2.1.1直线的倾斜角与斜率 微专题难点训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1.1直线的倾斜角与斜率 难点训练微专题(解析版） 突破通法： 斜率的两种求法 （1）定义法：若已知直线的倾斜角 或 的三角函数值,则一般根据 求斜率. （2）公式法：若已知直线上的,两点,则一般根据公式求斜率. 注意：在分析直线的倾斜角和斜率的关系时,要注意正切函数 的单调性,当 的值由 增大到时,由0增大到 ,当 的值由增大到时,由 增大到0（取不到0）. 微专题训练 一、单选题 1．下列说法中，正确说法的个数是（    ） ①任何一条直线都有唯一的斜率； ②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； ③任何一条直线都有唯一的倾斜角． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由直线斜率和倾斜角的关系判断，选出答案. 【详解】当倾斜角时，直线的斜率不存在，所以①错误； 倾斜角时，，故“直线的倾斜角越大，它的斜率就越大”错误，②错误； 任何一条直线都有唯一的倾斜角，③正确． 故选：B． 2．如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角大小即可判断三条直线斜率大小关系. 【详解】解：设直线，，的倾斜角分别为，，， 则由图知， 所以，， 即，． 故选：A. 3．已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，已知可求出直线斜率取值范围，再根据直线的方程求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 即直线的斜率. 又由直线方程可得，所以， 解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 4．已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解. 【详解】设的倾斜角为，则，且， 如图，由正切函数的性质知. 故选：C. 5．已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，为倾斜角，分别求出倾斜角在和时斜率的值，再根据正切函数在给定区间的单调性确定斜率的取值范围. 【详解】当时，. 当时，. 因为在上单调递增，在上也单调递增. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是. 故选：C. 6．设，为实数，已知直线的斜率，且，，是这条直线上的三个点，则（    ） A．4 B．3 C． D．1 【答案】D 【分析】 由已知，，是斜率直线上的三个点，进而结合斜率公式，由，得到关于，的方程，解方程即可得答案. 【详解】 因为，，是斜率直线上的三个点， 则， 所以，解得，．则1． 故选：D. 7．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 8．已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出点与线段端点所成直线的斜率，即可得直线的斜率范围，再由倾斜角与斜率关系求倾斜角范围即可求解. 【详解】如图： 因为，，所以. 设直线的倾斜角为，则，且. 所以. 故选：C 二、多选题 9．经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围为 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．斜率的取值范围为 D．斜率的取值范围为 【答案】BC 【分析】通过数形结合，找到直线斜率的取值范围，再得到倾斜角的取值范围即可. 【详解】由题意可以作图如下： ，， ∴由图可知斜率， 设直线倾斜角为且 ∴ 故选：BC 10．已知，，若直线恒过点且与线段相交，则直线的斜率取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设，求出，由数形结合求解即可. 【详解】设, 则， 如图， 由图可知，当时，直线与线段相交， 故选：AC 11．已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为，则点的坐标不能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设轴上点或轴上点，根据斜率公式，列出方程，即可求解. 【详解】设轴上点或轴上点， 因为直线的倾斜角为，可得，得， 解得，故点的坐标为或. 故选：BD. 三、填空题 12．设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】由题设，应用斜率的两点式列方程求m值，注意验证结果. 【详解】由，得，即. 所以，得，即. 或，经验证均符合题意，故的值是或. 故答案为：或. 13．已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是 . 【答案】3 【分析】利用三点共线与斜率的关系，斜率的计算公式. 【详解】三点A，B，C在同一直线上， ，，解得. 故答案为：3. 14．已知，，，不能构成三角形，则 ． 【答案】/ 【分析】根据已知分析出三点共线且斜率存在，应用斜率两点式列方程得，整理变形即可得. 【详解】三点不能构成三角形的情况，即三点共线， 因为斜率存在，所以，即，即, 因为，所以，即. 故答案为： 四、解答题 15．已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用斜率公式可得出直线、、的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可得出这三条直线的倾斜角； （2）数形结合可得出直线斜率的取值范围，再利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】（1）由斜率公式，得，，， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图，当直线绕点由逆时针转到时， 直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到， 所以的取值范围为， 即直线的倾斜角的取值范围为.    16．已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【详解】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.1直线的倾斜角与斜率 难点训练微专题(学生版） 突破通法： 斜率的两种求法 （1）定义法：若已知直线的倾斜角 或 的三角函数值,则一般根据 求斜率. （2）公式法：若已知直线上的,两点,则一般根据公式求斜率. 注意：在分析直线的倾斜角和斜率的关系时,要注意正切函数 的单调性,当 的值由 增大到时,由0增大到 ,当 的值由增大到时,由 增大到0（取不到0）. 微专题训练 一、单选题 1．下列说法中，正确说法的个数是（    ） ①任何一条直线都有唯一的斜率； ②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； ③任何一条直线都有唯一的倾斜角． A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．设，为实数，已知直线的斜率，且，，是这条直线上的三个点，则（    ） A．4 B．3 C． D．1 7．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围为 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．斜率的取值范围为 D．斜率的取值范围为 10．已知，，若直线恒过点且与线段相交，则直线的斜率取值可能是（    ） A． B． C． D． 11．已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为，则点的坐标不能为（　　） A． B． C． D． 三、填空题 12．设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为 . 13．已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是 . 14．已知，，，不能构成三角形，则 ． 四、解答题 15．已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 16．已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $