专题03 圆锥曲线（期中真题汇编，山东专用）高二数学上学期

专题03 圆锥曲线 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 地 城 考点01 椭圆 一、单选题 1．（山东省多校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题）已知为坐标原点，是椭圆的右焦点，过点且与长轴垂直的直线交于A，B两点.若为直角三角形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东临沂·期中）椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东临沂·期中）设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东日照·期中）直线过椭圆的一个焦点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆：（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，直线，的斜率分别为，，且是面积为的直角三角形.则的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东菏泽·期中）下列关于圆锥曲线的描述中，正确的是（   ） A．椭圆的离心率大于1 B．抛物线的准线一定与轴垂直 C．双曲线的离心率小于1 D．椭圆的焦点总在其内部 7．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆C：，“”是“点为C的一个焦点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高二上·山东菏泽·期中）“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 9．（24-25高二上·山东菏泽·期中）椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，E上两动点M，N均位于x轴上方，且，若与的交点在y轴上，且纵坐标为，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·山东济宁·期中）设分别为椭圆的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆C：的一个焦点为，且C过点，则（    ） A．10 B．49 C．50 D．1201 13．（24-25高二上·山东德州·期中）已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（24-25高二上·山东临沂·期中）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则（    ）    A．椭圆的中心在直线上 B． C．直线与椭圆所在平面所成的角为 D．椭圆的离心率为 15．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知，是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线与交于，两点，且，则（   ） A．椭圆的焦点在轴上 B．的周长为6 C．的周长为6 D．椭圆的方程为 三、填空题 16．（24-25高二上·山东淄博·期中）加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 17．（24-25高二上·山东菏泽·期中）如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，．“果圆”与轴的交点分别为、，若在“果圆”轴右侧半椭圆方程为，则两个半椭圆离心率的乘积为 ． 18．（24-25高二上·山东济南·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为 19．（24-25高二上·山东泰安·期中）“若点P为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则的最小值为 . 四、解答题 20．（24-25高二上·山东临沂·期中）在圆上任取一点，过作轴的垂线段，垂足为，点在线段的延长线上，且，当在圆上运动时，点形成的轨迹为.（当经过圆与轴的交点时，规定点与点重合.） (1)求的方程； (2)设的上顶点为，过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，证明：线段的中点为定点. 21．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知椭圆的上顶点为，离心率为，左焦点为. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且的面积为，求直线l的方程. 22．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆的离心率为，其上顶点与两焦点连线围成的三角形面积为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，试用含的代数式表示； (3)在（2）的条件下，为椭圆左顶点，过点作垂直于轴的直线与直线相交于点，证明：线段的中点在定直线上． 23．（24-25高二上·山东日照·期中）在平面直角坐标系中，、、、，若动点、满足，，直线与直线相交于点. (1)求点的轨迹方程； (2)已知过点的直线（与轴不重合）和点轨迹交于、两点，过点作直线的垂线，垂足为点.设直线与轴交于点，求面积的最大值. 24．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆C：，直线l过原点，且与C相交于A，B两点，并与点构成三角形. (1)求的周长的取值范围： (2)求的面积S的最大值. 25．（24-25高二上·山东菏泽·期中）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C：. (1)求C的面积； (2)若直线l：交C于A，B两点，求. 26．（24-25高二上·山东泰安·期中）定义：若椭圆上的两个点，满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，记作，已知四点，，，中恰有三点在椭圆E上. (1)求椭圆E的标准方程； (2)证明：有两个点G满足“共轭点对”，并求点G的坐标； (3)设（2）中的两个点G分别为，，设O为坐标原点，点P，Q在椭圆E上，满足且点P，Q在直线两侧，求四边形的面积的最大值. 27．（24-25高二上·山东德州·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，左、右焦点分别为，，椭圆上一点到焦点的最小距离为，直线与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方，点B在x轴下方），当过时，的周长为.    (1)求椭圆的标准方程； (2)将平面沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）垂直. ①当B为椭圆的下顶点时，求折叠后直线与平面所成角的正弦值； ②求三棱锥体积的最大值. 地 城 考点02 双曲线 一、单选题 1．（24-25高二上·山东菏泽·期中）下列关于圆锥曲线的描述中，正确的是（   ） A．椭圆的离心率大于1 B．抛物线的准线一定与轴垂直 C．双曲线的离心率小于1 D．椭圆的焦点总在其内部 2．（24-25高二上·山东菏泽·期中）关于双曲线，下列说法正确的是（   ） A．的渐近线方程为 B．的离心率为 C．的焦点坐标为 D．的实轴长是虚轴长的4倍 3．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知双曲线C：（，）的右焦点为，点在C上，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东日照·期中）双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的两支于，两点，为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 5．（24-25高二上·山东德州·期中）已知双曲线，若点到的渐近线距离为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25高二上·山东菏泽·期中）焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为 ． 7．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知曲线C是椭圆被双曲线（）所截得的部分（含端点），点P是C上一点，，，则的最大值与最小值的比值是 . 三、解答题 8．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知双曲线的离心率为，点为上一点． (1)求的标准方程； (2)若直线与相交于，两点，且的垂直平分线过点，求证：为定值． 9．（24-25高二上·山东德州·期中）已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线右支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 10．（24-25高二上·山东菏泽·期中）若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”. (1)圆的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直线的方程： (2)已知正方形A的方程为，且正方形A为双曲线的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e的取值范围； (3)设函数的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由. 地 城 考点03 抛物线 一、单选题 1．（24-25高二上·山东菏泽·期中）下列关于圆锥曲线的描述中，正确的是（   ） A．椭圆的离心率大于1 B．抛物线的准线一定与轴垂直 C．双曲线的离心率小于1 D．椭圆的焦点总在其内部 二、填空题 2．（24-25高二上·山东百师联盟·期中）如图，赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的抛物线形拱桥．这座桥的拱顶离水面时，水面宽，当水面的宽度为时，水面下降了 ． 3．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知抛物线C：的焦点恰为圆的圆心，点是与圆的一个交点，则点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 . 4．（24-25高二上·山东·期中）已知是抛物线的焦点，是上一点，则的最小值为 ，此时点的坐标为 ． 5．（24-25高二上·山东菏泽·期中）抛物线的准线方程为 ． 三、解答题 6．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且． (1)求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； (2)求所在的直线方程． 7．（24-25高二上·山东·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若，求线段的长． 8．（24-25高二上·山东德州·期中）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程及； (2)斜率为的直线与抛物线的交点为、（在第一象限内），与轴的交点为（、不重合），若，求的周长. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 地 城 考点01 椭圆 一、单选题 1．（山东省多校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题）已知为坐标原点，是椭圆的右焦点，过点且与长轴垂直的直线交于A，B两点.若为直角三角形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得两点坐标，结合已知可得，求解即可. 【详解】由椭圆方程可得，将代入方程可求得，所以. 因为为直角三角形，所以，则，即， 解得． 故选：D. 2．（24-25高二上·山东临沂·期中）椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把方程化为椭圆标准方程即可得到结果. 【详解】由得椭圆标准方程为， ∴， ∴离心率. 故选：B. 3．（24-25高二上·山东临沂·期中）设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标以及椭圆的基本参数，再利用余弦定理求出与的关系，然后通过向量关系求出. 【详解】对于椭圆，可得，. 可求出，所以焦点，. 设，，在中，根据余弦定理. 已知，，则. 又因为点在椭圆上，根据椭圆的定义， 将展开得. 用减去可得： 即则. 代入中，可得. 因为，所以. . 则， 所以. 故选：A. 4．（24-25高二上·山东日照·期中）直线过椭圆的一个焦点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】求出焦点坐标，代入直线方程求解． 【详解】椭圆的半焦距为，焦点为或， 直线过一个焦点 则或，∴或， 故选：C． 5．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆：（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，直线，的斜率分别为，，且是面积为的直角三角形.则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线斜率的关系得到两直线垂直，且知道直角三角形中，得到， 由面积求出的值，由椭圆定义和椭圆的性质求出的值，得到椭圆方程. 【详解】∵，∴， ∵，∴设， 则， ∴， ∴，∴， ∵， ∵， ∴， ∴椭圆方程为：. 故选：C 6．（24-25高二上·山东菏泽·期中）下列关于圆锥曲线的描述中，正确的是（   ） A．椭圆的离心率大于1 B．抛物线的准线一定与轴垂直 C．双曲线的离心率小于1 D．椭圆的焦点总在其内部 【答案】D 【分析】根据圆锥曲线的性质一一判断即可. 【详解】椭圆的离心率的取值范围为，双曲线的离心率的取值范围为，故A、C错误； 抛物线的准线垂直于轴，故B错误； 椭圆的焦点总在其内部，故D正确. 故选：D 7．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆C：，“”是“点为C的一个焦点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用椭圆几何性质，根据焦点坐标与之间的关系式可得结论. 【详解】若可得得一个焦点坐标为，即充分性成立； 若“点为C的一个焦点”，则可得，即，可知必要性成立， 因此，“”是“点为C的一个焦点”的充要条件. 故选：C 8．（24-25高二上·山东菏泽·期中）“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据椭圆的标准方程的要求得到不等式组，求得的范围，再利用充要条件的判定方法即得. 【详解】由方程表示椭圆，可得，解得且， 显然且是的真子集， 故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：A. 9．（24-25高二上·山东菏泽·期中）椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程确定焦点位置，写出，求得值即得. 【详解】由，可知椭圆的焦点在轴上，且， 则，故椭圆焦点的坐标为. 故选：D. 10．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，E上两动点M，N均位于x轴上方，且，若与的交点在y轴上，且纵坐标为，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意知道得到，再根据相似三角形得到，借助离心率公式计算即可. 【详解】 如图，由于，与的交点在y轴上，结合椭圆的对称性， 知道则，代入， 求得，求得，故. 设与的交点在y轴上，为. 显然,,代入. 即，化简得，，即. 故选：B. 11．（24-25高二上·山东济宁·期中）设分别为椭圆的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用椭圆的定义，即可求解. 【详解】如图，的周长为 又椭圆，得到，所以的周长为， 故选：B. 12．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆C：的一个焦点为，且C过点，则（    ） A．10 B．49 C．50 D．1201 【答案】D 【分析】由条件知椭圆的焦点在轴上，半焦距长，短半轴长，根据的关系，可求. 【详解】椭圆C：的一个焦点为，过点， ∴，∴ ，∴. 故选：D. 13．（24-25高二上·山东德州·期中）已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点、，线段的中点为，由已知条件可得出，利用点差法以及点在直线上，可得出关于、的值，解出这两个量的值，即可得出线段的中点坐标. 【详解】设点、，线段的中点为，则， 由题意，椭圆的离心率为，可得， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 则， 将点、的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得，即，即， 即，① 又因为点在直线上，则，② 联立①②可得，故线段的中点为. 故选：C. 二、多选题 14．（24-25高二上·山东临沂·期中）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则（    ）    A．椭圆的中心在直线上 B． C．直线与椭圆所在平面所成的角为 D．椭圆的离心率为 【答案】BD 【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答. 【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图，    点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴， 可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A错误； 椭圆长轴长， 过作于D，连，显然四边形为矩形， 又， 则， 过作交延长线于C，显然四边形为矩形， 椭圆焦距，故B正确； 所以直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C错误； 所以椭圆的离心率，故D正确； 故选：BD. 15．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知，是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线与交于，两点，且，则（   ） A．椭圆的焦点在轴上 B．的周长为6 C．的周长为6 D．椭圆的方程为 【答案】ACD 【分析】依题意知，设代入方程可得．求得，根据和的关系可得值，即可得椭圆的方程以及的周长和的周长． 【详解】椭圆的焦点在y轴上，A正确； 设椭圆C的方程为，． 因为过且垂直于轴的直线与椭圆交于A，B两点， 设，代入方程可得，求得． 由于，所以，，所以 椭圆的方程为，D选项正确； 的周长为，B选项错误； 的周长为，C选项正确． 故选：ACD. 三、填空题 16．（24-25高二上·山东淄博·期中）加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先通过椭圆切点在顶点的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解. 【详解】由椭圆方程可知蒙日圆半径为， 所以蒙日圆方程为， 因为点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上， 所以直线和蒙日圆有公共点. 即圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以， 所以椭圆离心率，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是对“蒙日圆”定义的理解，能够利用椭圆的四条特殊切线确定蒙日圆的半径，将问题转化为直线与圆有交点的问题. 17．（24-25高二上·山东菏泽·期中）如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，．“果圆”与轴的交点分别为、，若在“果圆”轴右侧半椭圆方程为，则两个半椭圆离心率的乘积为 ． 【答案】 【分析】分别求出两个半椭圆的离心率，即可得解. 【详解】因为轴右侧半椭圆方程为，则所对应的离心率为； 轴左侧半椭圆方程为，则所对应的椭圆的离心率为， 所以两个半椭圆离心率的乘积为. 故答案为： 18．（24-25高二上·山东济南·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为 【答案】8 【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式，求出的最大值． 【详解】设，，， 所以， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为8. 故答案为：8. 19．（24-25高二上·山东泰安·期中）“若点P为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用椭圆的光学性质，结合等腰三角形三线合一的推论与中位线定理分析得点的轨迹为圆，再利用点到圆上点的距离的最值求法即可得解. 【详解】因为椭圆，所以，，即， 如图，延长、交于点，由题意可知， 又因为，则为的中点，且， 所以， 又因为为的中点，则， 故点的轨迹为以为原点，为半径的圆，圆的方程为， 易知点到圆心的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用椭圆的性质分析得点的轨迹是圆，从而得解. 四、解答题 20．（24-25高二上·山东临沂·期中）在圆上任取一点，过作轴的垂线段，垂足为，点在线段的延长线上，且，当在圆上运动时，点形成的轨迹为.（当经过圆与轴的交点时，规定点与点重合.） (1)求的方程； (2)设的上顶点为，过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，证明：线段的中点为定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，，点的坐标代入圆可得答案； （2）设，，过点的直线为，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出、，再由直线、直线的方程求出、相加可得答案. 【详解】（1）设，，则， 所以，， 因为点在圆上， 所以， 即的方程为； （2）设过点的直线为，，， 由，得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ， 因为，都在轴上，所以，中点的纵坐标为0， 所以线段的中点为定点. 21．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知椭圆的上顶点为，离心率为，左焦点为. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且的面积为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据关系和离心率即可得到方程组，解出即可； （2）设直线的方程为，联立椭圆得到韦达定理式，再写出面积表达式，代入计算即可. 【详解】（1）由题意可知，解得. 椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，设， 由，得， 恒成立，， ， ， ，， 整理得，解得或(舍去)，， 直线的方程为或.    22．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆的离心率为，其上顶点与两焦点连线围成的三角形面积为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，试用含的代数式表示； (3)在（2）的条件下，为椭圆左顶点，过点作垂直于轴的直线与直线相交于点，证明：线段的中点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据离心率及长轴顶点列方程组得出,即可得出椭圆方程； （2）联立方程组，得出韦达定理再把代入求解； （3）设点直曲联立，利用整体法求出中点坐标与的关系，进而得出结论； 【详解】（1）依题意可得，所以, 所以椭圆C的方程为. （2）依题意过点且斜率为的直线为：,即, 联立方程组, 所以, 因为，，所以, 所以， 则. （3）设直线为,过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M， 所以,又因为， 的中点， 于是, 所以，，即． 则有， 又因为， 所以， 于是， 即， 即，即， 即点在直线上，即线段的中点在定直线上． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是整体思想在圆锥曲线的定直线和定点问题中的应用. 23．（24-25高二上·山东日照·期中）在平面直角坐标系中，、、、，若动点、满足，，直线与直线相交于点. (1)求点的轨迹方程； (2)已知过点的直线（与轴不重合）和点轨迹交于、两点，过点作直线的垂线，垂足为点.设直线与轴交于点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，借助向量共线用表示点、，再求出直线、的方程，联立消去参数即得； （2）设出直线的方程，与点的轨迹方程联立，借助韦达定理求出点坐标，再建立三角形面积的函数关系，并求出最大值即得. 【详解】（1）依题意，、、、， 设点，、， 由，得，即点， 由，得，即点， 当时，直线的方程为，直线的方程为， 联立直线、的方程，消去参数得， 即， 当时，得交点，满足上述方程， 所以直线与直线交点的轨迹方程为. （2）过点的直线可设为， 由消去得，即， 设、，则，， 依题意，，直线的方程为， 令，得点横坐标， 又，， 则， 因此直线过定点，显然， 而， 令， ， 当且仅当时，即当时，即取等号，此时， 所以面积的最大值为.    【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横（纵）坐标为变量，建立函数关系求解作答. 24．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆C：，直线l过原点，且与C相交于A，B两点，并与点构成三角形. (1)求的周长的取值范围： (2)求的面积S的最大值. 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由椭圆定义得到的周长为，设，且，求出，求出周长的取值范围； （2）表达出，结合，得到面积的最大值. 【详解】（1）由题可得，， 则，故， 所以为椭圆的其中一个焦点，则另一个焦点坐标为， 连接，由对称性可知，，    故， 则的周长为， 设，， 因为三点构成三角形，故不共线，所以， 故且， 则， 因为，故， 所以的周长； （2）， 不共线，故， 所以，S的最大值为12. 25．（24-25高二上·山东菏泽·期中）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C：. (1)求C的面积； (2)若直线l：交C于A，B两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆C的方程可知的值，代入椭圆的面积公式即可； （2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式求解. 【详解】（1）由椭圆C的方程可知，， 所以，椭圆C的面积； （2）联立，得， 设，则，， ∴， 所以，. 26．（24-25高二上·山东泰安·期中）定义：若椭圆上的两个点，满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，记作，已知四点，，，中恰有三点在椭圆E上. (1)求椭圆E的标准方程； (2)证明：有两个点G满足“共轭点对”，并求点G的坐标； (3)设（2）中的两个点G分别为，，设O为坐标原点，点P，Q在椭圆E上，满足且点P，Q在直线两侧，求四边形的面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用A，D关于轴对称分析得三点在椭圆上，从而利用待定系数法即可得解； （2）利用“共轭点对”的定义，得到关于点坐标的方程组，解之即可得解； （3）根据题意，利用点差法分析得线段PQ的中点在直线上，从而将四边形的面积转化为两个的面积，再利用椭圆上点到直线的距离的最值即可得解. 【详解】（1）由于A，D两点关于轴对称， 故由题意知椭圆经过A，D两点， 显然椭圆不经过点，所以点在上，且的焦点在轴上， 设的标准方程为， 因此，解得， 椭圆的标准方程为. （2）设“共轭点对”中点的坐标为 根据“共轭点对”定义可知点的坐标满足， 解得或， 于是有两个点满足“共轭点对”，且点的坐标为 （3）不妨设，则， 则所在的直线的方程为，即，， 设点，则， 两式相减得，则， 又，于是， 则，即， 所以线段PQ的中点在直线上，即线段PQ被直线平分， 设点到直线的距离为， 则四边形的面积， 又，则有， 设过点且与直线平行的直线的方程为， 则当与相切时取最大值， 联立，消去得，， 令，得， 则，当为切点时，等号成立，此时（或）与重合， 故，即四边形的面积的最大值为. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 27．（24-25高二上·山东德州·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，左、右焦点分别为，，椭圆上一点到焦点的最小距离为，直线与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方，点B在x轴下方），当过时，的周长为.    (1)求椭圆的标准方程； (2)将平面沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）垂直. ①当B为椭圆的下顶点时，求折叠后直线与平面所成角的正弦值； ②求三棱锥体积的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由题意列出方程组，解得的值，直接写出椭圆方程； （2）①求出平面中坐标，再建立空间直角坐标系得到坐标，利用空间向量求得线面角的正弦值；②在平面内求出坐标的关系，再建立空间直角坐标系得到坐标，从而列出三棱锥的体积的表达式，利用二次函数求得最大值. 【详解】（1）由题意可得，解得，∴， ∴椭圆的标准方程为：. （2）翻折后，如图：    ①当B为椭圆的下顶点时，由题意知，直线， 联立方程组可得，解得或，∴ 令原来轴负半轴所在直线为轴，则，，，， ∴，，， 设为平面的一个法向量，则， 令，所以，即， 设直线与平面的夹角为， 则， ②联立方程组，整理得， ，∴， 设，，则，，， 由可得, ，， ∴， 所以当时，的体积最大，此时. 【点睛】方法点睛：本题由平面解析几何转变成立体几何，需要自己建立新的坐标系，并能通过平面直角坐标系的点坐标得到对应在空间直角坐标系的坐标，然后利用立体几何的知识来解得答案. 地 城 考点02 双曲线 一、单选题 1．（24-25高二上·山东菏泽·期中）下列关于圆锥曲线的描述中，正确的是（   ） A．椭圆的离心率大于1 B．抛物线的准线一定与轴垂直 C．双曲线的离心率小于1 D．椭圆的焦点总在其内部 【答案】D 【分析】根据圆锥曲线的性质一一判断即可. 【详解】椭圆的离心率的取值范围为，双曲线的离心率的取值范围为，故A、C错误； 抛物线的准线垂直于轴，故B错误； 椭圆的焦点总在其内部，故D正确. 故选：D 2．（24-25高二上·山东菏泽·期中）关于双曲线，下列说法正确的是（   ） A．的渐近线方程为 B．的离心率为 C．的焦点坐标为 D．的实轴长是虚轴长的4倍 【答案】AB 【分析】根据双曲线方程求出、、，再根据双曲线的几何意义一一判断即可. 【详解】双曲线，则，，， 所以渐近线为，故A正确； 离心率为，故B正确； 焦点坐标为，故C错误； 实轴长为，虚轴长为，所以的实轴长是虚轴长的倍，故D错误. 故选：AB 3．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知双曲线C：（，）的右焦点为，点在C上，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知列方程组求得，再由离心率公式计算． 【详解】点在C上，右焦点为，， 则，解得， 所以离心率为， 故选：A． 4．（24-25高二上·山东日照·期中）双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的两支于，两点，为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】由题意作图，根据双曲线定义表示各线段的长，利用余弦定理，可得答案. 【详解】由题意可作图如下：    则①，②， 在等边中，， 可得， 则， 由，则， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 由，则，解得. 故选：C. 5．（24-25高二上·山东德州·期中）已知双曲线，若点到的渐近线距离为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式结合已知条件求出的值，即可求出该双曲线的离心率的值. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 因为点到的渐近线距离为，即，解得， 因此，该双曲线的离心率为. 故选：B. 二、填空题 6．（24-25高二上·山东菏泽·期中）焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】结合题意，求出，利用双曲线焦点位置，即可写出其标准方程. 【详解】依题意，，解得 故该双曲线方程为：. 故答案为：. 7．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知曲线C是椭圆被双曲线（）所截得的部分（含端点），点P是C上一点，，，则的最大值与最小值的比值是 . 【答案】2 【分析】由椭圆的定义，可得焦半径的和，整理所求差值为函数，利用分类讨论并结合图象，可得答案. 【详解】由椭圆，则，， 易知为椭圆的左右焦点， 由为椭圆上的点，则，可得， 所以，联立，解得， 当时，取得最小值，则取得最小值 如下图： ； 当时，取得最大值，则取得最大值，如下图： . 所以的最大值与最小值的比值为. 故答案为：. 三、解答题 8．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知双曲线的离心率为，点为上一点． (1)求的标准方程； (2)若直线与相交于，两点，且的垂直平分线过点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意得到关于、、的方程组，解得、，即可得解； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，即可表示出的中点的坐标，再根据两直线垂直斜率之积为计算可得. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）设，， 由，得，显然， ∴， 即，且， 则， ∴的中点， 又的中垂线过点，且， ∴，整理得，即为定值. 9．（24-25高二上·山东德州·期中）已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线右支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组，即可求得答案； （2）设，表示出，结合二次函数性质，讨论即可得答案； （3）讨论直线斜率是否存在，存在时，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系，求出的表达式，化简即可证明结论. 【详解】（1）由题意知双曲线过点，一条渐近线方程为， 则，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）点为双曲线右支上一点，设，， 则 ， 当，即时，最小值为， 当，即时，最小值为； （3）当过点的直线斜率不存在时，方程为， 此时不妨取,则； 当当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 不妨令，    联立，得， 由于直线过双曲线的右焦点，必有， 直线与双曲线的右支交于，两点，需满足或， 则， 则 ， 综合以上可知为定值. 【点睛】难点点睛：本题考查了直线和双曲线位置关系的综合应用，综合性强，计算量大，难点在于证明定值问题，解答时要注意计算的准确性，基本都是字母参数的运算，需要十分细心. 10．（24-25高二上·山东菏泽·期中）若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”. (1)圆的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直线的方程： (2)已知正方形A的方程为，且正方形A为双曲线的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e的取值范围； (3)设函数的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)曲线C存在切立方，理由见解析 【分析】（1）根据“切立方”的定义，结合图象，找到一个“切立方”的四条边所在直线的方程即可； （2）根据“切立方”的定义，联立与双曲线，由于相切，则，根据，即可求出双曲线的离心率的取值范围； （3）设第一个切点为，则切线为，根据函数的图象关于原点对称和正方形对边平行，因此可设第二条切线为，同理求出第三条和第四条切线，然后验证四条切线形成的图形是否为正方形即可. 【详解】（1）根据“切立方”的定义，设直线方程，可得 ，， ， ，； （2）    由正方形A的方程为，则， 由正方形A为双曲线的一个“切立方”， 则，联立整理得， 则， 整理得，即， 由图可知，则， 所以 （3）由曲线，设切点为， 联立， 得， 即， 点在曲线和直线上，整理得， 则过该点的一条切线方程为， 即， 由函数为奇函数，其图象关于原点对称，因此如果曲线C是存在“切立方”， 则正方形也关于原点对称，故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线为：， 设第三个切点为（），同理可得另两条切线为， 若存在正方形，即， 由此可设，， 代入消元可得， 设， 由，，且在上，函数图象连续不间断， 则由零点存在性定理可知在上有解， 因此曲线C存在切立方. 【点睛】关键点点睛：本题的第三问的关键是采用设线法，再结合对称性和零点存在性定义即可证明. 地 城 考点03 抛物线 一、单选题 1．（24-25高二上·山东菏泽·期中）下列关于圆锥曲线的描述中，正确的是（   ） A．椭圆的离心率大于1 B．抛物线的准线一定与轴垂直 C．双曲线的离心率小于1 D．椭圆的焦点总在其内部 【答案】D 【分析】根据圆锥曲线的性质一一判断即可. 【详解】椭圆的离心率的取值范围为，双曲线的离心率的取值范围为，故A、C错误； 抛物线的准线垂直于轴，故B错误； 椭圆的焦点总在其内部，故D正确. 故选：D 二、填空题 2．（24-25高二上·山东百师联盟·期中）如图，赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的抛物线形拱桥．这座桥的拱顶离水面时，水面宽，当水面的宽度为时，水面下降了 ． 【答案】/ 【分析】建系，设抛物线方程为，从而可得在抛物线上，从而可求出抛物线方程，再令，即可求解． 【详解】建系如图，设抛物线方程为， 则根据题意可知图中坐标为， ，， 抛物线方程为， 令，可得， 则水面下降了米 故答案为： 3．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知抛物线C：的焦点恰为圆的圆心，点是与圆的一个交点，则点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】由圆标准方程得到圆心，从而知道焦点坐标和的值，写出抛物线方程后联立方程组，解得点坐标，根据点到直线的距离公式求得结果. 【详解】∵圆的标准方程：， ∴圆心为，半径， ∴，即，即抛物线C：， 联立方程组， 解得或（∵舍去） ∴ ∴或 ∵直线与轴重合，∴点到直线的距离为， 由对称性可知，无论取哪个点，点到直线的距离相等， ∴取，直线， ∴点到直线的距离， 故答案为：①4 ② 4．（24-25高二上·山东百师联盟·期中）已知是抛物线的焦点，是上一点，则的最小值为 ，此时点的坐标为 ． 【答案】 3 【分析】由抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意，抛物线的方程为，所以，焦点． 过点作准线的垂线，垂足为.由题可知. 依题意可知当P，Q，E三点共线且点在中间时，距离之和最小，最小值为3. 如图所示，点的纵坐标为-1，代入抛物线的方程，求得， 所以点的坐标为. 故答案为：3， 5．（24-25高二上·山东菏泽·期中）抛物线的准线方程为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线方程判断焦点位置，求得的值，即得准线方程. 【详解】由可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，即， 故抛物线的准线方程为. 故答案为：. 三、解答题 6．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且． (1)求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； (2)求所在的直线方程． 【答案】(1)抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； (2)或 【分析】（1）根据给定条件求出p值即可求解； （2）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得. 【详解】（1） 因点在抛物线方程上，则，所以， 所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； （2）显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：， 由消去x得：， 设，则有， 因为， 则， 解得，即直线AB：， 所以所在的直线方程：或. 7．（24-25高二上·山东·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若，求线段的长． 【答案】(1)焦点为，准线. (2) 【分析】（1）根据抛物线的方程直接求解； （2）利用抛物线的定义确定点的坐标，从而确定直线的斜率，利用韦达定理分别求得，的值，再利用抛物线的焦点弦长公式求解即可. 【详解】（1）由抛物线方程可得，， 所以焦点为，准线. （2）设， 根据对称性，不妨设在轴上方，则在轴下方， 根据抛物线的定义可知，，所以， 将代入可得或（舍）， 所以， 所以, 所以直线的直线方程为，即， 联立，消去可得，， 根据韦达定理可得，， 所以， 所以. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $