2.4幂函数与二次函数课件-2026届高三数学一轮复习

第二章函数 第4课时　幂函数与二次函数 一、幂函数 1. 幂函数的定义 一般地，函数①________叫作幂函数，其中是自变量， 为有理数. 2. 常见的五种幂函数的图象 5 3. 幂函数的性质 （1）幂函数在 上都有定义. （2）当时，幂函数的图象都过点②____________，且在 上单调递增. （3）当时，幂函数的图象都过点③______，且在 上单调递减. （4）当 为奇数时，为④________；当 为偶数时， 为⑤________. 和 奇函数 偶函数 二、二次函数 1. 二次函数解析式的三种形式 一般式： ___________________. 顶点式： ，顶点坐标为⑦_______. 零点式：，，为 的⑧______. 零点 6 函数 图象（抛物 线） 定义域 值域 ⑨_ ____________ 对称轴 2. 二次函数的图象和性质 7 函数 顶点坐标 ⑩_ ____________ 奇偶性 当时是偶函数，当 时是非奇非偶函数 单调性 在 上单调递减； 在 上单调递增 在 上单调递增； 在 上单调递减 续表 8 1．幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论 (1)图象恒过点(1，1)； (2)当x∈(0，1)时，α越大，函数值越小；当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大． 2．幂函数y＝xα的图象在第一象限内的变化规律 (1)直线x＝1的右侧，图象由上至下，指数α由大到小． (2)y轴和直线x＝1之间，图象由上至下，指数α由小到大． 高考常用结论 9 3．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法 不等式恒成立问题常常分离参数转化为函数的最值来处理，具体如下： (1)对任意的x∈[m，n]，a>f (x)恒成立⇒a>f (x)max； 若存在x∈[m，n]，a>f (x)有解⇒a>f (x)min； 若对任意x∈[m，n]，a>f (x)无解⇒a≤f (x)min． (2)对任意的x∈[m，n]，a<f (x)恒成立⇒a<f (x)min； 若存在x∈[m，n]，a<f (x)有解⇒a<f (x)max； 若对任意x∈[m，n]，a<f (x)无解⇒a≥f (x)max． 考点一　幂函数的图象及性质 [典例1]　(1)(2025·青岛模拟)若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1＜m＜0＜n＜1 B．－1＜n＜0＜m C．－1＜m＜0＜n D．－1＜n＜0＜m＜1 √ (2)(2025·贵州毕节模拟)幂函数f (x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________． (3)(人教A版必修第一册P91练习T1改编)已知幂函数f (x)的图象过点(－8，－2)，且f (a＋1)≤－f (a－3)，则实数a的取值范围是__________． 2　 (－∞，1]　 1. 幂函数的形式是,其中只有一个参数 ,因此只需一个条件即可确定 其解析式. 2. 在上,幂函数的指数越大,函数图象越靠近 轴（简记为“指大图低”）；在 上,幂函数的指数越大,函数图象越远离 轴. 3. 在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较, 准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 13 [跟进训练]　1．(1)(2024·黑龙江鸡东县第二中学二模)当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)·x-5m-3单调递减，则(　　) A．m＝2 B．m＝－1 C．m＝－1或m＝2 D．m＝ √ (2)(2024·山西运城高三校考学业考试)如图的曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象．已知n分别取±2，±四个值，与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为(　　) A．2，，－2 　 B．2， C．－ 　 D．－2，－，2 √ (3)设a＝，b＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b 　 B．a>b>c C．c>a>b 　 D．b>c>a √ 考点二　二次函数的单调性与最值 [典例2]　(1)在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋bx，y＝ax－b(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　) A　 　　　B　　　　 C　　　 　D √ 识别二次函数图象应学会“三看” 18 (2)函数f (x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________． (3)(2024·北京五十五中校考期中)已知函数f (x)＝x2＋ax－3． ①当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f (x)的最大值和最小值； ②若函数f (x)在[1，3]上的最小值为1，求实数a的值． [－3，0]　 二次函数的单调性与最值问题的解题策略 1. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区 间动.不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时， 要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 2. 二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论并求解. 20 [跟进训练]　2．(1)(2025·贵州遵义四中模拟)设abc＞0，二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) √ A　　　　　　B C　　　　　　D (2)(2024·贵州遵义模拟)已知二次函数f (x)满足f (2＋x)＝f (2－x)，且 f (x)在[0，2]上单调递增，若f (a)≥f (0)，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．[0，4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞) (3)(2024·贵州贵阳一中月考)已知函数f (x)＝x2－tx－1，求当x∈[－1，2]时，f (x)的最大值G(t)． √ 考点三　二次函数中的恒(能)成立问题 [典例3]　(1)已知关于x的不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． (2)(2024·江苏盐城阶段测试)设函数f (x)＝mx2－mx－1． ①若对于x∈[－1，1]，f (x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围； ②若对于m∈[－2，2]，f (x)<－m＋5恒成立，求x的取值范围． 不等式恒成立求参数范围的问题，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是直接 借助函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题. 24 [跟进训练]　3．(1)(2025·贵州黔东南模拟)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<－2或a≥2} 　 B．{a|－2<a<2} C．{a|－2<a≤2} 　 D．{a|a<2} (2)(2025·贵州铜仁模拟)设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则(　　) A．a≤2 　 B．a≥2 C．a≤ 　 D．a≥ √ √ $