第9讲 正弦定理，余弦定理及解三角形-【艺考一本通】2026年高考数学小题量检测

艺考一本通 数学 第9讲正弦定理、余弦定理及解三角形 ©限时：60分钟⊙总分：83分 一、选填题(47分) A.A=晋 1.在△ABC中，满足9sinA+6cosA=10,且 AB=3,BC=2√6，则AC= ( B.若B=平，则36=2a A.3 B.4 C.5 D.6 C.若a=3,b十c=3,则bc=2 2.若在△ABC中，2a·cosB=c,则三角形的形 D.若a=2,则△ABC面积的最小值为3 状一定是 ( A.直角三角形 B.等腰三角形 7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a, C.等腰直角三角形 D.等边三角形 b,c,若sin2A-sinB=√3 sinBsinC,sinC= 3.在△ABC中，B=平，BC边上的高等于 2√3sinB,则A= 8.如图所示，已知A,B,C是 号BC.则aA 一条直路上的三点，AB与 A品 B.0 C⑤ D.30 BC各等于2km,从三点分 10 5 10 4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a, 别遥望塔M,在A处看见 b,c,△ABC的面积为4√3，且2 bcosA+a= 塔在北偏东45°方向，在B处看塔在正东方 2c,a十c=8,则其周长为 向，在点C处看见塔在南偏东60°方向，则塔 A.10 B.12 M到直路ABC的最短距离为 C.8+√3 D.8+2√3 9.（多选)已知△ABC中，AB=3,AC=5,BC= 5.在△ABC中，A=吾，BC=2,则AC-5AB 7,O为△ABC外接圆的圆心，I为△ABC内 切圆的圆心，则下列叙述正确的是() 的最小值为 A.-4 B.-√3 A△ABC外接圆半径为4 C.2 D.2√5 6.（多选)在△ABC中，内角A,B,C所对的边 及△ABC内切圆半径为罗 分别为a,b,c,且asin B=√3 bcos A,则下列 C.A0·BC=8 说法正确的是 D.Ai·BC=1 ·16 第一部分 一一轮单元检测 二、解答题（每题12分，共36分） 12.在锐角三角形ABC中，a,b,c分别为内角 10.已知a、b、c分别为斜△ABC中角A、B、C 的对边，2a(sinA-sinB)cosC=asin A十 A,B.C的对边，sC-9mB=2a b bsin B-csin C. 角A的平分线交BC于D,AD=3Y3 2 (1)求sinB. sin Ai (1)求角A; (2)已知△ABC的面积为√15 b2cos C,求c (2)求△ABC外接圆面积的最小值， +的最小值。 11.如图，在平面四边形ABCD中，∠B=∠D =90°，AB=8,BC=6,AD=DC. (1)求BD的长度； (2)若AC与BD交于点E,求cos∠CED. 。17·小题量检测数学 第9讲正弦定理、余弦定理及解三角形 1.C【解析】9sin2A+6cosA=9(1-cos2A)+6cosA=9 9cos2A+6cos A=10,E 9cos2A-6cos A++1=(3cos A-1)2 =0,解得cosA=号，由余弦定理可知cosA= AB+ACBC2-9+AC-24-AC15AC15 2AB·AC 6AC 6AC 6AC 3,整理得AC-2AC-15=(AC-5)(AC+3)=0,解得 = AC=5或AC=-3(舍)，故选C. 2.B【解析】由2a·cosB=c以及余弦定理得2a· Q+cE=c,化简得a=b,所以三角形的形状一定是等腰 2ac 三角形.故选B. 3.D【解析】如图，过A作AD⊥BC于D,设BC=a,由已知得 AD=号，因为B=平，所以AD=BD,∠BAD=于，所以 D 所以 tan∠BAC=tan (+∠DAC)= tam至+tam∠DAC 1-tanT·tan∠DAC =告号=-&oe∠BAC 1+tan∠BAC=0,sin∠BAC=√1-cos'∠BAC= 3/10 101 故选D. 4.B【解析】因为△ABC的面积为4VB,所以号acsinB=4 √5.因为2 bcosA-十a=2c,所以由正弦定理，得2 sinBcosA十 sinA=2sinC,又A+B+C=π，所以2 sinBcosA十sinA= 2 sinAcosB+2 cosAsinB,所以sinA=2 cosBsinA,因为sinA≠ 0,所以c0sB=7,因为0<B<,所以B=子，所以ac=16, 又a十c=8,所以a=c=4,所以△ABC为正三角形，所以 △ABC的周长为3X4=12.故选B. AC AB BC 5.A【解析】在△ABC中，sB一mC=snA=4,所以AC =4sinB,AB=4sinC,所以AC-√3AB=4(sinB-√/3sinC) =4[sin(g-C)-3simC】 =4(sin吾cosC-cos吾snC-simC） =4(分cosc+9mc-Binc) =4(合c-号mc）=4as(c+晋，因为c∈ (o),所以C+吾∈（吾，25），所以as(C+吾） [-1,）,所以4cos(C+)∈[-4,2)，所以AC-3AB 的最小值为一4.故选A 6.BC【解析】对于A选项，由asin B=√J3 bcos A,结合正弦定 理得sin Asin B=√3 sin Bcos A,因为B∈(0，π)，所以sinB ≠0，所以sinA=/3cos A,即tanA=/B,可得A=号，故A 选项错误：对于B造项，由正狡定理得么-血B如圣 a sin A sin-受 ,即56=2a,故B选项正确；对于C选项，由余弦定理得 5 66 a2=B+2-2cosA,将a=5,A=吾代入，得+2-bc =3,即(b+c)2-3bc=3,又b+c=3,所以bc=2,故C选项 正确；对于D选项，由余弦定理得a2=十c2一2bcc0sA,将 a=2,A=号代入，得+c2-bx=4,则B+2-c=4>2bc -bc=bc(当且仅当b=c=2时取等号)，所以S△sC= xsnA-c<厅，即△ABC面积的最大值为厅，截D 选项错误.故选BC 7.30°【解析】根据正弦定理可得a2一2=√3bc,c=2√3b,解 得a=√F6根据余弦定理cosA=+ca2 2bc =乞.因为0<A<,所以A=30时 P+1268-76B=3 2Xb×2√/3b &.14十105【解析】已知AB=BC 13 2,∠AMB=45°，∠CMB=30°， 所以∠CMA=75°，易见△MBC与 △MBA面积相等，所以与·CM· BKm30=号AM·BMsin45,即 AMsin45°=CM·sin30°，即CM=√/2 AM,记AM=a,则CM=√2a,在△MAC中，AC=4,由余弦 定理得16=3a2-22a'cos75,所以a=,16,记M到AC 4-3 的距离为，则日·厄a·a·n行=合X4得h= 14+l0B,所以塔M到直路ABC的最短距离为4士10B 13 13 9.BCD【解析】在△ABC中，cosA=32+5-72 2×3×5 2,所 以smA-号，设△ABC外接国半径为R,则2R=C 看4，则R=29,北A辑误：设△ABC内初国半径 为则5m=(3+5+7)=号×3X5×号，解得， 3 ，故B正确：因为c0s∠BA0= 04- 23E 75 14,cos 3 AC 5 ∠CAO= OA= 7√3 =,所以·成-动、 3 (t-Ab)=A0.At-0.AB=75×5×53_7E 3 143 X3×35=8,故C正确：设内切圆与三角形分别切于D, 14 E,F,则设AE=AF=x,CE=CD=y,BD=BF=, 解得=分y=景=号，所以A1 x十y=5 AFP+7-1,则cos∠BAI=号，0s∠CAI=号，所以Ad ·成-.（心-A)=i.A-.A市=1X5×号 -1X3X号=1，故D正确.故选BCD A F 10.(1)(2)4【解析】(1)因为2a(sinA-simB)cosC= asin A+bsin B-csin C,由正弦定理得，2a(a一b)cosC= a2+2-2,即2a(a-b)×a+C=a2+B-2,因为 2ab △ABC为斜三角形，所以a2+b-c2≠0，故a=2b,由正弦 定理可得部月总=宁 1 (2)由(1)知，a=2b,所以S△xc=2 absin C=sin C= √/15 2 cos C,所以sinC=√15cosC,即sinC+cos2C= (√15cosC)2+cos2C=16cos2C=1,因为0<C<π，则sin C>0,故simC=√5cosC>0,所以cosC=子，所以2- a2+B-2 bos C=-(2b)2+B-2X2bXb×4=46,则c =26,所以+合=26+亮=+号≥2√2x名=4，当 且仅当26=名，即=1时+合取最小值4 1.BD=1万2)-号 【解析】(1)因为∠B=∠D= 90°，所以AC=√AB+BC=10,因为∠B=∠D=90°， AD=DC,所以∠CAD=45,AD=CD=52,在△ABC 中，cos∠BAC= 专，sin∠BAC=亭，所以cos∠BAD=c0s (∠BAC+45°)=cos∠BAC·cos45°-sin∠BAC·sin 45°-g在△ABD中，BD=AB+AD-2AB·ADs ∠BAD=98,所以BD=7√2. 12.【解析K1)因为cosC-写nB=, 2ab,所以2 abcos C+ 2-a2=2y5 absin B,由余弦定理得a2+G-2=2 akosC, 3 可得+-c+e2-d=2sinB,化简得6=25 3 asnB,由正孩定理得gA一品B可得s血A-停，因为0 b <A<受，所以A=受 3 (2)由(1)得A=号，所以∠DAB=∠DAC=否.因为 Sar=Sam+Sam,所以号esin A=号AD· (csin∠BAD叶bsinCAD),又AD3,所以2bc=3(b+ c).由基本不等式得2bc=3(b十c)≥6√bc,所以bc≥9（当 且仅当b=c=3时，等号成立).因为a2=b+c2-2 bccos A =b+c2-bc≥bc≥9，所以a≥3，所以△ABC外接圆的直 径R=过2。≥2，所以R≥厅，当且仅言a= c=3时，等号成立，所以△ABC外接圆面积的最小值为 πR2=3x. 第10讲等差数列与等比数列 1.B【解析】由题知，a:十a:=2a=2,又因为aea=子，数列 a单调运增，所以a:=子a=是所以公差d=22 2 合，所以a,=e-d=0. 2.A【解析】因为{am}是等差数列，所以a十a=2ag,即a1十 a十a5=3a6=3,所以a=1,所以S=5a1a=5a4=5,故 2 选A. 3.B【解析】设等差数列{an}的公差为d,因为a三3，a一ag =a3,所以a1一(a1+d)=a1+2d,解得d=一1，所以an=3 十(n-1)×(-1)=4-,令am≥0，解得n≤4，所以当n=3 或n=4时，Sn取得最大值，且(Sm)mx=3十2+1十0=6.故 参考答案·数学 选B. 4.ACD【解析】记数列{am}为第n天派遣的人数，数列 {bm}为第n天获得的大米升数，则{am}是以64为首项，7 为公差的等差数列，即am=7n十57，{bn》是以192为首项， 21为公差的等差数列，即bn=21n十171，所以a10=64+7× 9=127,B不正确.设第k天派遣完这1864人，则64k+ 7(,1D=1864,解得k=16(负值舍去)，A正确：官府前6 2 天共发放192X6+56×21=1467升大米，C正确，官府前 6天比后6天少发放21×10×6=1260升大米，D正确.故选 ACD. 5.C【解析】因为a+1=Sn,所以Sm+1一Sn=Sm,整理得S+1 =25,又S=a=32≠0，所以数列{S}是首项为2，公比 为2的等比数列，则S。=2×2r1=2-6,所以ag=S=2 =4.故选C. 6.A【解析】设等差数列的公差为d,d≠0，a=a2·a6,即 (1+2d)2=(1+d)(1+5d),d=-2dd≠0)，所以d=-2, 所以S=6X1+6X5×(-2》=-24. 2 7.A【解析】由a3十a十a1=3a7,S5=15a8,得3a=15-3 a8,所以a7+a8=5.由已知，得a1>0,a8>0,则a7·a8≤ (四4)-空，当且仅当a,=a=是时等号成主.故选A 2 8.ACD【解析】因为a1a4,a6成等比数列，所以a1a6=af,即 a1(a1+5d)=(a1+3d)2,整理得a1d=一92，因为d≠0，所 以a1=一9d,所以a10=a1十9d=0,则S9= 19(a+a192= 2 19ao=0,故A正确，B错误；当d<0时，{am}递减，此时a1 2 >…>ag>a10=0>an>…,所以当n=9或n=10时， S取得最大值，即(S)ms=S=S0,故C正确：当0时， {an}递增，此时a1<a2<<aga10=0a11<…,所以当n =9或n=10时，Sn取得最小值，即(Sm)m=Sg=S0,故D 正确.故选ACD. 9.AB【解析】设数列{an}的公差为d,由a5=一4，S= a1+4d=-4, 40,得5a1+54d=-40.解得a=-12,d=2,所以a =2-14,S.=12+20-14)1=n-13,则a。=6,S0 2 =-30,A,B正确；令am=21-14≤0，得n≤7，且a7=0,则 n=6或1=7时，Sm取最小值，C不正确；因为a5十a6十a?十 ag+ag=5a7=0,所以a5十a6+a7+a8十ag+a10=6≠0，D 不正确.故选AB. 10.AC【解析】将n=1代入Sm=am十1得a=2,A对； 因为Sn=一am十1(n∈N"),则Sm-1=-a-1十1，n≥2；所 以a=S。-S。1=-an十a-1,即=之，所以数列 风2-1 {a}是首项为2，公比为2的等比数列，C对；所以S。= -1-安=1- 1 12 BD错误.故选AC. 2 11.AC【解析】因为a>0,a=2,3a+1=2S.S+1,所以 3=2a(a十a),所以a=或a=-号（舍去），故选 项A正确；因为3am+1=2SnSa+1,所以3(S+1一Sn)=2Sn S,所以尽=一号所以戴到侵}是公差为号 的等差载列：故造项B特提：由写-8，得发-写十 -1(号)=3号=号2，所以>0<0. 3 所以数列5}的前5项和最大，故选项C正确：当”=1 时a=2x-m及2X-1=务这与a=号矛盾， 67