第5讲 平面向量的坐标表示及数量积-【艺考一本通】2026年高考数学小题量检测

=5,取A市=gBC,以AD,AF为边 作平行四边形，可知AP=A市+号武 =AD+A市.而△APD为直角三角 D 形，且AF=之，所以△APD的面积 为2×分×=县 A 16.A【解析】连接AE,AF,由题可知AE=AB+B迹=AB+ 号成-$+A市，市-市+亦=市+号式-专A恋 +Ad,又因为G为EF的中点，所以心=号(A证+A), 所以AG=是（学A范+号A市）=号A市+子A市，所以入 号以=子，所以=子故选A G E 17.得6【解折1玛为引al=31=5里a松=45，则a在 6上的找彩向量为alm5合=3×号×台-器6， 放签定为3普。 18.C【解析】过，点D作BC的平行线，延长AC,AB与之分别 交千点C,以，因为=2，所以瓷之所以茫-8。 所以当点P位于点D处时，入十：取得最大值3，当点P位 于，点A处时，入十以取得最小值0，所以入十4的取值范围是 「0,3. C B 第5讲平面向量的坐标表示及数量积 1.B【解析】由(a一b)⊥b知：(a一b)·b=0,所以a·b-2= 0,即3-2m一13=0，所以m=一5. 2.B【解析】由题意得a+2b2=a+4a·b+4b=4+4X 2×1×cos60°+4=12.所以a士2b|=2√5. 3.C【解析】由(d-2b·（a+b=3,可得a+a.6-2a·6 -2b2=a2-a·b-2b2=3,又a=2,1b1=1所以22a·b -2X1=3解得：a6--1.所以cosa,=TT6= a·b 乞，又0°≤a,6≤180°所以a,6=120所以a与6的夹角 1 为120°.故选C. 4.B【解析】因为(W2a一b)⊥b,所以(W2a一b)·b=J2a·b 8=0,所以a·b=号F,又a=b,所以cos(a,b)月 a6=b=之，又0≤(a,b)≤，所以a,b的夹角为 a·b 平故选B 5.B【解析】因为a=(一2，m),b=(1,W3),所以a一b=(一2， m)-(1,W3)=(-3,m-√3).由(a-b)⊥b,得(a-b)·b= 0,即(-3，m-√3)·(1W3)=-3+√3m-3=3m-6=0, 解得m=2√3，故选B. 6.D【解析】因为a与b的夹角为钝角，所以一2入一1<0，即入 参考答案·数学 1 > ，又a≠b(μ<0)，所以入≠2，所以入的取值范围是 （-弓，2)U(2,+o∞).故选D 7.B【解析】因为向量a=(1,3),向量b=(一2,1)，所以a十 b=(1,3)+(-2,1)=(-1,4),向量a在向量a+b上的 投影尚量的模为—产 22= (-1,4) 岩严战选取 W17 &C【解析】由题意可得Ci=C市+d=C市+子i=C$+ 号Ci-市)=号+号成，所以G立· (号C1+3C市).市=号C1·$+子$=0+子×9 =3,故选C 9.A、【解析】由四边形ABCD是平行四边形，知A心=A市十 AD=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),故AD·AC=(2,1)·(3, -1)=2×3+1×(-1)=5. 10.BCD【解析】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系， A(-1,0),D1,2),E(1,1),设∠BOP=a,则P cos a,sin g,AP-(cos a+1,sin a),AD=(0,2), 由AP-Ad+uAE,得2=cosa+1且2A十=sina,a∈ [0,],A=}(2sna-cosa-1D=4sna-0》-}< 巨-」1，故A错a=0时以m=1,故B正确： 4 A市.Ad=2sina≤2，故C正确；AP.AE=sima+2cosa +2=√5sin(a十p)+2≤5+2，故D正确.故选BCD. y D C O B x 1.ACD【解析】对于A,当0-受时，b=(cos经，sim)= (-,号），此时ab=5×(-)+号×1=0，则a 2 b,故A正确；对于B,若a∥b,则cos0=3sin0,所以tan0 -停所以0-=吾十x6E乙故B错误：对于C,a·b=厅 cos0+sm0=2(号os0+2sim0）=23sin(0叶吾）e [-2,2],故C正确；对于D,因为a=(3,1),b=(cos0, sin0),所以a=√(W3)2+12=2,b=√cos20+sin0= 1,所以|a-b|=√(a-b)2=√a2-2a·b+b= √a-2a·b+b下=√/5-4sin(0+ξ），因为 sin(0+号)∈[-1,11，所以5-4sim(+吾)∈[1,9]，所 以a-b∈[1,3]，故D正确.故选ACD. 12.2【解析】由题意，将b·c=[a十(1一t)b]·b整理得ta· b+(1-)=0,又a·b=2,所以i=2. 13.AB【解析】对于A选项：若a⊥b,则a·b=0,所以√3cos0 十sin0=0,所以tan0=一√3.故A正确；对于B:若 1a+b|=|a-bl,则|a+b|2=|a-b12,即a22a·b+ b2=a2-2a·b+b, 所以a·b=0,即a⊥b,由A可知，tan0=-√5，因为0≤0 ≤，所以0=受，故B正确；对于C选项：与Q共线的单位 3 61 小题量检测数学 向量为士日，故为（停，名）或（一号、-之），故C选项 错误；对于D选项：设向量a与b夹角为a,则cosa 3cossin0=sin(0+受），国为0≤0K,所以号<0+ 吾<，所以-号<n(0叶音)<1，故-号≤os<1, 故D错误；故选AB. 14.ABD【解析】对于A,若O为AD的中点，则AO=O市=月 (Oi+O心)，故A正确：对于B,若O为AD的中点，则O =Oi+A亦=-合A办+A恋=-合×A成+0+A恋 =子恋-AC-子砧-号证，故B正确：对于C,若0 4 为△ABC的重心，则根据三角形重心的性质得O求=2Ed, 所以Oi+OE=-OE,故C错误；对于D,连接OD,若点Q 为△ABC的外心，BC=4,则根据三角形外心的性质得OD LC,故Oi·C=(Od+Di)·BC=-2BC=-8,故 D正确.故选ABD. 15.CD【解析】当a⊥b,且a⊥c时，b与c可以不相等，故A 错误；因为b=（2,2),b+a=(2+2,2+4),b与b十0 的夹角为锐角，所以b·(b十a)>0且b与b十0不同 向，由b·(b十a)>0,得2(2+2μ)+2(2+4)>0，即4 >-号，当b与b十m同向时，存在正数1，使得b=1(b叶 a),因为a、b不共线，所以t=1,=0,所以当b与b十m 不同向时，以≠0，所以“的取值范国为(-子，0)U (0,十∞)，故B错误；对于非零向量a,b,因为 (日+)（日）=（合）-(0)°=1 -1=0,故C正确；当1a=1b|=a-b=1时，有a2 +b12-2a·b=1,得1+1-2×1×1×c0s〈a,b)=1,得 cos(a,b)=2,因为0<(a,b)<元，所以(a,b)=苓，即a与 b的夹角为60°.故D正确：故选CD. 16.ACD【解析】对于A,因为BP=2 P式，所以币=号B武，所以市= A市+励=恋+号成=恋+号 (心-AB)=号A+号AC,故A 正确：对于B,因为∠BAC=牙，且 A D 市=号访+子A心，所以A中在A市上的投影向量为子A正， 故B错误；对于C,因为D是AC的中点，所以Bd=AD 恋=号心-恋，则市·励=（号恋+号心）· (2AC-A恋)=A迹-A衣-A迹·At,又∠BAC =受AB=AC,所以|AB|=|C,A市·AC=0,即A市 ·励-=号亦-}心-}迹·C=0,故C正确：对于 D,设A=入A市=号入A市+号入花，因为B,E,D三点共 线，所以A正=uA市+1一)A市=A市+与A心，则 2 号-14 ,所以A正=号，故D正确.故 μ= 选ACD. 17.一3【解析】在平行四边形OABC中，OA=C克，设点B的 坐标为(xy),则OA=(2,2),C第=(x-1,y十2)，所以x= 3,y=0,Oi=(3,0),AC=(-1,-4),所以Oi·AC=(3, 62 0)·(-1,-4)=-3. 18.【解析】由题可得圆O的半径r=√3十1=2，所以P(0,2), 则AP所在直线方程为y-2=2(x一0)，即y=-5 0-√3 3 十2设B(,+2,则i=(,1.0亦= (,号+2小.由∠A0B=90,可得Oi.0市=0，片以5 号+22y5+2=6,解得=-瓜所以(-尽， 3 3),所以=(3，-1)，所以.OA=×3+1×( 1)=2,1Bd+OA1=2√5. 第6讲任意角、弧度制与任意角的三角函数 能力提升 1.A【解析】因为角0的终边过点P(2√3，一2)，所以x=2 尽y-2=4,由三角西教的定义知0s0=二-号故选 A. 2.D【解析】因为a是第二象限角，所以sina>0,cosa<0,所 以点P(sina,cosa)在第四象限，故选D, （sim=-5 12 3.C sin十os2x=1,解得：cosx= 【解析】由条件可知cosx, coS x<0 哥故选C 4.C【解析】设扇形的圆心角的孤度数为0，半径为R.由题意 得{R=6,7R=6.解得0=3，即扇形的圆心角的孤度数 是3.故选C 五A【解析】由已知得1OM=5,因而co00=-号，sin0= 告，m0=一青则os0-m0+m0=是碧青 故选A 6.AC【解析】对于A,因为S与S2所在扇形的圆心角分别 为62x-0,所以三 2·02 0 S于(2x-0)·22x一0·故A正确：对 是-2是。合所以0=等所以S=子0： 0 于B,因为三= 尽=号×停X9=3,战B错送：对子C因为是-22。 ,1,所以0=(3-)元，所以0入(3-2.236)×180≈ 2 138,故C正确：对于D.5=号·0：R=合×(36)x× 400=200(3一√5)π，故D错误.故选AC. 7.ACD【解析]对于A,因为sn0十cos0=吉，所以(sn0叶 os=1+2 in务即血s0=一号所以A正 49 确：对于B,C,(sin0-cos0)2=1-2sin0cos0=23,因为0∈ (0,x),且sin dcos0=- 是<0，所以sin0>0,c0s0K0,则 2 7 sin0-cos0>0,所以sin0-cos0= ,所以B错误，C正确： (sin0叶cos0=言'解得 1 sin 0=- 4 对于D,由 5 7 所以tan0 sin 0-cos0=5, os0=- 5· = 3,所以D正确.故选ACD. 8.B【解析】若0为第二象限角，则sin>0,cos<0,tan0艺考一本通 数学 第5讲平面向量的坐标表示及数量积 9限时：60分钟⊙总分：100分 一、选填题(90分) 7.已知向量a=(1,3),向量b=(一2,1)，则向 1.已知向量a=(1,m),b=(3,-2)且(a一b)1 量a在向量a+b上的投影向量的模为 b,则m= ( () A.-8B.-5 C.5 D.8 2.已知平面向量a与b的夹角为60°，a=(2, A号 "c5n罗 5 0),b=1,则a+2b= 8.在△ABC中，C=90°，且1CA=1C克1=3，点 A.√3 M满足Bi=2MA,则CM·C第=() B.2√3 C.4 D.12 3.已知向量a,6满足(a-26)·(a+6)=3,且 A.6 B.4 C.3 D.2 a=2,b=1,则a与b的夹角为 ( 9.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形 ABCD是平行四边形，AB=(1,一2)，A方 A.30° B.60° C.120° D.150° (2,1),则A方·AC= 4.已知平面向量a,b满足|a=b,且（√2a A.5 B.4 C.3 D.2 b)⊥b,则a,b的夹角为 10.(多选)正方形ABCD的边长为2，E是BC A晋 B. 中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上 C. 任意点，A户=λAD十μA它，则 D.0 5.已知平面向量a=(一2，m),b=(1,3),且 (a一b)⊥b,则实数m的值为 () A.-2√5 B.2√3 C.43 D.63 6.已知向量a=(一2，-1)，b=(入，1)，若a与b A.入最大值为 的夹角为钝角，则入的取值范围可以是( B.u最大值为1 A(-∞，-2】 C.A产.AD最大值是2 D.A产·AE最大值是5+2 B(-22 11.(多选)已知向量a=(√3,1)，b=(cos0,sin C.(2,十o∞) ),则下列说法正确的是 D.(-,2U(2,+∞) A.若0=于，则aLb ·8· 第一部分 一轮单元检测 B.若a∥b,则g-吾 是(-号+∞) C.a·b的最大值为2 C对于非零向量a,,则（合+） D.a一b的取值范围是[1,3] 12.已知两个单位向量a,b的夹角为60°，c=a十 (合合)=0 (1一t)b.若b·c=0,则t= D.单位向量a和b满足a一b=1,则a与 13.（多选)已知向量a=(5,1),b= b的夹角为60 (cos0,sin0)(0≤π)，则下列命题正确 16.(多选)在△ABC中，已知∠BAC=受，AB 的是 =AC,D是AC的中点，若P是BC上的一 A.若a⊥b,则tan0=一√3 点，且满足B户=2PC,AP与BD交于点E, B.存在0，使得a十b=a-b 则 C.与a共线的单位向量只有一个 为停引 A.A=号应+号AC D.向量a与b夹角的余弦值范围 BA市A店上的投影向量为号A访 是 C.A庐.Bò=0 14.（多选)已知点O为△ABC内的一点，D,E D.A成-号 分别是BC,AC的中点，则 17.已知平行四边形OABC中，O为坐标原点， A.若O为AD的中点，则 A(2,2),C(1,-2),则O·AC AO-(0B+) 二、解答题(10分) 18.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(W3,1) B若0为AD的中点，则O殖=子A店- 在以原点O为圆心的圆上.已知圆O与y 证 轴正半轴的交点为P,延长AP至点B,使 得∠AOB=90°.求B驴·OA的值和B市十 C.若O为△ABC的重心，则O范十O龙=0 OA的值. D.若O为△ABC的外心，且BC=4,则OB ·BC=-8 15.(多选)关于平面向量有下列四个命题，其中 正确的命题为 A.若a·b=a·c,则b=c B.已知a=(2,4),b=(2,2),且b与b十@ 的夹角为锐角，则实数以的取值范围 ·9·