专题03 三种距离（专项训练）数学湘教版2019高二选择性必修第一册

专题03 三种距离 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平面两点间的距离公式及应用 1 题型二、点到直线的距离公式及应用 1 题型三、两条平行直线间的距离公式及应用 2 题型四、与距离有关的最值与范围问题 2 题型五、将军饮马问题求最值 3 题型六、新定义问题 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平面两点间的距离公式及应用 1．已知三点，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．已知点，，且，则实数等于（　　） A．1 B．3 C．1或3 D．或3 3．以为顶点的的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 4．已知，，，则三角形的面积为（　　） A．3 B．5 C．7 D．8 5．在平面直角坐标系内，点的坐标满足，且都是集合中的元素.又点到原点的距离，则这样的点的个数为 . 题型二、点到直线的距离公式及应用 6．已知两点和到直线距离相等，则值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 7．点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（　　） A． B． C． D． 8.已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（　　） A． B． C． D． 9.(多选)已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 10.若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 11．过点且和原点距离是2的直线方程是 . 12．直线过定点，则点到直线的距离是 ． 题型三、两条平行直线间的距离公式及应用 13．两平行直线和之间的距离为（　　） A． B．2 C． D．3 14．若直线与之间的距离为，则a的值为（　　） A．4 B． C．4或 D．8或 15．到直线的距离为1的直线方程为（　　） A． B．或 C．或 D．或 16．已知直线且两直线间的距离为，则________. 题型四、与距离有关的最值与范围问题 17．当点到直线为任意实数）的距离取最大值时，则（　　） A． B． C． D． 18.已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 19.已知点为直线上任意一点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 20.若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（　　） A．3 B．2 C． D．4 21.（多选）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当m变化时，的值可以为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 22．已知直线l：恒过点P，点Q在直线上，则的最小值为 ． 题型五、将军饮马问题求最值 23．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（　　） A． B． C． D． 24．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 25．已知点，，点在轴上，则的最小值为（　　） A．6 B． C． D． 26．已知点在直线上，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 27.已知点A（-3，5）和B（2，15），在直线上找一点P，使最小，并求这个最小值． 题型六、新定义问题 28．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|≤4，则称该直线为“ 切割型直线” , 下列直线中是“ 切割型直线” 的是（　　） ①;②;③;④. A．①③ B．①② C．②③ D．③④ 29.城市的许多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点，定义两点间“距离”为，则平面内与轴上两个不同的定点的“距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是（　　） A． B． C． D． 30．平面直角坐标系中，任意两点，，定义为“A，B两点间的距离”，定义为“A，B两点间的曼哈顿距离”，已知为坐标原点，为平面直角坐标系中的动点，且，则的最小值为 . 1．若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（　　） A． B． C． D． 2．已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 3．设直线，为直线上动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接AB，取AB的靠近点的四等分点，过点作的平行线，则与之间的距离为（　　） A． B． C． D． 5．定义点到曲线的距离为该点与曲线上所有点之间距离的最小值，则点到曲线距离为（　　） A．2 B． C．1 D． 6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（多选）在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（　　） A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形 C． D． 8．（多选）已知直线，则下列结论正确的是（　　） A．直线l过定点 B．原点O到直线l距离的最大值为 C．若点，到直线l的距离相等，则 D．若直线l不经过第四象限，则． 9.（多选）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（　　） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 10．已知点和直线，则点P到直线l的距离的取值范围是 ． 11．已知点分别是直线与直线上的点，则的最小值为 ． 12．已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 13．已知三条直线：（），：，：，若与的距离是. （1）求a的值： （2）能否找到一点P，使得点P同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②点P到的距离是点P到的距离的；③点P到的距离与点P到的距离之比是，若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由. 14.过点，作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线． （1）已知直线，直线，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由． （2）在△中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点，在二次函数的图象上．若直线与直线是（1）定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标． （3）已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三种距离 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平面两点间的距离公式及应用 1 题型二、点到直线的距离公式及应用 3 题型三、两条平行直线间的距离公式及应用 5 题型四、与距离有关的最值与范围问题 6 题型五、将军饮马问题求最值 9 题型六、新定义问题 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平面两点间的距离公式及应用 1．已知三点，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据两点间距离公式计算得到答案. 【解析】，则，解得. 故选：D 2．已知点，，且，则实数等于（　　） A．1 B．3 C．1或3 D．或3 【答案】C 【分析】根据两点间的距离公式可解得结果. 【解析】因为， 所以，即，解得或， 故选：C 3．以为顶点的的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系下任意两点间的距离公式，分别求出 即可判断. 【解析】根据两点间的距离公式， 得， ， ，所以，且|， 故是等腰非等边三角形. 答案：C. 4．已知，，，则三角形的面积为（　　） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可. 【解析】，, ， ，所以三角形为直角三角形， ， 故选：A. 5．在平面直角坐标系内，点的坐标满足，且都是集合中的元素.又点到原点的距离，则这样的点的个数为 . 【答案】 【分析】根据已知有，结合的取值判断满足条件的点，即可得答案. 【解析】由题设，又都是集合中的元素，且， 所以，满足要求的点有、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、， 所以这样的点有20个. 故答案为：20 题型二、点到直线的距离公式及应用 6．已知两点和到直线距离相等，则值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出． 【解析】两点和到直线距离相等， ，解得，或． 故选：B． 7．点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对称关系求得，再由点到线距离公式求解； 【解析】设关于直线的对称点为， 由对称关系可得，解得． 则点到直线：的距离为． 故选：C． 8.已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再代入点到直线距离公式即可. 【解析】易知直线的斜率为，又过点， 所以其方程为，即， 可得点到直线l的距离为. 故选：C 9.(多选)已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【解析】直线l：可化为， 依题意得，整理得，所以或． 当时，点的坐标为；当时，点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或. 故选：AB． 10.若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】利用点到直线的距离公式求解即可. 【解析】因为点到直线的距离为1， 所以解得：或 故答案为：或 11．过点且和原点距离是2的直线方程是 . 【答案】或 【分析】通过斜率存在、不存在两类情况讨论即可. 【解析】依题意，当斜率不存在时，直线方程为：，此时原点到直线的距离为2，满足题意， 当斜率存在时， 所以设直线方程为，即，又原点到直线的距离等于2， 所以，解得． 所以直线方程为或． 故答案为：或 12．直线过定点，则点到直线的距离是 ． 【答案】 【分析】先求出定点，再根据点到直线的距离公式计算即可. 【解析】由，得， 令，解得， 即定点， 则点到直线的距离为. 故答案为： 题型三、两条平行直线间的距离公式及应用 13．两平行直线和之间的距离为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】利用平行线间距离公式计算即得. 【解析】平行直线和之间的距离. 故选：A 14．若直线与之间的距离为，则a的值为（　　） A．4 B． C．4或 D．8或 【答案】C 【分析】将直线化为，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可. 【解析】将直线化为， 则直线与直线之间的距离， 根据题意可得：，即，解得或， 所以a的值为或. 故选：C 15．到直线的距离为1的直线方程为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】设所求的直线方程为，根据平行线间距离公式列方程即可求出，得出答案. 【解析】设所求的直线方程为， 由题意得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：B 16．已知直线且两直线间的距离为，则________. 【答案】 【分析】根据平行直线间的距离公式可解得结果. 【解析】因为，易知两条直线平行， 整理为： 根据两平行直线间的距离公式： 解得： 故答案为: 题型四、与距离有关的最值与范围问题 17．当点到直线为任意实数）的距离取最大值时，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线恒过的定点，然后结合直线垂直的斜率关系即可求解． 【解】析由可得，， 由，解得，，即直线恒过定点， 当时，到直线的距离最大， 因为， 故， 解得，． 故选：C． 18.已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出恒过的定点，故，距离的最大值为，所以，求解即得出答案. 【解析】，由， 解得，故过定点． ，由， 解得，故过定点， 故，距离的最大值为． 此时，，则，， 解得，故． 故选：C 19.已知点为直线上任意一点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点点距离，结合点到直线的距离公式即可求解. 【解析】表示点到点的距离， 故的最小值为点到直线的距离； 故选：C 20.若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（　　） A．3 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为，然后利用两平行线间的距离公式列方程可求出的值，再利用点到直线的距离公式可求得结果. 【解析】由题意，知点M在直线与之间且与两直线距离相等的直线上， 设该直线方程为，则，即， ∴点M在直线上， ∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线的距离，即. 故选：A. 21.（多选）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当m变化时，的值可以为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【分析】求出直线所过定点，即可求得的范围. 【解析】直线过定点，所以， 即，而A，B在范围内，故A，B正确. 故选：AB． 22．已知直线l：恒过点P，点Q在直线上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】求出定点P的坐标，的最小值即为点P到直线的距离，由点到直线的距离公式可得结果. 【解析】由直线l可得， 令，得P点坐标， 依题意：的最小值即为点P到直线的距离，由点到直线的距离公式可得 故答案为： 题型五、将军饮马问题求最值 23．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出对称点，发现特殊情况路径最短，用两点间距离公式求解即可. 【解析】如图，设点关于直线的对称点为，与直线交于，且设饮马处为，    由轴对称性质得，，， 解得，，故， 即与重合时，将军饮马的总路程最短， 则最短路程为. 故选：C 24．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【解析】由所求的式子的形式想到距离之差， ， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则(当且仅当三点共线时取等号)， 所以的最大值为． 故选：B. 25．已知点，，点在轴上，则的最小值为（　　） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可. 【解析】点，，点在轴上， 点关系轴的对称点为， . 故选：B. 26．已知点在直线上，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题转化为直线上的点到点和的距离之和最小，利用对称点求解可得. 【解析】因为 表示到点和的距离之和. 又在直线上，关于的对称点为， 所以，三点共线时等号成立， 所以，所求最小值为：. 故选：B 27.已知点A（-3，5）和B（2，15），在直线上找一点P，使最小，并求这个最小值． 【答案】，最小值 【分析】求得关于直线的对称点，结合两点间的距离公式求得的最小值. 【解析】设关于直线的对称点为， 线段的中点为， 所以， 解得，即， 所以的最小值为， 此时直线的方程为， 由解得，所以 题型六、新定义问题 28．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|≤4，则称该直线为“ 切割型直线” , 下列直线中是“ 切割型直线” 的是（　　） ①;②;③;④. A．①③ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】根据已知条件，利用点到直线的距离公式进行计算. 【解析】对于①，点M到直线y=x+1的距离，故不存在点P使|PM|≤4，故①不是； 对于②，点M到直线y=2的距离d2=2＜4，故存在点P使|PM|≤4，故②是； 对于③，直线方程为4x-3y=0，点M到直线4x-3y=0的距离 ， 故存在点P使|PM|≤4，故③是； 对于④，点M到直线y=2x+1的距离，故不存在点P使|PM|≤4，故④不是. 综上可知符合条件的有②③.选A，B，D错误. 故选：C. 29.城市的许多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点，定义两点间“距离”为，则平面内与轴上两个不同的定点的“距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分横坐标在、之外（内）的区域两种情况讨论，结合所给距离公式判断即可. 【解析】根据题意，横坐标在、之外的区域，不能出现与轴垂直的线段， 否则该线段上的点与、的“距离”之和不会是定值； 横坐标在、之内的区域，则必须与轴平行，否则该线段上的点与、的“距离”之和不会是定值. 故选：A. 30．平面直角坐标系中，任意两点，，定义为“A，B两点间的距离”，定义为“A，B两点间的曼哈顿距离”，已知为坐标原点，为平面直角坐标系中的动点，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据得出，利用点到直线的距离可得答案. 【解析】设，则由， 因为，所以， 的最小值为点到线段的距离， 的最小值为. 故答案为： 1．若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行可得参数，进而确定平行线间距离. 【解析】有已知直线与直线平行， 则，即， 此时直线与直线，即满足平行， 则两直线间距离， 故选：D 2．已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据直线有无斜率，分类讨论，结合点到直线的距离公式即可求解. 【解析】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与点到的距离为1，符合题意， 当直线的斜率存在时，设为， 则可设直线方程为：，即， 由于点与点到直线的距离相等， 则，解得， 故直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 故选：C 3．设直线，为直线上动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，其中的几何意义为点与点的距离的平方，求出点到直线的距离，即可求出的最小值，即可得解. 【解析】因为，其中的几何意义为点与点的距离的平方， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为， 则的最小值为. 故选：B 4．已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接AB，取AB的靠近点的四等分点，过点作的平行线，则与之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法1，由题可得与平行，则与之间的距离为与之间距离的，据此可得答案；方法2，注意到A，B 的选取对直线方程无影响，为此取，可得方程，据此可得答案. 【解析】方法1，直线的方程可化为，又，故直线与平行． 如图，过A作于点，交直线于点，则为所求直线与的距离． 因为，，所以．    方法2，由方法1，直线与平行，则A，B 的选取对直线方程无影响， 不妨设，因为为AB上靠近点的四等分点，则， 设，则. 设直线的方程为，将点的坐标代入，得， 则，故直线与之间的距离． 故选：B 5．定义点到曲线的距离为该点与曲线上所有点之间距离的最小值，则点到曲线距离为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】2 【分析】设出曲线上任意一点，利用两点间距离公式表达出，利用基本不等式求出最小值. 【解析】当时，显然不成立，故，此时，设曲线任意一点，则，其中，当且仅当，即时等号成立，此时即为最小值. 故选：A 6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【解析】若是关于的对称点，则， 设饮马点为，如下图示，    由图知：，当且仅当共线时等号成立， 所以. 故选：C 7．（多选）在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（　　） A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式、两点间距离公式逐项分析判断. 【解析】对于A，直线的斜率，直线的斜率， ，即，为直角三角形，A正确； 对于B，直线的斜率，点共线，B错误； 对于C，在中，，，，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD 8．（多选）已知直线，则下列结论正确的是（　　） A．直线l过定点 B．原点O到直线l距离的最大值为 C．若点，到直线l的距离相等，则 D．若直线l不经过第四象限，则． 【答案】ABD 【分析】A选项，变形后，得到方程组，求出定点坐标；B选项，直线l过定点，故最大值为；C选项，由点到直线距离公式得到方程，求出或-2；D选项，数形结合得到时满足要求，从而得到不等式，求出答案. 【解析】A选项，， 令，解得，故直线l过定点，A正确； B选项，由A选项知，直线l过定点， 故原点O到直线l距离的最大值为，B正确； C选项，点，到直线l的距离相等， 故，故，解得或-2，C错误； D选项，直线不经过第四象限， 当时，满足要求，此时斜率为0， 当经过原点时，，解得， 此时，斜率为1，数形结合得到，当时，满足要求， 即，解得，D正确. 故选：ABD 9.（多选）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（　　） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 【答案】ABC 【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解. 【解析】因为可以转化为， 故直线恒过定点A，故A选项正确； 又因为：即恒过定点B， 由 和 , 满足 ， 所以 , 可得 , 故B选项正确； 所以 , 故C选项正确; 因为 , 设为锐角, 则, 所以, 所以当 时, 取最大值 , 故选项D错误. 故选：ABC. 10．已知点和直线，则点P到直线l的距离的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得直线的定点，进而求得点P到直线l的最大距离，然后检验点是否可能在直线上即可 【解析】可化为： 设直线的定点为，点P到直线l的距离为，则有： 可得：为直线的定点 则有：，此时为点P到直线l的最大距离 若在直线上，则有：，即 可得：不可能在直线上，则有： 综上可得： 故答案为： 11．已知点分别是直线与直线上的点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】判断两直线平行，即可判断的最小值为平行直线与的距离，根据平行线间的距离公式即可求得答案. 【解析】由题意可知直线，直线，即， 则两直线斜率均为-2，且两直线不重合， 所以直线，所以当且时，有最小值， 其最小值为平行直线与的距离，所以， 故答案为： 12．已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到最小值即为所求. 【解析】由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图，    则直线的方程为：，将沿着直线往上平移个单位到点，有， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，有，即四边形为平行四边形， 则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值，而， 所以的最小值为= 故答案为： 13．已知三条直线：（），：，：，若与的距离是. （1）求a的值： （2）能否找到一点P，使得点P同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②点P到的距离是点P到的距离的；③点P到的距离与点P到的距离之比是，若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据平行直线间的距离公式求解， （2） 根据点到直线间的距离公式求解. 【解析】（1）：， 与的距离． ．． ，． （2）设点，，若点满足条件②， 则点在与、平行的直线上， 且，即或， 或； 若点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有， 即， 或． 由在第一象限，不可能．应舍去 联立方程和，解得，， 由，， 解得，． ，即为同时满足三个条件的点 14.过点，作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线． （1）已知直线，直线，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由． （2）在△中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点，在二次函数的图象上．若直线与直线是（1）定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标． （3）已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围． 【答案】（1）存在点，使得，是定积直线，且；（2）；（3）， 【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论； （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，利用定积直线的定义可得或，进而，计算即可； （3）设直线，直线，其中，计算得，利用基本不等式可求的取值范围． 【解析】（1）存在点，使得，是定积直线，理由如下： 由题意可得， 由，解得， 故存在点，使得，是定积直线，且． （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的斜率为． 依题意得，得，即或． 直线的方程为，因为点在直线上，所以， 因为点在第一象限，所以，解得或（舍去），，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 由，得，即点的坐标为． （3）设直线，直线，其中， 则 ， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即， 故的取值范围为，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $