1.4 空间向量的应用 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4 空间向量的应用

 

【知识必备】

一、直线的方向向量和平面的法向量

1.直线的方向向量：

点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式.

知识点诠释：

（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．

（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．

2.平面的法向量定义：

直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.

知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．

二、空间中直线、平面的平行

1.线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.

2.线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.

3.面面平行的向量表示：设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 .

三、空间中直线、平面的垂直

1.线线垂直的向量表示：设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.

2.线面垂直的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.

3.面面垂直的向量表示：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.

四、空间角度、距离求解

1．两条异面直线所成角的求法

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

2.直线与平面所成角的求法

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则

sin θ＝|cos β|＝.

3．求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．

(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．

4.求点到平面的距离的步骤可简化为：

①求平面的法向量；

②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．

空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解

【题型精讲】

【题型一  加条件的计算】

【例1】（加角度条件）（24-25高三上·山东青岛·期末）如图， 是以 为直径的圆上一点，，等腰梯形 的顶点C,D在底面的射影落到圆周上，且 ，异面直线

和 所成的角的正切值为 ．

(1)求 ；

(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．

 

 

 

 

【例2】（与球有关条件）（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，．

(1)证明：平面平面；

(2)设，且点，，，均在球的球面上．

（i）证明：点在平面内；

（ⅱ）求直线与所成角的余弦值．

 

 

【例3】（加垂直条件）（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．