第2章 特殊三角形（优质类型）-2025-2026学年浙教版八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

第2章 特殊三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、两圆一线画等腰三角形 【解惑】如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 【融会贯通】 1．在等边所在平面上找这样一点P，使、、都是等腰三角形，所有具有这样性质的点有几个？（　　） A．3 B．7 C．8 D．10 2．在中，，，在直线或上取点D，使得是等腰三角形，则符合条件的D点有 个． 3．如图所示，在中，，，点D在CA上，且，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使为等腰三角形的点P有 个． 类型二、两线一圆画直角三角形 【解惑】如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【融会贯通】 1．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 3．如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ． 类型三、折叠问题 【解惑】如图，在中，，现将进行折叠，使顶点重合，则折痕的长为（   ） A． B． C． D．5cm 【融会贯通】 1．如图，将长方形纸片沿折叠折线交于点，交于点，点、的对应点分别是，，交于点，再将四边形沿折叠，点，的对应点分别是、，交于点，给出下列结论： ；；若，则；．上述正确的结论是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将一张长方形纸片分别沿着、折叠，使边、均落在上，得到折痕、，则 ． 3．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点分别落在的位置，再沿折叠成图2，点分别落在的位置，已知，分别计算 （提示：长方形四个内角都为直角） 类型四、蚂蚁爬行问题 【解惑】如下图所示，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 2．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ． 3．如图，一圆柱体的底面半径为，高为，是上底面的直径．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行两圈到达点，爬行的最短路程是 类型五、等腰(边)三角形的手拉手 【解惑】综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的，小鸣在设计的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．已知和都是等腰直角三角形，且 【初步探究】（1）小鸣将绕点A在平面内自由旋转，连接后，发现他们之间存在着一定的关系，如图（1），请证明：且； 【深入探究】（2）若，O点为的中点，旋转过程中，当点D、点E和点O三点共线时，如图2，求证：． 【拓展探究】（3）如图3，当，，，则______．（直接写出结果） 【融会贯通】 1．【问题情境】 数学活动课上指导教师带领学习小组利用特殊的等腰三角形—等边三角形进行如下研究． 【提出问题】 如图1，与都是等边三角形，连接． （1）当点，，在一条直线上时，求证，并求的度数； 【类比探究】 如图2，和都是等边三角形，且． （2）连接，并分别延长交于点，试猜想和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，将绕点按顺时针方向旋转，当时，连接，，直接写出的面积． 2．如图，在中，于，，是上的一点，且，连接，． (1)求证：； (2)如图，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (3)如图，若将（）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． 试猜想与的数量关系，并说明理由； 你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 3．已知和都是等腰三角形，其中． (1)【尝试证明】如图1，连结、，求证：； (2)【变式探究】如图2，连结、，若，，求的长； (3)【拓展提升】如图3，若，以点为旋转中心旋转，使得点恰好落在斜边上，试探究之间存在怎样的数量关系？ 类型六、角平分线与垂直平分线结合求解 【解惑】从已有定理出发，研究其逆命题是否成立，是我们发现数学结论的重要方法之一，请根据这一思路完成下列任务． 【任务1】逆向思考：我们已经证明过命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，请补充它的逆命题：在直角三角形中，如果 ，那么 ． 【任务2】推理证明：请根据如下思路证明任务1中的逆命题． 已知：如图1，在中，， ， 求证： ． 证明：延长到点D，使，连接． …… 【任务3】结论应用：如图2，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接的角平分线交于点F．若，则的度数为 ，线段的长为 ． 【融会贯通】 1．如图，是的角平分线，的垂直平分线分别交于点、交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 2．如图，在中，，，是的角平分线上一点，于点，线段的垂直平分线交于点，垂足为点．    (1)若，求的长； (2)连接，求证：． 3．如图1，D为延长线上一点，的角平分线交垂直平分线于点E，交延长线上一点F．    (1)作关于直线的轴对称图形； (2)求证：； (3)如图2，P为线段（不与E、F点重合）上异于A点的任一点，试比较与的大小关系，并说明理由． 类型七、等腰(直角)三角形动点求t 【解惑】如图，在中，， ，，动点P从点B出发沿射线方向以的速度运动．设运动时间为 ts． (1)求的长度； (2)当 为直角三角形时，求t的值； (3)是否存在这样的t，使 为等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 【融会贯通】 1．如图：已知中，，的面积是12，于点，点在直线上，且，动点从点出发，以每秒1个单位的速度从点沿射线运动，设运动的时间为秒，回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连结，当与全等时，求值； (4)在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形，直接写出的值． 2．如图，中，，点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为，点N的速度为，当点M，点N第一次相遇时，点M，点N同时停止运动，设点M，点N的运动时间为t（）秒． (1)当时， ；当时， ． (2)当点N在上时， ；当点N在上时， （分别用含t的代数式表示）． (3)点N在上时，请问t为何值时，是直角三角形，并说明理由． (4)连结，请问t为何值时，线段的垂直平分线经过的某一顶点，并说明理由． 3．如图，等边的边长为4，点是边的中点，动点从出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，当点不与点重合时，连结．设点的运动时间为． (1)线段的长度为________． (2)用含t的代数式表示线段． (3)当是等腰三角形时，求t的值． (4)作点关于点的对称点，连结．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出的值． 类型八、等腰三角形的新定义 【解惑】数学活动课上，张老师在黑板写下新定义：“若三角形中存在一个内角的度数恰好是另一个内角度数的两倍，则称这个三角形为“倍角三角形”，同学们好奇地围拢过来，开启了对“倍角三角形”的探究之旅…… (1)张老师给出三个三角形示例，让大家快速判断：一定是“倍角三角形”的是_____（只填写序号）． ①顶角为的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． (2)同学们动手折纸，构造几何模型：如图1，在等腰中，，，将沿边所在直线翻折得到，延长到点，交于点，连接． ①张老师抛出猜想：一定符合“倍角三角形”的定义！”请你帮同学们证明这个结论； ②点在线段上，连接，若，分所得的两个三角形中，是“倍角三角形”，是等腰三角形，请直接写出的度数． 【融会贯通】 1．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”． (1)请在如图2中，作出的“双等腰线”，并标出各内角度数或作必要的标注； (2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是____________； (3)如图3，已知在中，，，点O是的中点，过点C作，交的延长线于点D，边上的一点E恰好在的垂直平分线上，求证：线段、是的“三等腰线”． 2．定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们__________（填是或否）友谊三角形； (2)如图1，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系； (3)如图2，在四边形中，，，求证：与是友谊三角形． 3．请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 素材 定义1 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 定义2 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 任务图 探究任务 任务1 如图1，在中，，，和_____等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线． 任务3 在中，，是的等角分割线，若是等腰三角形，请求出的度数． 类型九、勾股定理证明线段平方关系 【解惑】如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 【融会贯通】 1．如图，E、F是等腰的斜边BC上的两动点，且．    求证： (1)； (2)． 2．【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 3．在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 类型十、勾股定理的新定义 【解惑】定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边均有交点，则这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”． (1)若边上的“中高距”为0，求证：； (2)若，，，求边上的“中高距”． 【融会贯通】 1．定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图2，在中，，，，与是共边直角三角形，连接．当时，求的长． (3)拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分． 2．我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”． (1)如图，已知，，，过点能作出的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由； (2)如图，若是矩形的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将用含的代数式表示为______； (3)如图，已知四边形中，，，，．作出四边形的“紫金线”． 3．定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题． (2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”． 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 特殊三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、两圆一线画等腰三角形 【解惑】如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边与延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故选：A．    【融会贯通】 1．在等边所在平面上找这样一点P，使、、都是等腰三角形，所有具有这样性质的点有几个？（　　） A．3 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的性质．利用分类讨论的思想是解答本题的关键． ①如图所示，当点P在三角形的内部时，点P到的三个顶点的距离相等；②如图所示，当P在的外部时，每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连接而成的三角形是等腰三角形即可． 【详解】解：①当点P在三角形的内部时，点P是边、、的垂直平分线的交点，如图点． ②当P在三角形的外部时，分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，与垂直平分线的交点有3个，如图，点，共9个． 综上，具有这样性质的点P共有10个． 故选：D． 2．在中，，，在直线或上取点D，使得是等腰三角形，则符合条件的D点有 个． 【答案】6 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的存在性问题，分别以、为圆心，长为半径画圆与直线或取交点，再作的垂直平分线与直线或取交点即为所求． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，以为圆心，长为半径画圆与直线交于点和，与直线交于点和，则为等边三角形， ∴以为圆心，长为半径画圆与直线交于点和，与直线交于点和， 作的垂直平分线与直线交于点，与直线交于点， 综上所述，符合条件的D点有6个． 故答案为：． 3．如图所示，在中，，，点D在CA上，且，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使为等腰三角形的点P有 个． 【答案】 【分析】点在上时，存在三种情况使为等腰三角，点在上时，存在一种情况使为等腰三角形． 【详解】解：①点在上时， 当时， ∵，， ∵， ∴， ∴, ∴； 当时，； 当时，； ②当点在上时， 存在， 综上，使为等腰三角形的点P有个， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解本题的关键． 类型二、两线一圆画直角三角形 【解惑】如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 【融会贯通】 1．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 2．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 【答案】 或5 4或10 【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可． 【详解】解：如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得：t=10． 故答案为：或5；4或10． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 3．如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】7或17 【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可． 【详解】解：当E在线段AD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEC=∠FEC==135°， ∴∠CED=45°， ∴CD=ED=5， ∴AE=AD-ED=12-5=7； 当E在线段BD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF， ∵∠AEF=90°， ∴∠CEF=∠CEA=45°， ∴ED=CD=5， ∴AE=AD+DE=17， 故答案为：7或17． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题． 类型三、折叠问题 【解惑】如图，在中，，现将进行折叠，使顶点重合，则折痕的长为（   ） A． B． C． D．5cm 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，折叠性质，先根据勾股定理求出的长，再由折叠性质得到，，设，则，，再根据勾股定理列式计算即可． 【详解】解：，，， ， ． 由折叠的性质可得，． 设，则，． 在中，， ，解得， 即， ， ． 故选C． 【融会贯通】 1．如图，将长方形纸片沿折叠折线交于点，交于点，点、的对应点分别是，，交于点，再将四边形沿折叠，点，的对应点分别是、，交于点，给出下列结论： ；；若，则；．上述正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线性质、折叠的性质、三角形外角的性质、一元一次方程的应用等知识，弄清角之间的关系并运算所学知识求解成为解题的关键． 由折叠性质得到、，根据平行线性质得到，再由三角形外角性质确定，设，，则，只有当时结论才成立；由得到，结合折叠性质求证即可得到正确；在的求证过程中可知，设，则，从而由折叠性质表示出角度关系列方程求解即可得到正确；在的证明过程中，结合外角性质即可得到正确． 【详解】解：由折叠性质得、， ， ， ，则， 是一个外角， ， 设，，则， 当时，， 但题中并未明确、的度数，故错误； ∵， ， 由折叠性质可知， ∴，故正确； 由折叠性质得，． 由的证明过程可知，， 设，则， ， ， ，解得：， ∴，故正确； 由知， 是的一个外角， ，故正确； 综上，题中正确的结论是． 故选：B． 2．如图，将一张长方形纸片分别沿着、折叠，使边、均落在上，得到折痕、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，得出角度之间的关系式是解决问题的前提． 根据折叠得到，，再根据这四个角的和为直角，进而得出等于直角的一半． 【详解】解：由折叠得，，， ， ， 故答案为：． 3．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点分别落在的位置，再沿折叠成图2，点分别落在的位置，已知，分别计算 （提示：长方形四个内角都为直角） 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和等于180度，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 由折叠可得：，，从而得出．再根据，即可求得，进而求得；又由折叠可得：，，，则，即可得出． 【详解】解：由折叠可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得：，， ∴ ∴ 故答案为：；． 类型四、蚂蚁爬行问题 【解惑】如下图所示，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题以及勾股定理的应用，重点考查对立体图形展开图的理解以及勾股定理的实际运用能力． 需要将长方体的侧面展开，把立体图形问题转化为平面图形问题，然后利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路径． 【详解】解：把长方体的四个侧面展开，得到一个长方形． 这个长方形的长是长方体底面周长，宽是长方体的高， 已知长方体底面边长分别为和，高为， 则底面周长为，长方形的宽为． 蚂蚁从点经过个侧面爬行一圈到达点， 其最短路径是展开后长方形的一条对角线， 设蚂蚁爬行的最短路径长为， 在这个长方形中，两条直角边分别为和， 则有可得， 因为长度不能为负，所以舍去，得到． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆柱的展开图，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．把圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作的交的延长线于点，连接交于点，根据两点之间线段最短，可知最短路径为，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，如图所示： ，， 蚂蚁吃到饭粒的路径为，此时路径最短， 透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处， ，，，， ， ， ． 蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是． 故选：C． 2．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．把长方体按照正面和右侧进行展开，或沿长方体的右侧和上面进行展开，分别计算长度进行比较即可得到答案． 【详解】由题意得： ①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； 则； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是， 由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 3．如图，一圆柱体的底面半径为，高为，是上底面的直径．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行两圈到达点，爬行的最短路程是 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是正确画出圆柱的侧面展开图；画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理进行解答，即可求解． 【详解】解：圆柱体的底面圆的周长为， 侧面展开图如下： ， ， 爬行的最短路程是． 故答案为：． 类型五、等腰(边)三角形的手拉手 【解惑】综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的，小鸣在设计的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．已知和都是等腰直角三角形，且 【初步探究】（1）小鸣将绕点A在平面内自由旋转，连接后，发现他们之间存在着一定的关系，如图（1），请证明：且； 【深入探究】（2）若，O点为的中点，旋转过程中，当点D、点E和点O三点共线时，如图2，求证：． 【拓展探究】（3）如图3，当，，，则______．（直接写出结果） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6 【分析】（1）证明即可得到，延长交于点，根据互余关系求证即可； （2）过C作；证明，则；由已知易得，；由勾股定理得，进而得； （3）设，则，由(1)可得，则，导角证明，过点E作交延长线于点H，则，在中，，则，由勾股定理得，在中，，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得 ，再由即可求解． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过C作， 则； ∵O为的中点， ∴； 在和中， ， ∴， ∴； 由（1）知，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴； 由勾股定理得， ∴； （3）解：设，则， 由(1)可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点E作交延长线于点H， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴由勾股定理得：， 在中，， ∴由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识；有一定的综合性，证明三角形全等是解题的关键． 【融会贯通】 1．【问题情境】 数学活动课上指导教师带领学习小组利用特殊的等腰三角形—等边三角形进行如下研究． 【提出问题】 如图1，与都是等边三角形，连接． （1）当点，，在一条直线上时，求证，并求的度数； 【类比探究】 如图2，和都是等边三角形，且． （2）连接，并分别延长交于点，试猜想和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，将绕点按顺时针方向旋转，当时，连接，，直接写出的面积． 【答案】（1）见解析，；（2），见解析；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质证明，再利用全等三角形的性质求解； （2）根据等边三角形的性质证明，利用全等三角形的性质得到，结合全等三角形的性质得到，最后由全等三角形的性质求解； （3）延长交于点，证明，再证明，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而求出的值，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：（或相等），60度． （2）．理由如下： 和都是等边三角形， ，，，． ． 在和中 ， ， ． ∵， ， ， ． ， ． ． ， ， 在和中 ， ． （3）延长交于点， ∵和都是等边三角形，且， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴，，，即：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：，即：， 解得：或（舍去）， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和定理，是解题的关键． 2．如图，在中，于，，是上的一点，且，连接，． (1)求证：； (2)如图，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (3)如图，若将（）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． 试猜想与的数量关系，并说明理由； 你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，，理由见解析； (3)，理由见解析；能，与的夹角度数为，理由见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关性质，证明三角形全等是解题的关键． （）由，则，证明，然后通过全等三角形性质即可求证； （）设与交于点，与交于点，同（）理证明，则有，，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）同（）理证明，然后通过全等三角形性质即可求证； 设与交于点，由得，则，然后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：，，理由， 如图，设与交于点，与交于点， ∵， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； 能，与的夹角度数为，理由， 如图，设与交于点， 由得， ∴， ∴ ， ∴与的夹角度数为． 3．已知和都是等腰三角形，其中． (1)【尝试证明】如图1，连结、，求证：； (2)【变式探究】如图2，连结、，若，，求的长； (3)【拓展提升】如图3，若，以点为旋转中心旋转，使得点恰好落在斜边上，试探究之间存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)见解析 (2)10 (3) 【分析】（1）先判断出，进而得出，即可得出结论． （2）先求出，证，进而求出，最后用勾股定理即可得出结论． （3）先证，得到，求出，在中，由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∴在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图所示，连接， ∵，，， ∴在等边三角形中，平分， ∴，， 又∵， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵在等边中，， ∴在中，由勾股定理得， ， 故的长为10． （3）解：如图所示，连接， ∵，，， ∴为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形， ∴， 又∵， 即， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴在中，由勾股定理得，， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 类型六、角平分线与垂直平分线结合求解 【解惑】从已有定理出发，研究其逆命题是否成立，是我们发现数学结论的重要方法之一，请根据这一思路完成下列任务． 【任务1】逆向思考：我们已经证明过命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，请补充它的逆命题：在直角三角形中，如果 ，那么 ． 【任务2】推理证明：请根据如下思路证明任务1中的逆命题． 已知：如图1，在中，， ， 求证： ． 证明：延长到点D，使，连接． …… 【任务3】结论应用：如图2，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接的角平分线交于点F．若，则的度数为 ，线段的长为 ． 【答案】任务1：一条直角边等于斜边得一半；这条直角边所对的锐角等于；任务2：；；见解析；任务3：15； 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定等待，证明任务1中的逆命题是解题的关键． 任务1：把原命题题设和条件互换作为其逆命题的题设和结论即可得到其逆命题； 任务2：证明，得到，，则可证明是等边三角形，得到，据此可证明结论； 任务3：由线段垂直平分线的性质得到，则，由三角形外角的性质可得；过点F作于H，则，可得，则；由勾股定理得，证明，得到，则． 【详解】解：任务1：由题意得，原命题的逆命题为在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边得一半，那么这条直角边所对的锐角等于； 任务2：由题意得，已知条件为，求证为； 证明：延长到点D，使，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 任务3：∵边的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点F作于H， ∵的角平分线交于点F，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 由勾股定理得， ∵，的角平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．如图，是的角平分线，的垂直平分线分别交于点、交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由垂直平分线的性质知，，由等边对等角知，； （）由垂直平分线的性质知，，则，由平分，则有，可得，再根据平行线的判定即可求证； 本题考查了垂直平分的性质，角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，，，是的角平分线上一点，于点，线段的垂直平分线交于点，垂足为点．    (1)若，求的长； (2)连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形和等腰三角形的性质是解答本题的关键． （1）先根据是等边三角形，是的平分线，得到，由于点，得到，再由为线段的垂直平分线，得到，由此得到答案． （2）由（1）知，，求出，由线段的垂直平分线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，从而得到，由此得到证明． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ， 是的平分线， ， 于点， ， ， 为线段的垂直平分线， ， ． （2）证明：由（1）知，， ， ， 垂直平分线段， ， ， ， ． 3．如图1，D为延长线上一点，的角平分线交垂直平分线于点E，交延长线上一点F．    (1)作关于直线的轴对称图形； (2)求证：； (3)如图2，P为线段（不与E、F点重合）上异于A点的任一点，试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；理由见解析 【分析】（1）根据平分，在上截取，连接，即可得出； （2）根据，得出，，证明，得出，证明，根据，结合三角形内角和定理，即可证明结论； （3）在上截取，连接，证明，得出，根据，，即可证明． 【详解】（1）解：在上截取，连接，则即为所求，如图所示：    ∵平分， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴与关于直线对称； （2）证明：根据解析（1）可知， ∴，， ∵点E在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即；    （3）解：；理由如下： 在上截取，连接，如图所示：    根据解析（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，垂直平分线的性质，补角的性质，作轴对称图形，解题的关键是数形结合，三角形三边关系，熟练掌握三角形全等的判定方法． 类型七、等腰(直角)三角形动点求t 【解惑】如图，在中，， ，，动点P从点B出发沿射线方向以的速度运动．设运动时间为 ts． (1)求的长度； (2)当 为直角三角形时，求t的值； (3)是否存在这样的t，使 为等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）分为两种情况：当为直角时；当为直角时，分别求解即可； （3）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，求解可求得t值． 【详解】（1）解：∵， ，， ； （2）①当为直角时，点P与点C重合， 此时， ∴． ②当为直角时， ， ， ， 在中， 在中， ， 解得 ， 综上， 当或 时，为直角三角形． （3）如图∶ ①当时， ； ②当时， ， ； ③当时， ， ，， 在中， 所以 解得：， 综上所述：当为等腰三角形 时，或或 【融会贯通】 1．如图：已知中，，的面积是12，于点，点在直线上，且，动点从点出发，以每秒1个单位的速度从点沿射线运动，设运动的时间为秒，回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连结，当与全等时，求值； (4)在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1)4 (2)当时，；当时， (3)或 (4)或或 【分析】（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，求出结果即可； （2）根据点的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可； （3）分两种情况：当点在点左侧，时，点在点右侧，时，分别列出方程，解方程即可； （4）分两种情况讨论：当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：， ， ， ∵动点从点出发，以每秒 1 个单位长度的速度从点沿射线运动，运动的时间为秒， ∴当时，； 当时，； （3）解：∵， ， ， ， 当点在点左侧，时，， ， 解得：； 当点在点右侧，时，， ， 解得：； 综上分析可知：或时，与全等； （4）解：当时，， ∵， ∴，即点P与点B重合， ； 当，点在点左侧时，， ， ∴； 当点在点右侧，， ， ∴； 综上，或或时，是以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 2．如图，中，，点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为，点N的速度为，当点M，点N第一次相遇时，点M，点N同时停止运动，设点M，点N的运动时间为t（）秒． (1)当时， ；当时， ． (2)当点N在上时， ；当点N在上时， （分别用含t的代数式表示）． (3)点N在上时，请问t为何值时，是直角三角形，并说明理由． (4)连结，请问t为何值时，线段的垂直平分线经过的某一顶点，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)t为4.5或5时，是直角三角形；理由见解析 (4)或或或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识． （1）根据等边三角形的性质和路程解答即可； （2）根据速度和时间得出路程，进而解答即可； （3）由题意当时，点N落在上，此时点M也在上．当点M或点N是的中点时，是直角三角形．由此构建方程求解即可； （4）分四种情形，分别画出图形，构建方程求解． 【详解】（1）解：当，，， 当时，点M经过的路程为，， 故答案为：；； （2）解：当点N在上时，； 当点N在上时，； 故答案为：；； （3）解：t为4.5或5时，是直角三角形；理由如下： 由题意当时，点N落在上，此时点M也在上． 当点M或点N是的中点时，是直角三角形． ∴或， 综上所述，t为4.5或5时，是直角三角形； （4）解：t为或或或时，线段的垂直平分线经过的某一顶点；理由如下： 如图1中， 当线段的垂直平分线经过点A时，， 解得； 如图2中， 当线段的垂直平分线经过点B时，， 解得； 如图3中， 当线段的垂直平分线经过点C时，， 解得； 如图4中， 当线段的垂直平分线经过点A时，， 解得． 综上所述，满足条件的t的值为或或或． 3．如图，等边的边长为4，点是边的中点，动点从出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，当点不与点重合时，连结．设点的运动时间为． (1)线段的长度为________． (2)用含t的代数式表示线段． (3)当是等腰三角形时，求t的值． (4)作点关于点的对称点，连结．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)当时，；当时， (3)或6 (4)3或5 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据勾股定理得到， （2）由题意知，①当点在线段上时，②当点在线段延长线上时，根据题意列代数式即可； （3）根据等边三角形的性质得到．当点在线段上时，当点在线段延长线上时，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （4）当点在线段上时，当点在线段延长线上时，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）是等边三角形，点是边的中点， ，， ， ， 在中，， 故答案为：； （2）由题意知， ①当点在线段上时，， ②当点在线段延长线上时，； 综上所述，或； （3）是等边三角形， ． 当点在线段上时， 是等腰三角形， ∴是等边三角形， ， ， ； 当点在线段延长线上时， 是等腰三角形，， ， ， ； 综上所述，当是等腰三角形时，的值为2或6； （4）当点在线段上时， 点和是关于点的对称点， ， 是以为直角边的直角三角形， ， ， ； 当点在线段延长线上时， 点和是关于点的对称点， ， 是以为直角边的直角三角形， ， ， ， 综上所述，当是以为直角边的直角三角形时，的值为2或6． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键． 类型八、等腰三角形的新定义 【解惑】数学活动课上，张老师在黑板写下新定义：“若三角形中存在一个内角的度数恰好是另一个内角度数的两倍，则称这个三角形为“倍角三角形”，同学们好奇地围拢过来，开启了对“倍角三角形”的探究之旅…… (1)张老师给出三个三角形示例，让大家快速判断：一定是“倍角三角形”的是_____（只填写序号）． ①顶角为的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． (2)同学们动手折纸，构造几何模型：如图1，在等腰中，，，将沿边所在直线翻折得到，延长到点，交于点，连接． ①张老师抛出猜想：一定符合“倍角三角形”的定义！”请你帮同学们证明这个结论； ②点在线段上，连接，若，分所得的两个三角形中，是“倍角三角形”，是等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1)②③； (2)①见解析；②或或19°或． 【分析】本题是几何变换综合题，考查折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等，理解“倍角三角形”的定义是解题的关键． （1）利用“倍角三角形”的定义依次判断即可求解； （2）①由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，由等腰三角形的性质可得，可得结论；②分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解． 【详解】（1）解：若一个三角形是顶角为的等腰三角形， 则两个底角均为， ， 顶角是的等腰三角形不是“倍角三角形”； 若一个三角形是等腰直角三角形， 则三个角分别为，，， ， 等腰直角三角形是“倍角三角形”； 若一个三角形是有一个角为的直角三角形， 则另两个角分别为，， ， 有一个的直角三角形是“倍角三角形”， 故答案为：②③． （2）①证明：， ， ∵将沿边所在的直线翻折得到， ，，， ， ， 是“倍角三角形”； ②解：由①可得， 如图， ∵是等腰三角形， ∴， ∵是“倍角三角形”， 或或或， 当时，， ； 当时，， ； 当时， ∵ ∴， ， ； 当时， ∵ ， ， ． 综上所述：或或19°或． 【融会贯通】 1．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”． (1)请在如图2中，作出的“双等腰线”，并标出各内角度数或作必要的标注； (2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是____________； (3)如图3，已知在中，，，点O是的中点，过点C作，交的延长线于点D，边上的一点E恰好在的垂直平分线上，求证：线段、是的“三等腰线”． 【答案】(1)见解析； (2)或或或； (3)见解析． 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解三角形的“双等腰线”，“三等腰线”的定义，属于中考创新题型． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （2）设底角度数为x，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （3）证明，，都是等腰三角形即可． 【详解】（1）解：如图2，取的中点D，则， ∴和是等腰三角形；相等的线段为； 如图，取，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形；相等的线段为； 如图，作的垂直平分线，交于D，交于E，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形；相等的线段为，； （2）解：①设是以、为腰的锐角三角形，为“双等腰线”，如图， 当，时， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ②设是以、为腰的钝角三角形，为“双等腰线”，如图， 当，时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ③设是以、为腰的直角三角形，为“双等腰线”，如图， 当，时，为的垂直平分线， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ④设顶角为x， 可得，， 解得：， ∴ 故答案为：或或或； （3）证明：∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵点E在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，都是等腰三角形， ∴线段、是的“三等腰线”． 2．定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们__________（填是或否）友谊三角形； (2)如图1，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系； (3)如图2，在四边形中，，，求证：与是友谊三角形． 【答案】(1)是 (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，理解新定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可解决问题； （2）在上取一点，使得，利用全等三角形的判定和性质即可解决问题． （3）如图2中，根据三角形的内角和可得，如图：延长到点G，连接，使，易证可得，再结合为公共边以及友谊三角形的定义即可证明结论． 【详解】（1）解：全等三角形的对应边相等，对应角相等， 两个三角形全等，必有有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等， 若两个三角形全等，它们是友谊三角形， 故答案为：是； （2）解：平分， ， ，，与是友谊三角形， ， 如图所示，在上取一点，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）证明：如图，设与交于点， ，， ； 如图所示，延长到G，，连接 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵为公共边， ∴与是友谊三角形． 3．请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 素材 定义1 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 定义2 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 任务图 探究任务 任务1 如图1，在中，，，和_____等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线． 任务3 在中，，是的等角分割线，若是等腰三角形，请求出的度数． 【答案】任务1：是；任务2：见解析；任务3：或 【分析】任务1：推出，,从而得出结论; 任务2：可计算得出，得出是等腰三角形，再结合，从而得出结论； 任务3：当是等腰三角形时，分为：三种情形讨论即可； 本题是在新定义的基础上，考查了等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类讨论． 【详解】解：任务1：是 ∵ 和是等角三角形； 任务2： 在中，， 则， 为角平分线， ， ， 则， ，， ， 则， ，，，， 为的等角分割线． 任务3： ①当时，如图1， ， 是的等角分割线， ， ②当时，如图2， ， 是的等角分割线， ， 则， ③当时，， 则， 那么（舍去）， 故的度数为或． 类型九、勾股定理证明线段平方关系 【解惑】如图，和都是等腰三角形，其中，且． (1)如图1，连接，求证：． (2)如图2，若，且C点恰好落在上，试探究和之间的数量关系，并加以说明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，进而推出，勾股定理求出，进而推出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴． （2） 如图，连接． ∵． ∴． 同（1）法可得：． ∴． ∴，即． 在中，由勾股定理可知：． ∴， ∵， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．如图，E、F是等腰的斜边BC上的两动点，且．    求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据条件证即可； （2）根据条件证，从而得到．由（1）得．进而在中，根据勾股定理即可求证． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ，， ∵，∴， ， 在和中， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴． 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质，利用勾股定理证明线段的平方关系等知识点．根据已知条件进行几何推理是解题关键． 2．【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）通过证明即可证明； （2）连接，根据条件证明可得，进而得到，由勾股定理即可证明； （3）延长到T，使，连接，延长交于点J，即可证明，利用全等三角形的性质可得，即可求得． 【详解】（1）证明：∵点是线段，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图，    ∵是等腰三角形，是底边上的高线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长到T，使，连接，延长交于点J，如图，    ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 3．在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，再证，得到，然后由三角形内角和定理求解即可； （2）由等腰三角形的性质得出，再由推出，得出，由（1）得，，从而即可得出结论； （3）由全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，然后由勾股定理得，，即可得出结论． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）证明：，是的中点， ， 在和中， ， ， ， 由（1）得，， ； （3）证明：由（2）得：， ， ，，， ， 在中，， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 类型十、勾股定理的新定义 【解惑】定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边均有交点，则这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”． (1)若边上的“中高距”为0，求证：； (2)若，，，求边上的“中高距”． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题关键是熟练掌握直角三角形的性质． （1）利用垂直平分线的性质即可解答； （2）根据含角的直角三角形的性质求出，，根据等腰直角三角形的性质得，可得，由即可求解． 【详解】（1）证明：边上的“中高距”为0， 中边上的中线、高线重合， 即垂直平分， ； （2）解：，，，， ，，， ， ∴， 为边上的中线， ， ． 【融会贯通】 1．定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图2，在中，，，，与是共边直角三角形，连接．当时，求的长． (3)拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质． （1）根据共边直角三角形的概念作图； （2）取的中点O，连接、，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式求出，结合图形计算得到答案； （3）分别延长、交于点F，证明，根据等腰三角形的性质证明． 【详解】（1）解：作出的共边直角三角形如图1所示，即为所求作的三角形； （2）解：取的中点O，连接、， 由勾股定理得，， ∵，点O为的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，即， 解得，， ∴； （3）证明：分别延长、交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴平分． 2．我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”． (1)如图，已知，，，过点能作出的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由； (2)如图，若是矩形的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将用含的代数式表示为______； (3)如图，已知四边形中，，，，．作出四边形的“紫金线”． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）设过点能作直线“紫金线”交于点，证出，得出与周长不相等，则可得出结论； （2）由题意得平分，当是矩形的“紫金线”，则是的垂直平分线，证明，得出，则可得出结论； （3）作出的中垂线，记直线与，分别交于点、，连接，证明直线平分该图形周长，也平分该图形面积，则可得出答案． 本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：过点不能作出的“紫金线”， 理由：设过点能作直线“紫金线”交于点， 如图： 则点为中点，满足平分面积， ， ， 与周长不相等， 故不能平分该图形周长， 不能作出的“紫金线”； （2）解：由题意得平分，当是矩形的“紫金线”， 则是的垂直平分线， 是的垂直平分线， ，， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ，左右两部分梯形面积也一样， 即平分周长也平分面积， 直线是矩形的“紫金线”， ，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，直线即为所求： 记直线与，分别交于点、，连接，． 直线是的垂直平分线， ，， ， ， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， ， 直线平分该图形周长， ， ， 直线平分该图形面积， 直线为四边形的“紫金线”． 3．定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题． (2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”． 【答案】(1)假 (2) (3)见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识． （1）根据“类勾股三角形”的定义、勾股定理计算，得出直角三角形是等腰直角三角形，根据假命题的概念判断即可； （2）根据题意得到，根据“类勾股三角形”的定义得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出； （3）在线段上取一点，使，连，过作交于，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理计算，得到，根据“类勾股三角形”的定义证明结论． 【详解】（1）解：在类勾股中，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 当直角三角形是等腰直角三角形时，这个直角三角形是类勾股三角形， 命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假命题， 故答案为：假； （2）解：，， ，， 是类勾股三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）证明：在线段上取一点，使，连，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 整理得， 是“类勾股三角形”． 6 学科网（北京）股份有限公司 $