专题05 幂指对函数（期中真题汇编，山东专用）高一数学上学期

专题05 幂指对函数 3大高频考点概览 考点01 幂函数 考点02 指数函数 考点03 对数函数 地 城 考点01 幂函数 一、单选题 1．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知幂函数的图象在上单调递减，则a的取值是（   ） A．1 B． C．1或 D．2 2．（24-25高一上·山东聊城·期中）下列函数在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东青岛·期中）若幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 4．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山东青岛·期中）用表示，中的最大者，用表示，中的最小者，若函数在上有最大值，则（   ） A．是奇函数 B．在上最大值是2 C．的值域是 D．的取值范围是 二、多选题 6．（24-25高一上·山东日照·期中）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数定义域为， 则（    ） A．若，，则在上单调递增 B．函数，若， 则 C．为奇函数，则 D．若，则是偶函数 8．（24-25高一上·山东青岛·期中）下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知，则 . 10．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且，则 . 四、解答题 11．（24-25高一上·山东枣庄·期中）幂函数过点． (1)求函数的解析式； (2)用单调性的定义证明是增函数． 地 城 考点02 指数函数 一、单选题 1．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知函数，记，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东潍坊·期中）某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东百师联盟·期中）下列比较大小中正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高一上·山东潍坊·期中）写出同时满足下面两个条件的一个函数解析式 . ①；②在上单调递减. 5．（24-25高一上·山东百师联盟·期中）已知正数，满足，则的最小值为 . 三、解答题 6．（24-25高一上·山东百师联盟·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的最小值为3，求k的值； (3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围. 地 城 考点03 对数函数 一、单选题 1．（24-25高一上·山东青岛·期中）关于x的函数的定义域是， 则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东青岛·期中）为应对塑料袋带来的白色污染，我国于2008年6月1日起开始实施的“限塑令”明确规定商场､超市和集贸市场不得提供免费塑料购物袋，并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料购物袋.“限塑令”实施后取得了一定的成效，推动了环保塑料袋产业的发展.环保塑料袋以易降解为主要特点.已知某种环保塑料袋的降解率与时间（月）满足函数关系式（其中为大于零的常数）.若经过2个月，这种环保塑料袋降解了，经过4个月，降解了，那么这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过（    ）（结果保留整数）（参考数据：） A．5个月 B．6个月 C．7个月 D．8个月 二、填空题 3．（24-25高一上·山东青岛·期中）计算:   试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指对幂函数 3大高频考点概览 考点01 幂函数 考点02 指数函数 考点03 对数函数 地 城 考点01 幂函数 一、单选题 1．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知幂函数的图象在上单调递减，则a的取值是（   ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】A 【分析】根据函数为幂函数，得到方程，求出或1，由单调性排除，得到答案. 【详解】由题意得，解得或1， 当时，，在上单调递增，不合要求， 当时，，在上单调递减，满足要求. 故选：A 2．（24-25高一上·山东聊城·期中）下列函数在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐一判断各选项中函数的单调性即可. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，当时，，函数在上单调递增，B是； 对于C，函数在上单调递增，则在上单调递减，C不是； 对于D，函数在上单调递减，D不是. 故选：B 3．（24-25高一上·山东青岛·期中）若幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】由幂函数的定义以及幂函数的单调性列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】由幂函数的定义以及其单调性可得，解得. 故选：D 4．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 且函数在、上均为增函数， 所以，，即，解得或，    因此，实数的取值范围是. 故选：D. 5．（24-25高一上·山东青岛·期中）用表示，中的最大者，用表示，中的最小者，若函数在上有最大值，则（   ） A．是奇函数 B．在上最大值是2 C．的值域是 D．的取值范围是 【答案】D 【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，进而得到函数的图象，利用图象分别判断四个选项即可. 【详解】定义域， 在同一坐标系中分别作出函数的图象，取与的图象中较高的曲线段，再与的图象对比取较低的曲线段，得到函数的图象，如图所示， 因为图象不关于坐标原点对称，所以不是奇函数，故A错误； 因为在上有最大值，所以，故D正确，且在上最大值是1，故B错误；由图象知的值域是，故C错误； 故选：D. 【点睛】方法点睛：在研究函数和函数的性质时，通常先画出函数图象，利用数形结合分析函数性质. 二、多选题 6．（24-25高一上·山东日照·期中）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据常见函数的奇偶性，和单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，为非奇非偶函数，故A不符合， 对于B，为奇函数，且在区间上单调递增，B符合， 对于C，奇函数，且在区间上单调递增，C符合， 对于D，为偶函数，故D不符合， 故选：BC 7．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数定义域为， 则（    ） A．若，，则在上单调递增 B．函数，若， 则 C．为奇函数，则 D．若，则是偶函数 【答案】BCD 【分析】举出反例，即可判断A，由幂函数的单调性求解不等式即可判断B，由奇函数的定义代入计算，即可判断C，令，代入计算，结合偶函数的定义即可判断D. 【详解】对于选项A，设，满足, 但是在上不是单调递增，故A错误； 对于选项B，因为是上的减函数，且， 由可得，即，解得，故B正确； 对于选项C，因为为奇函数， 所以满足， 可得，即，故C正确； 对于选项D，令可得，则， 令，则， 即，所以，则是偶函数，故D正确； 故选：BCD 8．（24-25高一上·山东青岛·期中）下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据偶函数定义和单调性概念判断即可. 【详解】因为函数的定义域是，所以函数无奇偶性； 函数的定义域是，又， 所以函数为奇函数； 函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数， 又因为时，在上单调递增； 函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数，在上单调递增. 故选：BC. 三、填空题 9．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知，则 . 【答案】7 【分析】直接利用完全平方公式求解即可. 【详解】因为， 则， 故答案为：7. 10．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且，则 . 【答案】2 【分析】根据的图象关于轴对称，则为偶数.条件，得到函数在上单调递增，则.结合分类讨论即可. 【详解】的图象关于轴对称，则为偶数时. 又因，则函数在上单调递增，则，解得. 又因为，则，，. 对于，因为函数为偶函数. 当时，为奇数，函数为奇函数，不符合题意. 当时，为偶数，函数为偶函数，符合题意. 当时，为奇数，函数为奇函数，不符合题意. 故答案为：2. 四、解答题 11．（24-25高一上·山东枣庄·期中）幂函数过点． (1)求函数的解析式； (2)用单调性的定义证明是增函数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）把点坐标代入函数解析式可得，即可得到函数解析式. （2）利用定义法可证明函数在上是增函数. 【详解】（1）∵过点, ∴，解得， ∴函数的解析式为，即. （2）函数的定义域为. ，且， ， ∵， ∴，即， ∴在上是增函数. 地 城 考点02 指数函数 一、单选题 1．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知函数，记，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别代入求值表示，对于，结合根式以及二次函数求出取值范围，最后借助指数函数单调性比较大小. 【详解】因为，所以，， 因为， 所以， 因为，所以， 因为当时，在上单调递减，， 所以， 故选：C. 2．（24-25高一上·山东潍坊·期中）某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，时，求时的值. 【详解】经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半， 即时，， 则再经过6年，，. 故选：D 3．（24-2524-25高一上·山东百师联盟·期中）下列比较大小中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数单调性分别判断各选项. 【详解】A选项：由函数在上单调递增，所以，A选项错误； B选项：由函数在上单调递减，则，B选项错误； C选项：，， 又函数在上单调递增，所以，即，C选项正确； D选项：，函数在上单调递增， 则，即，D选项错误； 故选：C. 二、填空题 4．（24-25高一上·山东潍坊·期中）写出同时满足下面两个条件的一个函数解析式 . ①；②在上单调递减. 【答案】（答案不唯一） 【分析】取，验证该函数满足条件①②即可. 【详解】不妨取，则，条件①满足； 函数在上单调递减，条件②满足. 故答案为：（答案不唯一）. 5．（24-2524-25高一上·山东百师联盟·期中）已知正数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】对已知条件变形，再结合基本不等式和一元二次不等式计算,运用指数函数单调性求最值即可. 【详解】对已知等式变形,由，等式两边同时除以（，是正数，）， 得到，则 ，令， 将乘以，这里的。 ， 即，即 ，得，当且仅当，即,取最小值. 结合，得到. ,由指数函数单调性知道. 故的最小值为. 故答案为：. 三、解答题 6．（24-2524-25高一上·山东百师联盟·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的最小值为3，求k的值； (3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题设，结合二次函数及指数函数性质求值域； （2）令，则，结合二次函数性质讨论对称轴的位置及题设求参数值； （3）问题化为有解，求右侧最小值，即可得范围. 【详解】（1）由题设，而， 所以； （2）令，则，开口向上且对称轴为， 当时，在上递增，此时无最值，不满足； 当时，在上递减，在上递增， 所以，可得（正值舍）. （3）由题意有解，即有解， 对于，当且仅当时取等号， 又趋向正负无穷时，分别趋向于0、正无穷，故均趋向于正无穷， 故只需，即. 地 城 考点03 对数函数 一、单选题 1．（24-25高一上·山东青岛·期中）关于x的函数的定义域是， 则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由定义域可得定义域，后结合对数函数性质可得答案. 【详解】因的定义域是，则定义域为. 则定义域满足. 故选：A 2．（24-25高一上·山东青岛·期中）为应对塑料袋带来的白色污染，我国于2008年6月1日起开始实施的“限塑令”明确规定商场､超市和集贸市场不得提供免费塑料购物袋，并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料购物袋.“限塑令”实施后取得了一定的成效，推动了环保塑料袋产业的发展.环保塑料袋以易降解为主要特点.已知某种环保塑料袋的降解率与时间（月）满足函数关系式（其中为大于零的常数）.若经过2个月，这种环保塑料袋降解了，经过4个月，降解了，那么这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过（    ）（结果保留整数）（参考数据：） A．5个月 B．6个月 C．7个月 D．8个月 【答案】A 【分析】由题意可计算出、的值，再令，代入所给函数关系式计算即可得. 【详解】由题意可得，， 即有，即，则， 令，即，即， 则. 故这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过5个月. 故选：A. 二、填空题 3．（24-25高一上·山东青岛·期中）计算:   【答案】/ 【分析】由对数的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】原式. 故答案为： 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $