2.1—2.5 图形的轴对称 等腰三角形及其性质、判定定理 逆命题和逆定理-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

2.1—2.5 图形的轴对称 等腰三角形及其性质、判定定理 逆命题和逆定理 一、图形的轴对称 （1）定义：将一个图形沿某条直线折叠，若直线两侧部分能完全重合，则该图形为轴对称图形，直线称为对称轴。折叠后重合的点称为对称点。 （2）常见轴对称图形及对称轴数量： 角：1条（角平分线所在直线） 等腰三角形：1条（底边上的高/顶角平分线/底边中线所在直线） 等边三角形：3条（各边上的高/内角平分线/中线所在直线） 长方形：2条（对边中点连线） 正方形：4条（对边中点连线及对角线） 圆：无数条（过圆心的任意直线） （3）性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。 （4）判定：若两个图形沿某直线折叠后能重合，则称为图形的轴对称，该直线为对称轴。成轴对称的两个图形全等。 （5）作图步骤： 找关键点（顶点或拐点） 作对称点（过关键点作对称轴的垂线，截取等长线段） 连结对称点 二、等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的边为腰，另一边为底边，两腰夹角为顶角，腰与底边夹角为底角。 （2）性质： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线/底边上的高/底边中线所在直线。 （3）等边对等角：两底角相等。 （4）三线合一：底边上的高、中线及顶角平分线互相重合。 （5）判定定理： 等角对等边：若三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等（即该三角形为等腰三角形）。 （6）证明方法：通过角平分线或高线构造全等三角形（AAS/SAS），推导对应边相等。 （7）等边三角形判定： 三个角均相等的三角形为等边三角形。 有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形。 三、逆命题与逆定理 （1）逆命题： 定义：若命题“若p则q”的逆命题为“若q则p”，即条件与结论互换。 性质：原命题与逆命题的真假性无必然联系。 示例： 原命题“同角的补角相等” → 逆命题“若两角相等，则它们为同角的补角”（假命题）。 原命题“等底等高的三角形面积相等” → 逆命题“若两三角形面积相等，则它们等底等高”（假命题）。 （2）逆定理： 定义：若定理的逆命题为真命题，则该逆命题称为原定理的逆定理。 示例： 线段垂直平分线性质定理“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上” → 逆定理“若点在线段的垂直平分线上，则它到线段两端的距离相等”。 平行线性质定理“两直线平行，内错角相等” → 逆定理“若内错角相等，则两直线平行”。 巩固课内例1:已知对称轴作对称图形 1．如图，在的正方形网格中，有一个格点（三角形的三个顶点都在格点上），则网格中所有与成轴对称的格点三角形有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，不重不漏的列举出所有轴对称图形成为解题的关键． 根据轴对称的定义画出所有与成轴对称的格点三角形即可解答． 【详解】解：如图，与成轴对称的格点三角形有 共5个． 故选：C． 2．如图，在的正方形网格中，有一个格点（阴影部分），则网格中所有与成轴对称的格点三角形的个数是 ． 【答案】5 【分析】此题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．因为对称图形是全等的，所以面积相等，据此连接矩形的对角线，观察得到的三角形即可解答． 【详解】解：如图，与成轴对称的格点三角形有、、、、共5个， 故答案为：5． 3．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，的三个顶点都在其格点上． (1)以直线l为对称轴，作与成轴对称； (2)求的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查了画轴对称图形，求解网格三角形的面积． （1）分别作出、、关于直线对称的对称点、、，然后顺次连接即可． （2）利用割补法求解三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：的面积为． 巩固课内例2:将军饮马 1．如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是（    ）． A．13 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质及轴对称求最短距离问题．根据题意得到周长的最小值是直接求解即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵直线是中边的垂直平分线，点是直线上一动点， ∴， ∴， ∴最小为， ∵，， ∴． 故选：B． 2．如图，正方形的边长为4，M是中点，N是中点，P是对角线上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是轴对称的性质和正方形的性质，根据题意作出对称后的图形是解题的关键．作M关于的对称点E，结合正方形性质确定其为的中点，当E、P、N三点共线时，的值最小值． 【详解】解：作M关于的对称点E，连接， 又∵四边形为正方形， ∴，点E为的中点， ∵， ∴当E、P、N三点共线时，最短， ∵N是中点，点E为的中点， ∴． ∴的最小值为4． 故答案为：4． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线对称的；（要求：与，与，与相对应）； (2)用无刻度直尺画出线段的垂直平分线； (3)已知是直线上一个动点，当取最小值时，请在图中作出此时点的位置； 【答案】(1)见解析 (2)图形见解析 (3)图形见解析 【分析】本题考查轴对称,垂直平分线的知识，解题的关键是掌握轴对称的性质，垂直平分线的性质，进行解答，即可． （1）根据轴对称的性质，在网格上找到点，，的对应点，依次连接，即可； （2）根据垂直平分线的性质，做出线段的垂直平分线，即可； （3）根据轴对称的性质，，当，，三点在一条直线上，有最小值，找到点，即可． 【详解】（1）解：即为所求． （2）解：直线即为线段的垂直平分线． （3）解：点即为所求， 由轴对称的性质，可得， ∴，此时，，三点在一条直线上，有最小值， ∴点即为所求． 巩固课内例3:等腰三角形的定义 1．已知a，b是等腰三角形的两条边，且a，b满足等式，则此等腰三角形的周长是（    ）． A．8或10 B．8 C．10 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式、绝对值和偶次方的非负性、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用完全平方公式可得，则可得，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系分两种情况，据此求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵是等腰三角形的两条边， ∴①当这个等腰三角形的三边长为时，，满足三角形的三边关系， 则这个等腰三角形的周长是； ②当这个等腰三角形的三边长为时，，不满足三角形的三边关系，舍去； 综上，这个等腰三角形的周长是10， 故选：C． 2．在等腰三角形中，若，，则 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识，根据等腰三角形的性质，三角形的三边关系分情况讨论即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当时， ∵， ∴不能组成三角形， 当时， ∵， ∴能组成三角形， 综上所述，， 故答案为：． 3．一个等腰三角形，其中两条边分别是厘米、厘米．这个三角形的周长是多少厘米？ 【答案】厘米． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，熟练掌握两边之和大于第三边是解题的关键．需要进行分类讨论，厘米的边可能是腰，也可能是底边，如果是腰的话，三边分别为厘米、厘米、厘米，但不满足三角形两边之和大于第三边，所以厘米的边只能为底边，三边相加即可求出周长． 【详解】解：因为 所以这个三角形的底是厘米． （厘米） 答：这个三角形的周长是厘米． 巩固课内例4:等边三角形的定义 1．如图，为等边三角形，以边为腰作等腰，使，连接，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．首先求出，再利用等腰三角形的性质求解． 【详解】解：为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：D． 2．如图，在等边三角形中，是边上的高，E是上一点．若，则 度． 【答案】25 【分析】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，先判断出是的垂直平分线，进而求出，即可得出结论． 【详解】解：∵三角形是等边三角形，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∵点E在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：25． 3．如图，在等边的边上各取一点，使，，相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质、三角形外角性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形外角性质是解题的关键， （1）根据全等三角形的判定定理即可证得结论； （2）利用全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质即可得到． 【详解】（1）证明：在等边中，，， 在和中， ， ； （2）解：， ， ． 巩固课内例5:等边三角形的内角 1．等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，掌握等边三角形每边上的中线、高和对角的角平分线相互重合是解题的关键． 根据题意画出图形，结合等边三角形的性质和三角形内角和可求得答案． 【详解】如图，为等边三角形，、分别为、边上的中线，交于点， ∵为等边三角形，、分别为、边上的中线， ∴平分， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，是等边三角形的中线，以为斜边作等腰直角三角形，求的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，根据等腰直角三角形的性质得，结合图形计算即可． 【详解】解：AD是等边三角形ABC的角平分线， ． 以AD为斜边作等腰直角三角形ADE， ， ． 故答案为：． 3．如图，都是等边三角形，且B、E、C三点在一条直线上．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据等边三角形的性质进一步得到，再证明，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：都是等边三角形， ， ， 在和中， ， ． 巩固课内例6:三线合一 1．等腰三角形底边长为6，面积是12，则顶角平分线长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】此题主要考查等腰三角形的三线合一的性质．根据等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合求解即可． 【详解】解：如下图，根据题意，，是的平分线， 是边上的中线也是边上的高线， ，， ∴， ∴ 故选：A． 2．如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，过A作于H， 由等腰三角形三线合一的性质先证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件以及线段的和差关系得出，进一步即可得出答案． 【详解】解：过A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：5． 3．已知，如图，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关判定及性质．由已知证明，得到，又因为，即为的角平分线，利用等腰三角形的三线合一即可得证． 【详解】证明：在与中， ， ， ， 是等腰三角形， ，即为的角平分线， ． 巩固课内例7:等腰三角形——尺规作图 1．已知在中，，用尺规在边上确定一点D，使得，则下列作图中，一定符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质， 根据尺规作图的过程可知，再判断A，C；然后根据尺规作图的过程可得的垂直平分线交于点D，可得，进而得，判断C，最后结合C判断D即可． 【详解】解：根据尺规作图的过程可知， 可得，， 所以A，C不正确； 根据尺规作图的过程可得的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴C不正确； 根据尺规作图的过程可得的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴D正确． 故选：D． 2．“直角”在初中几何学习中无处不在．课堂上李老师提出一个问题：如图1，已知．判断是否为直角（仅限用直尺和圆规）．小丽的方法如图2，在、上分别取点，，以点为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点．若，则．李老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据： ． 【答案】等腰三角形的三线合一 【分析】根据等腰三角形的三线合一即可得． 【详解】由作图可知， 是等腰三角形 是等腰斜边上的中线 （等腰三角形的三线合一） ，即 故答案为：等腰三角形的三线合一． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一，熟记等腰三角形的三线合一是解题关键． 3．如图，在锐角三角形中，D为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点F，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 连接，作的垂直平分线交于点F即可． 【详解】解：如图所示， 连接，作的垂直平分线交于点F，点F即为所求． 有作图可得， ， ． 巩固课内例8:等角对等边 1．如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论，其中正确的有（   ） ①是等腰三角形；②；③若；；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义证明，得到即可判断①；同理可证即可判断②；根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数即可判断③；根据现有条件无法证明，即可判断④． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；故①符合题意； 同理， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴ ，故③符合题意； 若，则，根据条件无法证明这一点， ∴不一定等于，故④不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，根据两直线平行、内错角相等以及等角对等边来判定等腰三角形是解答本题的关键． 2．如图，中，、分别平分、，，，，则的周长 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 由角平分线的定义得出，结合平行线的性质得出，推出，同理，即可得解． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，     同理， ∵， 则的周长． 故答案为：． 3．如图所示，在中，平分，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理及平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平分，，可知，所以，从而可知是等腰三角形； （2）根据三角形内角和定理与平行线的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， ． 巩固课内例9:逆命题 1．下面给出的五个命题：①全等三角形的面积相等；②有一个角是的等腰三角形是等边三角形；③对顶角相等；④若，则；⑤角平分线上的点到角两边的距离相等．其逆命题是真命题的是（    ）． A．①② B．②③④ C．②⑤ D．④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题，逆命题，全等三角形的判定，等边三角形的判定，对顶角的性质，求一个数的平方根，角平分线的判定等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先将原命题改写出其逆命题，再一一判断即可． 【详解】解：①逆命题为：面积相等的两个三角形是全等三角形，错误，是假命题； ②逆命题为：等边三角形是有一个角是的等腰三角形，正确，是真命题； ③逆命题为：相等的角是对顶角，错误，是假命题； ④逆命题为：若，则，错误，应为，故逆命题错误，为假命题； ⑤逆命题为：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，是真命题， ∴逆命题是真命题的是②⑤， 故选：C． 2．写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题 ． 【答案】两个三角形面积相等，则这两个三角形全等 【详解】本题考查命题的逆命题，解题的关键是明确原命题的条件和结论，再交换条件与结论得到逆命题． 确定原命题“两个全等三角形的面积相等”的条件和结论，交换原命题的条件和结论，得到逆命题． 【分析】解：原命题“两个全等三角形的面积相等”中，条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形的面积相等”． 根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论，得到的逆命题为：“两个三角形面积相等则这两个三角形全等”． 故答案为：两个三角形面积相等，则这两个三角形全等． 3．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？ (1)如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数； (2)等边三角形是锐角三角形； (3)如果两个角是直角，那么它们相等； (4)角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【分析】本题考查了命题和逆命题，命题的真假，角平分线的判定，等边三角形的概念，乘法法则，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】（1）解：原命题的条件是两个实数均为正数，结论是它们的积为正数． 逆命题的条件是积为正数，结论是两数均为正数； 即逆命题：如果两数的积为正数，那么这两数均为正数， 但两个负数的积也为正数（如），因此逆命题不成立； （2）解：原命题的条件是等边三角形，结论是锐角三角形， 逆命题的条件是锐角三角形，结论是等边三角形， 即逆命题：锐角三角形是等边三角形， 但锐角三角形只需三个角均为锐角（如的三角形），不一定是等边三角形，故逆命题不成立； （3）解：原命题的条件是两个角是直角，结论是它们相等； 逆命题的条件是两角相等，结论是它们为直角． 即逆命题：如果两角相等，那么它们为直角； 但相等的角可以是任意度数（如），不一定是直角，故逆命题不成立； （4）解：原命题的条件是点在角内部且到两边距离相等，结论是点在角平分线上． 逆命题的条件是点在角平分线上，结论是到两边距离相等． 即逆命题：如果点在角平分线上，那么它到两边距离相等． 根据角平分线性质定理，角平分线上的点到两边距离相等，故逆命题成立． 类型一、轴对称图形的认识 1．下列四幅图中，是轴对称图形的是（     ） A．     B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2．请写出一个轴对称图形： ． 【答案】矩形（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了轴对称图形，理解并掌握轴对称图形的定义是解题关键．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形轴．据此即可获得答案． 【详解】解：写出一个轴对称图形：矩形． 故答案为：矩形（答案不唯一）． 3．下列图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的对称轴． 【答案】都是轴对称图形，见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，画对称轴等知识点，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，常见的轴对称图形有：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、线段、相交直线等．根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可得出答案，然后画出轴对称图形的对称轴即可． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，这四幅图都是轴对称图形， 画对称轴如下所示： 类型二、成轴对称的两个图形 1．《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由左图经过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据轴对称图形的概念依次分析各项即可得到结果．解答本题的关键是掌握熟练轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：能由左图经过轴对称得到的是第二个图形 故选：B． 2．如图，由△ABC经过怎样的变换得到△DEC．答： ． 【答案】轴对称（或翻折变换） 【分析】根据网格结构和几何变换的特点解答． 【详解】解：如图，△ABC沿虚线翻折变换得到△DEC． 故答案为：轴对称（或翻折变换）． 【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握网格结构和几何变换的特点是解题的关键． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将向上平移3个单位，再向左平移1个单位得到． (1)在网格中画出； (2)在网格中画出，使得与关于点成中心对称； (3)问：与是否成轴对称？（回答“是”或“否”） 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了平移变换、中心对称变换以及轴对称的识别，熟练掌握平移、中心对称的性质及轴对称的概念是解题的关键． （1）根据平移的性质，分别将、、按“向上平移个单位，再向左平移个单位”的规则找到对应点、、，再连接成三角形． （2）依据中心对称的性质，找、关于的对称点、，然后连接得到三角形． （3）通过观察图形，判断与是否能沿某条直线折叠后重合，确定是否成轴对称． 【详解】（1）解：确定、、平移后的对应点： 点向上平移个单位，再向左平移个单位得到； 点向上平移个单位，再向左平移个单位得到； 点向上平移个单位，再向左平移个单位得到． 连接、、，得到． （2）解：找关于的对称点：延长到，使 ． 找关于的对称点：延长到，使 ． 连接、、，得到 （3）解：观察图形，尝试找一条直线，使沿此直线折叠后与重合，发现不存在这样的直线， ∴与不成轴对称， 故答案为“否” ． 类型三、等腰三角形的边长与周长 1．如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义及三角形三边关系；根据题意可分当边长为腰长和当边长为腰长时，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意可分：当边长为腰长时，则该等腰三角形的三边长分别为，，，符合三角形三边关系， 所以它的周长为； 当边长为腰长时，则该等腰三角形的三边长分别为，，，符合三角形三边关系， 所以它的周长为； 故选C． 2．等腰三角形有一边长为，周长为，则该等腰三角形的腰长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，将已知边长分为底边和腰两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：①当等腰三角形底边为时， 则腰长为：， 三边为：，，，等腰三角形成立； ②当等腰三角形腰长为时， 则底边为：， 三边为：，，，由于，不满足三角形的三边关系； 综上，等腰三角形的腰长为． 故答案为：． 3．已知a，b是等腰三角形的两边长，且满足，求这个等腰三角形的周长． 【答案】17或19 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义以及非负数的性质，三角形的三边关系，正确分情况讨论是解题关键．直接利用非负数的性质得出a，b的值，再利用等腰三角形的定义得出答案． 【详解】解∶∵， ∴，， 解得：，， ∵等腰三角形的两边长分别为a，b， ∴当a为腰长时，，此时符合题意， ∴等腰三角形的周长为：， 当b为腰长时，，此时符合题意， 等腰三角形的周长为：， 故此等腰三角形的周长为17或19． 类型四、等腰三角形的顶角与底角 1．已知等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和定理进行解答即可．解答此类题目时往往用到三角形的内角和是． 【详解】解：等腰三角形的顶角为， 这个等腰三角形的底角为：， 故选：B． 2．一个等腰三角形的顶角和底角的比是，这个三角形的顶角是 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和，等腰三角形的定义，根据一个等腰三角形的顶角和底角的比是，结合三角形内角和为度进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个等腰三角形的顶角和底角的比是， ∴等腰三角形的顶角度数为， 故答案为： 3．在等腰三角形中，． (1)若是顶角，求的度数； (2)若是底角，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的应用． （1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：设， 三角形是等腰三角形，顶角， ， ， ； 所以的度数为； （2）解：设， 当是底角，， ， ， 所以的度数为． 类型五、逆定理 1．下列三个定理中，存在逆定理的有（   ） ①同角的余角相等； ②同位角相等，两直线平行； ③同角的补角相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查的是真假命题的判断，逆命题，逆定理的含义，先分别写出命题的逆命题，再判断逆命题的真假即可得到答案． 【详解】解：同角的余角相等的逆命题是：相等的两个角是同一个角的余角；该逆命题是假命题，不存在逆定理，故①不符合题意； 同位角相等，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同位角相等；该逆命题是真命题，存在逆定理；故②符合题意； 同角的补角相等的逆命题是：相等的两个角是同一个角的补角；该逆命题是假命题，不存在逆定理，故③不符合题意； 故选：B 2．请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了逆定理，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 【详解】解：定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”， 故答案为：内错角相等，两直线平行 ． 3．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三角形的两边之和大于第三边． 【答案】(1)有，逆定理是：两直线平行，同旁内角互补 (2)有，逆定理是：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形 【分析】（1）先写出逆命题，再根据平行线的性质判断逆命题的真假，进而可得出结论； （2）先写出逆命题，再根据三角形的三边关系判断逆命题的真假，进而可得出结论． 【详解】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题， 故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补； （2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题， 故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形． 【点睛】本题考查了逆定理的定义、平行线的性质、三角形的三边关系，解答的关键是理解逆定理的定义：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理． 类型一、等腰三角形的判定 1．下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 根据等腰三角形的判定条件，即至少有两个角相等或两边相等，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．由，总份数为，故，．因，则，为等腰三角形，不符合题意； B．边比例，说明，故为等腰三角形，不符合题意； C．，，则．因，则，为等腰三角形，不符合题意； D．由，结合内角和，得，即，．但无法确定与是否相等，例如，时，不为等腰三角形．符合题意． 故选：D． 2．如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等角对等边，延长交于点F，证明可得，然后根据平行线的性质和等角对等边得到． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵点E为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：4． 3．如图，在中，，与的角平分线交于点O，过点O作，分别交，于M，N，连接． (1)证明：是等腰三角形． (2) 与相等吗？对你的结论说明理由． (3)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，即可得到答案． （2）根据得到，，则，得到，即可根据证明； （3）先证明，得到，再根据以及等腰三角形三线合一的性质即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵与的角平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即； （3）证明：由（1）得， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 类型二、等边三角形的判定 1．下列条件中，不一定是等边三角形的是（   ） A．有两个角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形 C．有两个外角相等的等腰三角形 D．三边都相等的三角形 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和，解决本题的关键是熟记等边三角形的定义和判定定理．根据等边三角形的定义和判定定理逐项判定即可解答． 【详解】解：A、两个内角为，因为三角形的内角和为，可知另一个内角也为，故该三角形为等边三角形，故本选项不符合题意； B、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故本选项不符合题意； C、两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．故本选项符合题意； D、三边都相等的三角形是等边三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．已知为三边的长，若，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，对原式进行整理，得出，得到，因此三角形是等边三角形． 【详解】解：因为， 即， 即， 得：， 所以， 所以， 所以的形状为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 3．如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形性质得，进而依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形． 类型三、镜面对称 1．一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（    ） A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326 【答案】D 【分析】本题考查了镜面反射的性质，解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字和字母．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出实际车牌号为JM—G6326， 故选：D． 2．河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是 ． 【答案】3时35分 【分析】本题考查轴对称，掌握轴对称的性质是解题的关键. 大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称，图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反，据此作答即可. 【详解】解：∵大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称， 如图， 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反， ∴实际时间是，即3时35分. 故答案为：3时35分. 3．某一车牌号码在路面水坑中的倒影为，请猜测该车的车牌号．晓华猜测该车的车牌号为M80608．请问晓华的猜测正确吗？如果不正确，请写出正确的车牌号． 【答案】不正确，M80908 【分析】此题主要考查了镜面对称，易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：晓华的猜测不正确．如图所示． 故该车的车牌号应是M80908． 类型一、格点三角形 1．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握两个定理． 利用勾股定理求出每条边的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：如图，连接， 借助网格和勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∴直角三角形有3个， 故选：B． 2．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 个格点三角形与成轴对称． 【答案】6 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 故答案为：6． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，是格点三角形（顶点是网格线的交点）． (1)画出先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的 (2)画出关于直线对称的 (3)求出的面积 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了图形的平移，对称图形，几何图形面积的计算：割补法，将三角形割补成长方形的面积减去三角形的面积是解决本题的关键． （1）先将平移可得到，再将平移可得到． （2）根据图形的对称，即可画出关于直线对称的． （3）根据几何图形面积的计算：割补法，将补成长方形的面积减去三角形的面积求解即可． 【详解】（1）解：先将向左平移5个单位长度得到， 再将向下平移4个单位长度可得到，如图， （2）解：关于直线对称的，如图， （3）解：将补成长方形，记作点E，F，H，如图， ∵正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度， ∴， ，，， ∴． 类型二、折叠问题 1．如图，在中，沿直线折叠后，使得点与点重合，已知，的周长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用折叠的性质得到线段相等关系，再结合三角形周长公式求出的长．本题主要考查了折叠的性质以及三角形周长的计算，熟练掌握折叠前后对应线段相等是解题的关键． 【详解】解：∵沿直线折叠后，点与点重合， ∴． ∵的周长为，即， 又∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 2．如图，在中，，，点D是边上靠近点A的三等分点，点E是边上一动点，将沿折叠得．当与的一边平行时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、翻折变换的性质、平行线的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，由，，求得，再分两种情况讨论，一是，则，所以，由折叠得；二是，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 如图1，，则， ∴， ∵将沿折叠得， ∴； 如图2，，则， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 3．将沿折叠，使点刚好落在边上的点处． (1)在图1中，若，，，求； (2)在图2中，若， ①求证：． ②若，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了折叠，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据折叠的性质可求出，即可求解； （2）根据折叠的性质可得出，，根据三角形外角的性质并结合已知可得出，则，最后根据等角对等边即可得证； ②设，则，，，根据等边对等角得出．根据折叠的性质可得出，则，根据三角形外角的性质得出，在中根据三角形内角和定理可求出，则，， 最后在中根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：由折叠性质得：， ∴， （2）①证明：沿折叠得到， ， ．， ， ， ； ②设，则，， ， ． 折叠， ∴． ， 在中，， 解得 ，， ∴． 类型三、设计轴对称图案 1．如图，大正方形由9个相同的小正方形拼成，图中已有3个小正方形涂上了颜色，如果在图中再涂上一个正方形，使涂色部分成为一个轴对称图形，一共有（    ）种不同的涂法． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查学生轴对称性的认识．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：如图，一共有4种不同的涂法． 故选：C． 2．在 4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有 种． 【答案】4 【分析】根据轴对称图形的性质及判定添加图形得出答案即可．本题考查的是利用轴对称设计图案，解答此题要明确轴对称的性质，并据此构造出轴对称图形． 【详解】解：如图所示． 这样的添法共有4种． 故答案为：4． 3．（1）如图，在边长均为1的小正方形组成的方格图中，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上． ①作，使它与关于直线l对称； ②在直线l上找一点P，使的和最短．（不需要计算，在图上直接标记点P的位置）． （2）观察下图①~③中涂色部分构成的图案．（每个小三角形面积均为1） ①写出这三个图案都具有的两个共同特征： __________________，____________________ ②借助图④⑤中的网格，请你设计另外两个新的图案，使新的图案同时具有你在解答（1）时所写出的两个共同特征． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①都是轴对称图形；阴影部分的面积都是4；②见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查作图−轴对称变换、轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键； （1）①根据轴对称的性质作图即可； ②连接，交直线l于点P，则点P即为所求； （2）①根据轴对称图形的性质，结合网格特点求解即可； ②根据①中发现的特征，设计符合要求的图案即可． 【详解】解：（1）①如图，即为所求作： ②如图，点P即为所求作： （2）①根据图案特征，可得三个图案都具有的两个共同特征：都是轴对称图形；阴影部分的面积都是4； ②新的图案如图所示： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1—2.5 图形的轴对称 等腰三角形及其性质、判定定理 逆命题和逆定理 一、图形的轴对称 （1）定义：将一个图形沿某条直线折叠，若直线两侧部分能完全重合，则该图形为轴对称图形，直线称为对称轴。折叠后重合的点称为对称点。 （2）常见轴对称图形及对称轴数量： 角：1条（角平分线所在直线） 等腰三角形：1条（底边上的高/顶角平分线/底边中线所在直线） 等边三角形：3条（各边上的高/内角平分线/中线所在直线） 长方形：2条（对边中点连线） 正方形：4条（对边中点连线及对角线） 圆：无数条（过圆心的任意直线） （3）性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。 （4）判定：若两个图形沿某直线折叠后能重合，则称为图形的轴对称，该直线为对称轴。成轴对称的两个图形全等。 （5）作图步骤： 找关键点（顶点或拐点） 作对称点（过关键点作对称轴的垂线，截取等长线段） 连结对称点 二、等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的边为腰，另一边为底边，两腰夹角为顶角，腰与底边夹角为底角。 （2）性质： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线/底边上的高/底边中线所在直线。 （3）等边对等角：两底角相等。 （4）三线合一：底边上的高、中线及顶角平分线互相重合。 （5）判定定理： 等角对等边：若三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等（即该三角形为等腰三角形）。 （6）证明方法：通过角平分线或高线构造全等三角形（AAS/SAS），推导对应边相等。 （7）等边三角形判定： 三个角均相等的三角形为等边三角形。 有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形。 三、逆命题与逆定理 （1）逆命题： 定义：若命题“若p则q”的逆命题为“若q则p”，即条件与结论互换。 性质：原命题与逆命题的真假性无必然联系。 示例： 原命题“同角的补角相等” → 逆命题“若两角相等，则它们为同角的补角”（假命题）。 原命题“等底等高的三角形面积相等” → 逆命题“若两三角形面积相等，则它们等底等高”（假命题）。 （2）逆定理： 定义：若定理的逆命题为真命题，则该逆命题称为原定理的逆定理。 示例： 线段垂直平分线性质定理“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上” → 逆定理“若点在线段的垂直平分线上，则它到线段两端的距离相等”。 平行线性质定理“两直线平行，内错角相等” → 逆定理“若内错角相等，则两直线平行”。 巩固课内例1:已知对称轴作对称图形 1．如图，在的正方形网格中，有一个格点（三角形的三个顶点都在格点上），则网格中所有与成轴对称的格点三角形有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在的正方形网格中，有一个格点（阴影部分），则网格中所有与成轴对称的格点三角形的个数是 ． 3．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，的三个顶点都在其格点上． (1)以直线l为对称轴，作与成轴对称； (2)求的面积． 巩固课内例2:将军饮马 1．如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是（    ）． A．13 B．10 C．11 D．12 2．如图，正方形的边长为4，M是中点，N是中点，P是对角线上一个动点，则的最小值为 ． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线对称的；（要求：与，与，与相对应）； (2)用无刻度直尺画出线段的垂直平分线； (3)已知是直线上一个动点，当取最小值时，请在图中作出此时点的位置； 巩固课内例3:等腰三角形的定义 1．已知a，b是等腰三角形的两条边，且a，b满足等式，则此等腰三角形的周长是（    ）． A．8或10 B．8 C．10 D．18 2．在等腰三角形中，若，，则 3．一个等腰三角形，其中两条边分别是厘米、厘米．这个三角形的周长是多少厘米？ 巩固课内例4:等边三角形的定义 1．如图，为等边三角形，以边为腰作等腰，使，连接，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 2．如图，在等边三角形中，是边上的高，E是上一点．若，则 度． 3．如图，在等边的边上各取一点，使，，相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 巩固课内例5:等边三角形的内角 1．等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是等边三角形的中线，以为斜边作等腰直角三角形，求的度数为 ． 3．如图，都是等边三角形，且B、E、C三点在一条直线上．求的度数． 巩固课内例6:三线合一 1．等腰三角形底边长为6，面积是12，则顶角平分线长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ． 3．已知，如图，，，，．求证：． 巩固课内例7:等腰三角形——尺规作图 1．已知在中，，用尺规在边上确定一点D，使得，则下列作图中，一定符合要求的是（   ） A． B． C． D． 2．“直角”在初中几何学习中无处不在．课堂上李老师提出一个问题：如图1，已知．判断是否为直角（仅限用直尺和圆规）．小丽的方法如图2，在、上分别取点，，以点为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点．若，则．李老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据： ． 3．如图，在锐角三角形中，D为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点F，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 巩固课内例8:等角对等边 1．如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论，其中正确的有（   ） ①是等腰三角形；②；③若；；④． A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，中，、分别平分、，，，，则的周长 ． 3．如图所示，在中，平分，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的度数． 巩固课内例9:逆命题 1．下面给出的五个命题：①全等三角形的面积相等；②有一个角是的等腰三角形是等边三角形；③对顶角相等；④若，则；⑤角平分线上的点到角两边的距离相等．其逆命题是真命题的是（    ）． A．①② B．②③④ C．②⑤ D．④⑤ 2．写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题 ． 3．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？ (1)如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数； (2)等边三角形是锐角三角形； (3)如果两个角是直角，那么它们相等； (4)角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 类型一、轴对称图形的认识 1．下列四幅图中，是轴对称图形的是（     ） A．     B．   C．   D．   2．请写出一个轴对称图形： ． 3．下列图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的对称轴． 类型二、成轴对称的两个图形 1．《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由左图经过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，由△ABC经过怎样的变换得到△DEC．答： ． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将向上平移3个单位，再向左平移1个单位得到． (1)在网格中画出； (2)在网格中画出，使得与关于点成中心对称； (3)问：与是否成轴对称？（回答“是”或“否”） 类型三、等腰三角形的边长与周长 1．如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（    ） A． B． C．或 D． 2．等腰三角形有一边长为，周长为，则该等腰三角形的腰长为 ． 3．已知a，b是等腰三角形的两边长，且满足，求这个等腰三角形的周长． 类型四、等腰三角形的顶角与底角 1．已知等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为（   ） A． B． C． D． 2．一个等腰三角形的顶角和底角的比是，这个三角形的顶角是 度． 3．在等腰三角形中，． (1)若是顶角，求的度数； (2)若是底角，求的度数． 类型五、逆定理 1．下列三个定理中，存在逆定理的有（   ） ①同角的余角相等； ②同位角相等，两直线平行； ③同角的补角相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 3．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三角形的两边之和大于第三边． 类型一、等腰三角形的判定 1．下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 2．如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ． 3．如图，在中，，与的角平分线交于点O，过点O作，分别交，于M，N，连接． (1)证明：是等腰三角形． (2) 与相等吗？对你的结论说明理由． (3)证明：． 类型二、等边三角形的判定 1．下列条件中，不一定是等边三角形的是（   ） A．有两个角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形 C．有两个外角相等的等腰三角形 D．三边都相等的三角形 2．已知为三边的长，若，则的形状为 ． 3．如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形． 类型三、镜面对称 1．一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（    ） A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326 2．河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是 ． 3．某一车牌号码在路面水坑中的倒影为，请猜测该车的车牌号．晓华猜测该车的车牌号为M80608．请问晓华的猜测正确吗？如果不正确，请写出正确的车牌号． 类型一、格点三角形 1．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 个格点三角形与成轴对称． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，是格点三角形（顶点是网格线的交点）． (1)画出先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的 (2)画出关于直线对称的 (3)求出的面积 类型二、折叠问题 1．如图，在中，沿直线折叠后，使得点与点重合，已知，的周长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，点D是边上靠近点A的三等分点，点E是边上一动点，将沿折叠得．当与的一边平行时，的度数为 ． 3．将沿折叠，使点刚好落在边上的点处． (1)在图1中，若，，，求； (2)在图2中，若， ①求证：． ②若，求的度数． 类型三、设计轴对称图案 1．如图，大正方形由9个相同的小正方形拼成，图中已有3个小正方形涂上了颜色，如果在图中再涂上一个正方形，使涂色部分成为一个轴对称图形，一共有（    ）种不同的涂法． A．2 B．3 C．4 D．5 2．在 4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有 种． 3．（1）如图，在边长均为1的小正方形组成的方格图中，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上． ①作，使它与关于直线l对称； ②在直线l上找一点P，使的和最短．（不需要计算，在图上直接标记点P的位置）． （2）观察下图①~③中涂色部分构成的图案．（每个小三角形面积均为1） ①写出这三个图案都具有的两个共同特征： __________________，____________________ ②借助图④⑤中的网格，请你设计另外两个新的图案，使新的图案同时具有你在解答（1）时所写出的两个共同特征． 1 学科网（北京）股份有限公司 $