第10讲 等差数列与等比数列-【艺考一本通】2026年高考数学小题量检测

10.(1)(2)4【解析】(1)因为2a(sinA-simB)cosC= asin A+bsin B-csin C,由正弦定理得，2a(a一b)cosC= a2+2-2,即2a(a-b)×a+C=a2+B-2,因为 2ab △ABC为斜三角形，所以a2+b-c2≠0，故a=2b,由正弦 定理可得部月总=宁 1 (2)由(1)知，a=2b,所以S△xc=2 absin C=sin C= √/15 2 cos C,所以sinC=√15cosC,即sinC+cos2C= (√15cosC)2+cos2C=16cos2C=1,因为0<C<π，则sin C>0,故simC=√5cosC>0,所以cosC=子，所以2- a2+B-2 bos C=-(2b)2+B-2X2bXb×4=46,则c =26,所以+合=26+亮=+号≥2√2x名=4，当 且仅当26=名，即=1时+合取最小值4 1.BD=1万2)-号 【解析】(1)因为∠B=∠D= 90°，所以AC=√AB+BC=10,因为∠B=∠D=90°， AD=DC,所以∠CAD=45,AD=CD=52,在△ABC 中，cos∠BAC= 专，sin∠BAC=亭，所以cos∠BAD=c0s (∠BAC+45°)=cos∠BAC·cos45°-sin∠BAC·sin 45°-g在△ABD中，BD=AB+AD-2AB·ADs ∠BAD=98,所以BD=7√2. 12.【解析K1)因为cosC-写nB=, 2ab,所以2 abcos C+ 2-a2=2y5 absin B,由余弦定理得a2+G-2=2 akosC, 3 可得+-c+e2-d=2sinB,化简得6=25 3 asnB,由正孩定理得gA一品B可得s血A-停，因为0 b <A<受，所以A=受 3 (2)由(1)得A=号，所以∠DAB=∠DAC=否.因为 Sar=Sam+Sam,所以号esin A=号AD· (csin∠BAD叶bsinCAD),又AD3,所以2bc=3(b+ c).由基本不等式得2bc=3(b十c)≥6√bc,所以bc≥9（当 且仅当b=c=3时，等号成立).因为a2=b+c2-2 bccos A =b+c2-bc≥bc≥9，所以a≥3，所以△ABC外接圆的直 径R=过2。≥2，所以R≥厅，当且仅言a= c=3时，等号成立，所以△ABC外接圆面积的最小值为 πR2=3x. 第10讲等差数列与等比数列 1.B【解析】由题知，a:十a:=2a=2,又因为aea=子，数列 a单调运增，所以a:=子a=是所以公差d=22 2 合，所以a,=e-d=0. 2.A【解析】因为{am}是等差数列，所以a十a=2ag,即a1十 a十a5=3a6=3,所以a=1,所以S=5a1a=5a4=5,故 2 选A. 3.B【解析】设等差数列{an}的公差为d,因为a三3，a一ag =a3,所以a1一(a1+d)=a1+2d,解得d=一1，所以an=3 十(n-1)×(-1)=4-,令am≥0，解得n≤4，所以当n=3 或n=4时，Sn取得最大值，且(Sm)mx=3十2+1十0=6.故 参考答案·数学 选B. 4.ACD【解析】记数列{am}为第n天派遣的人数，数列 {bm}为第n天获得的大米升数，则{am}是以64为首项，7 为公差的等差数列，即am=7n十57，{bn》是以192为首项， 21为公差的等差数列，即bn=21n十171，所以a10=64+7× 9=127,B不正确.设第k天派遣完这1864人，则64k+ 7(,1D=1864,解得k=16(负值舍去)，A正确：官府前6 2 天共发放192X6+56×21=1467升大米，C正确，官府前 6天比后6天少发放21×10×6=1260升大米，D正确.故选 ACD. 5.C【解析】因为a+1=Sn,所以Sm+1一Sn=Sm,整理得S+1 =25,又S=a=32≠0，所以数列{S}是首项为2，公比 为2的等比数列，则S。=2×2r1=2-6,所以ag=S=2 =4.故选C. 6.A【解析】设等差数列的公差为d,d≠0，a=a2·a6,即 (1+2d)2=(1+d)(1+5d),d=-2dd≠0)，所以d=-2, 所以S=6X1+6X5×(-2》=-24. 2 7.A【解析】由a3十a十a1=3a7,S5=15a8,得3a=15-3 a8,所以a7+a8=5.由已知，得a1>0,a8>0,则a7·a8≤ (四4)-空，当且仅当a,=a=是时等号成主.故选A 2 8.ACD【解析】因为a1a4,a6成等比数列，所以a1a6=af,即 a1(a1+5d)=(a1+3d)2,整理得a1d=一92，因为d≠0，所 以a1=一9d,所以a10=a1十9d=0,则S9= 19(a+a192= 2 19ao=0,故A正确，B错误；当d<0时，{am}递减，此时a1 2 >…>ag>a10=0>an>…,所以当n=9或n=10时， S取得最大值，即(S)ms=S=S0,故C正确：当0时， {an}递增，此时a1<a2<<aga10=0a11<…,所以当n =9或n=10时，Sn取得最小值，即(Sm)m=Sg=S0,故D 正确.故选ACD. 9.AB【解析】设数列{an}的公差为d,由a5=一4，S= a1+4d=-4, 40,得5a1+54d=-40.解得a=-12,d=2,所以a =2-14,S.=12+20-14)1=n-13,则a。=6,S0 2 =-30,A,B正确；令am=21-14≤0，得n≤7，且a7=0,则 n=6或1=7时，Sm取最小值，C不正确；因为a5十a6十a?十 ag+ag=5a7=0,所以a5十a6+a7+a8十ag+a10=6≠0，D 不正确.故选AB. 10.AC【解析】将n=1代入Sm=am十1得a=2,A对； 因为Sn=一am十1(n∈N"),则Sm-1=-a-1十1，n≥2；所 以a=S。-S。1=-an十a-1,即=之，所以数列 风2-1 {a}是首项为2，公比为2的等比数列，C对；所以S。= -1-安=1- 1 12 BD错误.故选AC. 2 11.AC【解析】因为a>0,a=2,3a+1=2S.S+1,所以 3=2a(a十a),所以a=或a=-号（舍去），故选 项A正确；因为3am+1=2SnSa+1,所以3(S+1一Sn)=2Sn S,所以尽=一号所以戴到侵}是公差为号 的等差载列：故造项B特提：由写-8，得发-写十 -1(号)=3号=号2，所以>0<0. 3 所以数列5}的前5项和最大，故选项C正确：当”=1 时a=2x-m及2X-1=务这与a=号矛盾， 67 小题量检测数学 故选项D错误.故选AC 12.10【解析】因为{am}是等差数列，所以2an=a-1十a+1, 又因为ar-1十a+1一a2=0,所以2an一a后=0，即an（2一a） =0.因为anm≠0，所以an=2.所以S2-1=(21一1)am=2(2n 一1)=38，解得1=10. 13,器【解析】因数列a和伍)春是等差致列，且前m项 和分别为5，工，产-别可设S=初(3m+1)=3双 +A0,则T.=(2m+5)=2以n+成会=多会= a1十a= 61+69 9 -器故答案为器 22 14.50【解析】因为数列{am}为等比数列，且a1oa11十aga12= 2e,所以a1na1十aga2=2a1oa1=2e,所以a1oa1=e5,所 以lna1十lna2+…+lna2o=ln(aa2…aeo)=ln(aoan)lo =ln(e)10=lne0=50. 15.【解析】K1)b=a=2,b+1=am+1=2a2m=2(2a-1十1)= b,+2,即b+1一bn=2,故{bn}是首项为2，公差为2的等差 数列，所以bn=2n. (2)知ca=26+1=n+1,6·G=2+i=2 (日 故s(0-号++叶品员)=品 16.【证明】K1)因为a+1=an十6ag-1(n≥2)，所以aa+1十2a= 3an十6an-1=3(an十2am-1)(1n≥2).因为a1=5,a2=5,所以 a2十2a=15,所以an十2au-1≠0(n≥2)，所以+1十2a=3 an+2a- (n≥2)，所以数列{a+1十2an}是以15为首项，3为公比的 等比数列 (2)由(1)得a+1+2an=15X3w-1=5×3,则a+1=-2an 十5X3”,所以am+1-3+1=-2(am-3").又因为a1一3= 2,所以am一3≠0，所以{am一3”}是以2为首项，一2为公比 的等比数列.所以am一3”=2X(一2)1，即an=2X (一2)0-1+3” 第11讲数列的通项与求和 1.C【解析】由题意得a=1计2，所以S.=m十二号=十 2-1. 2.2+1-1-2【解析】数列{an}中，由a+1一am=2”,得当n≥ 2时，an一a-1=2"-,则am=a1十(a2一a1)十(a3一a2)十… +a.-a)=1+20+2++21=号=2-1，是然 4=1满足上式，因此a,=2-1,所以S.=2-2)-n= 1-2 2+1一1-2.故答案为2+1一n-2. 3.C【解析】Sg=a1十a2十a十a4+…十a27十a8十a2s=a1十 (a2十a3)+(a4十a5)+…+(a26+a27)+(a28+a29)=1+2 ×2+2×4+…+2×26+2×28=1+2×(2+4+6+…+26 十28)=421.故选C. 4.C【解析】设等差数列{an}的公差为d,根据题意得 {8a32。,解得{2所以a:=3+21-1D=2n+ 1a4=a1+3d=9, 1 1,所以6.=2十1)(2十3)=2（2n十2m+3),所以数 列{6}的首20项和为6十&十…十m=合× (+号++)=名×（号）= 品故选C 5.ABC【解析】因为a=1,a2十a1=2,a3十a2=32,a4十a3= 70dog所6 68 -a8=102-92=19,累加得a10一a2=7+11+15+19=52, 所以a1n=a2+52=22-a1十52=3+52=55，S=a1+a2+ 分4平的9a6.线7 6AB【解析1由4=-2a是码（≥2，nEN)得号 2·号，而号=-2，因此数列{%}是首项为一2，公比为2 12 的等比数列，所以4=一2X2-1=一2”，所以an=一n·2”, 故B正确；a2=一2X2=一8，故A正确；Sn=一1X21-2X 22一3×23一…一n·2m,则2S.=一1×22-2×23-3×24 …一1·2+1，两式相减得Sn=(21+22+23+…+2")一n· 2+1=2-2）-n·2+1=（1-）·2+1-2,故D错误： 1-2 S=(1-3)X23+1-2=-34,故C错误.故选AB 7.C【解析】因为a+1一a1an-2a2=0,所以(ag1十a) (a+1 一2an)=0.因为数列{am}的各项均为正数，所以am+ 十an>0,所以an+1一2an=0,即an+1=2an(n∈N"),所以数 列{a}是以2为公比的等比数列.因为a1=2,所以an=2. 8.A【解析】因为a+1=S+1一Sn=2am+1-4-(2an-4),所 以a+1=2am,因为a1=2a1一4，所以a1=4,所以数列{am}是 以4为首项，2为公比的等比数列，所以am=4·2-1=2+1, 故选A 9.C 解折】因为2出=1+（合）广，所以工=n十1一0，所 2n 以T+1013=11-2+1013=1024-20,又m>T+ 1013,所以整数m的最小值为1024.故选C。 10.BD【解析】数列{31一2}中的项为1,4,7,10,13,16,19， 22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,52,55,58,61,64,67, …,数列{2n》中的项为2,4,8,16,32,64,128，…，所以数列 {au}是首项为4，公比为4的等比数列，所以an=4”;所以 (31一2)an=(31一2)·4”，记数列{(3n一2)am}的前n项和 为Tn,则Tm=1×4+4×42+…+(3-5)X4-1+(31 2)×4,4Tn=1×4+4×43+…+(31-5)×4"+(31-2) ×4+1,两式相减：一3Tn=4+3(42+4+…+4")一(31 2)X41=4+3×型(1=4)-(31-2）×4+1=4+41 1一4 -16-(31-2)×4+1=-(3n-3)×4+1-12,所以Tn=4 +(n-1)X4+1.故选BD. n十【解析】对n∈N”都有S。=1一a,当n=1时，a= 11. 1-a,解得a=之.当n≥2时a,=S。-S。-1=1一a, (1一a-1),化为am=2a-1,所以数列{a}是等比数列，公 比为号，首项为号.所以a=(日)》”.所以h=10ga,=- 1 n.所以6b+1 1 十 、-(-n一元2+·则bb2'026☐ -(1-合)+（-号）++（分） 1 n+1n+1: 12.一1009【解析】因为数列{am}满足a1=1,a+1=(一1) (an+1),所以a2=-(1+1)=-2,a=-2+1=-1,a4= -(-1+1)=0,a5=0+1=1,a6=-(1+1)=-2,a7= 2+1=一1，…，所以{am}是以4为周期的周期数列，因为 2018=504×4+2,所以S218=504×(1-2-1+0)+1-2 =-1009. 13.32-1 2 【解析】由题意得S22o=(a1十a2)+(a3+a4)+ (a5+a6)+…+(a2019+a226)=4X(30+32+34+.+ 3018)=4X1X(1-30)=320i 1-32 2 14.4035【解析】由题意可知，a+1=an十an+2,a1=2017,a2= 2018,所以a=1,a4=-2017,a5=-2018,a =一1，a7= 2017,…,所以a+6=au,即数列{an}是以6为周期的数列， 又a1+a2十a十a4十a5十a6=0,所以S218=336(a1十a2十 Q34 +a6十a6)+(a1+a2)=4035. 15.【解析】(1)设数列{am}的公差为d(d>0),因为a3是a1和艺考一本通 数学 第四单元 数列 第10讲等差数列与等比数列 ©限时：60分钟⊙总分：99分 一、选填题(75分) 6.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2,a3, 1.在单调递增的等差数列{an}中，若ag=1, as成等比数列，则{an}前6项的和为（ aa是则am A.-24 B.-3C.3 D.8 ( 7.已知各项为正的等差数列{a,}的前n项和为 1 A.-1 B.0 c D.2 Sn,且a十a十a1=15-S,则a,·as的最 5 2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1十 大值为 ( a3十a5=3,则S5= ( A B.4 C.5 n号 A.5 B.7 C.9 D.11 8.(多选)已知等差数列{an}的公差为d,前n 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=3, 项和为Sn,且d≠0，a1,a4,a6成等比数列，则 a1一a2=a3,则Sn的最大值为 ( ) A.7 B.6 C.5 D.4 A.S19=0 4.(多选)朱世杰是历史上伟大的数学家之一， B.ag=0 他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中 C.当d<0时，S是Sn的最大值 有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四 D.当d>0时，So是Sn的最小值 人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七 9.(多选)已知等差数列{a}的前n项和为Sn, 人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派 且满足a5=一4，S5=一40，则 () 遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人， A.a10=6 从第二天开始每天比前一天多派7人，官府 B.S1o=-30 向修筑堤坝的每人每天发放大米3升.”则下 C.当且仅当=6时，Sm取最小值 列结论正确的有 D.as+as+az+as+as+ao=0 A.将这1864人派遣完需要16天 10.（多选)若数列{am}的前n项和为Sm,且Sm B.第十天派往筑堤的人数为134 =一am十1(n∈N),则 () C.官府前6天共发放1467升大米 A.a=2 D.官府前6天比后6天少发放1260升大米 5.已知数列{am}的前n项和为Sm,且满足a1 RS=号 32a+1=S,则ag= ( C.数列{an}是等比数列 A.1 B.2 C.4 D.8 D.. ·18· 第一部分 一轮单元检测 11.(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a116.已知数列{an}满足a1=5,a2=5,a+1=a,十 >0,a=273a+1=2S,5+1,则 2 ( 6am-1(n≥2). (1)求证：{a+1十2an}是等比数列； A.a=3 (2)求数列{an}的通项公式 数列 是公差为号的等差数列 c数列侵 的前5项和最大 D.an 6 (2n-11)(2-13) 12.已知等差数列{am}中，an≠0，若n≥2且 am-1十a+1一a2=0,S2m-1=38,则n等于 13.已知数列{am}和{bn}都是等差数列，且前n 项和分州为5T,若产一则会 14.若等比数列{an}的各项均为正数，且a1oa +aga12=2e5,则lna1+lna2十…+lna2o = 二、解答题（每题12分，共24分） 15.已知首项为2的数列{am}满足a+1= am十1n为奇数 1 记bn=a2m-1,Cn=a2… 2an,n为偶数 (1)求证：数列{b}是等差数列，并求其通项 公式； (2)求数列 {,1一的前10项和So. bn·cn ·19·