第4讲 平面向量的线性运算及基本定理与投影向量-【艺考一本通】2026年高考数学小题量检测

小题量检测数学 1山2近=1+复因为≥0，所以1+≥2后当 1+x 卫权告1时取等号，所以=1十≤1+岸-2。 即0<≤2，所以≥√2，故选C 15.24【解析】由题，x>2,9x+1 +22=9x-2)+己2+18 ≥2√6(x-2)·+18=24,当9一2)=2即x 3时，不等式等号成立.故答案为24 16.(-o∞，25]【解析】对任意的x∈[1,2]，不等式x2 mx十3≥0恒成立等价于对任意的x∈[1,2]，不等式 生m成立：而=+≥2，=2 当且仅当=是，即时，等号成立，所以士的最小 x 值为2√3，故23≥m,所以m的取值范围是 (-∞，23]，故答案为(-∞，25]. 17.1【解析】因为a-b=1,所以a=1+b,得a2=(1十)2， a 中6则日+品=中+≥ a 86 V中6=2V既（且仅中 1 +6Y时取等号，图为6>0，所以1十6+6 8b 8≥ /1 2W6·b 8 且仅当b=1时等号成立)，当 中》成立，此V晒≥所以日+品的凝 小值为2×2=1. 18.号 【解析】由题设可得(2x十y)2一3xy=1,即(2x十y)2 1+3xy,所以2x+y=√/1+3xy>0,令√/1十3xy=t,则1 +3xy=三，所以6十6x=22十4 2 号，当且仅当1=子，即1一E时取等号，此 2X2Wt· 1 时xy=3· 第4讲平面向量的线性运算及基本 定理与投影向量 1.D【解析】①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不 是有向线段；②不正确，若a与b中有一个为零向量时也互 相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定 相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可 以平行；④不正确，当b=0时，a与c不一定平行，故正确命 题的个数为0. 2.B【解析】对于A,当A>0时，a与Aa的方向相同，当入<0 时，a与Aa的方向相反.B正确；对于C,一a=一Aa, 由于|一的大小不确定，故|一a与|a的大小关系不确 定；对于D,入a是向量，而|一a表示长度，两者不能比较 大小. 3.B【解析】因为BC=a+b,C市=a-2b,所以B动=BC+Ci =2a一b.又因为A,B,D三点共线，所以AB,BD共线.设AB =入Bd,所以2a十b=(2a-b),所以2=2入，p=一入，即入 =1,p=-1. 4.BD【解析】由相等向量定义可得：若两个相等的非零向量 的起点相同，其终点一定相同，故A错误；若向量a=b,则a :C-b·c=(ab)·=0,所以a·c=b·c,故B正确；由 向量的定义可得向量a,b满足|a|=|b]时，向量a,b可能 共线也可能不共线，故C错误；若非零向量AB与AC共线，则 60 A,B,C三，点共线，故D正确.故选BD. 5.A【解析】由题意可得A正=AD+D成=AD+A恋，A花 A+F成=A正-AD,则A花=3AD+号A市.故选A. 6.D【解析】因为点D是斜边AB的中点，所以AB=2AD,所 以A币=号AC+AA市=号At+2以A市，因为点P在线段CD 上，所以号十2以=1，解得入=号.故选D. 7.BCD【解析】因为D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA 的中点，所以DF1BE,且DF=BE,DF∥EC,且DF=EC, 所以DF=BE,DF=E武，所以AF-DB=AF-AD=DF= E=E式，故选BCD. 8B【解析】由题意Mi+Mi+M心=0，则M为△ABC的 重 设点D为底边BC的中点， 则Ai=号AD-=号X2成+A0=子A花+A0, 所以AB+AC=3AM,所以m=3,故选B. 9.B【解析】因为a∥b,所以-2x=-1+y即2x+y=1(x> 0,y>0),所以1+2=1+2·(2z十y)=2+2+g+ x y I y y 义≥4+4=8.当且仅当g=义，2x+y=1.且x>0,y>0 y 即=且=时“=”成立 10.A【解析】以OB,OC为邻边作平行四边形OBDC,连接 OD交BC于点M,如图所示. 由恋=是0成+0心，得0成+元 A 号恋=20应，所以市=30应，所以 0 △ABC的面积与△BOC的面积之比 之·1BC·AB1·sim∠ABG M-- 为。BC·Oa·sm∠OMc D 变=8故选八 OM 11.一8【解析】因为AB=2e1+ke2,Bd=CD-C克=(2e- e2)-(e+3e)=e1-4e2,由A,B,D三点共线，得AB∥ ，所以2%十e,=2(e-4e),所以最，则= -8. 12,A【解析】在平行四边形ABCD中，BE=号BC,DF= DE,所以市=市+D亦=市+是庞=A市+圣 (D心+)=AD+是（市-3AD)=子A$+A市，若 =十A市，则A==子，所以X+以=是故选A 13.45°【解析】因为直线l上有不同三点A,B,C,所以存在实 数A,使得BA=入B武，所以OA-O范=入(OC-O), 即OA=(1-A)O成+A元，所以-二1-co'所以sina lλ=sina, =c0sa,因为a是锐角，所以a=45°. 14.C【解析】因为D是AB上靠近B的四等分点，E是AC上 靠近A的四等分点，F是DE的中点，所以A市=号Ad+ 合迹=2×是市+2×就-是市+8t=号+ 台故选C 15.【解析】如图，取BC的中点E,连接AE,根据△ABC 是边长为4的正三角形，所以AE⊥BC,A正=号（市+ AC.而A市=子（市+C),则点D为AE的中点，则AD =5,取A市=gBC,以AD,AF为边 作平行四边形，可知AP=A市+号武 =AD+A市.而△APD为直角三角 D 形，且AF=之，所以△APD的面积 为2×分×=县 A 16.A【解析】连接AE,AF,由题可知AE=AB+B迹=AB+ 号成-$+A市，市-市+亦=市+号式-专A恋 +Ad,又因为G为EF的中点，所以心=号(A证+A), 所以AG=是（学A范+号A市）=号A市+子A市，所以入 号以=子，所以=子故选A G E 17.得6【解折1玛为引al=31=5里a松=45，则a在 6上的找彩向量为alm5合=3×号×台-器6， 放签定为3普。 18.C【解析】过，点D作BC的平行线，延长AC,AB与之分别 交千点C,以，因为=2，所以瓷之所以茫-8。 所以当点P位于点D处时，入十：取得最大值3，当点P位 于，点A处时，入十以取得最小值0，所以入十4的取值范围是 「0,3. C B 第5讲平面向量的坐标表示及数量积 1.B【解析】由(a一b)⊥b知：(a一b)·b=0,所以a·b-2= 0,即3-2m一13=0，所以m=一5. 2.B【解析】由题意得a+2b2=a+4a·b+4b=4+4X 2×1×cos60°+4=12.所以a士2b|=2√5. 3.C【解析】由(d-2b·（a+b=3,可得a+a.6-2a·6 -2b2=a2-a·b-2b2=3,又a=2,1b1=1所以22a·b -2X1=3解得：a6--1.所以cosa,=TT6= a·b 乞，又0°≤a,6≤180°所以a,6=120所以a与6的夹角 1 为120°.故选C. 4.B【解析】因为(W2a一b)⊥b,所以(W2a一b)·b=J2a·b 8=0,所以a·b=号F,又a=b,所以cos(a,b)月 a6=b=之，又0≤(a,b)≤，所以a,b的夹角为 a·b 平故选B 5.B【解析】因为a=(一2，m),b=(1,W3),所以a一b=(一2， m)-(1,W3)=(-3,m-√3).由(a-b)⊥b,得(a-b)·b= 0,即(-3，m-√3)·(1W3)=-3+√3m-3=3m-6=0, 解得m=2√3，故选B. 6.D【解析】因为a与b的夹角为钝角，所以一2入一1<0，即入 参考答案·数学 1 > ，又a≠b(μ<0)，所以入≠2，所以入的取值范围是 （-弓，2)U(2,+o∞).故选D 7.B【解析】因为向量a=(1,3),向量b=(一2,1)，所以a十 b=(1,3)+(-2,1)=(-1,4),向量a在向量a+b上的 投影尚量的模为—产 22= (-1,4) 岩严战选取 W17 &C【解析】由题意可得Ci=C市+d=C市+子i=C$+ 号Ci-市)=号+号成，所以G立· (号C1+3C市).市=号C1·$+子$=0+子×9 =3,故选C 9.A、【解析】由四边形ABCD是平行四边形，知A心=A市十 AD=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),故AD·AC=(2,1)·(3, -1)=2×3+1×(-1)=5. 10.BCD【解析】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系， A(-1,0),D1,2),E(1,1),设∠BOP=a,则P cos a,sin g,AP-(cos a+1,sin a),AD=(0,2), 由AP-Ad+uAE,得2=cosa+1且2A十=sina,a∈ [0,],A=}(2sna-cosa-1D=4sna-0》-}< 巨-」1，故A错a=0时以m=1,故B正确： 4 A市.Ad=2sina≤2，故C正确；AP.AE=sima+2cosa +2=√5sin(a十p)+2≤5+2，故D正确.故选BCD. y D C O B x 1.ACD【解析】对于A,当0-受时，b=(cos经，sim)= (-,号），此时ab=5×(-)+号×1=0，则a 2 b,故A正确；对于B,若a∥b,则cos0=3sin0,所以tan0 -停所以0-=吾十x6E乙故B错误：对于C,a·b=厅 cos0+sm0=2(号os0+2sim0）=23sin(0叶吾）e [-2,2],故C正确；对于D,因为a=(3,1),b=(cos0, sin0),所以a=√(W3)2+12=2,b=√cos20+sin0= 1,所以|a-b|=√(a-b)2=√a2-2a·b+b= √a-2a·b+b下=√/5-4sin(0+ξ），因为 sin(0+号)∈[-1,11，所以5-4sim(+吾)∈[1,9]，所 以a-b∈[1,3]，故D正确.故选ACD. 12.2【解析】由题意，将b·c=[a十(1一t)b]·b整理得ta· b+(1-)=0,又a·b=2,所以i=2. 13.AB【解析】对于A选项：若a⊥b,则a·b=0,所以√3cos0 十sin0=0,所以tan0=一√3.故A正确；对于B:若 1a+b|=|a-bl,则|a+b|2=|a-b12,即a22a·b+ b2=a2-2a·b+b, 所以a·b=0,即a⊥b,由A可知，tan0=-√5，因为0≤0 ≤，所以0=受，故B正确；对于C选项：与Q共线的单位 3 61艺考一本通 数学 第二单元 平面向量 第4讲 平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 ©限时：40分钟⊙总分：91分 1.①有向线段就是向量，向量就是有向线段； 5.在平行四边形ABCD中，E,F分别为CD, ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相 BC的中点，则AE= 同或相反； A.AD+2A在 B.号AD+号A中 ③向量AB与向量CD共线，则A,B,C,D四 点共线； C.ZAD+3AF D.Ad+号A本 ④如果a∥b,b∥c,那么a∥c. 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC 以上命题中正确的个数为 ( ) =60°，若点D是斜边AB的中点，点P是中 A.1 B.2 C.3 D.0 线CD上一点，且A市=AC+入AB,则入= 2.设a是非零向量，入是非零实数，下列结论中 正确的是 ( A.a与入a的方向相反 B.a与入2a的方向相同 C.-a≥a D.|-a≥λ·a 3.设a,b不共线，AB=2a+b,BC=a+b,C方 A.1 B号 C.Z D.g =a一2b,若A,B,D三点共线，则实数p的 7.(多选)如图，D,E,F分别是△ABC的边 值为 ( AB,BC,CA的中点，则A产一D克等于() A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.（多选)下列选项中，正确的是 ( A.若两个相等的非零向量的起点相同，侧它 们的终点可能不同 A.FD B.EC C.BE D.DF B.若向量a=b,则a·c=b.c 8.已知△ABC和点M满足MA+MB+M心 C.若向量a,b满足|a=,则a=b或a= 0.若存在实数m使得A庐+AC=mAM成 -6 立，则m= D.若非零向量AB与AC共线，则A,B,C三点 共线 A.2 B.3 C.4 D号 ·6· 第一部分 一轮单元检测 9.已知向量a=(-1,2),b=(-x,1-y)且a∥ B9名 6,若xy均为正数，则上+子的最小值是 c+ n兴名 ) 15.已知△ABC是边长为4的正三角形，D、P A.9 B.8 c D32 3 是△ABC内部两点，且满足A心=}(A范+ 10.设点O在△ABC的内部，且有A市= (0店 AC,A市=A市+gEC,则△APD的面积为 +O心)，则△ABC的面积与△BOC的面积 之比为 ( A.3 B 16.如图所示的矩形ABCD中，E,F满足BE= C.2 D吃 E心，C疗-2F市，G为EF的中点，若AG=入 11.设e1,e2是两个不共线的向量，已知AB= AB+μAD,则的值为 2e1十ke2,Ci=e1十3e2,Cd=2e-e2,若A, B,D三点共线，则实数k的值为 12如图：在平行四边形ACD中，BC-号BC, DF=DE,若A市=入A+uAD,则入+ B号 c D.2 17.已知a=3,b=5且(a,b〉=45°，则a在 b上的投影向量为 18.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2：1， B立C立 D.0 点P是区域ABDC内的任意一点（含边 13.直线1上有不同三点A,B,C,O是直线1外 界)，且A产=入AB+以AC,则入十以的取值 一点，对于向量OA=(1-cosa)Oi+sina 范围为 O心(a是锐角)总成立，则a= 14.如图，D是AB上靠近B的四等分点，E是 AC上靠近A的四等分点，F是DE的中 点，设AB=a,AC-b,则A方- A.[0,1] B.[0,2] C.[0,3] D.[0,4] 。7·