8.5.3平面与平面平行 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学学案聚焦平面与平面平行的判定与性质定理，以长方体和四棱锥等典型几何体为载体，通过师问引导学生从直观感知走向逻辑推理，构建“线线平行→线面平行→面面平行”的知识链条，形成清晰的学习支架。 资料亮点突出，注重核心素养落地，体现数学眼光中的空间观念与几何直观，强化数学思维中的逻辑推理能力，彰显数学语言的严谨表达。例题与训练题设计层次分明，既有基础证明又有综合应用，如例3中多平面关系的转化与构造，有效培养学生的结构化思维与创新意识，帮助学生在真实情境中理解空间位置关系的本质，提升解决复杂问题的能力。

8.5.3　平面与平面平行 【课标要求】　1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理、平面与平面平行的性质定理，并加以证明.2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行，能利用性质定理解决一些简单的空间线面位置关系． 【导学】 学习目标一　平面与平面平行的判定定理 　师问：(1)三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？ (2)三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？ 生答： 　 例1 如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别为边AA1，DD1的中点． 证明：平面CFA1∥平面BDE. 总结：利用面面平行的判定定理，关键是在一个平面内找(或作出)两条相交直线与另一个平面平行，在证明时一定要说明两条直线相交． 跟踪训练1　如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC. 学习目标二　平面与平面平行的性质定理 　师问：(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面吗？ (2)如果两个平面平行，那么分别在两个平面的直线是什么位置关系？ (3)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行吗？ 生答： 例2 如图，在三棱锥P­ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM. 利用平面与平面平行的性质定理 证明两条直线平行的一般步骤 跟踪训练2　如图，已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长． 学习目标三　平行关系的综合应用 例3 如图所示，已知点P是▱ABCD所在平面外一点，M，N，K分别是AB，PC，PA的中点，平面PBC∩平面APD＝l. (1)求证：MN∥平面PAD； (2)直线PB上是否存在点H，使得平面NKH∥平面ABCD？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由； (3)求证：l∥BC. 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示． 跟踪训练3　如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，E为侧棱PD的中点，且BC＝2，AD＝4，求证：CE∥平面PAB. 【导练】 1．平面α与平面β平行的条件可以是(　　) A．α内有无数多条直线与β平行 B．直线a∥α，a∥β C．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α D．α内的任何直线都与β平行 2．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是(　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面或相交 3．已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝(　　) A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 4．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________． 【导思】 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，Q是侧面BCC1B1内一点，若A1Q∥平面AEF，则线段A1Q长度的最大值与最小值之和为(　　) A． B． C． D． 8．5.3　平面与平面平行 导　学 学习目标一　生答：(1)不一定． (2)一定平行． 例1　证明：∵长方体ABCD­A1B1C1D1， ∴AA1∥DD1，AA1＝DD1， ∵点E，F分别为边AA1，DD1的中点， ∴A1E＝DF，A1E∥DF， ∴四边形A1EDF为平行四边形， ∴A1F∥ED， 又A1F⊄平面BDE，ED⊂平面BDE， ∴A1F∥平面BDE. 如图，连接AC交BD于点O，连接EO， ∴点O为AC的中点， ∴EO∥A1C， 又A1C⊄平面BDE，EO⊂平面BDE， ∴A1C∥平面BDE. ∵A1C＝A1，且A1C，A1F⊂平面CFA1， ∴平面CFA1∥平面BDE. 跟踪训练1　证明：∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD， ∴MQ∥AD，NQ∥BP， 又∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC， ∴NQ∥平面PBC. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC∥AD，∴MQ∥BC， 又∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC， ∴MQ∥平面PBC. 又∵MQ＝Q，且MQ，NQ⊂平面MNQ， ∴平面MNQ∥平面PBC. 学习目标二　生答：(1)一定平行． (2)平行或异面． (3)平行． 例2　证明：因为D，E分别是PA，PB的中点， 所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以DE∥平面ABC， 同理DF∥平面ABC，且DE＝D，DE，DF⊂平面DEF， 所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF＝NF， 平面PCM∩平面ABC＝CM， 所以NF∥CM. 跟踪训练2　解析：∵α∥β，平面PCD＝AB，平面PCD＝CD， ∴AB∥CD，可得＝. ∵PA＝6，AC＝9，PD＝8， ∴＝，解得BD＝. 学习目标三　 例3　 证明：(1)取PD中点为F，连接AF，FN. 在△PCD中，FN∥DC，FN＝DC， 在▱ABCD中，AM∥CD，AM＝CD， 所以AM∥FN，AM＝FN，即四边形AFNM为平行四边形， 所以AF∥MN，又AF⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， 所以MN∥平面PAD. (2) 当H为PB中点时，平面KNH∥平面ABCD. 证明如下： 取PB的中点为H，连接KH，NH， 在△PBC中，HN∥BC，HN⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD， 所以HN∥平面ABCD，同理可证KH∥平面ABCD， 又KH，HN⊂平面KNH，KH＝H， 所以平面KNH∥平面ABCD. (3)∵BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD， 又∵平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，∴BC∥l. 跟踪训练3　证明：取AD的中点O，连接OC，OE，如图． 因为E为侧棱PD的中点，所以OE∥PA，OE⊄平面PAB，PA⊂平面PAB， 所以OE∥平面PAB. 因为BC＝2，AD＝4，AO＝AD＝2，即AO＝BC，且BC∥AD， 所以四边形ABCO为平行四边形，所以OC∥AB. 又OC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以OC∥平面PAB. 因为OC＝O，OC⊂平面OCE，OE⊂平面OCE， 所以平面OCE∥平面PAB， 因为CE⊂平面OCE， 所以CE∥平面PAB. 导　练 1．解析：由面面平行的定义知，选D. 答案：D 2．解析：如图①②③所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交． 故选D. 答案：D 3．解析：∵平面α∥平面ABC，∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC， ∴S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2. 又PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝∶S△ABC＝4∶25.故选D. 答案：D 4．解析：因为平面ABFE∥平面CDHG， 又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG， 所以EF∥HG. 同理EH∥FG. 所以四边形EFGH的形状是平行四边形． 答案：平行四边形 导　思 解析： 如图所示，分别取棱BB1，B1C1的中点M，N，连接MN，BC1，NE， ∵M，N，E，F为所在棱的中点， ∴MN∥BC1，EF∥BC1， ∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF， ∴MN∥平面AEF； ∵AA1∥NE，AA1＝NE，∴四边形AENA1为平行四边形， ∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF， ∴A1N∥平面AEF. 又A1N＝N，MN，A1N⊂平面A1MN， ∴平面A1MN∥平面AEF. Q是侧面BCC1B1内一点，且A1Q∥平面AEF， 则Q必在线段MN上． 在Rt△A1B1M中，A1M＝＝＝， 同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N＝， ∴△A1MN为等腰三角形． 当Q在MN中点O时A1Q⊥MN，此时A1Q最短，Q位于M，N处时A1Q最长， A1O＝＝ ＝， A1M＝A1N＝， ∴线段A1Q长度的最大值与最小值之和为＝.故选C. 答案：C 学科网（北京）股份有限公司 $