专题04 函数的性质（期中真题汇编，山东专用）高一数学上学期

专题04 函数的性质 3大高频考点概览 考点01 单调性 考点02 奇偶性 考点03 最值问题 地 城 考点01 单调性 一、单选题 1．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知函数是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目条件得到，构造，得到其在上单调递增，分，和三种情况，结合对称轴，得到不等式，求出答案. 【详解】因为，所以， 故，令， 则，故在上单调递增， 即在上单调递增， 若，此时在上单调递增，满足要求， 若，当时，需满足，解得或， 或与取交集得， 当时，需满足，解得， 与取交集得， 综上，. 故选：C 2．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】变形得到，从而得到在上单调递增，分和两种情况，结合二次函数对称轴，数形结合得到不等式，求出答案. 【详解】因为，所以， 即， 令，则， 故在上单调递增， 当时，满足在上单调递增， 当时，为二次函数， 需满足或， 解得或， 综上，，实数a的最大值为. 故选：C. 3．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知函数，记，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别代入求值表示，对于，结合根式以及二次函数求出取值范围，最后借助指数函数单调性比较大小. 【详解】因为，所以，， 因为， 所以， 因为，所以， 因为当时，在上单调递减，， 所以， 故选：C. 4．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数，对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】研究出为奇函数，在R上单调递减，且，从而得到，得到，由根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】的定义域为R，且， 故为奇函数， 且当时，在上单调递减， 又，故在R上单调递减， 又， ， 故，即， 所以，解得. 故选：C 5．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知函数是定义在上的奇函数，，且对、，都有成立，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的单调性，由奇函数的性质可得出，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】对、，都有， 不妨设，可得， 所以，函数在上为减函数， 又因为函数是定义在上的奇函数，则， 且该函数在上为减函数，则该函数在上单调递减， 因为，则， 由可得，可得，即，解得或， 所以，不等式的解集为. 故选：D. 6．（24-25高一上·山东青岛·期中）定义在上的偶函数满足，且对于任意，有，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递减 B．为偶函数 C． D．在上单调递增 【答案】D 【分析】根据函数的单调性判断、的单调性判断AD，根据单调性比较大小判断C，根据奇偶性判断D. 【详解】对于任意，，所以，即，所以在上单调递增，故选项A错误； 因为的定义域为，所以，所以为奇函数，由在上单调递增，所以，故选项BC错误； 对于任意，， 因为，，所以， 所以，所以在上单调递增，故选项D正确. 故选：D. 7．（24-25高一上·山东青岛·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】探讨函数的性质，借助函数奇偶性、单调性即可判断得解. 【详解】函数的定义域为， ，函数是奇函数，A错误； 当，且时，，C错误； 当时，，函数在上都单调递增， 因此函数在上单调递增，B错误，选项D符合题意. 故选：D 8．（24-25高一上·山东菏泽·期中）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】易知：函数（）为偶函数，图象关于轴对称，且函数在上单调递增，在上单调递减. 所以， 所以或且，. 即：. 故选：B 【点睛】关键点点睛：分析函数的定义域，奇偶性，单调性，把不等式转化为代数不等式时，要注意函数定义域的限制. 二、多选题 9．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对，成立，则称为上的“类近稳函数”，则（   ） A．可为上的2类近稳函数 B．可为上的3类近稳函数 C．若为上的类近稳函数，则 D．若为上的2类近稳函数，则，，有 【答案】ACD 【分析】对于A，由题意可得，即可判断；对于B，由题意可得，不能保证恒成立，即可判断；对于C，由题意可得，由，可得，即可判断；对于D，由题意可得，再结合，即可判断. 【详解】解：对于A，因为的定义域为， ， 所以可为上的2类近稳函数，故正确； 对于B，因为的定义域为， ， 又因为只有才成立， 不满足3类近稳函数的定义，故错误； 对于C，因为， 又因为，， 所以， 所以， 所以， 所以，故正确； 对于D，因为为上的2类近稳函数， 则，，有， 又因为， 所以，故正确. 故选：ACD. 10．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数在R上单调，且对任意恒成立，则（   ） A． B．若在R上单调递增，则 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】ABD 【分析】A选项，令得，或1，根据函数单调性排除，A正确；C选项，令，变形得到，不满足，C错误；B选项，由单调性得到，由条件得，故B正确；D选项，变形得到，故为奇函数，D正确； 【详解】A选项，中，令得， ，解得，解得或1， 令得，即， 若，满足上式， 若得，但函数在R上单调，故，不合要求， 综上，，A正确； C选项，中，令得，当时，， 由于只有时，才有，当为其他数时，不满足， 故不是奇函数，C错误； B选项，在R上单调递增，， 故， 因为，所以， 所以，故B正确； D选项，因为，所以， 当时，，， 所以， 故为奇函数，D正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：抽象函数的单调性或奇偶性研究，通常情况下要利用赋值法，得到特殊点的函数值，再进行合理赋值，结合函数的单调性的定义，奇偶性的定义进行求解 11．（24-25高一上·山东枣庄·期中）已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．函数在单调递减 C．函数值域为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】求出定义域判断A；确定单调区间判断B；求出值域判断C；解不等式判断D. 【详解】对于A，函数有意义，则，解得， 的定义域为，A正确； 对于B，在上单调递减，则在上单调递减，B正确； 对于C，，函数值域为，C错误； 对于D，由，得，则，解得， 的解集为，D正确. 故选：ABD 12．（24-25高一上·山东日照·期中）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据常见函数的奇偶性，和单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，为非奇非偶函数，故A不符合， 对于B，为奇函数，且在区间上单调递增，B符合， 对于C，奇函数，且在区间上单调递增，C符合， 对于D，为偶函数，故D不符合， 故选：BC 13．（24-25高一上·山东菏泽·期中）对于任意实数，函数满足：当时，，则（    ） A． B．的值域为 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称 【答案】BC 【分析】求得判断A；求得值域判断B；确定函数的单调性判断C；求得可判断D. 【详解】由时，由题意可得时，，故A错误； 当，由，可得， 当，则，所以，故B正确； 当，为增函数，故C正确； 当时，，，所以， 所以的图象关于点对称，故D错误. 故选：BC. 14．（24-25高一上·山东烟台·期中）已知函数，则（   ） A．在上单调递减 B．的值域为 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】BD 【分析】依据函数解析式可得在和上是分别单调递减的，不能用并集，即A错误，再根据奇函数图象性质以及平移规则可判断BD正确，C错误. 【详解】根据题意可知， 易知将奇函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得， 画出函数的图象如下图所示： 可得在和上是分别单调递减的，不能用并集表示，即A错误； 由图可知，的值域为，即B正确； 的图象不是轴对称图形，可知C错误； 依据奇函数平移规则可得的图象关于点对称，即D正确. 故选：BD 三、填空题 15．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数不是单调函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出时，的对称轴为，分和两种情况，结合函数单调性得到不等式，求出答案. 【详解】当时，单调递减， 时，的对称轴为， 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，故不单调，满足要求； 当，即时，需满足，解得， 故， 综上，数a的取值范围是 故答案为： 16．（24-25高一上·山东聊城·期中）若函数在区间上单调递增，且，则 . 【答案】2025 【分析】根据给定条件，令，再借助单调性求出，进而求出 【详解】依题意，令，则，由函数在上单调递增，得，且为常数， 则，，解得，因此， 所以. 故答案为：2025 17．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】不等式变形为，然后由单调性可知恒成立，利用二次函数性质求解即可. 【详解】， 因为在上单调递增，在上单调递增，且连续， 所以在上单调递增， 所以不等式， 所以对任意，恒成立，即 因为开口向下， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题 18．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数且经过两点． (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增； (3)当是定义在上的函数时，解不等式． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）代入，得到方程组，求出，得到解析式； （2）定义法证明函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论； （3）判断出函数的奇偶性，结合单调性和定义域得到不等式组，求出不等式解集. 【详解】（1）将代入解析式得， 解得，故； （2）证明：任取， 则 ， 因为，所以， 故， 故，所以在上单调递增； （3）， 又定义域为，故为奇函数， 由（2）知，在上单调递增， 故， 故，解得， 故不等式解集为. 19．（24-25高一上·山东日照·期中）已知函数的图象关于点对称的充要条件是是奇函数.给定函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求函数图象的对称中心； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）利用单调性定义按照步骤进行证明即可得在区间上单调递增； （2）根据成中心对称图形的充要条件代入解方程组可得对称中心； （3）依题意利用对称中心并对函数的对称轴进行分类讨论，得出两函数对应值域的包含关系解不等式即可得实数m的取值范围. 【详解】（1）函数在上单调递增， 证明：任取，且，则 ， 所以且， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）设函数图象的对称中心为， 则， 即， 整理得， 于是，解得， 所以的对称中心为. （3）因为的图象关于点对称，由题可知：， 任取，则，所以， 故，； 所以在上有解，转化为在能成立， 令，， 所以原问题等价于，； ①当时，不成立； ②时，即，此时， 解得：或，与无交集，舍去； ③当，即时，符合题意， 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题中的有解问题关键在于利用对称中心得出两函数在对应定义域内的转化关系，得出相应不等式即可解得实数的取值范围. 20．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，且. (1)当时，求的解析式； (2)判断在区间上的单调性，并证明. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）利用奇函数的性质可得，再利用奇偶性的定义求出解析式即可； （2）利用单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，且，可得， 当时，，所以，解得， 所以当时，， 当时，，， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以当时，. （2）在区间上单调递增， 证明如下：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以，，， 故，所以在区间单调递增. 21．（24-25高一上·山东枣庄·期中）幂函数过点． (1)求函数的解析式； (2)用单调性的定义证明是增函数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）把点坐标代入函数解析式可得，即可得到函数解析式. （2）利用定义法可证明函数在上是增函数. 【详解】（1）∵过点, ∴，解得， ∴函数的解析式为，即. （2）函数的定义域为. ，且， ， ∵， ∴，即， ∴在上是增函数. 22．（24-25高一上·山东枣庄·期中）已知数的图象关于点中心称． (1)求实数a的值： (2)判断的单调性（无需证明）； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)是上的增函数， (3) 【分析】（1）根据函数的平移性质，结合函数的对称性进行求解即可； （2）根据函数的单调性定义，结合指数函数的单调性进行判断证明即可； （3）根据函数的对称性和单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为函数的图象关于点中心对称， 所以该函数向下平移一个单位，得到的函数的图像关于点中心对称， 即函数的图象关于点中心对称， 所以函数是R上的奇函数，则，即，， 则， 因为，所以函数是R上的奇函数， . （2）由（1），，则， 设是任意两个实数，且， ， 因为，所以，且，， 因此，即， 所以函数是R上的增函数. （3）因为函数的图象关于点中心对称， 所以，即， 所以由，即， 因为函数是R上的增函数， 所以，即或， 解得或， 因此原不等式的解集为. 23．（24-25高一上·山东枣庄·期中）给定函数，，． (1)在同一直角坐标系中画出函数，图象； (2)，用表示，中的最大者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数； (3)写出函数的单调区间和最值． 【答案】(1)作图见解析； (2)，作图见解析； (3)减区间是，增区间是，最小值1，无最大值. 【分析】（1）利用一次函数、二次函数图象作出函数，图象. （2）求出函数的解析式，再画出其图象. （3）利用（2）中图象求出单调区间及最值. 【详解】（1）函数的图象是过点的直线， 函数的图象是开口向上，顶点坐标为的抛物线， 函数，图象，如图：    （2）由，即，解得或，由，得， 所以，函数的图象如图，    （3）由（2）中图象知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 当时，函数取得最小值1，无最大值. 24．（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 【答案】(1)，函数为偶函数，理由见解析； (2)函数在上单调递减，证明见解析； (3)或 【分析】（1）利用赋值法可求解，通过赋值构造和的关系式，结合函数奇偶性的定义可判断奇偶性； （2）利用赋值法构造的表达式，结合题意判断符号，进而判断单调性； （3）利用赋值法得，结合函数的单调性和奇偶性可解不等式. 【详解】（1）由题意知，函数满足：， 令，则，解得， 令，则，解得， 函数为偶函数，理由如下： 由题意，函数的定义域为， 令，则，即， 所以函数为偶函数. （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取，令，， 则，即， 因为，则，由题意知， 所以，即， 所以函数在上单调递减. （3）由，得； 令，则，所以， 因为函数为偶函数，所以， 当时，因为函数在上单调递减， 所以由，得，即，解得； 因为函数为偶函数，且函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 当时，由，得， 所以，解得； 综上所述，不等式的解集为或. 25．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知. (1)判断奇偶性并用定义证明； (2)判断在上的单调性并用定义证明； (3)求的值域. 【答案】(1)为偶函数，证明见解析 (2)在上的单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）求出定义域，且，故为偶函数； （2）定义法得到函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3）变形得到，根据且得到或，求出值域. 【详解】（1）为偶函数，理由如下： 令，解得，故的定义域为， ，故为偶函数； （2）任取，且， 故 ， 因为，且， 所以， 所以， 故，， 所以在上的单调递增； （3）由得，即， 因为且，所以且， 解得或， 故值域为. 26．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知定义在上的偶函数在上单调递减，且. (1)求不等式的解集； (2)比较与的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的对称性可知当时，从而将所求不等式转化为，解得即可； （2）由及函数的奇偶性与单调性即可判断. 【详解】（1）定义在上的偶函数在上单调递减，则在上单调递增， 又，所以， 则当时，不等式，即， 即，解得或， 所以不等式的解集为； （2）因为当且仅当时取等号， 又，且在上单调递减， 所以. 27．（24-25高一上·山东聊城·期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.设函数. (1)证明：在区间上为增函数； (2)若函数图象关于点成中心对称图形，求实数的值； (3)设，为方程的两个非零实根，若，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）由增函数定义可证明结论； （2）由题可得为奇函数，即可得答案； （3）由题可将化为，然后求出可得答案. 【详解】（1）证明：取任意，. 则. 因，，则 ，则. 故在区间上为增函数； （2）因函数图象关于点成中心对称图形，由题可得： 为奇函数，则； （3）. 则，也为的两个非零实根，则. 则. 因，使，则. 即实数的取值范围是. 28．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知函数与的定义域均为，若对任意区间，存在且，使，则是的生成函数. (1)求证：是的生成函数； (2)若是的生成函数，判断并证明的单调性； (3)若是的生成函数，实数，求的一个生成函数. 【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）整理可得，根据可证得结论； （2）根据生成函数定义可得，由此可得函数单调性； （3）由，分别讨论和的情况，由生成函数定义可得结果. 【详解】（1），且， ， ，， ，，使得，，满足， 是的生成函数. （2）是的生成函数， 对任意区间，存在且，， 即， ，，， 又，，即， 在上单调递增. （3），且，设，， 则，， 当时，的值域为， 对任意区间，存在且，使得且，满足， 即，此时是的一个生成函数； 当时，的值域为， 对任意区间，存在且，使得且，满足， 即，此时是的一个生成函数； 综上所述：是的一个生成函数. 29．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数，. (1)若，试判断的单调性并用定义法证明； (2)若，求函数的最大值的表达式. 【答案】(1)在区间上单调递增； (2) 【分析】（1）利用定义法证明函数单调性； （2）先化简函数，再利用单调性分别求在区间和上的最大值，取较大者即可.由于在区间上单调递增，在区间上单调递减，需对区间中的分类讨论. 【详解】（1）在区间上单调递增，证明如下： 若，因为，所以， ，且， 有. 因为，且，所以，. 于是，即. 故在区间上单调递增； （2）若，则， 先判断在上的单调性， 由于， 当，且时，，，所以， 即，故在区间上单调递增； 当，且时，，，所以， 即，故在区间上单调递减； 综上，在区间上单调递增，在区间上单调递减. ①当时，由（1）知，在区间上单调递增，所以； ②当时， （i）若，则在上单调递增，所以， 所以函数的最大值； （ii）若，则在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以函数的最大值； （iii）若，则在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以函数的最大值； 综上. 30．（24-25高一上·山东烟台·期中）若定义在上的函数满足. (1)求函数的解析式； (2)用定义法证明：在区间上单调递减； (3)已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数图象的对称中心.（注：） 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用方程组法求出的解析式. （2）利用单调递减函数的定义，计算推理得证. （3）由（1）结合给定的结论，利用奇函数的性质计算出对称中心. 【详解】（1）由，得， 联立消去得：，即， 所以函数的解析式是. （2）任取且，则 由，得，，，， 因此，所以函数在区间上单调递减. （3）设函数图象的对称中心为，则函数为奇函数， 于是， ，而， 因此，对任意恒成立， 则，且，解得，， 所以函数图象的对称中心为. 地 城 考点02 奇偶性 一、单选题 1．（24-25高一上·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】应用函数的奇偶性与特值判断即可. 【详解】解：因为的定义域为， 所以， 所以函数为奇函数，故AB错误； 又因为时，所以D错误； 故选：C. 2．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数定义域关于原点对称可求出a，由偶函数图象关于y轴对称可求出b，进而得解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以， 所以，对称轴为，所以即， 所以. 故选：D. 3．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知函数是定义在上的奇函数，，且对、，都有成立，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的单调性，由奇函数的性质可得出，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】对、，都有， 不妨设，可得， 所以，函数在上为减函数， 又因为函数是定义在上的奇函数，则， 且该函数在上为减函数，则该函数在上单调递减， 因为，则， 由可得，可得，即，解得或， 所以，不等式的解集为. 故选：D. 4．（24-25高一上·山东青岛·期中）定义在上的偶函数满足，且对于任意，有，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递减 B．为偶函数 C． D．在上单调递增 【答案】D 【分析】根据函数的单调性判断、的单调性判断AD，根据单调性比较大小判断C，根据奇偶性判断D. 【详解】对于任意，，所以，即，所以在上单调递增，故选项A错误； 因为的定义域为，所以，所以为奇函数，由在上单调递增，所以，故选项BC错误； 对于任意，， 因为，，所以， 所以，所以在上单调递增，故选项D正确. 故选：D. 5．（24-25高一上·山东青岛·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】探讨函数的性质，借助函数奇偶性、单调性即可判断得解. 【详解】函数的定义域为， ，函数是奇函数，A错误； 当，且时，，C错误； 当时，，函数在上都单调递增， 因此函数在上单调递增，B错误，选项D符合题意. 故选：D 6．（24-25高一上·山东德州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质完善函数解析式，根据定义域分段解不等式即可. 【详解】当时，，由题意得，解得； 设，则，所以， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 当时，，由题意得，解得； 所以的解集是， 故选：C. 7．（24-25高一上·山东烟台·期中）已知是定义在上的偶函数，，且对，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在上单调递增，，由奇偶性可得在上单调递减，，然后利用单调性得不等式即可. 【详解】因为对，都有， 所以在上单调递增， 又是定义在上的偶函数，所以在上单调递减， 又，所以， 则不等式可转换为， 所以或，解得或， 则不等式的解集为. 故选：B. 二、多选题 8．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数在R上单调，且对任意恒成立，则（   ） A． B．若在R上单调递增，则 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】ABD 【分析】A选项，令得，或1，根据函数单调性排除，A正确；C选项，令，变形得到，不满足，C错误；B选项，由单调性得到，由条件得，故B正确；D选项，变形得到，故为奇函数，D正确； 【详解】A选项，中，令得， ，解得，解得或1， 令得，即， 若，满足上式， 若得，但函数在R上单调，故，不合要求， 综上，，A正确； C选项，中，令得，当时，， 由于只有时，才有，当为其他数时，不满足， 故不是奇函数，C错误； B选项，在R上单调递增，， 故， 因为，所以， 所以，故B正确； D选项，因为，所以， 当时，，， 所以， 故为奇函数，D正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：抽象函数的单调性或奇偶性研究，通常情况下要利用赋值法，得到特殊点的函数值，再进行合理赋值，结合函数的单调性的定义，奇偶性的定义进行求解 9．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知函数的定义域为，对任意，总有，且当时，，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．函数在上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，赋值计算判断ABC；令，变形给定等式，再利用增函数的定义推理判断D. 【详解】对任意，总有， 对于A，令，得，解得，A正确； 对于B，令，得，解得，B错误； 对于C，，，为奇函数，C正确； 对于D，令，则，当时，， 对，恒有，即， ，则，，， 因此函数在上单调递增，D正确. 故选：ACD 10．（24-25高一上·山东青岛·期中）下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据偶函数定义和单调性概念判断即可. 【详解】因为函数的定义域是，所以函数无奇偶性； 函数的定义域是，又， 所以函数为奇函数； 函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数， 又因为时，在上单调递增； 函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数，在上单调递增. 故选：BC. 三、填空题 11．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则当时，函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据奇函数的定义求解. 【详解】时，，， 所以. 故答案为：. 12．（24-25高一上·山东烟台·期中）若函数为奇函数，则实数的值为 . 【答案】0 【分析】根据题意，由奇函数的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，即， 整理可得，即. 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 【答案】(1)，函数为偶函数，理由见解析； (2)函数在上单调递减，证明见解析； (3)或 【分析】（1）利用赋值法可求解，通过赋值构造和的关系式，结合函数奇偶性的定义可判断奇偶性； （2）利用赋值法构造的表达式，结合题意判断符号，进而判断单调性； （3）利用赋值法得，结合函数的单调性和奇偶性可解不等式. 【详解】（1）由题意知，函数满足：， 令，则，解得， 令，则，解得， 函数为偶函数，理由如下： 由题意，函数的定义域为， 令，则，即， 所以函数为偶函数. （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取，令，， 则，即， 因为，则，由题意知， 所以，即， 所以函数在上单调递减. （3）由，得； 令，则，所以， 因为函数为偶函数，所以， 当时，因为函数在上单调递减， 所以由，得，即，解得； 因为函数为偶函数，且函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 当时，由，得， 所以，解得； 综上所述，不等式的解集为或. 14．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时， (1)求函数的解析式并写出函数的增区间（增区间只需写出结论）； (2)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1)的解析式为, 函数的增区间为. (2)当，解集为；当时不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【分析】（1）因为函数为奇函数，，首先求出a的值，再利用奇函数的性质，可求出当时，函数的表达式，再通过二次函数的性质即可得到增区间； （2）对于解不等式，先求出时的表达式代入不等式，然后根据二次函数的性质求解不等式. 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，即，所以当时，， 又因为， 所以当时，，所以， 所以函数的解析式为. 由图像可得函数的增区间为. （2）当时，代入，整理得，即， ①当时，即，不等式，此时； ②当时，即，不等式的解为，又因为，所以； ③当时，即不等式的解为，又因为，所以， 综上所述：当，解集为；当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 15．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，且. (1)当时，求的解析式； (2)判断在区间上的单调性，并证明. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）利用奇函数的性质可得，再利用奇偶性的定义求出解析式即可； （2）利用单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，且，可得， 当时，，所以，解得， 所以当时，， 当时，，， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以当时，. （2）在区间上单调递增， 证明如下：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以，，， 故，所以在区间单调递增. 16．（24-25高一上·山东烟台·期中）已知函数的定义域为，且对定义域内任意x，y都有. (1)设，证明：函数为偶函数； (2)若满足：当时，. （i）求不等式的解集； （ii）若，使得对，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据函数满足的表达式可得，利用赋值法即可求得，可得为偶函数； （2）（i）由函数单调性定义可证明在上单调递减，再由偶函数性质解不等式即可得出结果； （ii）将问题转化为不等式对恒成立问题，结合单调性即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由， 得， 令，得，所以. 令，得，所以 令，得，又的定义域关于原点对称， 所以是上的偶函数. （2）由（1）知. 且， ， 因为，当时，，所以， 又，所以，. 所以在上单调递减. （i）因为， 所以，即 因为为偶函数，在上单调递减，且，所以， 又，解得或. 所以，不等式的解集为. （ii）由，得， 即，对恒成立，所以. 因为在上单调递减，，所以. 所以，使得成立，即成立. 令，，则或. 即，解得或；由，解得或. 所以或， 即的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数单调性定义得出的单调性，再求解不等式恒成立问题进行解不等式即可得结果. 17．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知函数是定义在上的偶函数. (1)求实数、的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，根据偶函数的定义可求得的值； （2）分析函数的单调性，可得其值域. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数， 则，解得， 且，即， 所以，，解得. （2）由（1）可得，且， 所以，，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 又因为，，则. 因此，函数的值域为. 18．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知定义在上的偶函数在上单调递减，且. (1)求不等式的解集； (2)比较与的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的对称性可知当时，从而将所求不等式转化为，解得即可； （2）由及函数的奇偶性与单调性即可判断. 【详解】（1）定义在上的偶函数在上单调递减，则在上单调递增， 又，所以， 则当时，不等式，即， 即，解得或， 所以不等式的解集为； （2）因为当且仅当时取等号， 又，且在上单调递减， 所以. 19．（24-25高一上·山东聊城·期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.设函数. (1)证明：在区间上为增函数； (2)若函数图象关于点成中心对称图形，求实数的值； (3)设，为方程的两个非零实根，若，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）由增函数定义可证明结论； （2）由题可得为奇函数，即可得答案； （3）由题可将化为，然后求出可得答案. 【详解】（1）证明：取任意，. 则. 因，，则 ，则. 故在区间上为增函数； （2）因函数图象关于点成中心对称图形，由题可得： 为奇函数，则； （3）. 则，也为的两个非零实根，则. 则. 因，使，则. 即实数的取值范围是. 20．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)设，解不等式. 【答案】(1) (2)在上的单调递增； (3) 【分析】（1）利用求出值，再检验即可； （2）利用定义法设点、作差、因式分解，最后判断符号即可； （3）根据其奇偶性和单调性得到，解出即可. 【详解】（1）因为为奇函数，所以. 此时，定义域为关于原点对称， 又因为，则此时为奇函数，符合题意. （2）函数在上单调递增，证明如下： 且， ， 因为， 所以， 所以函数在上单调递增. （3）因为函数在上单调递增，， 所以当时，;当时，. 因为，所以是上的偶函数， 且在上单调递减，在上单调递增.， 解得.所以解集为. 21．（24-25高一上·山东烟台·期中）若定义在上的函数满足. (1)求函数的解析式； (2)用定义法证明：在区间上单调递减； (3)已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数图象的对称中心.（注：） 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用方程组法求出的解析式. （2）利用单调递减函数的定义，计算推理得证. （3）由（1）结合给定的结论，利用奇函数的性质计算出对称中心. 【详解】（1）由，得， 联立消去得：，即， 所以函数的解析式是. （2）任取且，则 由，得，，，， 因此，所以函数在区间上单调递减. （3）设函数图象的对称中心为，则函数为奇函数， 于是， ，而， 因此，对任意恒成立， 则，且，解得，， 所以函数图象的对称中心为. 地 城 考点03 最值问题 一、单选题 1．（24-25高一上·山东德州·期中）若，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将存在性问题转化为最值问题，利用二次函数的单调性求最值，列不等式，求解即可. 【详解】设函数， 因为，使成立， 所以在区间上的最大值， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增， 因为，结合二次函数的对称性可知， 当时，函数取最大值，最大值，解得； 故选：A. 2．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数，对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】研究出为奇函数，在R上单调递减，且，从而得到，得到，由根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】的定义域为R，且， 故为奇函数， 且当时，在上单调递减， 又，故在R上单调递减， 又， ， 故，即， 所以，解得. 故选：C 3．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】变形得到，从而得到在上单调递增，分和两种情况，结合二次函数对称轴，数形结合得到不等式，求出答案. 【详解】因为，所以， 即， 令，则， 故在上单调递增， 当时，满足在上单调递增， 当时，为二次函数， 需满足或， 解得或， 综上，，实数a的最大值为. 故选：C. 二、多选题 4．（24-25高一上·山东济宁·期中）下列说法正确的是（   ） A．““是“”的必要不充分条件 B．若，则的最大值为 C．若不等式的解集为，则 D．命题“，使得”的否定为“，使得” 【答案】AB 【分析】A选项，解不等式，根据两个不等式解集的包含关系，得到A正确；B选项，化简得到，B正确；C选项，由不等式解集得到，，从而得到；D选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】A选项，，解得或，，解得或， 由于或可以推出或，但或不能推出或， 故““是“”的必要不充分条件，A正确； B选项，，故， 当且仅当时，等号成立，故B正确； C选项，由题意得，，故， 则，C错误； D选项，命题“，使得”的否定为“，使得”，D错误. 故选：AB 5．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知函数，，记则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．当时， B．函数的最小值为，无最大值 C．函数在上单调递减 D．若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或 【答案】ABD 【分析】由定义得出的解析式，画出对应函数图象，再由函数与方程的思想判断选项即可得结论. 【详解】根据题意令可得或； 由函数定义可知； 对于A，当时，，可得A正确； 对于B，由函数图象可知函数的最小值为，无最大值，可得B正确； 对于C，易知函数在上单调递增，可得C错误； 对于D，若关于的方程恰有两个不相等的实数根， 可得函数与图象有两个交点，可得或，即D正确. 故选：ABD 6．（24-25高一上·山东菏泽·期中）对于任意实数，函数满足：当时，，则（    ） A． B．的值域为 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称 【答案】BC 【分析】求得判断A；求得值域判断B；确定函数的单调性判断C；求得可判断D. 【详解】由时，由题意可得时，，故A错误； 当，由，可得， 当，则，所以，故B正确； 当，为增函数，故C正确； 当时，，，所以， 所以的图象关于点对称，故D错误. 故选：BC. 7．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对，成立，则称为上的“类近稳函数”，则（   ） A．可为上的2类近稳函数 B．可为上的3类近稳函数 C．若为上的类近稳函数，则 D．若为上的2类近稳函数，则，，有 【答案】ACD 【分析】对于A，由题意可得，即可判断；对于B，由题意可得，不能保证恒成立，即可判断；对于C，由题意可得，由，可得，即可判断；对于D，由题意可得，再结合，即可判断. 【详解】解：对于A，因为的定义域为， ， 所以可为上的2类近稳函数，故正确； 对于B，因为的定义域为， ， 又因为只有才成立， 不满足3类近稳函数的定义，故错误； 对于C，因为， 又因为，， 所以， 所以， 所以， 所以，故正确； 对于D，因为为上的2类近稳函数， 则，，有， 又因为， 所以，故正确. 故选：ACD. 三、填空题 8．（24-25高一上·山东枣庄·期中）已知函数的定义域为，若对于任意的x，，都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为 ． 【答案】5 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定在上单调性，再利用单调性求出最大值. 【详解】任取，则，由当时，都有，得， 任意的，都有， 则，因此函数在上单调递增， 当时，. 故答案为：5 9．（24-25高一上·山东日照·期中）记表示函数在区间上的最大值.当时，的最小值为 . 【答案】2 【分析】因为，所以，的最大值只能在，， 处取得，所以原式可写为分段函数，由分段函数单调性判断最小值即可. 【详解】令，则， 设，因为，所以， 当时；当时；当时， 所以的最大值是在，中， ， 由分段函数可知，时单调递减，在时单调递增， 所以在内，时原式有最小值，最小值为. 故答案为：2. 10．（24-25高一上·山东烟台·期中）已知函数在上的最大值为5，则的值为 ；令，，若用（且）将区间分成4个小区间，且恒成立，则实数的最小值为 . 【答案】 1 5 【分析】利用二次函数以及在上的最值即可得，利用二次函数单调性将取值按照不同个数分布在对称轴左右两侧进行分类讨论，再由不同单调性得出表达式的值，即可求得实数的最小值为5. 【详解】易知关于对称，且开口向上， 所以函数在上的最大值为，解得； 依题意可得， 记 当时，可知； 若，即； 可得； 若， 可得 当时，可知，； 若， 可得； 若， 可得； 当时，可知,； 若， 可得； 若， 可得； 当时，可知,； 可得； 综上可得，实数的最小值为5. 故答案为：1；5. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用二次函数单调性将的取值按照不同个数分布在对称轴左右两侧进行分类讨论，再由不同单调性得出表达式的值，再由各函数值限定出的最小值. 四、解答题 11．（24-25高一上·山东枣庄·期中）给定函数，，． (1)在同一直角坐标系中画出函数，图象； (2)，用表示，中的最大者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数； (3)写出函数的单调区间和最值． 【答案】(1)作图见解析； (2)，作图见解析； (3)减区间是，增区间是，最小值1，无最大值. 【分析】（1）利用一次函数、二次函数图象作出函数，图象. （2）求出函数的解析式，再画出其图象. （3）利用（2）中图象求出单调区间及最值. 【详解】（1）函数的图象是过点的直线， 函数的图象是开口向上，顶点坐标为的抛物线， 函数，图象，如图：    （2）由，即，解得或，由，得， 所以，函数的图象如图，    （3）由（2）中图象知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 当时，函数取得最小值1，无最大值. 12．（24-25高一上·山东聊城·期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.设函数. (1)证明：在区间上为增函数； (2)若函数图象关于点成中心对称图形，求实数的值； (3)设，为方程的两个非零实根，若，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）由增函数定义可证明结论； （2）由题可得为奇函数，即可得答案； （3）由题可将化为，然后求出可得答案. 【详解】（1）证明：取任意，. 则. 因，，则 ，则. 故在区间上为增函数； （2）因函数图象关于点成中心对称图形，由题可得： 为奇函数，则； （3）. 则，也为的两个非零实根，则. 则. 因，使，则. 即实数的取值范围是. 13．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知函数. (1)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）分离参数构造函数，利用单调性求出最小值即得. （2）按方程根的大小分类求解含参的一元二次不等式. 【详解】（1），不等式恒成立， 令，函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，，因此，解得， 所以实数的取值范围是. （2）不等式， 当，即时，或； 当，即时，； 当，即时，或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 14．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数，的值； (2)若，解关于的不等式； (3)若，对于，成立，求的最大值. 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据不等式的解集可得1和2是方程的两个根，再利用韦达定理即可得解； （2）分，和三种情况讨论即可； （3）由题意，对成立，则对成立，即对成立，进而可得出答案. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以1和2是方程的两个根， 所以，所以，； （2）若，不等式可化为， 即， 当时，解得， 当时，解得或， 当时，解得或， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （3）因为，，成立， 即，对成立， 所以对成立， 即对成立， 所以即 所以，即， 所以的最大值为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 15．（24-25高一上·山东烟台·期中）已知函数的定义域为，且对定义域内任意x，y都有. (1)设，证明：函数为偶函数； (2)若满足：当时，. （i）求不等式的解集； （ii）若，使得对，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据函数满足的表达式可得，利用赋值法即可求得，可得为偶函数； （2）（i）由函数单调性定义可证明在上单调递减，再由偶函数性质解不等式即可得出结果； （ii）将问题转化为不等式对恒成立问题，结合单调性即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由， 得， 令，得，所以. 令，得，所以 令，得，又的定义域关于原点对称， 所以是上的偶函数. （2）由（1）知. 且， ， 因为，当时，，所以， 又，所以，. 所以在上单调递减. （i）因为， 所以，即 因为为偶函数，在上单调递减，且，所以， 又，解得或. 所以，不等式的解集为. （ii）由，得， 即，对恒成立，所以. 因为在上单调递减，，所以. 所以，使得成立，即成立. 令，，则或. 即，解得或；由，解得或. 所以或， 即的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数单调性定义得出的单调性，再求解不等式恒成立问题进行解不等式即可得结果. 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的性质 3大高频考点概览 考点01 单调性 考点02 奇偶性 考点03 最值问题 地 城 考点01 单调性 一、单选题 1．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知函数是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的最大值是（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知函数，记，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数，对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知函数是定义在上的奇函数，，且对、，都有成立，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·山东青岛·期中）定义在上的偶函数满足，且对于任意，有，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递减 B．为偶函数 C． D．在上单调递增 7．（24-25高一上·山东青岛·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·山东菏泽·期中）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对，成立，则称为上的“类近稳函数”，则（   ） A．可为上的2类近稳函数 B．可为上的3类近稳函数 C．若为上的类近稳函数，则 D．若为上的2类近稳函数，则，，有 10．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数在R上单调，且对任意恒成立，则（   ） A． B．若在R上单调递增，则 C．是奇函数 D．是奇函数 11．（24-25高一上·山东枣庄·期中）已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．函数在单调递减 C．函数值域为 D．不等式的解集为 12．（24-25高一上·山东日照·期中）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·山东菏泽·期中）对于任意实数，函数满足：当时，，则（    ） A． B．的值域为 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称 14．（24-25高一上·山东烟台·期中）已知函数，则（   ） A．在上单调递减 B．的值域为 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 三、填空题 15．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数不是单调函数，则实数a的取值范围是 ． 16．（24-25高一上·山东聊城·期中）若函数在区间上单调递增，且，则 . 17．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数t的取值范围是 ． 四、解答题 18．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数且经过两点． (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增； (3)当是定义在上的函数时，解不等式． 19．（24-25高一上·山东日照·期中）已知函数的图象关于点对称的充要条件是是奇函数.给定函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求函数图象的对称中心； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 20．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，且. (1)当时，求的解析式； (2)判断在区间上的单调性，并证明. 21．（24-25高一上·山东枣庄·期中）幂函数过点． (1)求函数的解析式； (2)用单调性的定义证明是增函数． 22．（24-25高一上·山东枣庄·期中）已知数的图象关于点中心称． (1)求实数a的值： (2)判断的单调性（无需证明）； (3)解关于x的不等式． 23．（24-25高一上·山东枣庄·期中）给定函数，，． (1)在同一直角坐标系中画出函数，图象； (2)，用表示，中的最大者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数； (3)写出函数的单调区间和最值． 24．（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 25．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知. (1)判断奇偶性并用定义证明； (2)判断在上的单调性并用定义证明； (3)求的值域. 26．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知定义在上的偶函数在上单调递减，且. (1)求不等式的解集； (2)比较与的大小. 27．（24-25高一上·山东聊城·期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.设函数. (1)证明：在区间上为增函数； (2)若函数图象关于点成中心对称图形，求实数的值； (3)设，为方程的两个非零实根，若，使不等式成立，求实数的取值范围. 28．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知函数与的定义域均为，若对任意区间，存在且，使，则是的生成函数. (1)求证：是的生成函数； (2)若是的生成函数，判断并证明的单调性； (3)若是的生成函数，实数，求的一个生成函数. 29．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数，. (1)若，试判断的单调性并用定义法证明； (2)若，求函数的最大值的表达式. 30．（24-25高一上·山东烟台·期中）若定义在上的函数满足. (1)求函数的解析式； (2)用定义法证明：在区间上单调递减； (3)已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数图象的对称中心.（注：） 地 城 考点02 奇偶性 一、单选题 1．（24-25高一上·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知函数是定义在上的奇函数，，且对、，都有成立，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东青岛·期中）定义在上的偶函数满足，且对于任意，有，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递减 B．为偶函数 C． D．在上单调递增 5．（24-25高一上·山东青岛·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·山东德州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·山东烟台·期中）已知是定义在上的偶函数，，且对，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数在R上单调，且对任意恒成立，则（   ） A． B．若在R上单调递增，则 C．是奇函数 D．是奇函数 9．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知函数的定义域为，对任意，总有，且当时，，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．函数在上单调递增 10．（24-25高一上·山东青岛·期中）下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则当时，函数的解析式为 . 12．（24-25高一上·山东烟台·期中）若函数为奇函数，则实数的值为 . 四、解答题 13．（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 14．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时， (1)求函数的解析式并写出函数的增区间（增区间只需写出结论）； (2)当时，解关于x的不等式． 15．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，且. (1)当时，求的解析式； (2)判断在区间上的单调性，并证明. 16．（24-25高一上·山东烟台·期中）已知函数的定义域为，且对定义域内任意x，y都有. (1)设，证明：函数为偶函数； (2)若满足：当时，. （i）求不等式的解集； （ii）若，使得对，都有，求实数的取值范围. 17．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知函数是定义在上的偶函数. (1)求实数、的值； (2)求函数的值域. 18．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知定义在上的偶函数在上单调递减，且. (1)求不等式的解集； (2)比较与的大小. 19．（24-25高一上·山东聊城·期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.设函数. (1)证明：在区间上为增函数； (2)若函数图象关于点成中心对称图形，求实数的值； (3)设，为方程的两个非零实根，若，使不等式成立，求实数的取值范围. 20．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)设，解不等式. 21．（24-25高一上·山东烟台·期中）若定义在上的函数满足. (1)求函数的解析式； (2)用定义法证明：在区间上单调递减； (3)已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数图象的对称中心.（注：） 地 城 考点03 最值问题 一、单选题 1．（24-25高一上·山东德州·期中）若，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数，对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的最大值是（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 4．（24-25高一上·山东济宁·期中）下列说法正确的是（   ） A．““是“”的必要不充分条件 B．若，则的最大值为 C．若不等式的解集为，则 D．命题“，使得”的否定为“，使得” 5．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知函数，，记则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．当时， B．函数的最小值为，无最大值 C．函数在上单调递减 D．若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或 6．（24-25高一上·山东菏泽·期中）对于任意实数，函数满足：当时，，则（    ） A． B．的值域为 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称 7．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对，成立，则称为上的“类近稳函数”，则（   ） A．可为上的2类近稳函数 B．可为上的3类近稳函数 C．若为上的类近稳函数，则 D．若为上的2类近稳函数，则，，有 三、填空题 8．（24-25高一上·山东枣庄·期中）已知函数的定义域为，若对于任意的x，，都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为 ． 9．（24-25高一上·山东日照·期中）记表示函数在区间上的最大值.当时，的最小值为 . 10．（24-25高一上·山东烟台·期中）已知函数在上的最大值为5，则的值为 ；令，，若用（且）将区间分成4个小区间，且恒成立，则实数的最小值为 . 四、解答题 11．（24-25高一上·山东枣庄·期中）给定函数，，． (1)在同一直角坐标系中画出函数，图象； (2)，用表示，中的最大者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数； (3)写出函数的单调区间和最值． 12．（24-25高一上·山东聊城·期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.设函数. (1)证明：在区间上为增函数； (2)若函数图象关于点成中心对称图形，求实数的值； (3)设，为方程的两个非零实根，若，使不等式成立，求实数的取值范围. 13．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知函数. (1)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式：. 14．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数，的值； (2)若，解关于的不等式； (3)若，对于，成立，求的最大值. 15．（24-25高一上·山东烟台·期中）已知函数的定义域为，且对定义域内任意x，y都有. (1)设，证明：函数为偶函数； (2)若满足：当时，. （i）求不等式的解集； （ii）若，使得对，都有，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $