第2章 平面解析几何初步（知识清单）数学湘教版2019选择性必修第一册

第一章 数列 清单01 直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为0；（2）倾斜角的取值范围 清单02 直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； 清单03 过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 清单04 直线斜率的应用 1.若点A，B，C都在某条斜率存在的直线上，则任意两点的坐标都可以确定这条直 线的斜率，即kAB=kAC(或kAB=kBC，或kAC=kBC)；反之，若kAB=kAC(或kAB=kBC，或kAC=kBC)，则直线AB与AC(或AB与BC，或AC与BC)的倾斜角相同，又过同一点A(或B，或C)，因此点A，B，C在同一条直线上. 2.形如的范围(最值)问题，可以利用的几何意义[过定点(a，b)与动点(x，y)的直线的斜率]，借助于图形，将求范围(最值)问题转化为求斜率的范围(最值)问题，从而简化运算过程. 清单05 直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 清单06 直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 清单07 求直线方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 清单08 直线的方向向量、法向量 1. 与直线平行、垂直的非零向量分别称为该直线的方向向量、法向量，直线的方向向量和法向量不唯一. 2. 斜率为k的直线的方向向量为(1，k)的非零实数倍，直线Ax+By+C=0的法向量可取(A，B). 清单09 线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 清单10 对直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 清单11 根据位置关系设直线方程的方法 1. 与直线Ax+By+C=0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C). 2. 与直线Ax+By+C=0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 3. 与直线y=kx+b平行的直线方程可设为y=kx+m(m≠b). 4. 与直线y=kx+b(k≠0)垂直的直线方程可设为y=-x+m. 清单12 两条直线的交点坐标 1. 求两相交直线的交点坐标，其关键是解方程组，解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法. (1)若一条直线的方程是斜截式，则常应用代入消元法解方程组. (2)若直线的方程都是一般式，则常应用加减消元法解方程组. 2. 设直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不全为0)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不全为0)，则过l1，l2交点的直线方程可设为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ为参数)，然后根据条件求待定系数. 注：（1） 利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用. （2） 两条直线相交的判定方法： ①联立直线方程组成方程组，并解方程组，若有一组解，则两直线相交. ②两直线斜率都存在且斜率不相等. ③若两条直线的方程分别是l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0， 则l1与l2相交⇔A1B2-A2B1≠0. 3.求过两条直线交点的直线方程的方法 （1）常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件求出直线方程. （2）特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直 清单13 常见的对称问题及应用 1. 对称点的求法 (1)求点关于点的对称点坐标 若点M(x1，y1)关于点P(a，b)的对称点为N(x，y)，则由中点坐标公式可得 (2)求点关于直线的对称点坐标 　　设点M(x0，y0)关于直线l：Ax+By+C=0(A，B不同时为0)的对称点为N(x，y)，则点N的坐标可由方程组求得. 2. 在直线l上求一点P，使P到两个定点的距离之和最小的方法 (1)若两个定点A，B在直线l的异侧，则当点P为直线AB与l的交点时，点P到两个定点的距离之和最小，最小值为|AB|. 如图①，在直线l上任取一点P'，则|P'A|+|P'B|≥|AB|=|PA|+|PB|. (2)若两个定点A，B在直线l的同侧，如图②，则作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，此时点P到两个定点A，B的距离之和最小.   清单14 两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 清单15 点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 清单16 两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： ①转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． ②设，则与之间的距离 清单17 圆的定义和圆的方程 （1）平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． （2）圆的四种方程 ①圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 ②圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 ③圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 清单18 点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 清单19 直线与圆的位置关系 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （3）直线与圆相交时的弦长求法 几何法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2=d2+解题 代数法 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长 弦长 公式法 设直线l：y=kx+b与圆的两交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长 l=|x1-x2|=· （4） 解决与中点弦有关的问题，有下列三种常见方法 ①利用根与系数的关系求出中点坐标； ②设出弦的两个端点的坐标，代入圆的方程，利用作差法求出斜率，此法即为点差法； ③利用圆本身的几何性质，即圆心与非直径的弦中点的连线与弦垂直. 清单21 利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法 (1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题，常涉及的几何量有： ①关于x，y的一次分式形式常转化为直线的斜率； ②关于x，y的一次式常转化为直线的截距； ③关于x，y的二次式常转化为两点间的距离. (2)转化成函数解析式，利用函数的性质解决. (3)利用三角代换，若点P(x，y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上，则设 (θ为参数)，代入目标函数，利用三角函数知识求最大(小)值. 清单22 圆与圆的位置关系 1.用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 2.两圆的公共弦问题 （1）两圆的公共弦所在直线方程的求法 设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0). 联立，①-②，得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. ③ 设两圆交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标适合方程①②，也适合方程③， 因此方程③就是经过两圆交点的直线方程. ①当两圆相交时，(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程，即公共弦所在直线的方程. ②当两圆外离时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线方程. ③当两圆相切时，(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线的方程. ④若两圆是等圆，则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方程. （2）两圆公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出交点的坐标，再利用两点间的距离公式求出弦长. 几何法：①将两圆的方程作差，求出公共弦所在的直线方程； ②求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离；③利用勾股定理求出公共弦长. 3.求经过两圆交点的圆的方程的方法 　　一般地，过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R，λ≠-1)，然后由其他条件 求出λ即得圆的方程. 易错点1 忽视直线倾斜角的取值范围 错误：直线斜率与倾斜角应用时，忽略考虑直线倾斜角的取值范围而造成错误 注意：直线斜率与倾斜角应用时，要特别考虑直线倾斜角的取值范围的情况 例题1-1 经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围为 ． 例题1-2 已知直线方程为3x＋my－6＝0，求此直线的斜率与此直线在y轴上的截距． 易错点2 求直线方程忽视截距为零 错误：利用截距式求直线方程时，忽视考虑截距为零时的情况 注意：利用截距式求直线方程时，①当直线过坐标原点时，②当直线不过坐标原点时 例题2 -1已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 例题2 -2已知直线过点且在轴上的截距相等 (1)求直线的一般方程； (2)若直线在轴上的截距不为0，点在直线上，求的最小值． 易错点3 忽视直线点斜式的适用范围 错误：利用点斜式表示直线方程时，忽略考虑直线斜率不存在直线不能用点斜式时的情况 注意：利用点斜式表示直线方程时，应考虑直线斜率存在时可以用点斜式 例题3 -1线的点斜式方程可以表示（　　） A．任何一条直线         B．不过原点的直线 C．不与y轴垂直的直线         D．不与x轴垂直的直线 例题3 -2 （多选）下列说法中不正确的是（　　） A.过点、斜率为k的直线的点斜式方程也可写成 B.y轴所在直线方程为 C.直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离． D.过点的所有直线都可以用点斜式的形式表示出来． 易错点4 判断两直线位置关系时忽视斜率不存在 错误：判断两直线位置关系的错误就是不注意对直线斜率是否存在的分析 注意：判断两直线位置关系时：①两直线平行应注意两条直线斜率可能不存在；②两直线垂直应注意其中一条直线斜率可能不存在，另一条直线斜率为0 例题4-1 已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（　　） A． B． C．或 D． 例题4-2 直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是 ． 易错点5 平行线间的距离公式使用不当 错误：平行线间的距离公式使用不注意两直线方程中x，y的系数分别对应相同以及直线斜率是否存在的分析 注意：平行线间的距离公式使用应注意两直线方程中x，y的系数分别对应相同以及应注意两直线斜率是否存在的讨论分析 例题5-1 若直线与之间的距离为，则a的值为（　　） A．4 B． C．4或 D．8或 例题5-2 已知直线，，若，则之间的距离为____________ 易错点6 忽略圆的一般方程的限制条件 错误：圆的一般方程的使用错误就是没有注意二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0的检验 注意：圆的一般方程的使用应检验D2＋E2－4F>0 例题6-1 若点在圆的外部，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 例题6-2 已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0,过点A(1,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围． 易错点7 处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论 错误：处理直线与圆的位置关系时就是没有注意对直线斜率的讨论 注意：处理直线与圆的位置关系时应要注意对直线斜率的讨论. 例题7-1 若直线过点P(4,1)且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是6，则该直线的方程为______________． 例题7-2 过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为（　　） A．3x＋4y－4＝0 B．4x－3y＋4＝0 C．x＝2或4x－3y＋4＝0 D．y＝4或3x＋4y－4＝0 易错点8 曲线方程变形不等价 错误：曲线方程最大的错误就是经过变形后不注意方程要有意义 注意：曲线方程变形应注意原来方程有意义满足的条件 例题8-1 已知直线：，曲线：，则“与相切”是“”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例题8-2 直线与曲线有两个交点，则实数m的取值范围是 ． 易错点8 两圆有无公共点误认为是相交或者外离 错误：错位相减最大的错误就是数错项数，或者相减时最后一项没有变号 注意：错位相减应要注意项数，同时相减时，最后一项注意变号 例题8-1 已知两个圆，，若两圆相切，则半径为 ． 例题8-2 已知圆，，，若圆上存在点使得，则的取值范围为 ． 1．过两不同点的直线的斜率为1，则（　　） A．1 B．2 C． D． 2．经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（　　） A．或 B．或或 C．或 D．或或 3．已知圆，则过点的圆C的切线方程为（　　） A． B．或 C． D．或 4．已知点，且直线与直线垂直，则的值为（　　） A．或0 B．0或7 C．0 D．7 5．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（多选）下列说法正确的是（　　） A.任何一条直线在y轴上都有截距； B.直线在y轴上的截距一定是正数； C.直线方程的斜截式可以表示不垂直于x轴的任何直线; D．方程y＝k(x－1)(k∈R)表示过点(1,0)且不垂直于x轴的一切直线 7．（多选）已知两个圆，，若两圆相切，则半径为（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 8．（多选）已知圆，则下列命题是真命题的是（　　） A．若圆C关于直线对称，则 B．存在一条定直线与圆C相切 C．当时，不过点C的直线与圆C交于P，Q两点，则的面积的取值范围是 D．当时，直线，M为直线l上的动点，过点M作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，则的最小值为4 9．过点A(2，1)，B(m， 3)的直线的倾斜角α的范围是，则实数m的取值范围为__________． 10.一条直线经过点，并且它的倾斜角等于直线的倾斜角的倍，则这条直线的方程为__________ 11．已知直线经过点，且，两点到直线的距离相等，则的方程为 . 12．已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为 ． 13．已知为原点，过点的直线与圆相交于两点，若的面积为2，则直线的方程为 ． 14．已知圆，过点的直线交圆于、两点，且，则直线的方程是______________. 15．过原点的直线与圆交于两点，若，则直线的斜率为 . 16．已知直线l过点P(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当取最大值时求直线l的方程。 17．已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. (1)求外接圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (3)若是圆上的两个动点，当最大时，求直线的方程. 18．已知圆C：(x－2)2＋y2＝2. (1) 求与圆C相切，且在x轴，y轴上截距相等的直线方程； (2) 从圆外一点P作圆C的一条切线，切点为M，O为坐标原点，且PM＝PO，求使PM 最小的点P的坐标． 19．在平面直角坐标系中，已知圆和圆. (1)若直线过原点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程； (2)是否存在点满足过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 20．已知过点的直线与圆相交于、两点，是弦的中点，且直线与直线相交于点． (1)当直线与直线垂直时，求证：直线经过圆心； (2)当弦长时，求直线的方程； (3)设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数列 清单01 直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为0；（2）倾斜角的取值范围 清单02 直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； 清单03 过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 清单04 直线斜率的应用 1.若点A，B，C都在某条斜率存在的直线上，则任意两点的坐标都可以确定这条直 线的斜率，即kAB=kAC(或kAB=kBC，或kAC=kBC)；反之，若kAB=kAC(或kAB=kBC，或kAC=kBC)，则直线AB与AC(或AB与BC，或AC与BC)的倾斜角相同，又过同一点A(或B，或C)，因此点A，B，C在同一条直线上. 2.形如的范围(最值)问题，可以利用的几何意义[过定点(a，b)与动点(x，y)的直线的斜率]，借助于图形，将求范围(最值)问题转化为求斜率的范围(最值)问题，从而简化运算过程. 清单05 直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 清单06 直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 清单07 求直线方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 清单08 直线的方向向量、法向量 1. 与直线平行、垂直的非零向量分别称为该直线的方向向量、法向量，直线的方向向量和法向量不唯一. 2. 斜率为k的直线的方向向量为(1，k)的非零实数倍，直线Ax+By+C=0的法向量可取(A，B). 清单09 线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 清单10 对直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 清单11 根据位置关系设直线方程的方法 1. 与直线Ax+By+C=0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C). 2. 与直线Ax+By+C=0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 3. 与直线y=kx+b平行的直线方程可设为y=kx+m(m≠b). 4. 与直线y=kx+b(k≠0)垂直的直线方程可设为y=-x+m. 清单12 两条直线的交点坐标 1. 求两相交直线的交点坐标，其关键是解方程组，解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法. (1)若一条直线的方程是斜截式，则常应用代入消元法解方程组. (2)若直线的方程都是一般式，则常应用加减消元法解方程组. 2. 设直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不全为0)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不全为0)，则过l1，l2交点的直线方程可设为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ为参数)，然后根据条件求待定系数. 注：（1） 利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用. （2） 两条直线相交的判定方法： ①联立直线方程组成方程组，并解方程组，若有一组解，则两直线相交. ②两直线斜率都存在且斜率不相等. ③若两条直线的方程分别是l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0， 则l1与l2相交⇔A1B2-A2B1≠0. 3.求过两条直线交点的直线方程的方法 （1）常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件求出直线方程. （2）特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直 清单13 常见的对称问题及应用 1. 对称点的求法 (1)求点关于点的对称点坐标 若点M(x1，y1)关于点P(a，b)的对称点为N(x，y)，则由中点坐标公式可得 (2)求点关于直线的对称点坐标 　　设点M(x0，y0)关于直线l：Ax+By+C=0(A，B不同时为0)的对称点为N(x，y)，则点N的坐标可由方程组求得. 2. 在直线l上求一点P，使P到两个定点的距离之和最小的方法 (1)若两个定点A，B在直线l的异侧，则当点P为直线AB与l的交点时，点P到两个定点的距离之和最小，最小值为|AB|. 如图①，在直线l上任取一点P'，则|P'A|+|P'B|≥|AB|=|PA|+|PB|. (2)若两个定点A，B在直线l的同侧，如图②，则作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，此时点P到两个定点A，B的距离之和最小.   清单14 两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 清单15 点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 清单16 两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： ①转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． ②设，则与之间的距离 清单17 圆的定义和圆的方程 （1）平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． （2）圆的四种方程 ①圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 ②圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 ③圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 清单18 点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 清单19 直线与圆的位置关系 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （3）直线与圆相交时的弦长求法 几何法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2=d2+解题 代数法 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长 弦长 公式法 设直线l：y=kx+b与圆的两交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长 l=|x1-x2|=· （4） 解决与中点弦有关的问题，有下列三种常见方法 ①利用根与系数的关系求出中点坐标； ②设出弦的两个端点的坐标，代入圆的方程，利用作差法求出斜率，此法即为点差法； ③利用圆本身的几何性质，即圆心与非直径的弦中点的连线与弦垂直. 清单21 利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法 (1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题，常涉及的几何量有： ①关于x，y的一次分式形式常转化为直线的斜率； ②关于x，y的一次式常转化为直线的截距； ③关于x，y的二次式常转化为两点间的距离. (2)转化成函数解析式，利用函数的性质解决. (3)利用三角代换，若点P(x，y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上，则设 (θ为参数)，代入目标函数，利用三角函数知识求最大(小)值. 清单22 圆与圆的位置关系 1.用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 2.两圆的公共弦问题 （1）两圆的公共弦所在直线方程的求法 设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0). 联立，①-②，得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. ③ 设两圆交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标适合方程①②，也适合方程③， 因此方程③就是经过两圆交点的直线方程. ①当两圆相交时，(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程，即公共弦所在直线的方程. ②当两圆外离时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线方程. ③当两圆相切时，(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线的方程. ④若两圆是等圆，则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方程. （2）两圆公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出交点的坐标，再利用两点间的距离公式求出弦长. 几何法：①将两圆的方程作差，求出公共弦所在的直线方程； ②求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离；③利用勾股定理求出公共弦长. 3.求经过两圆交点的圆的方程的方法 　　一般地，过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R，λ≠-1)，然后由其他条件 求出λ即得圆的方程. 易错点1 忽视直线倾斜角的取值范围 错误：直线斜率与倾斜角应用时，忽略考虑直线倾斜角的取值范围而造成错误 注意：直线斜率与倾斜角应用时，要特别考虑直线倾斜角的取值范围的情况 例题1-1 经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分和，求出倾斜角的取值范围. 【解析】由题意知，当时，， 当时，轴，此时倾斜角为， 所以． 故答案为： 例题1-2 已知直线方程为3x＋my－6＝0，求此直线的斜率与此直线在y轴上的截距． 【答案】当m＝0时,在y轴上的截距也不存在;当m≠0时;在y轴上的截距为 【分析】由3x＋my－6＝0，得my＝－3x＋6，即直线的斜截式方程为y＝－x＋， 得出此直线的斜率为－，在y轴上的截距为.错误的原因是忘记讨论当m＝0时，直线的斜率并不存在． 【解析】当m＝0时，直线可化为x＝2，此时直线的斜率不存在，在y轴上的截距也不存在； 当m≠0时，可得my＝－3x＋6，即直线的斜截式方程为y＝－x＋， 得出此直线的斜率为－，在y轴上的截距为. 易错点2 求直线方程忽视截距为零 错误：利用截距式求直线方程时，忽视考虑截距为零时的情况 注意：利用截距式求直线方程时，①当直线过坐标原点时，②当直线不过坐标原点时 例题2 -1已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分直线过原点与不过原点两种情况求解可得直线的方程. 【解析】根据题意，分2种情况讨论: ①直线过原点，设直线方程为，又由直线经过点， 所以，解得，此时直线的方程为，即； ②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点， 则有，解可得，此时直线的方程为， 故直线的方程为或. 故选：D. 例题2 -2已知直线过点且在轴上的截距相等 (1)求直线的一般方程； (2)若直线在轴上的截距不为0，点在直线上，求的最小值． 【答案】D 【分析】（1）分直线截距为0或截距不为0两种情况求解可得直线的方程；（2）利用基本不等式求最值 【解析】（1）因为直线过点且在轴上的截距相等，当截距为0时，则 当截距不为0时，可设，则，即，∴ 综上，的一般方程：或 （2）由题意得， ，当且仅当时，等号成立 的最小值为 易错点3 忽视直线点斜式的适用范围 错误：利用点斜式表示直线方程时，忽略考虑直线斜率不存在直线不能用点斜式时的情况 注意：利用点斜式表示直线方程时，应考虑直线斜率存在时可以用点斜式 例题3 -1线的点斜式方程可以表示（　　） A．任何一条直线         B．不过原点的直线 C．不与y轴垂直的直线         D．不与x轴垂直的直线 【答案】D 【分析】由点斜式方程的定义可得答案. 【解析】点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线． 故选：D. 例题3 -2 （多选）下列说法中不正确的是（　　） A.过点、斜率为k的直线的点斜式方程也可写成 B.y轴所在直线方程为 C.直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离． D.过点的所有直线都可以用点斜式的形式表示出来． 【答案】ACD 【分析】对于A，由点不满足即可判断；对于B，由y轴所在直线方程为即可判断；对于C根据直线在y轴上的截距的定义即可判断；对于D，由点斜式的限制条件即可判断. 【解析】A错误．点不满足，所以不能表示过点斜率为k的直线． B正确．y轴所在直线方程为． C错误．直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标． D错误．过点且斜率不存在的直线不能用点斜式的形式表示出来． 故选：ACD 易错点4 判断两直线位置关系时忽视斜率不存在 错误：判断两直线位置关系的错误就是不注意对直线斜率是否存在的分析 注意：判断两直线位置关系时：①两直线平行应注意两条直线斜率可能不存在；②两直线垂直应注意其中一条直线斜率可能不存在，另一条直线斜率为0 例题4-1 已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】直线，平行的充要条件是“”，进而可得答案． 【解析】解：直线，， 若，则，解得：或 当时，与重合，故“” “”， 故“”的必要不充分条件是“或”， 故选：C． 例题4-2 直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是 ． 【答案】垂直 【分析】分，，三种情况讨论即可. 【解析】①当时，直线过点和点， 直线过点和点， 此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此； ②当时，直线过点和点，直线过点 和点．此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此； ③当时，直线的斜率，直线的斜率， 此时，∴． 故答案为：垂直 易错点5 平行线间的距离公式使用不当 错误：平行线间的距离公式使用不注意两直线方程中x，y的系数分别对应相同以及直线斜率是否存在的分析 注意：平行线间的距离公式使用应注意两直线方程中x，y的系数分别对应相同以及应注意两直线斜率是否存在的讨论分析 例题5-1 若直线与之间的距离为，则a的值为（　　） A．4 B． C．4或 D．8或 【答案】C 【分析】将直线化为，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可. 【解析】将直线化为， 则直线与直线之间的距离， 根据题意可得：，即，解得或， 所以a的值为或. 故选：C 例题5-2 已知直线，，若，则之间的距离为____________ 【答案】 【分析】由，解得，时舍去，可得，再利用平行线之间的距离公式即可得出． 【解析】由于两条直线平行，得，解得， 当时，两直线方程都是故两直线重合，不符合题意. 当时，，， 故两平行直线的距离为. 故答案为:. 易错点6 忽略圆的一般方程的限制条件 错误：圆的一般方程的使用错误就是没有注意二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0的检验 注意：圆的一般方程的使用应检验D2＋E2－4F>0 例题6-1 若点在圆的外部，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据表示圆得，又利用点在圆外得，从而可得结果. 【解析】因为可化为，则，所以． 又点在圆的外部，所以，故， 综上，． 故选：A. 例题6-2 已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0,过点A(1,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围． 【错解】将圆C的方程配方有(x＋)2＋(y＋1)2＝. ∴圆心C的坐标为(－,－1),半径r＝. 当点A在圆外时,过点A可以作圆的两条切线, ∴|AC|>r, 即>, 化简得a2＋a＋9>0,Δ＝1－4×9＝－35<0,∴a∈R. 【答案】－<a< 【分析】错解中只考虑了点A在圆C外部,而忽视了方程x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0表示圆的条件． 必须检验二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是D2＋E2－4F>0. 【解析】将圆C的方程配方有(x＋)2＋(y＋1)2＝, ∴>0,① ∴圆心C的坐标为(－,－1),半径r＝. 当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线, ∴|AC|>r,即 >,化简得a2＋a＋9>0.②， 由①②得－<a<,∴a的取值范围是－<a<. 易错点7 处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论 错误：处理直线与圆的位置关系时就是没有注意对直线斜率的讨论 注意：处理直线与圆的位置关系时应要注意对直线斜率的讨论. 例题7-1 若直线过点P(4,1)且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是6，则该直线的方程为______________． 【错解】设直线的方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y－4k＋1＝0，圆心到直线的距离d＝，则2＝6，解得k＝－，所以直线方程为15x＋8y－68＝0. 答案：15x＋8y－68＝0 【答案】x＝4或15x＋8y－68＝0 【分析】错误的原因是没考虑斜率不存在的情况。 【解析】（1）当直线的斜率不存在时，该直线的方程为x＝4，代入圆的方程解得y＝±3， 故该直线被圆截得的弦长为6，符合题意． （2）当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y－4k＋1＝0，圆心到直线的距离d＝，则2＝6，解得k＝－， 所以直线方程为15x＋8y－68＝0. 综上所述，所求直线方程为x＝4或15x＋8y－68＝0. 答案：x＝4或15x＋8y－68＝0 例题7-2 过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为（　　） A．3x＋4y－4＝0 B．4x－3y＋4＝0 C．x＝2或4x－3y＋4＝0 D．y＝4或3x＋4y－4＝0 【错解】选B，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则＝1， 解得k＝，得切线方程为4x－3y＋4＝0. 【答案】C 【分析】没考虑斜率不存在的情况。 【解析】（1）当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切； （2） 当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0， 则＝1，解得k＝，得切线方程为4x－3y＋4＝0. 综上，得切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0. 故选:C 易错点8 曲线方程变形不等价 错误：曲线方程最大的错误就是经过变形后不注意方程要有意义 注意：曲线方程变形应注意原来方程有意义满足的条件 例题8-1 已知直线：，曲线：，则“与相切”是“”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据曲线表示的图形并利用点到直线距离公式计算，结合的几何意义可得结论. 【解析】易知曲线：可化为，表示圆心为，半径的上半圆； 易知直线可化为， 当时，圆心到直线的距离为， 此时与下半圆相切，如下图所示，不合题意，即必要性不成立； 若与相切，可知，解得或； 检验可知只有当时，直线与相切，即可得，所以充分性不成立； 所以“与相切”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 例题8-2 直线与曲线有两个交点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将曲线C的方程化为，利用直线l与曲线C的位置关系，结合图形即可求解. 【解析】依题意，曲线C的方程可化为：，它表示以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图： 直线表示斜率为1的平行直线系，把直线l由左向右平移，直线l先与半圆相切，后与半圆交于两点，再后与半圆交于一点， 当直线l与半圆相切时，，当直线l与半圆交于两点时，，当直线l与半圆交于一点时，， 所以实数m的取值范围是：. 故答案为： 易错点8 两圆有无公共点误认为是相交或者外离 错误：错位相减最大的错误就是数错项数，或者相减时最后一项没有变号 注意：错位相减应要注意项数，同时相减时，最后一项注意变号 例题8-1 已知两个圆，，若两圆相切，则半径为 ． 【答案】或 【分析】根据两圆相内切、相外切的条件，分别求得r的值 【解析】由题意知：两圆圆心分别为：，，半径分别为：，， 当两圆外切时：，解得：； 当两圆内切时：，解得：，负值舍去； 综上：或. 故答案为：或. 例题8-2 已知圆，，，若圆上存在点使得，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据在以为直径的圆上，求解圆心和半径，即可根据两圆有公共点，利用圆心距与半径的关系求解，排除恰好经过时的情况即可. 【解析】由于，故在以为直径的圆上， ，故半径为5，圆心为， 由题意，两圆有公共点，可得，解得， 当恰好经过时，不符合题意，此时，则， 综上，的取值范围为， 故答案为： 1．过两不同点的直线的斜率为1，则（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用两点的斜率公式，建立方程求解，通过验根，可得答案. 【解析】根据题意可得，解得或． 当时，点重合，不符合题意，舍去． 当时，经验证，符合题意． 故选：C. 2．经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（　　） A．或 B．或或 C．或 D．或或 【答案】B 【分析】根据直线在两坐标轴上的截距相等进行分类讨论，设直线方程，求出每一种情况的直线方程即可. 【详解】①当直线经过原点时，斜率，所以直线方程为：，即； ②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即； ③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即； 综上所述，直线方程为：或或. 故选：B. 3．已知圆，则过点的圆C的切线方程为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分切线斜率存在与不存在讨论即可. 【解析】，则其圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或. 故选：D. 4．已知点，且直线与直线垂直，则的值为（　　） A．或0 B．0或7 C．0 D．7 【答案】B 【分析】根据直线的斜率存在和不存在分类讨论，利用两直线垂直的性质，即可求解． 【解析】当时，直线的斜率不存在，直线 的斜率为 此时直线的方程为，直线的方程为，故; 当时， 则 解得， 综上，或. 故选：B 5．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆的位置关系以及二元二次方程表示圆的条件可得不等式，解不等式即可． 【解析】由已知圆，则， 又点在圆的外部， 则， 即，解得， 故选：C． 6．（多选）下列说法正确的是（　　） A.任何一条直线在y轴上都有截距； B.直线在y轴上的截距一定是正数； C.直线方程的斜截式可以表示不垂直于x轴的任何直线; D．方程y＝k(x－1)(k∈R)表示过点(1,0)且不垂直于x轴的一切直线 【答案】CD 【分析】选项D根据直线的斜率为分析 【解析】因为当直线垂直于x轴时，直线在y轴上的截距不存在，所以A错误； 直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标， 截距是一个数值，可正、可负、可为0，所以B错误； 不垂直于x轴的任何直线都有斜率， 所以都能用直线方程的斜截式表示，所以C正确． 直线的点斜式方程y＝k(x－1)表示经过点(1,0)且斜率为k的直线, 显然不垂直于x轴,所以D正确 故选：CD. 7．（多选）已知两个圆，，若两圆相切，则半径为（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】AD 【分析】根据两圆相内切、相外切的条件，分别求得r的值 【解析】由题意知：两圆圆心分别为：，，半径分别为：，， 当两圆外切时：，解得：； 当两圆内切时：，解得：，负值舍去； 综上：或. 故选:AD. 8．（多选）已知圆，则下列命题是真命题的是（　　） A．若圆C关于直线对称，则 B．存在一条定直线与圆C相切 C．当时，不过点C的直线与圆C交于P，Q两点，则的面积的取值范围是 D．当时，直线，M为直线l上的动点，过点M作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，则的最小值为4 【答案】BCD 【分析】根据圆关于直线对称，得k值，再检验半径是否大于零，即可判断A；只需求出圆过定点，根据直线与圆相切条件判断B；将的面积表达出来，再根据直线与圆的位置关系确定的最值即可判断C；利用垂直关系，可将联系四边形的面积，再根据直线与圆相切的切线长与切点弦关系可判断D. 【解析】圆即.所以该圆圆心为，半径为. 对于A：若圆C关于直线对称，则圆心在直线上，所以，解得.当时，圆的半径为2；当时，，不能构成圆.故A项错误； 对于B：圆，令，，联立解得，，所以圆C过定点，又因为圆心，所以直线与圆C相切，故B项正确； 对于C：当时，圆，由直线得，令且，得，，所以直线过定点，设圆心C与直线的距离为d，则d的最大值为，， 因为，所以，所以，所以，故C项正确； 对于D：当时，圆， 由题意知，四边形的面积为;， 又的最小值为，所以的最小值为2，故的最小值为4，故D项正确. 故选：BCD. 9．过点A(2，1)，B(m， 3)的直线的倾斜角α的范围是，则实数m的取值范围为__________． 【答案】[0， 4]． 【分析】由倾斜角的范围得直线的斜率不存在或斜率不大于或不小于1，从而求得参数范围． 【解析】因为直线的倾斜角α的范围是，所以直线的斜率不存在或斜率k满足k≤－1或k≥1.若斜率不存在，则m＝2；若斜率存在，则k＝＝，从而≥1或≤－1，解得2<m≤4或0≤m<2， 综合可知，实数m的取值范围是[0， 4]． 故答案为:[0， 4] 10.一条直线经过点，并且它的倾斜角等于直线的倾斜角的倍，则这条直线的方程为__________ 【答案】 【分析】由已知直线方程求其倾斜角的正切值，即可确定倾斜角的大小，再由二倍角求正切值得所求直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案． 【解析】由直线，得其斜率为， 设其倾斜角为，则，所以 要求直线的斜率为． 又直线过点， 直线方程为，即． 故答案为：． 11．已知直线经过点，且，两点到直线的距离相等，则的方程为 . 【答案】或. 【分析】根据题意，分两种情况，分别求直线的斜率，即可求直线方程. 【解析】当直线与直线平行，或直线过线段的中点时，满足条件， 第一种情况：当直线与直线平行时，,此时直线的方程为，即， 第二种情况，当直线过线段的中点时，中点坐标，此时直线的斜率，方程为，即. 综上可知，直线的方程为或. 故答案为：或 12．已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为 ． 【答案】和 【分析】根据相切，结合点到直线的距离，分类讨论即可求解. 【解析】圆的圆心和半径分别为， 当直线无斜率时，此时：，与圆相切，符合题意， 当直线有斜率时，设， 此时圆心到直线的距离为，解得， 此时直线方程为，即， 综上可得和 故答案为：和 13．已知为原点，过点的直线与圆相交于两点，若的面积为2，则直线的方程为 ． 【答案】x=1或5x+12y+13=0 【分析】分直线的斜率存在与不存在两种情况，求出弦长和圆心到直线的距离，再结合三角形的面积可求出直线的方程． 【解析】①当直线的斜率不存在时，直线方程为，则圆心到直线的距离为1， 所以, 故， 所以直线满足题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 故， 因为， 所以， 整理得，解得或． 当时，则，解得； 当时，则，此方程无解． 故直线方程为，即． 综上可得所求直线方程为或． 故答案为:或． 14．已知圆，过点的直线交圆于、两点，且，则直线的方程是______________. 【答案】 【分析】首先讨论直线的斜率是否存在，当直线的斜率存在时，设直线，设，，联立直线与圆的方程，消元，列出韦达定理，由，代入即可求出. 【解析】1°当直线的斜率不存在时，，联立，得或， 不妨设，，则，不符合题意； 2°当直线的斜率存在时，设直线， 联立，消去并整理得， ， 设，，则，， 则 ， 所以,解得，， 所以直线l的方程是 故答案为: 15．过原点的直线与圆交于两点，若，则直线的斜率为 . 【答案】或 【分析】首先判断直线的斜率存在，设，，，联立直线与圆的方程，消元，列出韦达定理，由，可得，代入即可求出. 【解析】当斜率不存在时，解得或， 因为且，即不满足，故舍去； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则， 代入圆，得， 显然，设，， 则，， 因为，则，则，， 联立可得，解得或． 故答案为：或 16．已知直线l过点P(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当取最大值时求直线l的方程。 【答案】 【分析】由直线的点斜式方程，得直线l的方程为y－1＝k(x－2)，分别求出A，B点坐标，进而得到PA,PB的表达式，故，通过换元法将原式转化为二次式，进而求得,取得最值时k的值 【解析】由题意可知直线l的斜率k＜0，由直线的点斜式方程，得直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋1.令x＝0，代入方程得y＝－2k＋1，令y＝0，代入方程得x＝， ∴直线l与x轴，y轴的交点坐标分别是点A(，0  )，点B(0，－2k＋1)． ∴PA＝＝，PB＝， . 令t＝，有 (4－t)k2－4k＋1－t＝0， 故Δ＝16－4(4－t)(1－t)≥0. 解得 0≤t≤5，故t＝5时，取最大值． 此时，解得k＝－2，直线l的方程为y＝－2x－2k＋1， 即2x＋y－5＝0， 17．已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. (1)求外接圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (3)若是圆上的两个动点，当最大时，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或.；(3) 【分析】（1）设出圆的一般式方程，代入三点坐标解方程组可得一般式方程，再配方得标准方程； （2）由弦长求法求得圆心到直线的距离，按直线斜率存在与不存在分类讨论求直线方程，斜率存在时，设直线方程，由点到直线距离公式求参数值． （3）由在圆M外，当与圆相切时（E，F不重合），取的最大值, 求出以为直径的圆方程，与圆方程相减可得切点弦所在直线方程． 【解析】（1）设圆的方程为，， 则，解得， 则圆的方程为， 即圆的标准方程为； （2）由（1）得圆心，半径， 又，可知圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，成立； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离， 解得，则直线方程为，即； 综上，直线方程为或. （3）由在圆M外，当与圆相切时（E，F不重合），取的最大值, 此时的中点为，, 所以以为直径的圆的方程为, 即①, 又圆M的方程为②, ①②：, 所以直线的方程为. 18．已知圆C：(x－2)2＋y2＝2. (1) 求与圆C相切，且在x轴，y轴上截距相等的直线方程； (2) 从圆外一点P作圆C的一条切线，切点为M，O为坐标原点，且PM＝PO，求使PM 最小的点P的坐标． 【答案】(1)x＋y＝0或x－y＝0或x＋y－4＝0.；(2). 【分析】（1）讨论切线是否过原点即得；（2）设点P的坐标为(x，y)． 由PM＝PO，PM2＋r2＝PC2，得点P的轨迹为直线x＝，进而求解。 【解析】 (1) 由题意，得圆心C的坐标为(2，0)，半径为. 若切线过原点，则设切线方程为kx－y＝0， 则＝，解得k＝±1， 所以切线方程为x＋y＝0或x－y＝0. 若切线不过原点，则设切线方程为x＋y＋c＝0， 则＝，解得c＝－4或c＝0， 所以切线方程为x＋y－4＝0或x＋y＝0. 综上所述，所求切线的方程为x＋y＝0或x－y＝0或x＋y－4＝0. (2) 设点P的坐标为(x，y)． 因为PM＝PO，PM2＋r2＝PC2， 所以x2＋y2＋2＝(x－2)2＋y2，解得x＝， 所以点P的轨迹为直线x＝. 要使PM最小，即使PO最小， 过点O作直线x＝的垂线，垂足为P， 故点P的坐标为. 19．在平面直角坐标系中，已知圆和圆. (1)若直线过原点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程； (2)是否存在点满足过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)和；(2)存在，或 【分析】（1）分类讨论直线的斜率存在与否，利用圆的弦长公式与点线距离公式列式求解即可； （2）假设存在满足条件的点，分析得两圆心到对应直线的距离相等，从而得到关于的关系式，利用的任意性求得的值，再检验两直线斜率一个为0，另一个不存在的情况，从而得解. 【解析】（1）因为圆的圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，直线即是轴， 此时直线被圆截得的弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由直线被圆截得的弦长为6，所以到直线的距离为， 则，解得，即直线为； 综上，直线的方程为和. （2）存在满足条件的点，点坐标为或，理由如下： 假设存在满足条件的点， 因为圆的圆心为，半径为， 设，因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等， 又两圆半径相等，所以圆心到直线与到直线的距离相等，    当两直线斜率存在且不等于0时， 设直线的方程分别为， 即. 故有， 整理得或， 因为关于的方程有无穷多解， 所以或，解得或， 故点的坐标为或； 当两直线斜率一个为0，另一个不存在时，点的坐标和也适合； 综上可知，存在点满足条件，此时点的坐标为或 20．已知过点的直线与圆相交于、两点，是弦的中点，且直线与直线相交于点． (1)当直线与直线垂直时，求证：直线经过圆心； (2)当弦长时，求直线的方程； (3)设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)或；(3)为定值，且 【分析】（1）利用垂直时求出，利用点斜式即可得出直线的方程，然后验证圆心在直线上即可； （2）讨论直线斜率是否存在，当斜率存在时，利用点斜式设出方程，再根据即可得解； （3）先转化，根据直线斜率是否存在分别求出点点坐标，计算后即可得解. 【解析】（1）解：直线与直线垂直，且，. 故直线方程为，即. 圆心为，且，故当直线与直线垂直时，直线经过圆心. （2）解：①当直线与轴垂直时，则直线的方程为，圆心到直线的距离为， 且，合乎题意； ②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即， ，是中点，圆圆心为，半径为， ，则由，得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （3）解：，. ①当与轴垂直时，直线的方程为，联立可得， 即点，则， 又，. ②当的斜率存在时，设直线的方程为，其中， 则由可得，即点，则. . 综上所述，与直线的斜率无关，且. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $