第2章 特殊三角形（基础类型）-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

第2章 特殊三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、轴对称图形与成轴对称 【解惑】中国建筑，其所最注重者，乃主要中线之成立．对称布局体现了中华民族对美学的追求，下列四幅中国建筑图中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，逐项分析判断，即可解答． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不符合题意； B． 该图形是轴对称图形，不符合题意； C． 该图形是轴对称图形，不符合题意； D． 该图形不是轴对称图形，符合题意． 故选D． 【融会贯通】 1．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的判断，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：A，B，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而C选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合． 故选：C． 2．如图，有5个小正方形，现从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，使剩余的四个小正方形组成的图形成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可． 【详解】解：从四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形， 则应该拿走的小正方形的标号是． 故答案为： ． 3．观察图中各组图形，其中成轴对称的有 (只写序号)． 【答案】①② 【分析】,把一个图形沿某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称; 【详解】③中的伞把不对称， 故填①②. 【点睛】此题考查了生活中的轴对称问题,判断轴对称图形的关键是寻找对称轴; 类型二、逆命题与逆定理 【解惑】下列命题的逆命题不正确的是（   ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等边三角形的三个内角相等 【答案】B 【分析】本题考查逆命题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定，解题的关键是正确找出各选项的逆命题．根据求逆命题的原则，把原命题的结论作为条件，原命题的条件作为结论得到的命题是原命题的逆命题，逐一判断逆命题的正误即可． 【详解】解：A的逆命题是：两个全等三角形的三边对应相等，正确，故不符合题意； B的逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，错误，故符合题意； C的逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，故不符合题意； D的逆命题是：三个内角相等的三角形是等边三角形，正确，故不符合题意． 故选：B． 【融会贯通】 1．下列定理有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同角的余角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 分别写出各个选项的条件和结论互换的说法，然后进行判断即可． 【详解】解：A、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，错误，故没有逆定理，不符合题意； B、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是等角的补角，错误，故没有逆定理，不符合题意； C、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，错误，故没有逆定理，不符合题意； D、逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，且是逆定理，符合题意， 故选：D． 2．命题“若两数之积为正数，则这两数为正数”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【分析】本题考查写出命题的逆命题，判断命题的真假，熟练掌握该知识点是解题关键． 逆命题即将原命题的结论变为已知，原命题的已知变为结论，再判断命题的真假即可求解． 【详解】解：“若两数之积为正数，则这两数为正数”的逆命题是：如果两个数都是正数，那么它们的积是正数，是真命题． 故答案为：真． 3．一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为 ；等腰三角形的两边长为和，则该等腰三角形的周长为 ；定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是 ． 【答案】 或 到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质的逆定理等知识点，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理结合等腰三角形两底角相等，求出它的顶角度数即可；由等腰三角形的性质结合三角形三边关系即可求出等腰三角形的周长；再根据线段垂直平分线的性质的逆定理求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角的度数为， 当等腰三角形的底角为时，则顶角为； 当等腰三角形的顶角为时，则顶角为； ∴它的顶角度数为：或； 等腰三角形的两边长和， 当腰长为，则等腰三角形三边长为， ∵，不能构成三角形，故舍去； 当腰长为，则等腰三角形三边长为， ∵，能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为； 定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是“到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”； 故答案为：或；；到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ． 类型三、勾股数与构成直角三角形 【解惑】下列各组数为勾股数的是（　　） A．1，2，5 B．15，8，17 C．9，12，13 D．0.3，0.4，0.5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，分别对各组数据进行检验即可． 【详解】解：A、，故选项A错误； B、，故选项B正确； C、，故选项C错误； D、，但不都是正整数，故选项D错误． 故选：B． 【融会贯通】 1．三边为，下列条件不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，能判断是直角三角形，不符合题意； B、，则：，故，故，能判断是直角三角形，不符合题意； C、，则：，能判断是直角三角形，不符合题意； D、，不能判断是直角三角形，符合题意； 故选D． 2．有一组勾股数，已知其中的两个数分别是20和15，则第三个数是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设第三个数为x， 分两种情况：当x为直角边时， 有， 解得， 不是正整数，需舍去； 当x为斜边时， 有， 解得． 综上所述，第三个数为25． 故答案为：25． 3．若三角形的三边长、、满足，则这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理即可判定三角形是直角三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 类型四、三线合一 【解惑】如图，用尺规作图“已知底边a和底边上的高线h，作等腰三角形”，有下列作法：①作线段；②作线段的垂直平分线m，交于点D；③在直线m上截取，连接．这样作法的根据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．等腰三角形两底角相等 C．等腰三角形两腰相等 D．等腰三角形的对称性 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的作法及性质，理解题意是解题关键． 根据作图方法结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，作等腰三角形作法的依据是等腰三角形三线合一， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，连接为的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，直角三角形的性质．解决问题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 连接，依据垂直平分线的性质可得，从而得到，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得，所以，根据直角三角形性质可得的度数，根据轴对称的性质可得的度数． 【详解】解：连接， ∵点B关于的对称点E恰好落在上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 故选B． 2．在中，，，垂足为点D，那么 ，的度数是 ． 【答案】 3 /32度 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得，从而解决问题． 本题主要考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3，． 3．如图，在中，点E在上，垂直平分于点D，，若，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三线合一，垂直的定义，三角形的内角和为，掌握知识点是解题的关键；由垂直平分，得，，继而求出，根据，可得，即可解答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 类型五、两个斜边一半——斜中定理 【解惑】在如图所示的纸片中，，D是斜边的中点，把纸片沿着折叠，点B到点E的位置，连接．若，，则等于（   ） A．α B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由直角三角形斜边上的中线性质和折叠的性质得出，，求出，，即可得出答案． 【详解】解：，是斜边的中点， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在等腰直角三角形中，，，点为中点，则的长为（　　） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】题目主要考查直角三角形斜边中线的性质，直接利用性质求解即可，熟练掌握是解题关键 【详解】解：∵等腰直角三角形中，，，点为中点， ∴， 故选：A 2．如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用“直角三角形斜边中点到三顶点距离相等”得出等腰三角形，再结合等腰三角形底角相等和三角形外角等于不相邻两内角和推导角度． 由且E为中点，得，故；由得，再利用三角形外角性质得，，计算得角度． 【详解】解：由条件可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质；连接，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得长解答即可． 【详解】解：连接， ∵，点E是的中点， ∴， ∴， 又∵点F是的中点， ∴， 故答案为：． 类型六、两个斜边一半——30°对应的直角边 【解惑】中，，则的长度是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．根据已知条件，是角（）的对边，利用该性质可直接求出斜边的长度． 【详解】解：在中，， 为的对边，且根据直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半， 得：， ∴． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图所示，在中，，，于，是的平分线，且交于，如果，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，先计算得出，由等角对等边可得，再由直角三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．图，在边长为等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F．若，则 ．(用含a，b的代数式表示) 【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．根据平行线的性质可得知是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ． 故答案为：． 3．如图，在中，，．将沿直线折叠，得，延长，相交于点D．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等．作于点E，根据折叠前后对应边相等、对应角相等，可得，再证，，求出和，根据即可求解． 【详解】解：作于点E，则， ∵，， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 类型七、等腰三角形的性质与判定 【解惑】如图，已知等边三角形，点为线段上一点，沿折叠得，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰及等边三角形的性质、三角形内角和定理，等边三角形的三个内角都相等，且都等于．由折叠性质可得得到，，再求出，利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可求出的度数，熟记三角形相关几何性质是解决问题的关键． 【详解】解：等边， ，， ，， ， 由折叠性质可得， ，， ， ， ， ， 故答案为：A． 【融会贯通】 1．如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，则，得到，；根据等角对等边，则，即可． 【详解】∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．等腰三角形一条腰上的垂直平分线与另一腰的夹角为，则三角形的底角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形，三角形内角和的知识，解题的关键是分类讨论垂直平分线的位置，根据等边三角形的性质，三角形的内角和，进行解答，即可． 【详解】解：∵等腰三角形一条腰上的垂直平分线与另一腰的夹角为， ∴当是的垂直平分线（图），， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； 当是的垂直平分线（图），， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴； 故答案为：或． 3．如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，为边上一点，连接，且．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据题意，则，，等量代换，则，根据全等三角形的判定和性质，即可； （2）延长交于，连接，根据题意，垂直平分线的性质，证明得到是的垂直平分线，则，，根据平行线的判定和性质，则，，根据，推出，根据全等三角形性质，则，得到，根据为边的中点，全等三角形的判定和性质，则，根据边的等量关系，即可． 【详解】（1）证明，如下： ∵，， ∴， ∵平分交于点 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）证明，如下： 延长交于，连接， ∵ 平分，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．    类型八、等边三角形的性质与判定 【解惑】如图，E是等边中边上的点，，若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，先证，再证是等边三角形，进而即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：；；；；，一定成立的是（　　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】由等边三角形的性质可得，，，利用等式的性质可得，于是可证得，进而可得，故结论正确，，，然后利用可证得，于是可得，，故结论正确，进而可证得是等边三角形，于是可得，因而可得，于是可得，故结论正确，利用三角形外角的性质可得，故结论正确，然后可推出，因而，即，故结论不正确．综上所述，正确的结论有，共个，据此即可得出答案． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， 即：， ， ，故结论正确， ∴，， 即：， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，故结论正确， 又， 是等边三角形， ， ， ，故结论正确， ， ，故结论正确， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，故结论不正确， 综上，正确的结论有． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质（和），内错角相等两直线平行，三角形外角的性质，等角对等边等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/95度 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 3．如图，与都是等边三角形，点，分别在，上，，与交于点． (1)求的度数； (2)连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确添加辅助线、证明三角形全等是解题关键． （1）根据等边三角形的性质证得，则，利用三角形外角性质可求，进而可计算出的度数； （2）延长至点，使，证明为等边三角形，得到，，证得，可得，即可得到结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）证明：延长至点，使，如图， ， 为等边三角形， ，， 是等边三角形，   ，， ， 在和中， ， ， ， 而， ． 类型九、设计轴对称图案 【解惑】已知网格中每个小正方形的边长都是1，图①中的阴影图案是由四个小正方形组成的大正方形的一条对角线和以其中一个小正方形顶点为圆心、2为半径所画的圆弧围成的弓形．请你在图②中以图①为基本图案，借助轴对称和平移设计一个图案，使该图案为轴对称图形． 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查利用平移和轴对称设计图案，利用基本图形结合轴对称以及平移得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图，借助轴对称和平移可以得到下图，该图案为轴对称图形． （答案不唯一） 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，在下列3个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 【答案】图见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查设计轴对称图案，根据成轴对称的性质，确定对称轴，作图即可． 【详解】解：由题意，作图如下： 2．如图，16个相同的小正方形拼成一个正方形网格，其中的两个小方格已涂黑．请用三种不同的方法分别在图中再涂黑两个小方格，使整个网格成为轴对称图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了设计轴对称图案，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义进行设计图案即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：如图，（答案不唯一） 3．如图，方格纸上画有和两条线段，请仅用无刻度的直尺在图中添上一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形（画出4种，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】此题考查了轴对称图案设计．如果一个图形沿某条直线折叠后，图形的两部分能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形定义进行作图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求， 类型十、直角三角形的判定及全等判定 【解惑】如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． 【融会贯通】 1．如图，在中，是高，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若是的角平分线，相交于点F．试说明：． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据在中，是高得到，再利用等角的余角相等得到即可解答； （2）根据角平分线的定义得到，再利用等角的余角相等即可解答． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形． （2）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， 由(1)知， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等角的余角相等，角平分线的定义，对顶角相等，直角三角形的判定，掌握等角的余角相等是解题的关键． 2．如图，在中，，， F为延长线上一点，点E在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； （1）根据题中条件，利用“HL”判定； （2）由等腰三角形的性质，求出，利用（1）的结论， 可得，再由求解即可． 【详解】（1）， ， ， 又， ， ． （2），， ， ， 由（1）知，，可得， ． 3．如图，点是中的平分线和边的垂直平分线的交点，于点，交的延长线于点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造两个全等三角形是解题关键．连接，，先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据角平分线的性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：如图，连接，， 是线段垂直平分线上的点， ， 是平分线上的点，，， ，， 在和中， ， ∴， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 特殊三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、轴对称图形与成轴对称 【解惑】中国建筑，其所最注重者，乃主要中线之成立．对称布局体现了中华民族对美学的追求，下列四幅中国建筑图中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，有5个小正方形，现从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，使剩余的四个小正方形组成的图形成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是 ． 3．观察图中各组图形，其中成轴对称的有 (只写序号)． 类型二、逆命题与逆定理 【解惑】下列命题的逆命题不正确的是（   ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等边三角形的三个内角相等 【融会贯通】 1．下列定理有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同角的余角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 2．命题“若两数之积为正数，则这两数为正数”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 3．一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为 ；等腰三角形的两边长为和，则该等腰三角形的周长为 ；定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是 ． 类型三、勾股数与构成直角三角形 【解惑】下列各组数为勾股数的是（　　） A．1，2，5 B．15，8，17 C．9，12，13 D．0.3，0.4，0.5 【融会贯通】 1．三边为，下列条件不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．有一组勾股数，已知其中的两个数分别是20和15，则第三个数是 ． 3．若三角形的三边长、、满足，则这个三角形是 三角形． 类型四、三线合一 【解惑】如图，用尺规作图“已知底边a和底边上的高线h，作等腰三角形”，有下列作法：①作线段；②作线段的垂直平分线m，交于点D；③在直线m上截取，连接．这样作法的根据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．等腰三角形两底角相等 C．等腰三角形两腰相等 D．等腰三角形的对称性 【融会贯通】 1．如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，连接为的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，垂足为点D，那么 ，的度数是 ． 3．如图，在中，点E在上，垂直平分于点D，，若，则 ． 类型五、两个斜边一半——斜中定理 【解惑】在如图所示的纸片中，，D是斜边的中点，把纸片沿着折叠，点B到点E的位置，连接．若，，则等于（   ） A．α B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在等腰直角三角形中，，，点为中点，则的长为（　　） A．5 B． C．10 D． 2．如图,中,，点E为的中点，点D在上，且、相交于点F，若，则等于 ． 3．如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为 ． 类型六、两个斜边一半——30°对应的直角边 【解惑】中，，则的长度是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【融会贯通】 1．如图所示，在中，，，于，是的平分线，且交于，如果，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．图，在边长为等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F．若，则 ．(用含a，b的代数式表示) 3．如图，在中，，．将沿直线折叠，得，延长，相交于点D．若，则 ． 类型七、等腰三角形的性质与判定 【解惑】如图，已知等边三角形，点为线段上一点，沿折叠得，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．等腰三角形一条腰上的垂直平分线与另一腰的夹角为，则三角形的底角为 ． 3．如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，为边上一点，连接，且．求证：    (1)； (2)． 类型八、等边三角形的性质与判定 【解惑】如图，E是等边中边上的点，，若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【融会贯通】 1．如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：；；；；，一定成立的是（　　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 2．如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 3．如图，与都是等边三角形，点，分别在，上，，与交于点． (1)求的度数； (2)连接，求证：． 类型九、设计轴对称图案 【解惑】已知网格中每个小正方形的边长都是1，图①中的阴影图案是由四个小正方形组成的大正方形的一条对角线和以其中一个小正方形顶点为圆心、2为半径所画的圆弧围成的弓形．请你在图②中以图①为基本图案，借助轴对称和平移设计一个图案，使该图案为轴对称图形． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，在下列3个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 2．如图，16个相同的小正方形拼成一个正方形网格，其中的两个小方格已涂黑．请用三种不同的方法分别在图中再涂黑两个小方格，使整个网格成为轴对称图形． 3．如图，方格纸上画有和两条线段，请仅用无刻度的直尺在图中添上一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形（画出4种，不写作法）． 类型十、直角三角形的判定及全等判定 【解惑】如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在中，是高，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若是的角平分线，相交于点F．试说明：． 2．如图，在中，，， F为延长线上一点，点E在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．如图，点是中的平分线和边的垂直平分线的交点，于点，交的延长线于点，求证：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $