第2章 特殊三角形题型过关专练（中等类型）-2025-2026学年浙教版八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】

第2章 特殊三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、镜面对称——车牌、钟表 【解惑】某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 【融会贯通】 1．从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　） A． B． C． D． 2．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是，那么它的实际车牌号是： ． 3．如图，是平面镜里看到背向墙壁的电子钟示数，这时的实际时间应该是 ． 类型二、镜面对称——台球、光线 【解惑】如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（    ） A．号袋 B．号袋 C．号袋 D．号袋 【融会贯通】 1．无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 2．如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是 3．如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则 ． 类型三、勾股定理求解 【解惑】如图，在四边形中，于点，若，则的值为（　　） A．20 B．24 C．28 D．30 【融会贯通】 1．如图，在中，，为上一点．若，的面积为，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，，则点到的距离 3．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接，若，，则的长为 ． 类型四、赵爽弦图 【解惑】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 【融会贯通】 1．中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 2．如图，是年月北京第届国际数学家大会会标我国古代的数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”，它由个全等的直角三角形拼合而成如果图中大、小正方形的面积分别为和，那么这个直角三角形的两直角边的积等于 ． 3．如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为 ． 类型五、角平分线的判定定理 【解惑】如图：， (1)图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 【融会贯通】 1．如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 2．如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分． 3．如图，在中，，点在边上，且，，的延长线交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 类型六、垂直平分线的判定定理 【解惑】如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【融会贯通】 1．如图，已知，与相交于点E． (1)请你添加一个条件使，并加以证明， (2)在第（1）问的条件下延长、交于点P，直线是线段的垂直平分线吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 2．已知：如图，中，平分于E，于F，连接．求证： (1)； (2)垂直平分． 3．如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． (1)试说明：垂直平分； (2)若，请问满足什么条件时，？请说明理由． 类型七、勾股定理的实际应用 【解惑】如图，一架长13米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙12米． (1)此时梯子顶端离地面多少米？ (2)若梯子顶端上移2米，那么梯子底端将向右滑动多少米？ 【融会贯通】 1．数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 2．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 3．有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？    类型八、勾股定理逆定理的应用 【解惑】如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【融会贯通】 1．如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中阴影部分土地的面积． 2．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 3．如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价70元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 类型九、勾股定理的证明 【解惑】如图，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．拼接成以c为边长的正方形，试利用这个图形验证勾股定理． 【融会贯通】 1．如图所示，，请你添加适当的辅助线证明结论． 2．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 3．《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】    （1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（），小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）． ①一个直角三角形纸片的面积为____，小正方形边长为_____．（用含a，b的代数式表示） ②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简） 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．请利用上面得到的结论求解． ①若，求的长． ②若，的长比的长大2，求的长． 【应用拓展】 （3）如图3，已知，在中，，请求出的面积．    类型十、尺规作图 【解惑】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以线段为边画一个三角形，使其面积为6． (2)在图②中以线段为边画一个三角形，使其面积为6． (3)在图③中以线段为边画一个等腰直角三角形． 【融会贯通】 1．利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 2．图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图中，边上找点D，使 (2)在图中，边上找点 E，使 3．在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．） (1)在图1中作出所有长为5的线段，且点是格点； (2)在图2中先作一条线段，使，再作一条线段，且、为格点； (3)在图3中作一条线段，使． 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 特殊三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、镜面对称——车牌、钟表 【解惑】某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 【答案】C 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 利用镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成轴对称， 则该汽车的号码是E6395， 故选：C． 【融会贯通】 1．从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间。 【详解】解：平面镜成像遵循“像与物体关于镜面对称”的规律，这意味着镜子中呈现的像和实际物体在左右方向上是相反的， 对镜子中的像进行左右翻转观察镜子中电子钟的像，得到的数字组合即为实际时间，由此可知实际时间为：． 故答案为：． 2．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是，那么它的实际车牌号是： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了镜面对称的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字，也可以简单的写在纸上，然后从纸的后面看，关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平线的对称即可． 【详解】解：实际车牌号是， 故答案为：． 3．如图，是平面镜里看到背向墙壁的电子钟示数，这时的实际时间应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，即电子钟数字“2”镜像为“5”、“0”镜像为“0”、“5”镜像为“2”、“1”镜像为“1”，且整体左右翻转后，镜中“20:51”对应实际时间“12:05”. 故答案为：． 类型二、镜面对称——台球、光线 【解惑】如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（    ） A．号袋 B．号袋 C．号袋 D．号袋 【答案】C 【分析】根据题意画出图示可直接得到答案． 【详解】解：如图所示：球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的C号袋中， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，解题的关键是掌握每次的入射角总是等于反射角． 【融会贯通】 1．无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出．由光的反射定律可知，，再由平行线的性质推出，从而得出结论． 【详解】解：如图： 由光的反射定律可知， ， ， 两平面镜平行， 两直线平行，内错角相等， 由光的反射定律可知， 故选：C． 2．如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是 【答案】673 【分析】如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：如图， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环， 经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹， ∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 3．如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据题意可得：，，，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 类型三、勾股定理求解 【解惑】如图，在四边形中，于点，若，则的值为（　　） A．20 B．24 C．28 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理：在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由勾股定理得，，，，则，结合，，即得． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在中，，为上一点．若，的面积为，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查利用直角三角形的性质和面积公式来求解的长度．首先，利用三角形的面积公式求出的长度；然后，利用直角三角形BCD的勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 在中，， 即 ， 解得：(负值舍去)， ∴． 故选：B． 2．如图，中，，，，则点到的距离 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出AC的长度，再根据三角形面积的两种不同表示方法，求出点A到BC的距离．本题主要考查了勾股定理以及三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理和三角形面积的不同计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 设点A到BC的距离为， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 3．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，作图-基本作图：作已知线段的垂直平分线，并掌握线段垂直平分线的性质是关键．根据线段垂直平分线的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 则， 解得x． 故答案为：． 类型四、赵爽弦图 【解惑】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出的长度， 然后利用外围周长即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴ ， ∴风车的外围周长是； 故选：D． 【融会贯通】 1．中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理，求出的长，进而求出小正方形的边长，再根据面积公式求出其面积即可． 【详解】解：由图和勾股定理，得：， ∴小正方形的边长为， ∴小正方形的面积是； 故选B． 2．如图，是年月北京第届国际数学家大会会标我国古代的数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”，它由个全等的直角三角形拼合而成如果图中大、小正方形的面积分别为和，那么这个直角三角形的两直角边的积等于 ． 【答案】24 【分析】本题考查的是勾股定理的证明，关键是勾股定理的熟练掌握．设两直角边分别为，，且，由勾股定理可得，结合小正方形的面积可得，再结合完全平方公式可得答案． 【详解】解：设两直角边分别为，，且， 根据题意得：，， ， ， ， 即两直角边的积等于， 故答案为：． 3．如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理，求阴影部分面积等．根据题意设，则，根据勾股定理列式，继而得到，即可得到本题答案． 【详解】解：由“赵爽弦图”可知， ∴设，则， ∵，的长为5， ∴，解得：， ∴阴影部分的面积：， 故答案为：15． 类型五、角平分线的判定定理 【解惑】如图：， (1)图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及角平分线的判定， （1）设交于点G，先证明，进而得出，即可证明结论； （2）作于P，于Q，由全等得出，即可证明结论； 【详解】（1）解：结论：，理由如下：         如图，设交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，                                 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图，作于P，于Q， ∵， ∴（全等三角形对应边上的高相等）， ∵于P，于Q， ∴平分． 【融会贯通】 1．如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)32 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 2．如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的判定是解题的关键． 先证明，得到，再根据角平分线的判定即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴平分． 3．如图，在中，，点在边上，且，，的延长线交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形．熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的判定是解题的关键． （1）由，，，得，即得． （2）过点作，，证明．得．即得平分． 【详解】（1）证明：，，， ， ． （2）证明：如图，过点作，，垂足分别为G，H． 由（1）知，， ，． ， ． ． 平分． 类型六、垂直平分线的判定定理 【解惑】如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)12 (2)点O 在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为12； （2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 【融会贯通】 1．如图，已知，与相交于点E． (1)请你添加一个条件使，并加以证明， (2)在第（1）问的条件下延长、交于点P，直线是线段的垂直平分线吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)添加条件为：，证明见解析 (2)是，证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）添加条件为：，然后证明出即可； （2）延长、交于点P，根据题意证明出，得到，，判断出点E在的垂直平分线上，然后证明出，得到，判断出点P在的垂直平分线上，即可证明直线是线段的垂直平分线． 【详解】（1）添加条件为： ∵，， ∴； （2）是，证明如下： 如图所示，延长、交于点P， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴点E在的垂直平分线上 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点P在的垂直平分线上 ∴直线是线段的垂直平分线． 2．已知：如图，中，平分于E，于F，连接．求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，垂直平分线的判定． （1）由角平分线的定义，垂直定义，可以得到全等三角形的条件，根据全等三角形性质，得出对应边相等； （2）根据全等三角形的性质可得，，即可得证． 【详解】（1）证明：平分， ， 于，于， ， 在与中， ， ． （2）证明：∵ ∴， ∴垂直平分． 3．如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． (1)试说明：垂直平分； (2)若，请问满足什么条件时，？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定等知识点 （1）由题意，证明再证明，得到，且，即可推出结论； （2）由已知推出，证明再由三角形内角和推出，即可推出结论． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，且， ∴垂直平分． （2）当时，． 理由：当时，． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴当时，． 类型七、勾股定理的实际应用 【解惑】如图，一架长13米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙12米． (1)此时梯子顶端离地面多少米？ (2)若梯子顶端上移2米，那么梯子底端将向右滑动多少米？ 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形． （1）根据勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出即可． 【详解】（1） 由题意得，米，米， 在中，（米）， 故此时梯子顶端离地面5米； （2）由题意得，（米），米， 在中，（米）， 则（米）， 故梯子底端将向右滑动米． 【融会贯通】 1．数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 【答案】(1)12米 (2)7米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，根据勾股定理列方程求解即可； （2）先根据勾股定理求出，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米， 由题意知：米，， 在中， ， ， 解得：， 答：旗杆的高度12米； （2）解：由（1）知，米，则米， 米， 米， 答：珍珍应从A处向东走7米． 2．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1)旗杆距地面处折断； (2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）设AC长为，则长，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，由题意可得，求得．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设AC长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ， 解得． 答：旗杆在距地面处折断； （2）如图，由题意可得， ∴． 在中，， 因为， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 3．有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？    【答案】水池的深度为尺，芦苇的长度为尺 【分析】根据题意，构造直角三角形，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图：设芦苇长为尺，则水深为尺．    ∵芦苇长在水池中央， （尺） 根据勾股定理得：， 则：， 解得：， ， 答：水池水深尺，芦苇长尺． 【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理的内容，勾股题意构造直角三角形，，根据勾股定理列出方程求解是解题的关键． 类型八、勾股定理逆定理的应用 【解惑】如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：∵， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 【融会贯通】 1．如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中阴影部分土地的面积． 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2)平方米 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用； （1）直角三角形中，利用勾股定理解出，再利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形； （2）由，结合三角形面积公式解答． 【详解】（1）解：直角三角形ABC中， ，， ， ， ， ， 是直角三角形； （2） （平方米）． 2．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，利用等面积法求出的长，即可得到结论； （2）在线段上取两点E、F，使得，连接，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可得答案． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图所示，在线段上取两点E、F，使得，连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵台风中心移动的速度为，且， ∴台风影响海港C持续的时间有， 答：台风影响海港C持续的时间有． 3．如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价70元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 【答案】(1)12 (2) (3)5880元 【分析】(1)利用勾股定理直接计算求解即可． (2) 根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式计算即可． (3) 根据面积乘以单价计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故的长为12米． （2）∵，，， 且， ∴， ∴四边形面积为： =． （3）解：根据题意，得（元）． 类型九、勾股定理的证明 【解惑】如图，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．拼接成以c为边长的正方形，试利用这个图形验证勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，通过不同的方法求图形的面积列等式是解题的关键． 根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； 【详解】解：图形的总面积可以表示为， 如图， 也可以表示为， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．如图所示，，请你添加适当的辅助线证明结论． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，涉及到长方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及通过作辅助线构造特殊图形是解题的关键．首先作辅助线得到长方形，再证明三角形全等，然后根据长方形面积与几个三角形和一个等腰直角三角形面积之和相等，列出等式化简后得出勾股定理结论． 【详解】证明：如答图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则四边形是长方形． ， ，， ． 又， ， ， ， ． 2．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.2千米 【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案． 【详解】（1）证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少0.2千米． 3．《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】    （1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（），小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）． ①一个直角三角形纸片的面积为____，小正方形边长为_____．（用含a，b的代数式表示） ②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简） 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．请利用上面得到的结论求解． ①若，求的长． ②若，的长比的长大2，求的长． 【应用拓展】 （3）如图3，已知，在中，，请求出的面积．    【答案】（1）①；；②小正方形面积为或，；（2）①5；②10；（3）84 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的证明，列代数式，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键． （1）①根据三角形面积计算公式可得第一空答案，再由图形之间的关系可得小正方形面积等于直角三角形的长直角边的长减去短直角边的长，据此可得第二空的答案；②根据正方形面积计算公式可得小正方形面积为，根据小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积可得小正方形的面积为，则，据此可得答案； （2）①根据（1）可得，据此计算求解即可；②根据（1）可得，据此求解即可； （3）过点A作于D，设，则，则可证明，即，解方程求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）①由题意得，一个直角三角形纸片的面积为，小正方形的边长为； ②∵小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为； ∵小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积， ∴小正方形的面积为， ∴， ∴， ∴； （2）①由（1）可得， ∵， ∴， ∴或（舍去）； ②∵的长比的长大2， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）如图所示，过点A作于D， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴．    类型十、尺规作图 【解惑】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以线段为边画一个三角形，使其面积为6． (2)在图②中以线段为边画一个三角形，使其面积为6． (3)在图③中以线段为边画一个等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】题考查了格点作图，等腰三角形的性质，三角形的面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）取格点，连接，则底为，高为的面积为6； （2）取格点，连接，则底为，高为的面积为6； （3）取格点，连接，根据网格知识可得为等腰直角三角形． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图，即为所求， 【融会贯通】 1．利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）第一个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的；第二个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的； （2）分别作P关于的对称点，连接分别交于，连接，由对称性可得：，则，根据两点之间线段最短可知，最小． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 2．图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图中，边上找点D，使 (2)在图中，边上找点 E，使 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题格点作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等． （1）如图中，取格点E，连接交于点D，线段即为所求．根据三边对应相等可判定，推出，进而可证； （2）如图中，利用格点构造等腰直角三角形，交于点E，点E即为所求 【详解】（1）解：如图中，线段即为所求； （2）解：如图中，构造等腰直角三角形，交于点E，点E即为所求． 3．在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．） (1)在图1中作出所有长为5的线段，且点是格点； (2)在图2中先作一条线段，使，再作一条线段，且、为格点； (3)在图3中作一条线段，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查网格作图-应用与设计作图，涉及勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）由网格特点或勾股定理取格点，即可得解； （2）由网格特点和勾股定理，取格点、，可得到，； （3）由网格特点和勾股定理，取格点，可得到，再取与格线的交点，得到． 【详解】（1）解：如图1，格点和线段或点和线段即为所求作； ； （2）解：如图2，格点和点，线段和线段即为所求作； ； （3）解：如图3，线段即为所求作． 6 学科网（北京）股份有限公司 $