)若在全市驾驶员中随机抽取3人，则恰 有1位女驾驶员的概率是多少？ (2)若该市一名驾驶员在2021年发生了交 通事故，则其为女性的概率是多少？（结果 保留到小数点后第三位) 14.2022年8月7日是中国传统二十四节气 “立秋”，该日，“秋天的第一杯奶茶”再度出 圈，据此，学校社会实践小组随机调查了该 地区100位奶茶爱好者的年龄，得到如下样 本数据频率分布直方图. (1)估计奶茶爱好者的平均年龄；（同一组数 据用该区间的中点值作代表) (2)估计奶茶爱好者年龄位于区间 「20,60)的概率； (3)已知奶茶爱好者喜欢浙江奶茶品牌“古 茗”的概率为21%，该地区奶茶爱好者年龄 位于区间[10,20)的人口数占该地区奶茶爱 好者总人口数的35%，从该地区选出1名 奶茶爱好者，若此人的年龄位于区间 [10,20),求此人喜欢古茗的概率。 频率 组距 0.036 0.028 0.016 0.010- 0.008 0.002= 0102030405060年龄（岁） 0·