21.2解一元二次方程 自主学习解答题专题提升训练 2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》

自主学习解答题专题提升训练（附答案）

1．解方程：（2x﹣3）2﹣25＝0．

2．解方程（配方法）：2x2+3x﹣2＝0．

3．解方程：x2﹣4x﹣7＝0．

4．用公式法解方程：x2﹣3x+1＝0．

5．解方程：

（1）2x2+3＝7x；　　　　　　　　　　　　

（2）（2x+1）2+4（2x+1）+3＝0．

6．解方程：（2x﹣1）2＝3（2x﹣1）．

7．解方程：x20．

8．已知代数式．

（1）化简A；

（2）若一个矩形两条对角线的长为x2﹣4x+a＝0的两根，求A的值．

9．已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．

（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．

（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．

10．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0．

（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；

（2）如果方程有两个实数根x1，x2当（x1﹣x2）2＝4时，求出m的值．

11．已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根．

（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．

12．关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）＝0有两个实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若m为正整数，求此方程的根．

13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（4m+1）x+3m2+m＝0．

（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；

（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围．

14．已知关于x的方程x2﹣kx+k﹣1＝0．

（1）求证：不论k为何值，方程总有两个实数根．

（2）若等腰△ABC的一边长2，另两边为这个方程的两个根，求△ABC的周长．

15．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．

（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2023的值．

16．已知关于x的一元二次方程2x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若此方程的两根为x1，x2，且x1，x2为矩形的两对角线长，求k；

（3）若k为正整数，此方程的两根为x1，x2，求．

17．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：

如：解方程x（x+4）＝6．

解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．

（x+2）2﹣22＝6，

（x+2）2＝6+22，

（x+2）2＝10．

直接开平方并整理，得．x1＝﹣2，x2＝﹣2．

我们称小明这种解法为“平均数法”．

（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5时写的解题过程．

解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5．

（x+a）2﹣b2＝5，

（x+a）2＝5+b2．

直接开平方并整理，得．x1＝c，x2＝d．

上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为　   　，　     　，　     　，　     　．

（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6．

18．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．

解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0

∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1＝0，求a﹣b的值；

（2）已知等腰△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长；

（3）已知x+y＝2，xy﹣z2﹣4z＝5，求xyz的值．

19．阅读下面的材料，回答问题：

解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0  ①，解得y1＝1，y2＝4．

当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；

当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；

∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．

（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　     　法达到　     　的目的，体现了数学的转化思想．

（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．

20．提出问题：

为解方程（x2﹣2）2﹣11（x2﹣2）+18＝0，我们可以将x2﹣2视为一个整体，然后可设x2﹣2＝y，则（x2﹣2）2＝y2，于是原方程可转化为y2﹣11y+18＝0，解此方程，得y1＝2，y2＝9．

当y1＝2时，x2﹣2＝2，x2＝4，∴x＝±2；

当y2＝9时，x2﹣2＝9，x2＝11，∴．

∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2，，．

以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．

解决问题：

（1）运用上述换元法解方程x4﹣3x2﹣4＝0．

延伸拓展：

（2）已知实数m，n满足（m+3n）（m+3n﹣2）＝2m+6n﹣4，求4m+12n﹣3的值．