第3章 不等式（高效培优单元测试·强化卷）数学苏教版2019高一必修第一册

第3章 不等式（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知，，则a，b的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法比较 2.若，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 3.函数的最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 4.一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5.已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 6.已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7.已知实数，，满足（），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8.已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.设，若，则下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 10.下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知实数，满足，，则的取值范围是________. 13.若关于不等式在内有解，则实数的取值范围是______． 14.已知正数满足，且不等式对任意的x，y恒成立．则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.求下列不等式的解集： （1） （2）． 16.（1）已知，求的最大值. （2）已知，，且，求的最小值. 17.已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 18.近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）. (1)解释的实际意义，并写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值； (3)要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围. 19.已知关于x的函数，其中为实数． （1）解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集不为，求的取值范围； （3）对恒成立，求的取值范围． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 不等式（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知，，则a，b的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】运用作差法计算比较即得. 【解析】因 所以 故选：B. 2.若，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】由，得出，然后解一元二次不等式即可得出结果. 【解析】∵，∴， 故原不等式的解集为， 故选：D． 3.函数的最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用基本不等式求出最值即得. 【解析】，，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最大值为， 故选：B. 4.一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】先由方程根的情况可得，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【解析】因为一元二次方程，（）有一个正根和一个负根， 所以，解得， 所以一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件可以是. 故选：C. 5.已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【解析】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 6.已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】更换主元，根据一次函数性质列不等式组求解可得. 【解析】令， 当时，，不满足题意； 当时，由一次函数性质可知，， 解得或. 故选：C. 7.已知实数，，满足（），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变形后得使用基本不等式求解即可 【解析】根据已知，可得， 则， 因为，所以，所以上式， 当且仅当，即时等号成立， 所以的取值范围是. 故选：D 8.已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 0 【答案】A 【分析】令，分析可得原题意等价于对一切恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算. 【解析】由 可得：，则， ， 又，且， 可得， 令，则原题意等价于对一切恒成立， 的开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 所以故实数的最小值是4. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.设，若，则下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】应用不等式的性质及作差法判断A，B，C，再应用特殊值法判断D. 【解析】因为，则，则，A选项正确； 因为，则，则，B选项正确； 因为，则，则，C选项正确； 取，所以，D选项错误； 故选：ABC 10.下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【分析】凑“积”为定值后利用基本不等式判断A；分和两种情况结合基本不等式可判断B；作差后转化为完全平方式可判断C；根据得到，再根据基本不等式判断D. 【解析】对于A，因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，当时，， 当且仅当，即时等号成立； 当时，，则， 当且仅当，即时等号成立，故B错误； 对于C，因为，所以， 则，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，则， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C D. 的最小值为 【答案】AB 【分析】利用二次不等式解与系数的关系得到关于的表达式，结合基本不等式，逐一分析判断各选项即可得解. 【解析】因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两根，且，故A正确； 所以，解得， 所以，即，则，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 而，故C错误； 因为，所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 与矛盾，所以取不到最小值，故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知实数，满足，，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】设，求出和，再根据不等式的性质求解即可. 【解析】设， 则，解得，所以， 因为，所以， 又，所以，即， 所以的取值范围是. 故答案为: 13.若关于不等式在内有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】把不等式化为，求出在区间[1，4]内的最大值，即可得出的取值范围． 【解析】不等式在内有解等价于时，. 当时，，所以. 故答案为: 14.已知正数满足，且不等式对任意的x，y恒成立．则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用基本不等式求得的最小值，从而求得的取值范围. 【解析】依题意，正数满足，即， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.求下列不等式的解集： （1） （2）． 【答案】（1）或 （2） 【分析】（1）把分式不等式转化为整式不等式求解. （2）分情况讨论，去掉绝对值符号，解不等式. 【解析】（1）由， 得或， 解得或， 所以不等式的解集为或. （2） 当时，原不等式可化为：； 当时，原不等式可化为：，无解. 综上可知：原不等式的解集为：. 16.（1）已知，求的最大值. （2）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式即可求得答案； （2）利用基本不等式结合解一元二次不等式，即可求得答案. 【解析】（1）由于，则， 故， 当且仅当，即时取等号， 即的最大值为； （2）因为，，故， 即，解得或（舍）， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 17.已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）因为集合， 由命题“”是假命题，可得命题“”是真命题， 即在上恒成立， 因为函数，当时，取得最大值，最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. （2）因为恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，不等式等价于恒成立，符合题意； 当时，等价于恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 18.近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）. (1)解释的实际意义，并写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值； (3)要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围. 【答案】(1)实际意义是未安装太阳能设备时，该企业每年消耗的电费，；(2)当时，的最小值为；(3) 【分析】（1）代入即可求出，从而得到其函数关系，再根据题意得到实际意义； （2）变形得，再利用基本不等式即可； （3）由题意得到不等式，解出即可. 【解析】（1）表示太阳能电池板的面积为0时，该企业每年消耗的电费． 即未安装太阳能设备时，该企业每年消耗的电费． 当时，该企业每年消耗的电费36万元，代入可得： ，则， . （2）， ， 当且仅当，即等号成立，的最小值为. （3）由题可知． 即，解得， 即的取值范围为 19.已知关于x的函数，其中为实数． （1）解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集不为，求的取值范围； （3）对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【分析】（1）化简不等式，对进行分类讨论，从而求得不等式的解集. （2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式的解集不是空集列不等式，由此求得的取值范围. （3）化简恒成立的不等式，利用换元法，结合基本不等式来求得的取值范围. 【解析】（1）由， 得， 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为或. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为或. （2）若关于的不等式的解集不为， 即关于的不等式的解集不为， 当时，不等式即，解集为，不为，符合题意. 当时，不等式的解集不为，符合题意. 当时，要使不等式的解集不为， 则需， 解得. 综上所述，的取值范围是. （3）若对恒成立， 则对恒成立， 由于， 所以则对恒成立， 设，则，， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以. 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $