4.1.2　垂线课件2025-2026学年华东师大版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦“相交线与平行线”中的垂线概念及其性质，从木条转动的直观操作引入角度变化，逐步引导学生发现垂直关系的本质特征，再通过画图实践归纳出“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实，形成由感性到理性的知识建构链条，为后续学习点到直线的距离和垂直平分线奠定坚实基础。 其亮点在于紧扣新课标核心素养，以几何直观和推理能力为核心，通过真实情境（如木条模型、生活实例）激发学生观察力，借助画图操作强化空间观念，用逻辑推理深化理解。例如第6题中通过比较线段长度得出“垂线段最短”，体现数学思维的严谨性与应用价值。此设计既提升学生的问题意识和表达能力，又帮助教师高效落实教学目标，实现知识与素养双落地。

4.1　相 交 线 4.1.2　垂　线 第4章　相交线和平行线 取两根木条a、b,将他们钉在一起固定木条a,转动木条b a b ） α 垂线的概念 问题： （1）在木条b转动的过程中，什么也随着改变 a与b所成的角也随之发生改变 取两根木条a、b,将他们钉在一起固定木条a,转动木条b 问题： （2）在木条b与a成90°的位置有几个？木条b与a所在的直线有什么位置关系？ a b ） α a与b垂直 定义：两条直线相交所构成的四个角中有一个为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，这两条直线互相垂直. 记作：AB⊥CD或m⊥l 注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.（如图2） 垂直的定义及表示方法 A B C D O （2） B C D O （1） A l m 两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 记作：AB⊥CD于点O A B C D O 符号语言： 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时， 那么AB⊥CD. 因为∠AOD=90°（已知） , 所以AB⊥CD（垂直的定义） 垂线的判定 符号语言： 若直线AB与CD垂直,垂足为O， 则∠AOD=90° 因为 AB⊥CD （已知） , 所以 ∠AOD=90°（垂直的定义） (或∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°) A B C D O 垂线的性质 6 如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则_______. 若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD =______. 如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝____, ∠BOC的补角为______. O m n 1 B C A O m⊥n 90° 72° 162° 图1 图2 牛刀小试 4.日常生活中，我们经常可以看到线线互相垂直的图形，你能再举出一些例子么？ 经过直线AB外一点P，按图中所示的两种方法，画出垂直于直线AB的直线，这样的垂线能画多少条呢？ 垂线的画法及基本事实 试一试 P B A (1) (2) P A B B 问题 这样画AB的垂线我们可以画几条？ O 如图，已知直线 AB,作AB的垂线. 无数条 1.落 2.靠 3.画 A B P 如图，已知直线 AB 和AB上的一点P ,过点P作AB的垂线. 问题 这样画l的垂线可以画几条？ 一条 1.落 2.靠 3.移 4.画 A B P 如图，已知直线 AB 和AB外的一点P ,过点P作AB的垂线. 根据以上几种情况的操作，你能得出什么结论？ 问题 这样画l的垂线可以画几条？ 一条 1.落 2.靠 3.移 4.画 A 注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中,“有”指存在性,“只有”指唯一性. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线的性质 特殊的直线 如图，如果直线CD经过线段AB的中点O，并且CD⊥AB，我们可以得到AO=BO, CD⊥AB. A B C D O // // 此时，我们将垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线（图中直线CD即为线段AB的垂直平分线） 垂直平分线又可称为中垂线 课堂小结 垂线 垂线的定义 交角90° 垂线的画法 利用三角板或量角器画：一落、二靠、三移、四画 垂线的性质 有且只有 线段最短 点到直线的距离 垂线段的长度 1. 下列说法中,正确的是(　B　) A. 一条直线的垂线只有一条 B. 若两条直线相交所成的四个角相等,则这两条直线互相垂直 C. 若两条直线相交,则交点叫做垂足 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. (教材P180习题4.1第2题变式)(2024·北京)如图,直线AB和CD相交于点O,OE⊥OC. 若∠AOC=58°,则∠EOB的度数为(　B　) A. 29° B. 32° C. 45° D. 58° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 如图,笔直小路DE的一侧栽种有两棵小树BM,CN,小明测得AB=4m,AC=6m,则点A到DE的距离可能为(　D　) A. 6m B. 5m C. 4m D. 3m D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 如图,如果直线ON⊥直线a,直线OM⊥直线a,那么OM与ON重合,其理由是 　同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直　.  同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 如图,OA⊥OB,OB平分∠COD. 若∠BOC=31.5°,则∠AOD的度数为 　58.5°　.  58.5°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. (教材P176练习第3题变式)如图,P是∠AOB的边OB上的一点. (1) 过点P画OB的垂线,交OA于点C; 解:(1) (2) 如图所示　 (2) 过点P画OA的垂线,垂足为H; (3) 线段PH的长度是点P到 　OA　的距离,线段 　PC　的 长度是点C到OB的距离;  OA　 PC　 (4) 判断线段PC,PH,PO的大小关系(用“<”连接), 并说明判断的依据. 解:(4) PH<PC<PO,判断的依据是直线外一点和直线上所有各点的连线中,垂线段最短 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 如图,直线AB,CD相交于点O,OF⊥CD,垂足为O,且OF平分∠AOE. 若∠BOD=25°,求∠EOF的度数. 第7题 解:因为∠BOD=25°,所以∠AOC=∠BOD=25°.因为OF⊥CD,所以∠COF=90°.所以∠AOC+∠AOF=90°.所以∠AOF=90°-25°=65°.因为OF平分∠AOE,所以∠EOF=∠AOF=65° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 如图,直线AB,CD相交于点O,下列条件中,不能说明AB⊥CD的是(　C　) A. ∠AOD=90° B. ∠AOC=∠BOC C. ∠BOC+∠BOD=180° D. ∠AOC+∠BOD=180° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $