第3章 实数题型过关专练（基础+中等类型）-2025-2026学年浙教版七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】

第3章 实数思维导图 【类型覆盖】 类型一、实数、平方根、立方根的定义 【解惑】下列说法正确的是（   ） A． B．2的算术平方根是4 C．1的平方根是 D．0没有平方根 【融会贯通】 1．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它可以表示成分数形式 2．0的立方根是 ，立方根等于它本身的数是 ． 3．的相反数是 ，的倒数是 ， ． 类型二、求一个数的(算术)平方根、立方根 【解惑】4的算术平方根是（    ） A． B．2 C．±2 D．± 【融会贯通】 1．4的平方根是（    ） A． B．2 C． D． 2．27的立方根是 ． 3． 的立方根为 ，的平方根为 ，的倒数为 ． 类型三、算术平方根与绝对值的非负性 【解惑】若，则的值是（　　） A．0 B．1 C． D．2 【融会贯通】 1．若m、n满足，则的平方根为（ ） A．4 B．8 C． D． 2．已知，则的平方根是 ． 3．已知，为实数，其中，则的平方根是 ． 类型四、实数的大小比较与分类 【解惑】下列实数中，比小的数是（   ） A． B． C．0 D． 【融会贯通】 1．在实数0，，，， (相邻两个1之间依次多一个 0) 中， 无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．比较大小： 2．（填“”或“”） 3．下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 类型五、估算算术平方根 【解惑】估计的大小应在（    ） A．7.0至7.5之间 B．7.5至8.0之间 C．8.0至8.5之间 D．8.5至9.0之间 【融会贯通】 1．估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 2．若a和b为两个连续整数，且，那么 ， ． 3．请写出一个满足不等式的整数解 ． 类型六、实数中的程序问题 【解惑】小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 【融会贯通】 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是81，则输出的的值是（    ） A． B． C．2 D．4 2．如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入的值是64时，输出的值是 3．有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于 ． 类型七、实数的实际应用 【解惑】哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【融会贯通】 1．虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 2．某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 3．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 类型八、实数的混合运算 【解惑】计算： 【融会贯通】 1．计算： (1) (2) 2．计算： (1)； (2)； (3)． 3．计算： (1)； (2)； 类型九、利用平方根、立方根解方程 【解惑】求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．利用开方法解下列方程： (1)； (2)． 2．求下列方程中x的值： (1)； (2) 3．解方程 (1) (2) 类型十、(算术)平方根与立方根的实际应用 【解惑】已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【融会贯通】 1．已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 2．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)是小于的最大整数，求的平方根． 3．已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 实数思维导图 【类型覆盖】 类型一、实数、平方根、立方根的定义 【解惑】下列说法正确的是（   ） A． B．2的算术平方根是4 C．1的平方根是 D．0没有平方根 【答案】C 【分析】本题主要考查的是算术平方根和平方根，依据平方根和算术平方根的性质求解即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：A. ，原说法错误； B. 2的算术平方根是，原说法错误； C. 1的平方根是，说法正确； D. 0的平方根是0，原说法错误； 故选：C． 【融会贯通】 1．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它可以表示成分数形式 【答案】C 【分析】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“”的意义是解题的关键．根据实数的分类和的特点进行解答即可得出答案． 【详解】解：圆周率是一个实数，是无理数，不能表示成分数形式，在数轴上有表示它的点， ∴关于圆周率说法正确的是C选项， 故选：C． 2．0的立方根是 ，立方根等于它本身的数是 ． 【答案】 0 ，0 【分析】本题考查了立方根的知识，掌握立方根的概念是解题关键． 本题根据立方根的概念，进行作答，即可求解． 【详解】解：0的立方根是0，立方根等于它本身的数是0，； 故答案为：0；，0 3．的相反数是 ，的倒数是 ， ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了实数的概念，相反数，倒数的定义，化简绝对值，根据相反数，倒数的定义，化简绝对值进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：的相反数是，的倒数是，， 故答案为：，，． 类型二、求一个数的(算术)平方根、立方根 【解惑】4的算术平方根是（    ） A． B．2 C．±2 D．± 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的算术平方根．解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义，“一般地，一个非负数x的平方等于a，则x叫做a的算术平方根”． 【详解】解：因为，所以4的算术平方根是2． 故选：B． 【融会贯通】 1．4的平方根是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了平方根的定义，根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：4的平方根是， 故选：A． 2．27的立方根是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根；正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0． 根据立方根的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴27的立方根是3， 故答案为：3． 3． 的立方根为 ，的平方根为 ，的倒数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、平方根和倒数，掌握以上知识点是解题关键． 根据立方根、平方根和倒数的定义解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， ∵， ∴的平方根是， ∵， ∴的倒数为， 故答案为：，，． 类型三、算术平方根与绝对值的非负性 【解惑】若，则的值是（　　） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．根据算术平方根和完全平方的非负性得到，，求出的值，再根据算术平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴ 故选：B． 【融会贯通】 1．若m、n满足，则的平方根为（ ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，解题关键是掌握算术平方根的非负性，绝对值的非负性． 先根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，求出m，n的值，再代入代数式进行计算． 【详解】解：、n满足， ，， ，， ， ， 故选：D． 2．已知，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入所求代数式计算即可． 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．还考查了平方根的定义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， 即， 解得， ∴， ∵4的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 3．已知，为实数，其中，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性及求一个数的平方根．掌握相关结论即可． 根据算术平方根和乘方的非负性求出，，再计算的平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 则的平方根是． 故答案为：． 类型四、实数的大小比较与分类 【解惑】下列实数中，比小的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查实数大小的比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．根据实数的大小做出判断即可． 【详解】解：∵， ∴比小的数是， 故选：A． 【融会贯通】 1．在实数0，，，， (相邻两个1之间依次多一个 0) 中， 无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数，算术平方根，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解． 【详解】解：，， 在实数0，，，， (相邻两个1之间依次多一个 0) 中， 无理数有，(相邻两个1之间依次多一个 0) ，共2个， 故选：B ． 2．比较大小： 2．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较，对于含有算术平方根的两个实数大小的比较，先比较两个被开方数的大小，则被开方数大的其算术平方根也大；或者先比较这两个数的平方，则平方大的这个数也大．根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 故答案为：． 3．下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了无理数，整数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握以上定义． 利用无理数，整数，非负数的定义，确定个数，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：无理数为：，得； 整数为：6，0，得； 非负数为：，，，，0，，得； ∴， 故答案为：9． 类型五、估算算术平方根 【解惑】估计的大小应在（    ） A．7.0至7.5之间 B．7.5至8.0之间 C．8.0至8.5之间 D．8.5至9.0之间 【答案】A 【分析】此题主要考查了无理数的大小估算，现实生活中经常需要估算，估算能力应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 先找到所求的无理数在哪两个和它接近的有理数之间，然后判断出所求的无理数的范围． 【详解】解：∵， ∴， 即的大小应在7.0至7.5之间． 故选：A． 【融会贯通】 1．估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．根据，即可估计的值． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， 即估计的值在2到3之间， 故选：B． 2．若a和b为两个连续整数，且，那么 ， ． 【答案】 3 4 【分析】根据，可得：的值，进而即可求解． 【详解】， 又为两个连续整数，， 故答案为：3；4． 【点睛】本题主要考查算术平方根的估算，掌握算术平方根的意义，是解题的关键． 3．请写出一个满足不等式的整数解 ． 【答案】6（答案不唯一） 【分析】先估算出的值约为1.4，再解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 所以6是该不等式的其中一个整数解（答案不唯一，所有不小于6的整数都是该不等式的整数解）； 故答案为：6（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的整数解、二次根式的值的估算等内容，要求学生在理解相关概念的前提下能灵活运用解决问题，本题答案不唯一，有一定的开放性． 类型六、实数中的程序问题 【解惑】小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义按照流程图顺序计算即可． 【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选：D． 【融会贯通】 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是81，则输出的的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图与实数运算，算术平方根的计算，无理数的判断，读懂程序计算的过程是解题的关键． 读懂程序计算过程，把代入程序中计算，判断结果是否是有理数，最后得到结果． 【详解】解：由所示的程序得：81的算术平方根是9，是有理数． 故取9的算术平方根为3，是有理数， 故取3的算术平方根为，不是有理数， 即输出的y的值为． 故选：B 2．如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入的值是64时，输出的值是 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是熟练掌握实数的运算法则．把64代入程序进行计算即可求解． 【详解】解∶ 由题意得当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数，立方根，理解程序原理：把按程序原理求立方根，立方根是有理数时，继续取立方根，直到取出的立方根是无理数时，则是n的值． 【详解】解：当输入时，取立方根为：， 5是有理数，返回，取立方根为：， 是无理数，输出n， ∴n为， 故答案为：． 类型七、实数的实际应用 【解惑】哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)能；理由见解析 【分析】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 【融会贯通】 1．虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【答案】圆形广场围墙米，正方形广场围墙米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解 【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答． 【详解】当为圆形时，设圆的半径为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； 当广场为正方形时，设正方形边长为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； ∵， ∴建造成圆形时，广场的围墙会更短， 则建造成本更低， ∴作为投资商，会选择建圆形花园． 【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 2．某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 【答案】(1)该长方形的长为35米，宽为20米 (2)能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用 【分析】（1）设该长方形的长为米，则宽为米，再根据面积为700平方米建立方程，利用平方根解方程即可得； （2）设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米，根据面积之和为600平方米建立方程，解方程可得，再根据无理数的估算进行分析判断即可得． 【详解】（1）解：设该长方形的长为米，则宽为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则， 答：该长方形的长为35米，宽为20米． （2）解：设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则较大的小正方形的边长为米，较小的小正方形的边长为米， ， ，， 能改造出这样的两块不相连的正方形试验田， 改造出这样的两块不相连的正方形试验田所需铁栅栏围墙长为（米）， 原来长方形空地的铁栅栏围墙长为米， ， ， 原来的铁栅栏围墙不够用， 答：能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用、利用平方根解方程、无理数的估算、实数运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 3．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键． 类型八、实数的混合运算 【解惑】计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方，求算术平方根，绝对值． 按照运算法则计算即可． 【详解】解： 【融会贯通】 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算： （1）先化简绝对值、开方、乘方，再算加减即可； （2）先化简绝对值、开方，再算加减即可； 【详解】（1） （2） 2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是实数的混合运算. （1）先计算算术平方根，立方根，绝对值，乘方运算，再合并即可. （2）先计算乘方运算，绝对值，算术平方根，立方根，再合并即可. （3）先计算算术平方根，立方根，绝对值，再合并即可. 【详解】（1）解： . （2）解： . （3）解： . 3．计算： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先根据算术平方根和立方根化简各数，再计算即可； （2）先根据算术平方根和立方根化简各数，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 类型九、利用平方根、立方根解方程 【解惑】求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根的定义解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）直接利用平方根的定义求解即可； （2）移项，利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 当时， 当时， 或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．利用开方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了运用平方根、立方根解方程，掌握平方根、立方根的意义成为解题的关键． （1）先求得，再运用平方根解方程即可； （2）先求得，再运用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以或． （2）解：， ， ， ． 故答案为：． 2．求下列方程中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了利用立方根的定义求未知数的值． （1）利用立方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ； （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 3．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了运用平方根解方程，立方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再运用平方根进行解方程，即可作答． （2）方程两边同时乘，再运用立方根进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∴或； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 类型十、(算术)平方根与立方根的实际应用 【解惑】已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 【融会贯通】 1．已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 2．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)是小于的最大整数，求的平方根． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根和无理数的估算，解题关键是明确平方根和立方根的求法，准确进行计算； （1）根据题意得出和解方程即可； （2）确定c的值，再代入求出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是4， 所以，，， 解得，，． （2）解：∵，即，是小于的最大整数， ∴， ， 的平方根是． 3．已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算： （1）根据立方根和算术平方根的定义，进行求解即可； （2）夹逼法求出的值，进而求出的值，再利用平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 6 学科网（北京）股份有限公司 $