8.6.1直线与直线垂直 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.1　直线与直线垂直 【课标要求】　1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系.2.掌握两异面直线所成的角的求法． 【导学】 学习目标一　异面直线所成的角 　师问：同学们都知道两条相交直线所成角的大小可以度量，那么两条异面直线所成角的大小该如何定义呢？ 生答： 例1 如图所示，在四面体ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角的大小． 【一题多变】　将本例条件“AB＝CD，AB⊥CD”改为“AB＝CD＝2，EF＝”，此时CD和AB所成的角如何？ 总结：求两异面直线所成角的一般步骤 (1)找角：根据异面直线所成角的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线所成角的相关角，并加以证明． (2)求角：解三角形得出． (3)定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角． 跟踪训练1　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，求异面直线EF与GH所成的角． 学习目标二　直线与直线垂直 　师问：根据异面直线所成角的定义，如何定义直线与直线垂直？ 生答： 例2 如图，在正三棱柱ABC­A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′. 总结：要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角．若能证明这个角是直角，即得到两异面直线垂直． 跟踪训练2　空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.求证：AC⊥BD. 学习目标三　异面直线所成角的应用 例3 如图，已知圆柱O1O2的底面半径和母线长均为1，B，A分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线O1B，O2A所成的角为，求AB的长． 总结：当已知条件中含有异面直线所成角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角，也可能是已知角的补角，应分情况讨论． 跟踪训练3　在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两互相垂直，且AB＝BC＝2，E是AC的中点，异面直线AD与BE所成的角的余弦值为，则四面体的体积为________． 【导练】 1．若空间中的三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　) A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 2．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是(　　) A．BC1 B．A1D C．AC D．BC 3．设a，b，c是直线，则(　　) A．若a⊥b，c⊥b，则a∥c B．若a⊥b，c⊥b，则a⊥c C．若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等 D．若a与b是异面直线，c与b也是异面直线，则a与c是异面直线 4．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________． 【导思】 如图，在四面体A­BCD中，AC＝2，BD＝，AC与BD所成的角为45°，M，N分别为AB，CD的中点，则线段MN的长为________． 8．6　空间直线、平面的垂直 8．6.1　直线与直线垂直 导　学 学习目标一　生答：利用等角定理，平移为两相交直线所成的角． 例1　解析：如图， 取BD的中点G，连接EG，FG， ∵E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD， ∴EG∥CD，GF∥AB， 且EG＝CD，GF＝AB， ∴EG＝GF， ∴∠EFG或其补角是EF与AB所成的角． ∵AB⊥CD，∴EG⊥GF， ∴∠EGF＝90°， ∴△EFG为等腰直角三角形， ∴∠EFG＝45°，即EF和AB所成的角的大小为45°. 一题多变　解析：∵E，F，G分别是所在棱的中点， ∴GE∥CD，GF∥AB. ∴∠EGF或其补角即为AB与CD所成的角． 由已知可得GE＝GF＝1，又EF＝， ∴由余弦定理得∠EGF＝120°， ∴异面直线AB与CD所成的角为60°. 跟踪训练1　解析： 如图，连接A1B，BC1，A1C1， 由题意知EF∥A1B，GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角是∠A1BC1或其补角． 由正方体性质知△A1BC1是等边三角形，∠A1BC1＝60°， 所以异面直线EF与GH所成的角是60°. 学习目标二　生答：若两条异面直线所成的角为90°，则两条异面直线互相垂直． 例2　 证明：取CC′的中点F，连接EF，BF， ∵E为AC的中点，F为CC′的中点， ∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角∠BEF即为异面直线BE与AC′所成角，且EF＝AC′. 在正三棱柱ABC­A′B′C′中，AC′＝2，∴EF＝. 在等边△ABC中，BE＝＝， 在Rt△BCF中，BF＝＝. 在△BEF中BE2＋EF2＝BF2， ∴BE⊥EF，即BE⊥AC′. 跟踪训练2　证明：∵点G，E分别是CD，BC的中点， ∴GE∥BD，同理GF∥AC， ∴∠EGF或∠EGF的补角是异面直线AC与BD所成的角． 在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3， 满足FG2＋GE2＝EF2， ∴∠FGE＝90°， 即异面直线AC与BD所成的角是90°， ∴AC⊥BD. 学习目标三　 例3　解析：如图，过点A作AD垂直于上底面于点D，则AD是母线，连接DB， ∵O1O2垂直于上下底面，∴AD∥O1O2，AD＝O1O2， 则四边形ADO1O2是平行四边形，O1D∥O2A， ∴O2A与O1B所成的角就是∠BO1D或其补角. 当∠BO1D＝时，△BO1D是等边三角形，BD＝1， 在Rt△ABD中，AB＝＝； 当∠BO1D＝时，在△BO1D中，BD＝2×＝， 在Rt△ABD中，AB＝＝2. 综上，AB＝2或. 跟踪训练3　解析：取CD的中点F，连接BF，EF，如图， 因为E是AC的中点，则EF∥AD，于是∠BEF是异面直线AD与BE所成的角或其补角． 令BD＝a，而AB，BC，BD两两互相垂直，则BF＝CD＝，EF＝AD＝. 在等腰△BEF中，BE＝AC＝，cos ∠BEF＝＝＝，解得a＝4， 显然AB⊥平面BCD，所以四面体的体积为V＝×BC×BD×BA＝×2×2×4＝. 答案： 导　练 1．解析：∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.故选B. 答案：B 2．解析：∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD， ∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故选C. 答案：C 3．解析：对于A，B，若a⊥b，c⊥b，则a与c可平行，可垂直，所以A，B不正确；对于C，若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等，所以C正确；对于D，若a与b是异面直线，c与b也是异面直线，则a与c可平行、可异面、可相交，所以D不正确．故选C. 答案：C 4．解析： 依题意，得BC∥B1C1，故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角．连接A1B，在△A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝，故∠A1CB＝60°，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°. 答案：60° 导　思 解析：取BC的中点E，连接EM，EN， ∵M，E分别为AB，BC的中点，∴ME∥AC且ME＝AC＝1， 同理可得EN∥BD且EN＝BD＝， ∴∠MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角，则∠MEN＝45°或135°. 在△MEN中，ME＝1，EN＝， 若∠MEN＝45°，由余弦定理可得 MN＝ ＝ ＝； 若∠MEN＝135°，由余弦定理可得 MN＝ ＝ ＝. 综上所述，MN＝或. 答案：或 学科网（北京）股份有限公司 $