第11讲 数列的通项与求和-【艺考一本通】2026年高考数学小题量检测

小题量检测数学 故选项D错误.故选AC 12.10【解析】因为{am}是等差数列，所以2an=a-1十a+1, 又因为ar-1十a+1一a2=0,所以2an一a后=0，即an（2一a） =0.因为anm≠0，所以an=2.所以S2-1=(21一1)am=2(2n 一1)=38，解得1=10. 13,器【解析】因数列a和伍)春是等差致列，且前m项 和分别为5，工，产-别可设S=初(3m+1)=3双 +A0,则T.=(2m+5)=2以n+成会=多会= a1十a= 61+69 9 -器故答案为器 22 14.50【解析】因为数列{am}为等比数列，且a1oa11十aga12= 2e,所以a1na1十aga2=2a1oa1=2e,所以a1oa1=e5,所 以lna1十lna2+…+lna2o=ln(aa2…aeo)=ln(aoan)lo =ln(e)10=lne0=50. 15.【解析】K1)b=a=2,b+1=am+1=2a2m=2(2a-1十1)= b,+2,即b+1一bn=2,故{bn}是首项为2，公差为2的等差 数列，所以bn=2n. (2)知ca=26+1=n+1,6·G=2+i=2 (日 故s(0-号++叶品员)=品 16.【证明】K1)因为a+1=an十6ag-1(n≥2)，所以aa+1十2a= 3an十6an-1=3(an十2am-1)(1n≥2).因为a1=5,a2=5,所以 a2十2a=15,所以an十2au-1≠0(n≥2)，所以+1十2a=3 an+2a- (n≥2)，所以数列{a+1十2an}是以15为首项，3为公比的 等比数列 (2)由(1)得a+1+2an=15X3w-1=5×3,则a+1=-2an 十5X3”,所以am+1-3+1=-2(am-3").又因为a1一3= 2,所以am一3≠0，所以{am一3”}是以2为首项，一2为公比 的等比数列.所以am一3”=2X(一2)1，即an=2X (一2)0-1+3” 第11讲数列的通项与求和 1.C【解析】由题意得a=1计2，所以S.=m十二号=十 2-1. 2.2+1-1-2【解析】数列{an}中，由a+1一am=2”,得当n≥ 2时，an一a-1=2"-,则am=a1十(a2一a1)十(a3一a2)十… +a.-a)=1+20+2++21=号=2-1，是然 4=1满足上式，因此a,=2-1,所以S.=2-2)-n= 1-2 2+1一1-2.故答案为2+1一n-2. 3.C【解析】Sg=a1十a2十a十a4+…十a27十a8十a2s=a1十 (a2十a3)+(a4十a5)+…+(a26+a27)+(a28+a29)=1+2 ×2+2×4+…+2×26+2×28=1+2×(2+4+6+…+26 十28)=421.故选C. 4.C【解析】设等差数列{an}的公差为d,根据题意得 {8a32。,解得{2所以a:=3+21-1D=2n+ 1a4=a1+3d=9, 1 1,所以6.=2十1)(2十3)=2（2n十2m+3),所以数 列{6}的首20项和为6十&十…十m=合× (+号++)=名×（号）= 品故选C 5.ABC【解析】因为a=1,a2十a1=2,a3十a2=32,a4十a3= 70dog所6 68 -a8=102-92=19,累加得a10一a2=7+11+15+19=52, 所以a1n=a2+52=22-a1十52=3+52=55，S=a1+a2+ 分4平的9a6.线7 6AB【解析1由4=-2a是码（≥2，nEN)得号 2·号，而号=-2，因此数列{%}是首项为一2，公比为2 12 的等比数列，所以4=一2X2-1=一2”，所以an=一n·2”, 故B正确；a2=一2X2=一8，故A正确；Sn=一1X21-2X 22一3×23一…一n·2m,则2S.=一1×22-2×23-3×24 …一1·2+1，两式相减得Sn=(21+22+23+…+2")一n· 2+1=2-2）-n·2+1=（1-）·2+1-2,故D错误： 1-2 S=(1-3)X23+1-2=-34,故C错误.故选AB 7.C【解析】因为a+1一a1an-2a2=0,所以(ag1十a) (a+1 一2an)=0.因为数列{am}的各项均为正数，所以am+ 十an>0,所以an+1一2an=0,即an+1=2an(n∈N"),所以数 列{a}是以2为公比的等比数列.因为a1=2,所以an=2. 8.A【解析】因为a+1=S+1一Sn=2am+1-4-(2an-4),所 以a+1=2am,因为a1=2a1一4，所以a1=4,所以数列{am}是 以4为首项，2为公比的等比数列，所以am=4·2-1=2+1, 故选A 9.C 解折】因为2出=1+（合）广，所以工=n十1一0，所 2n 以T+1013=11-2+1013=1024-20,又m>T+ 1013,所以整数m的最小值为1024.故选C。 10.BD【解析】数列{31一2}中的项为1,4,7,10,13,16,19， 22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,52,55,58,61,64,67, …,数列{2n》中的项为2,4,8,16,32,64,128，…，所以数列 {au}是首项为4，公比为4的等比数列，所以an=4”;所以 (31一2)an=(31一2)·4”，记数列{(3n一2)am}的前n项和 为Tn,则Tm=1×4+4×42+…+(3-5)X4-1+(31 2)×4,4Tn=1×4+4×43+…+(31-5)×4"+(31-2) ×4+1,两式相减：一3Tn=4+3(42+4+…+4")一(31 2)X41=4+3×型(1=4)-(31-2）×4+1=4+41 1一4 -16-(31-2)×4+1=-(3n-3)×4+1-12,所以Tn=4 +(n-1)X4+1.故选BD. n十【解析】对n∈N”都有S。=1一a,当n=1时，a= 11. 1-a,解得a=之.当n≥2时a,=S。-S。-1=1一a, (1一a-1),化为am=2a-1,所以数列{a}是等比数列，公 比为号，首项为号.所以a=(日)》”.所以h=10ga,=- 1 n.所以6b+1 1 十 、-(-n一元2+·则bb2'026☐ -(1-合)+（-号）++（分） 1 n+1n+1: 12.一1009【解析】因为数列{am}满足a1=1,a+1=(一1) (an+1),所以a2=-(1+1)=-2,a=-2+1=-1,a4= -(-1+1)=0,a5=0+1=1,a6=-(1+1)=-2,a7= 2+1=一1，…，所以{am}是以4为周期的周期数列，因为 2018=504×4+2,所以S218=504×(1-2-1+0)+1-2 =-1009. 13.32-1 2 【解析】由题意得S22o=(a1十a2)+(a3+a4)+ (a5+a6)+…+(a2019+a226)=4X(30+32+34+.+ 3018)=4X1X(1-30)=320i 1-32 2 14.4035【解析】由题意可知，a+1=an十an+2,a1=2017,a2= 2018,所以a=1,a4=-2017,a5=-2018,a =一1，a7= 2017,…,所以a+6=au,即数列{an}是以6为周期的数列， 又a1+a2十a十a4十a5十a6=0,所以S218=336(a1十a2十 Q34 +a6十a6)+(a1+a2)=4035. 15.【解析】(1)设数列{am}的公差为d(d>0),因为a3是a1和 ag的等比中项，所以a酯=a1·ag,即(1+2d)2=1·(1十 8d),解得d=0(舍)或d=1,所以an=a1+(n-1)d=1十 1-1)1=.(2)因为=2.+a·a,所以b。=20+ =+(分)，所以s=(2+2十+2四 +1-+了++日)+1 11 1-2 h=211h 16.(1)证明见解析，am=(一1)n+2m(2)S2m=n+2+ .饰 an-2n -a,十3·2-2=2”-0=-1，又由a1=1,可得a1-2 an-2n an-2n =一1，所以数列{am一2}表示首项为-1，公比为一一1的 等比数列.所以an一2”=一1X(一1)-1=（一1）”，所以a三 (-1)+2n, (2)由(1)知：nan=(一1)”·十n2m,设bn=(一1)n·n,记 数列{bn}的前n项和为Kn:设cn=n·2m,记数列{cm}的前 n项和为Tn;则S2m=K2n十T3n,K知=b十b2十b十b4+…十 b-1+bm=-1+2-3+4+…二(2n-1)+2=n,因为 T2n=1X2+2X22+3×23+…+21×22①，所以2T2m= 1x22+2X2+3×2+…+2m×2+1②，0-②得：二T3 =1×2+1×22+1×23+…+1×22-21×22+1 21-2）-2mX22+1=22+1-2-2n×21,所以Ta= 1-2 (21-1)X22m+1+2,所以Sn=K2十T2n=n+(21-1)× 22+1+2,所以S2m=K2m+T2n=n十2+(21-1)X22+1 第12讲函数与函数图象及性质 1.C【解析】因为f(-2)=2-=子，所以f(f(-2)=∫ ()=1-√日=2故选C 2.B【解析】由题意可知侵x96.解得-子<<1，故 选B. 3.AB【解析】g(g(一x))=g(一g(x))=一g(g(x)),所 以A正确；g(f(一x))=g(f(x)),所以B正确；取f (x)=x,则f(f(x))=x在（一∞，0]上单调递减，所以 C错误；取f(x)=x2,g（x)=x,则f(g(x))=x2在 (一∞，0]上单调递减，所以D错误.故选AB. 4.ABD【解析】因为f(x一1)=f(x+1),所以令x=0,得 f(一1)=f(1),又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以 f(-1)=一f(1),所以f(1)=一f(1),所以f(1)=0,故A 正确：由f(x一1)=f(x+1),得f(x)=f(x十2)，所以f(x) 是周期为2的周期函数，所以f(2)=f(0)=0,又当x∈(0， 1D且≠时，有）f)<0,所以函数fx)在区间 1 (0,1)上单调递减，可作出函数f(x)的大致图象如图所示。 由图知B,D正确，C不正确.故选ABD. V牛 54小-2024市 5.B【解折J因为901所以号<a<1. 6.AD【解析】令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)= 0,故A正确；由题意可知f(x)的定义域是(0，+∞)，则 f(x)是非奇非偶函数，故B错误；当x>1时，因为y>0,所 以xy>y,又因为f(xy)=f(x)+f(y),所以f(xy)一f(y) =f(x)>0,则f(x)在(0，十∞)上单调递增，故C错误；令x =y=2,得f(4)=2f(2),因为f(4)=12,所以f(2)=6,因 为f(xy)=f(x)+f(y),所以f(xy)一f(y)=f(x),所以 x+3)-(2)=(2),所以+3)-(2) 6等价于(2告)<2)，固为10在0，+∞)上单羽 参考答案·数学 x+3>0, 递增，所以 2>0, 解得0x<1,故D正确.故选AD. 2+3x<2, 2 7.D【解析】由定义在R上的奇函数f(x)在(0，十∞)上单调 递增，得函数f(x)在（一∞，0）上也单调递增，且f(0)=0, f(5)=一f(一5)=0.当x=0时，0Xf(0)=0:当x>0时， 由xf(x)0可得f(x)0=f(5),所以0<x5;当x0 时，由xf(x)0可得f(x)>0=f(一5)，所以一5<x0. 因此，不等式xf(x)<0的解集为（一5,0）U(0,5).故选D. 8.CD【解析】因为f(x一1)为奇函数，所以f(一x一1)=一f (x-1),即f(一x)=一f(x一2)，所以f(x)关于点（一1,0） 对称；因为f(x十1)为偶函数，所以f(一x十1) f(x+1), 即f(一x)=f(x+2),所以f(x)关于x=1对称；由f(一x) -f(x-2),f(-x)=f(x+2)得：f(x+2)=一f(x-2), 所以f(x十8)=一f(x+4)=f(x),即f(x)是周期为8的周 期函数：对于A,f(子)=f(号+2)=f(-号)= 号)广'十1=号，A错误：对于C,因为+6)=- ( 0 2)=一f(一x),即f(x十6)十f(一x)=0,所以f(x)关于点 (3,0)成中心对称，C正确；对于BD,由周期性和对称性可得 f(x)图象如下图所示， -5-3-1/ 5 11 4/2012346万891012 -y=-lgx 由图象可知：f(x)在(6,8)上单调递增，B错误：方程f(x)十 lgx=0的解的个数，等价于f(x)与y=一1gx的交，点个数， 因为f(12)=f(4) f(0)= -1,-1g12-1g10=-1, 所以结合图象可知：f(x)与y=一lgx共有6个交点，即f (x)十lgx=0有6个实数解，D正确.故选CD. 9.AC 【解析】设f(x)=x+2,g(x)=|e-1|,h(x)=lg |x十1，k(x)=x十4.对于A项，易知f(x)=2+2定 义域为R,且f(一x)=(-x)2十2=f(x),所以f(x)= x2十2为偶函数.根据二次函数的性质可知，f(x)=x十2 在(0，十∞)上单调递增.故A正确；对于B项，g(x)= e一1定义域为R,且g(一x)=ex-1≠g(x),所以 g(x)=e一1不是偶函数.故B错误；对于C项，h(x)= gxl+1定义域为{xx≠0}，且h(-x)=lg|一x+1= gx十1=h(x).当x>0时，h(x)=l1gx+1在 (0,十∞)上单调递增.故C正确；对于D项，k(x)=x十4 定义域为{xx≠0}，且k(一x)=一x十4 x (x十4)=一k(),所以k(x)=工十4为奇函数.故D错 x 误.故选AC. 10.ACD【解析】由题意知f(x)的定义域为R,因为f(x)十 f(,x)=lg100=2,所以f(x)的图象关于(0,1)对称，故A 正确；因为g(x)的定义域为R,且g(x)十g(一x)=2,所以 g(x)的图象关于(0,1)对称，故B不正确；因为F(x)=f (x)十g(x),所以F(x)的图象关于(0,2)对称，所以对任意 的x∈[一a,a(a>0),F(x)最大值与最小值之和为4，故C 正确：由E3)+3<1,得F3》十3 -1= x-1 x-l F(x一3)一2<0，又F(x)在R上单调递减，且F(O)=2,所以 x一1 (8任8解得>3或<1，故D正境，故 选ACD. 11.C 12.ABC【解析】由题图可知甲企业的污水排放量在1，时刻 高于乙企业，而在2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同， 故在[1,2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业 强，故A正确；由题图知在2时刻，甲企业在该点的切线斜 率的绝对值大于乙企业的，故B正确；在时刻，甲、乙两 企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，故 C正确；由题意可知，甲企业在[0，山]，[t1,],[2,]这 69艺考一本通 数学 第11讲 数列的通项与求和 ©限时：60分钟⊙总分：97分 一、选填题(73分) a+1am一2a=0,且a1=2,则数列{an}的通 1.数列{1十2”-1}的前n项和为 项公式为 () A.1+2" B.2+2 A.an=2"1 B.an=3"-1 C.n+2"-1 D.n+2+2m C.an=2m D.a=3m 2.已知数列{an}的前n项和为Sm,且a1=1,am+1 8.已知数列{an}的前n项和为Sm,若Sn= an=2”,则Sn= 2an一4，n∈N*,则a,= () 3.在数列{an}中，已知a1=1且am+1十am=2, A.2n+1 B.2" 则其前29项和S的值为 ( C.2n-1 D.2m-2 A.56 B.365 C.421 D.666 4.已知Sn为等差数列{am}的前n项和，且S3= .已知T为数列2士的前n项和，若m>T 15,a十a4十a,=27,记b,=1,则数列 +1013恒成立，则整数m的最小值为() anan+l A.1026 B.1025 {bm}的前20项和为 C.1024 D.1023 A贵 B器 10.（多选)将数列{3一2}与{2"}的公共项从小 到大排列得到数列{a},则下列说法正确的 c D贵 有 () 5.(多选)已知数列{am}满足a1=1,am十am-1= A.数列{an}为等差数列 n2(n≥2，n∈N*),Sm为其前n项和，则 B.数列{an}为等比数列 ( C.am=4+1 A.a4-a2=7 B.a10=55 D.数列{(3n一2)am}的前n项和为(n一1) C.S5=35 D.a8+a4=28 4+1+4 6.（多选)已知数列{an}满足a1=一2，a, 11.已知Sn为数列{am}的前n项和，对n∈N*都 an-1 有S,=1-a…若么=ga则衣+6 2≥2，n∈N),a}的前n项和为S 1 则 ( 十…十bb+1 A.a2=-8 B.an=-n·20 12.在数列{an}中，a1=1,am+1=(一1)”(am十 C.S3=-30 D.Sn=(1-n)·2n+1 1),记Sm为{an}的前n项和，则S2o18 7.已知各项都为正数的数列{an}满足a+1 ·20· 第一部分 一轮单元检测 13.数列{an}的前n项和为Sm,a1=1,an十a+116.已知数列{an}的首项为a1=1,且满足a+1十 =4×3”-1,则S2020= am=3·2"(n∈N*); 14.已知数列2017,2018,1，一2017，…，若这个 (1)求证{am一2"}是等比数列，并求数列 数列从第二项起，每一项都等于它的前后两 {an}的通项； 项之和，则这个数列的前2018项之和 (2)记数列{n·an}的前n项和为S,求S2m S2018= 二、解答题（每题12分，共24分） 15.已知在递增的等差数列{a,}中，a1=1,a3是 a1和ag的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式： (2)若，=2十1一，求数列(b,}的前n an·a+1 项和S. ·21·