专题02 两直线的平行与垂直以及两直线的交点（专项训练）数学湘教版2019高二选择性必修第一册

专题02 两直线的平行与垂直以及两直线的交点 目录 A题型建模・专项突破 题型一、两直线平行及应用 1 题型二、两直线垂直及应用 3 题型三、利用直线交点的个数求参数 6 题型四、利用直线的交点坐标求参数 8 题型五、三线能围成三角形的问题 9 题型六、两直线平行、垂直以及过两直线交点直线系方程及应用 10 题型七、对称点问题 12 题型八、对称直线问题 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、两直线平行及应用 1．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断． 【解析】由于与为两条不重合的直线且斜率分别为，，所以，故①②正确； 由于与为两条不重合的直线且倾斜角分别为，，所以，故③④正确， 所以正确的命题个数是4． 故选：D． 2．若点是直线：外一点，则方程 表示（　　） A．过点且与垂直的直线 B．过点且与平行的直线 C．不过点且与垂直的直线 D．不过点且与平行的直线 【答案】B 【分析】由题意可推出，由此可判断直线与平行，将代入方程，看是否成立，判断直线是否过点P，可得答案. 【解析】由题意可知点是直线：外一点， 故且为常数， 所以方程中，且为常数， 则直线与平行， 将代入中， 即，即点P在该方程表示的直线上， 故方程表示过点且与平行的直线， 故选：B 3．“”是“直线与直线互相平行”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件建立方程求出，再检验即可得解. 【解析】若直线与互相平行， 则，解得或， 当时，符合题意；当时，两直线重合，不符合题意； 故选：C. 4．若直线：与直线：平行，则（　　） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 【答案】D 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验即可. 【解析】依题意得，，得，解得或， 若时，直线与直线平行，符合题意； 若时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或． 故选：D 5．已知经过点的直线与经过点的直线平行，则的值为（　　） A．－1 B．－2 C．－1或2 D．－2或1 【答案】C 【分析】利用直线的斜率公式求解. 【解析】由题意得， 因为，所以，即， 化简得， 所以或， 又由得＝－1或2， 故选:C 6．若点，到直线的距离相等，则（　　） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【解析】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得． 故选：C 7．已知A(－2，m)，B(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若AB∥MN，则m的值为__________. 【答案】0或1 【分析】由一般式方程下两直线平行公式进行运算并检验即可. 【解析】当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m≠－2，且m≠－1时，kAB＝＝， kMN＝＝. 因为AB∥MN，所以kAB＝kMN， 即＝，解得m＝0或m＝1. 当m＝0或1时，经检验，两直线不重合． 综上，m的值为0或1. 题型二、两直线垂直及应用 8．若直线与互相垂直，则（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论直线的斜率，再利用即可. 【解析】由题意可知直线的斜率， 当时，直线的斜率不存在，不满足； 当时，直线的斜率， 由，得，即，解得． 故选：B 9．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（　　） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率即可得出两直线的关系. 【解析】由题意， 所以， 所以. 故选：A. 10．“”是“直线与直线互相垂直”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据直线一般方程垂直系数关系求参，再结合充分必要条件定义判断即可. 【解析】因为“直线与直线互相垂直”可得, 所以，故或. 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A 11．已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（　　） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【答案】B 【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得． 【解析】由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交． 故选：B 12．若经过点和的直线l与斜率为的直线互相垂直，则m的值是 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式和直线的垂直与斜率的关系求解. 【解析 】由题意可知，又因为， 所以，解得． 故答案为: 13．判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 【答案】(1)垂直；(2)不垂直；(3)垂直；(4)当或时，直线，当且时，与不垂直． 【分析】（1）的斜率为，根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （2）根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （3）根据二倍角的正切公式求出的值，判断斜率的乘积是否为即可； （4）分的斜率是否存在进行分类讨论，当两条两条直线垂直，可以是一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0， 也可以是两条直线斜率均存在时，斜率之积为，从而确定直线与垂直时的值. 【解析】（1）由题意知，直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为，所以． （2）由题意知，直线的斜率为，直线的斜率为， 而，所以与不垂直． （3）记的斜率为，因为，所以， 解得或， 又因为为锐角，所以． 因为的斜率为，且，所以． （4）由题意，直线的斜率一定存在，直线的斜率可能存在或不存在． ①当直线的斜率不存在时，，即，此时，满足． ②当直线的斜率存在时，，由斜率公式，得，． 若，则，即，解得． 综上所述，当或时，直线，当且时，与不垂直． 题型三、利用直线交点的个数求参数 14．若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（　　） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【分析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 15．已知三条直线交于一点，则实数=（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可. 【解析】由，即两直线交点坐标为， 代入得：. 故选：C. 16．已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意联立方程得，再解不等式即可得答案； 【解析】联立，得， ∵直线与射线恒有公共点， ∴， 解得. ∴m的取值范围是. 故选：C. 17．已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断出直线所过定点，结合图象求得的取值范围 【解析】直线恒过的定点，. 当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意. 当时，直线的斜率为，则， 解得或，综上，. 故选：C 题型四、利用直线的交点坐标求参数 18．已知直线：与：相交于点，则（　　） A． B．1 C．2 D．－2 【答案】A 【分析】把点代入两直线方程求得，进而求得． 【解析】∵ 点在直线和上， ∴ ，解得，． 故选：A． 19．若直线与直线的交点在直线上，则实数（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】求出直线与直线的交点，再代入求解作答. 【解析】解方程组，得直线与直线的交点， 依题意，，解得， 所以实数. 故选：A 20．已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（　　） A．20 B． C．0 D．24 【答案】B 【分析】根据两直线垂直可求出的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，再将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，由此可得出的值. 【解析】已知直线的斜率为，直线的斜率为． 又两直线垂直，则，解得． ，即， 将交点代入直线的方程中，得． 将交点代入直线的方程中，得． 所以，． 故选：B． 21．三条直线相交于两点.已知，则 . 【答案】2 【分析】先求两直线的交点，进而得是直线上的点，将点代入直线即可得解. 【解析】联立，解得， 所以是直线上的点， 代入直线得，解得. 故答案为：2. 题型五、三线能围成三角形的问题 22．已知直线，若直线不能围成三角形，则符合要求的实数的值可以为（　　） A． B． C．0 D． 【答案】ABD 【分析】联立方程组解得交点坐标，列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可. 【解析】由解得，所以的交点坐标为， 过定点， 若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得； 当与平行时，，解得； 当与平行时，，解得. 故的值为. 故选：ABD 23．使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【解析】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B 24．已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为____________ 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【解析】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故答案为: 题型六、两直线平行、垂直以及过两直线交点直线系方程及应用 25．过点且与直线平行的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的斜率相同排除A、B；再由所过的点排除C，即可得答案. 【解析】由斜率为，而A、B中的直线斜率为，与该直线不平行，排除； C、D中直线斜率为，对于，显然不过，而过已知点， 所以C中直线不符合，D中直线符合要求. 故选：D 26．经过点且与直线垂直的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两直线垂直确定斜率，应用点斜式写出直线方程. 【解析】直线的斜率为，两直线垂直， 故所求直线方程为，则. 故选：B. 27．已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【解析】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为. 故选：A. 28．已知直线：，则与已知直线l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据平行关系可设直线为，计算与两坐标交点，根据面积公式求即可. 【解析】   由题意可设方程为：， 令，得， 令，得， 由题意知：， 得， 故直线方程为：， 故答案为： 29.经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________ 【答案】或 【分析】设直线方程为，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果. 【解析】设直线方程为， 即 令，得， 令，得. 由， 得或. 所以直线方程为或. 故答案为：或 题型七、对称点问题 30．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【解析】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且，所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 31．已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直. 【解析】设，因点A与点B关于直线对称， 则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直， 则，即点A坐标为. 故选：C 32．一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求出关于的对称点的坐标，然后根据直线方程的两点式，算出反射光线所在直线方程． 【解析】设关于的对称点为， 则有，且，解得：，，即， 因此，反射光线所在直线为，整理得． 故选：B． 33．点关于直线的对称点的坐标为 　 　． 【答案】 【分析】设点为，，根据条件可得以及，解出即可得到． 【解析】设点关于直线对称的点为，， 因为直线的斜率为， 由对称关系，两点连线与直线垂直， 所以， 又因为两点连线段的中点在直线上， 代入得， 两式联立，即可解得， 所以对称点为． 故答案为：． 34．直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是　 　． 【答案】1 【分析】由关于直线的对称点为，， 即求的最大值， 【解析】依题意可知， 关于直线的对称点为，， 即求的最大值， ， 当三点共线，即与原点重合时，取得最大值为， 也即的最大值是. 故答案为：1 题型八、对称直线问题 35．直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在直线上任取一点，设其关于直线的对称点为，然后根据对称关系，列方程表示出，，再代入中，化简得解． 【解析】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为． 故选：A． 36．直线关于点对称的直线方程为（　　） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【解析】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B. 37．已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得. 【解析】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 38．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【解析】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 39.已知直线，点.则直线关于直线l的对称直线m'的方程为____________ 【答案】. 【解析】在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. 故答案为： 40.直线关于直线对称的直线方程是____________ 【答案】 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【解析】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上， ， 故答案为： 1．已知点，且直线与直线垂直，则的值为（　　） A．或0 B．0或7 C．0 D．7 【答案】B 【分析】根据直线的斜率存在和不存在分类讨论，利用两直线垂直的性质，即可求解． 【解析】当时，直线的斜率不存在，直线 的斜率为 此时直线的方程为，直线的方程为，故; 当时， 则 解得， 综上，或. 故选：B 2．张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两直线平行公式进行运算并检验即可 【解析】设，，则点，所在直线的斜率为， 由题意知，过点，的直线与直线平行， 所以，整理得：. 故选：B 3．若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出两条直线的交点后可求的取值范围. 【解析】由可得， 因为两条直线的交点在第一象限，故且，故， 故，解得或. 故选：A. 4．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于：和：的交点情况是（　　） A．存在、、使之无交点 B．存在、、使之有无穷多交点 C．无论、、如何，总是无交点 D．无论、、如何，总是唯一交点 【答案】D 【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出的关系，然后解方程组，即可得出结论. 【解析】因为与是直线上两个不同的点，直线斜率存在， 所以，即， 并且， 则， 联立，消得， 即， 所以， 所以方程组有唯一解， 即无论、、如何，总是唯一交点. 故选：D 5．已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（　　） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 【答案】C 【分析】由三条直线两两不平行，且不交于同一点可得． 【解析】已知三条直线能构成三角形，首先不平行， 若，则三条直线围成三角形， 若，则，，解得， 时，由，得，代入得，或，因此 综上：且． 故选：C． 6．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【解析】建立如图所求的直角坐标系，得，， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线，且，， 所以直线的方程为，即， 又直线过，所以，解得或(舍去)， 所以，，,所以， 所以的周长为. 故选：A． 7．（多选）下面三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值可以是（　　） A． B． C． D．4 【答案】ACD 【分析】由已知结合构成三角形的条件及直线平行及相交的关系即可求解． 【解析】当三条直线交于一点时，由，解得和的交点的坐标为， 由在上可得， 解得或， 当至少两条直线平行或重合时，，，至少两条直线斜率相等， 当时，，即， 当时，，解得， 当时，，不成立， 综上，，，，4时，这三条直线不能组成三角形， 实数的取值集合是． 故选：ACD． 8．（多选）已知点，，直线与线段有交点，则可以为（　　） A． B． C．1 D．3 【答案】AD 【分析】求得直线l恒过定点Q，求得与，结合图象可求得m的范围进而可得结果. 【解析】因为，即直线过定点，斜率为， 因为，， 如图所示， 所以或，解得：或， 故选：AD. 9.（多选）如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器(体积忽略不计)，已知，，则下列说法正确的是（　　） A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则 B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到 D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到 【答案】BC 【分析】利用点线对称与光线镜面反射的虚像原理作出图像，数形结合，可一一得到答案. 【解析】由于该射线平行于地面，根据题意可视为射线在平面四边形内部发生反射， 对于A，当时，发出射线使其反射点在靠近端的四等分点，反射后再正好被感应器捕捉， 所以，则，故A错误； 对于B，当时，第一次反射在边上，所以不可能只反射一次就被感应器捕捉； 如图1，假设反射两次后被感应器捕捉，则第二次反射一定在边上， 将平面依次向右、向上翻折一次，到达， 观察线段，要求此线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 设直线，所以:，令得， 所以线段不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 即不可能经过两次反射后被感应器捕捉； 如图2，计算得：时可以反射三次后被感应器捕捉(线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部)，故B正确； 对于C，如图3，依次将平面向上、向右翻折，连接，观察线段，其经过点， 所以与直线的交点在线段上，故线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 意味着射线将依次经过、反射后被感应器捕捉，反射了两次，故C正确； 对于D，如图4，同翻折，同理分析，观察线段，交点恰好在转折点处， 所以线段一定不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部，故D错误. 故选：BC. 10．直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是 ． 【答案】垂直 【分析】分，，三种情况讨论即可. 【解析】①当时，直线过点和点， 直线过点和点， 此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此； ②当时，直线过点和点，直线过点 和点．此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此； ③当时，直线的斜率，直线的斜率， 此时，∴． 故答案为：垂直 11．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为_______________ 【答案】 【分析】根据题意得直线恒过点，进而得直线的斜率的取值范围为：或，再根据，解不等式即可得答案. 【解析】直线方程变形得：. 由得，∴直线恒过点， ，， 由图可知直线的斜率的取值范围为：或， 又， ∴或，即或， 又时直线的方程为，仍与线段相交， ∴的取值范围为. 故答案为：. 12．已知点，在直线上存在一点，使最小，则点坐标为______________ 【答案】 【分析】根据题意，点A、B在直线的同侧，利用轴对称的性质求出点关于直线的对称点的坐标，可知直线与的交点就是所求的点，进而求得答案. 【解析】设为点关于直线的对称点，则的中点为， 由轴对称的性质，可得，解得，即. 直线的方程为，即， 由，解得，即直线与交于点. ，当点三点共线时， 即直线上的点与重合时，达到最小值， 故满足条件的点坐标为. 故答案为： 13．已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1)；(2)或 【分析】(1)利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； (2)利用截距为0和不为0分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【解析】(1)由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； (2)联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 综上所述：所求直线方程为或． 14.2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【解析】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 两直线的平行与垂直以及两直线的交点 目录 A题型建模・专项突破 题型一、两直线平行及应用 1 题型二、两直线垂直及应用 2 题型三、利用直线交点的个数求参数 2 题型四、利用直线的交点坐标求参数 3 题型五、三线能围成三角形的问题 3 题型六、两直线平行、垂直以及过两直线交点直线系方程及应用 3 题型七、对称点问题 4 题型八、对称直线问题 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、两直线平行及应用 1．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若点是直线：外一点，则方程 表示（　　） A．过点且与垂直的直线 B．过点且与平行的直线 C．不过点且与垂直的直线 D．不过点且与平行的直线 3．“”是“直线与直线互相平行”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若直线：与直线：平行，则（　　） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 5．已知经过点的直线与经过点的直线平行，则的值为（　　） A．－1 B．－2 C．－1或2 D．－2或1 6．若点，到直线的距离相等，则（　　） A．4 B． C．4或 D．或 7．已知A(－2，m)，B(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若AB∥MN，则m的值为__________. 题型二、两直线垂直及应用 8．若直线与互相垂直，则（　　） A．0 B． C． D． 9．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（　　） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 10．“”是“直线与直线互相垂直”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（　　） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 12．若经过点和的直线l与斜率为的直线互相垂直，则m的值是 ． 13．判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 题型三、利用直线交点的个数求参数 14．若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（　　） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 15．已知三条直线交于一点，则实数=（　　） A． B．1 C． D． 16．已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 17．已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型四、利用直线的交点坐标求参数 18．已知直线：与：相交于点，则（　　） A． B．1 C．2 D．－2 19．若直线与直线的交点在直线上，则实数（　　） A．4 B．2 C． D． 20．已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（　　） A．20 B． C．0 D．24 21．三条直线相交于两点.已知，则 . 题型五、三线能围成三角形的问题 22．已知直线，若直线不能围成三角形，则符合要求的实数的值可以为（　　） A． B． C．0 D． 23．使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 24．已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为____________ 题型六、两直线平行、垂直以及过两直线交点直线系方程及应用 25．过点且与直线平行的直线方程是（　　） A． B． C． D． 26．经过点且与直线垂直的直线方程为（　　） A． B． C． D． 27．已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（　　） A． B． C． D． 28．已知直线：，则与已知直线l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为 ． 29.经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________ 题型七、对称点问题 30．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 31．已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 32．一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（　　） A． B． C． D． 33．点关于直线的对称点的坐标为 　 　． 34．直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是　 　． 题型八、对称直线问题 35．直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 36．直线关于点对称的直线方程为（　　） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 37．已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 38．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（　　） A． B． C． D． 39.已知直线，点.则直线关于直线l的对称直线m'的方程为____________ 40.直线关于直线对称的直线方程是____________ 1．已知点，且直线与直线垂直，则的值为（　　） A．或0 B．0或7 C．0 D．7 2．张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（　　） A． B． C． D． 3．若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于：和：的交点情况是（　　） A．存在、、使之无交点 B．存在、、使之有无穷多交点 C．无论、、如何，总是无交点 D．无论、、如何，总是唯一交点 5．已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（　　） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 6．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（　　） A． B． C． D． 7．（多选）下面三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值可以是（　　） A． B． C． D．4 8．（多选）已知点，，直线与线段有交点，则可以为（　　） A． B． C．1 D．3 9.（多选）如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器(体积忽略不计)，已知，，则下列说法正确的是（　　） A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则 B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到 D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到 10．直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是 ． 11．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为_______________ 12．已知点，在直线上存在一点，使最小，则点坐标为_____________ 13．已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 14.2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $