8.6.1直线与直线垂直课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.1 直线与直线垂直 一、创设情境 引入新课 电塔，呈梯形或三角形等塔状建筑物，高度通常为25-40米，为钢架结构.电塔多建设在野外的发电厂、配电站附近，它是电力部门的重要设施，能架空电线并起保护和支撑的作用.电力铁塔的设计、制造、安装、维护及质量检测是现代电力系统运行与发展的重要保障.电塔上的电线蕴含各种各样的位置关系，今天我们就来研究空间两条直线间的位置关系. 二、探究新知 理解概念 探究1 直线与直线垂直 提示：异面直线间的相对位置不同. 问题1 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线AB平行的直线有哪些？直线AB与直线AA1是何位置关系？ 提示：与直线AB平行的直线有DC,D1C1,A1B1; 直线AB与直线AA1是垂直关系. 问题2 图中直线AB与直线A1C1是异面直线,直线AB与直线CC1也是异面直线，如何刻画这两组异面直线的差异呢？ 问题3 回忆平面内两直线所成角（夹角）是如何定义的？指出下图中两直线所成角是多少？ 提示：平面内，两直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角）；图中直线a,b的夹角为60°. 问题4 类比平面内两直线所成的角，你能给出异面直线所成的角的定义？ 提示：已知异面直线a,b，经过空间中任一点O，分别作直线a′∥a,b′∥b，我们把直线a′, b′所成的角叫做异面直线a,b所成的角（或夹角）. 问题5 异面直线垂直是如何定义的？怎么用符号表示？ 提示：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 问题6 把手中两支笔看作两条直线，变换两支笔的相对位置使其成异面直线，并观察两者夹角的变换情况，据此你能得出异面直线夹角的取值范围？ 提示：通过实验可得异面直线的夹角的取值范围是(0,] 问题7 规定两直线平行时，它们所成的角为0°，那么空间中任意两条直线所成的角范围如何？ 提示：空间中直线的夹角的取值范围是[0,] 问题8 如何求解空间两直线的夹角呢？并尝试解决下列问题. 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）哪些棱所在直线与直线AA1垂直？ （2）求直线BA1与CC1所成的角的大小. （3）求直线BA1与AC所成的角的大小. 提示：　作平行线，把异面直线平移到同一个平面，指出两直线所成的角，求出两直线所成的角. 问题9　结合问题8的解决，你能总结求解两直线夹角的步骤吗？ 作 A 移 B 指 C 求 D 【例2 】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1 为底面A1B1C1D1的中心,求证:AO1⊥BD. 证明： D B C A D1 C1 B1 A1 O1 连接B1D1. ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体， ∴BB1 DD1. ∴四边形BB1D1D是平行四边形. ∴B1D1//BD. ∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角. 连接AB1、AD1， 又O1为底面A1B1C1D1的中心, ∴O1为B1D1的中点， ∴AO1⊥BD. ∴AO1⊥B1D1. 易证AB1=AD1. 三、举例应用 掌握概念 例2 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,E为A1D1的中点.求异面直线AE与CC1的夹角的大小. 四、学生练习 加深理解 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA=CB,P为A1B的中点，Q为棱CC1的中点. 求证：（1）PQ⊥AB; （2）PQ⊥A1B. 五、归纳小结 提高认识 必做作业：教材148页第1,2,3题 选做作业：教材148页第4题 六、布置作业 检测目标 提示：（1）棱AB，BC, CD, DA,所在直线分别与直线垂直 （2）因为是正方体，所以，因此 为直线与所成的角.又因为，所以直线与所成的角等于45°. （3）如图,连接.因为是正方体，所以且.从而四边形是平行四边形，所以.于是为异面直线与所成的角.连接，易知△是等边三角形，所以.从而异面直线与所成的角等于60°. 解：∵是长方体， ∴. ∴是异面直线与的夹角. 在直角三角形中， ∴，即异面直线与的夹角为. 证明：（1）取AB的中点M，连接PM,CM. ∵P,M分别是和AB的中点， ∴且. 又,为棱的中点 ∴且,即四边形是平行四边形. ∴ ∵，M为的中点 ∴, ∴. (2)连接 ∵，，∴ 又 ∴，∴ 又为的中点，∴. $$