第2章 特殊三角形单元测试-2025-2026学年浙教版八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

第2章 特殊三角形 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，掌握概念是解决问题的关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据定义逐一进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2．下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．2，3，4 B．，， C．4，4，7 D．5，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股树（数）问题，解题关键是掌握勾股树（数）并能运用求解． 根据勾股数的意义，通过计算对四组作出判断． 【详解】解：，故A不符合； 勾股数是整数，，，不是整数，故B不符合； ，故C不符合； ，故D符合， 故选：D． 3．在中，、、的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：∵，则， ∴是直角三角形，故 A 选项不符合题意； ∵， ∴可设， ∴， 即， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵，且， ∴， ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 4．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．无理数就是开方开不尽的数 B．全等三角形的对应角相等 C．若，则 D．各边相等的多边形是正多边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了逆命题，真假命题， 先说明各命题的逆命题，再判断真假可得答案. 【详解】解：因为A的逆命题是：开方开不尽的数是无理数，是真命题，所以不符合题意； 因为B的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，所以符合题意； 因为C 的逆命题是：若，则，是真命题，所以不符合题意； 因为D的逆命题是：正多边形的各边都相等，是真命题，所以不符合题意. 故选：B. 5．如图，已知，点，，分别在直线，上，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质、平行线的性质，根据直角三角形的两个锐角互余，可以求出，根据两直线平行，内错角相等，可知． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 6．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】考查了等腰三角形的性质，当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和、三角形外角的性质求解． 此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为，可求出顶角的度数． 【详解】解：①若是顶角的外角，则顶角； ②若是底角的外角，则底角，那么顶角． 故选：C． 7．如图，数轴上的点所表示的数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长，可得出的值，即可求解． 【详解】解：如图： 根据题意可得：，， ∵， ∴， 即， ∴点表示的数为． 故选：C． 8．如图，在中，，点D、E分别为中点，若，，则的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据中点，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵点D、E分别为中点， ∴， 在中，， ∴； 故选C． 9．如图，在中，，以、、向外作正方形，面积依次分别记为、、，若阴影部分面积为12，则的值为（   ） A．48 B．40 C．36 D．32 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积，熟悉相关知识点是正确解答此题的关键． 由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：∵在中，， 由勾股定理得，, 结合正方形的面积可知，即， 又∵阴影部分面积为12，阴影部分与以为边的正方形等底等高， ∴， ∴， 故选：A． 10．如图， ， 点 A 是 延长线上的一点， ， 动点P 从点 A 出发沿 以的速度移动，动点Q从点O出发沿 以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间， 当t等于多少时，是等腰三角形？（      ） A．10 B．2.5 C．5 D．2.5 或5 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及一元一次方程的应用，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 根据  是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点 P 在上，或点 P 在上；然后根据等腰三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】 解：如图，当点 P 在上，时，是等腰三角形，      ∵，，   ∴当时，，解得；   如图，当P在上，时，是等腰三角形，   ∵，，   ∴当时，，解得；   综上可得：当或5秒时，是等腰三角形， 故选：D．   二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．在中，E是斜边的中点，若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，掌握知识点是解题的关键． 根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，即可解答． 【详解】解：在中，E是斜边的中点，若， ∴． 故答案为：5． 12．如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握“”是解答本题的关键． 根据“”所需的条件分析即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴要利用“”判定的条件是． 故答案为：． 13．已知，，是的三条边，若满足，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了绝对值的非负性，偶次方的非负性，等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据绝对值的非负性，偶次方的非负性，得到，，继而得到，推出是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：，，， ，， ，， ， ，，是的三条边， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形 ． 14．将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质和等腰三角形的判定，掌握折叠的性质和等角对等边是解题的关键． 首先根据平行线的性质得出，然后根据折叠的性质得出，通过等量代换得出，从而得出，最后利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ∵点到距离为， 则． 故答案为：12． 15．如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴地毯的长为， ∴地毯的面积为， ∴铺完这个楼道至少需要元， 故答案为：． 16．在四边形纸片中，，， 将纸片沿折叠得到如图所示图形． （1）若， 则 °． （2）将图1中的四边形纸片沿折叠得到如图2所示图形， 若，则 °． 【答案】 45 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． （1）根据折叠得出，，根据平行线的性质求出，再根据角度间关系求出结果即可； （2）根据折叠可知：，结合对顶角性质得出，根据，，求出结果即可． 【详解】解：（1）根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：80； （2）根据折叠可知：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：45． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17．如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定，证明是本题的关键． 利用“”可证，由全等三角形的性质可得出，利用等角对等边即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴和是直角三角形， ∵，， ∴； ∴， ∴． 18．在中，，交于点 E，平分．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的内角和定理求出的度数，的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵交于点 E，平分， ∴，， ∴， ∴． 19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别在图①、图②、图③中各画出一个与成轴对称的三角形，所画三角形的顶点均在格点上，且对称轴不同，保留作图痕迹． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 先确定对称轴，再画出轴对称图形即可． 【详解】解：如图①中，即为所求； 如图②中，即为所求； 如 图③中，即为所求． 20．图①，图②，图③是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请按要求画图，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．具体要求如下： (1)在图①中画一个有一边长为7的钝角三角形． (2)在图②中画一个面积为8的等腰三角形． (3)在图③中画一个面积为10的等腰直角三角形． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)图见详解 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质及三角形的分类，熟练掌握勾股定理、等腰三角形的定义及三角形的分类是解题的关键； （1）根据三角形的分类进行作图即可； （2）先画底边长为4，然后根据线段垂直平分线的性质可作出面积为8的等腰三角形； （3）根据等腰直角三角形的性质作出腰长为即可． 【详解】（1）解：所作一边长为7钝角三角形如图所示： （2）解：所作面积为8的等腰三角形如图所示： （3）解：所作面积为10的等腰直角三角形如图所示： 21．如图，在中，，若，． (1)求的长； (2)求的周长和面积． 【答案】(1)的长为6 (2)的周长等于24；的面积等于24 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的周长和面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）利用勾股定理求解； （2）利用三角形的周长和面积公式求解． 【详解】（1），，， ， 的长为6． （2）的周长等于， 的面积等于． 22．如图，已知等边，点D、E是、上的动点，连结，相交于点O，． (1)求证：； (2)连接，若，当为直角三角形时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)的长度是2或4 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质； （1）根据等边三角形的性质证明，进而可以解决问题； （2）分两种情况讨论：①当时，②当时，利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵是等边三角形． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①当时， ∵， ∴． 设∵， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 解得； ②当时，，， 设， 同理可得， ． 综上可知：的长度是2或4． 23．综合与实践． 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________． （3）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）；；；；证明见解析 （2） （3） 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在 和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：由题图，可知， ，． 因为， 所以， 所以， 所以． （2）由题图，可知，． 所以， 解得． （3）解：在中，由勾股定理，得． 由题意，得． 在中，由勾股定理，得． 所以， 解得：． 24．某农场结合场区的实际情况准备开垦一块四边形试验田．如图1，四边形是其平面示意图，，，， 连接，；其中，是两条需建设的灌溉主管道所在的位置，已知灌溉主管道的长度为200米． (1)在试验田建设过程中，该农场综合考虑场区的整体远景规划，为后续扩大试验田做准备，打算增加建设一条灌溉主管道，灌溉主管道可看作将灌溉主管道绕点D逆时针旋转所得，请在图1 中画出灌溉主管道的位置，连接，并求出的大小； (2)为了使灌溉效果达到最佳，需要从C 处到E 处再建设一条灌溉支管道，在（1）的条件下求灌溉两端点A 和E之间距离的最大值． 【答案】(1)图见解析， (2)米 【分析】本题考查作图-旋转变换，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据要求画出图形，证明，推出可得结论； （2）如图，在的右侧作等边，取的中点K，O，连接，．求出可得结论． 【详解】（1）解：图形如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，在的右侧作等边，取的中点K，O，连接，，，，． ∵是等边三角形，米， ∴， ∴（米）， ∵， ∴， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（米）， ∵米， ∴的最大值为米． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 特殊三角形 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．2，3，4 B．，， C．4，4，7 D．5，， 3．在中，、、的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．无理数就是开方开不尽的数 B．全等三角形的对应角相等 C．若，则 D．各边相等的多边形是正多边形 5．如图，已知，点，，分别在直线，上，，若，则（   ） A． B． C． D． 6．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 7．如图，数轴上的点所表示的数为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，点D、E分别为中点，若，，则的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 9．如图，在中，，以、、向外作正方形，面积依次分别记为、、，若阴影部分面积为12，则的值为（   ） A．48 B．40 C．36 D．32 10．如图， ， 点 A 是 延长线上的一点， ， 动点P 从点 A 出发沿 以的速度移动，动点Q从点O出发沿 以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间， 当t等于多少时，是等腰三角形？（      ） A．10 B．2.5 C．5 D．2.5 或5 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．在中，E是斜边的中点，若，则 ． 12．如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是 ． 13．已知，，是的三条边，若满足，则的形状为 ． 14．将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则 ． 15．如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 16．在四边形纸片中，，， 将纸片沿折叠得到如图所示图形． （1）若， 则 °． （2）将图1中的四边形纸片沿折叠得到如图2所示图形， 若，则 °． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17．如图，，．求证：． 18．在中，，交于点 E，平分．求的度数． 19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别在图①、图②、图③中各画出一个与成轴对称的三角形，所画三角形的顶点均在格点上，且对称轴不同，保留作图痕迹． 20．图①，图②，图③是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请按要求画图，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．具体要求如下： (1)在图①中画一个有一边长为7的钝角三角形． (2)在图②中画一个面积为8的等腰三角形． (3)在图③中画一个面积为10的等腰直角三角形． 21．如图，在中，，若，． (1)求的长； (2)求的周长和面积． 22．如图，已知等边，点D、E是、上的动点，连结，相交于点O，． (1)求证：； (2)连接，若，当为直角三角形时，求的长度． 23．综合与实践． 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________． （3）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 24．某农场结合场区的实际情况准备开垦一块四边形试验田．如图1，四边形是其平面示意图，，，， 连接，；其中，是两条需建设的灌溉主管道所在的位置，已知灌溉主管道的长度为200米． (1)在试验田建设过程中，该农场综合考虑场区的整体远景规划，为后续扩大试验田做准备，打算增加建设一条灌溉主管道，灌溉主管道可看作将灌溉主管道绕点D逆时针旋转所得，请在图1 中画出灌溉主管道的位置，连接，并求出的大小； (2)为了使灌溉效果达到最佳，需要从C 处到E 处再建设一条灌溉支管道，在（1）的条件下求灌溉两端点A 和E之间距离的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $