专题02 曲线方程的概念与圆（五大题型+好题推送）（期中真题汇编 上海专用）高二数学上学期

专题02 曲线方程的概念与圆（五大题型+好题推送） 5大高频考点概览 考点01 曲线方程的概念 考点02 圆的方程 考点03 直线与圆的位置关系 考点04 圆与圆的位置关系 考点05 综合题 地 城 考点01 曲线方程的概念 1．(24-25高二上·上海市延安中学··期中) 已知曲线上点的坐标都是方程的解，则下列命题中正确的是（   ） A．曲线是方程的解 B．不在曲线上的点的坐标一定不是方程的解 C．凡坐标不满足方程的点都不在曲线上 D．以方程的解为坐标的点都在曲线上 【答案】C 【分析】利用曲线的意义判断A；利用互逆关系、互逆否关系命题的真假关系判断BCD. 【详解】对于A，曲线是点的集合，集合中的每个元素对应的坐标是方程的解， 不能说成曲线是方程的解，A错误； 对于BD，不在曲线上的点的坐标一定不是方程的解，等价于方程的解 为坐标的点都在曲线上，它是命题“曲线上点的坐标都是方程的解”的逆命题， 而互逆的两个命题不一定同真同假，BD错误； 对于C，坐标不满足方程的点都不在曲线上，等价于 “曲线上点的坐标都是方程的解”，C正确. 故选：C 2．(23-24高二上·上海市大同中学··期中) 关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（     ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于对称 D．关于原点中心对称 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对称变换的方法逐项分析判断即可. 【详解】对于A，用换方程中的，得，方程发生变化，即曲线关于轴不对称，A错误； 对于B，用换方程中的，得，方程发生变化，即曲线关于轴不对称，B错误； 对于C，用换，换，得，方程发生变化，即曲线关于轴不对称，C错误； 对于D，将点代入原方程仍为，因此曲线关于原点中心对称D正确. 故选：D 3．(22-23高二上·上海市回民中学··期中) 若曲线C 的方程为：，则该曲线（     ） A．曲线关于轴对称 B．曲线的顶点坐标为 C．曲线位于直线的左侧 D．曲线过坐标原点 【答案】C 【分析】根据方程的性质，方程的转化，求导探究单调性，即可逐一进行判断. 【详解】因， 则，代入不等于代入，所以不关于y轴对称，故A错； 又，得，C正确； 将代入不成立，故D错误； 又， 若， ， 则在上单调递减， 当时，，则， 若， ， 则在上单调递增， 又时，， 故此时， 因此的顶点只有一个，且为，B错. 故选：C 地 城 考点02 圆的方程 4．(24-25高二上·上海市晋元高级中学··期中) 圆的周长为 .（结果保留） 【答案】 【分析】求出圆的半径后可求其周长. 【详解】方程即为， 故圆的半径为，故其周长为， 故答案为：. 5．(24-25高二上·上海市上海财经大学附属北郊高级中学··期中) 已知A点坐标为，B点坐标为，以线段为直径的圆的半径是（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用两点距离公式求线段AB的长，即可得半径. 【详解】由题意知，， 以线段为直径的圆的半径是， 故选：C 6．(24-25高二上·陕西省咸阳市实验中学··期中) 若方程表示圆，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆的一般方程条件，计算即可得到答案. 【详解】根据题意，方程表示圆， 则，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 地 城 考点03 直线与圆的位置关系 7．(24-25高二上·上海市上海财经大学附属北郊高级中··期中) 若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式可求得实数的值. 【详解】圆的圆心为， 由题意可得，即，解得或. 故选：C. 8．(24-25高二上·上海交通大学附属中学··期中) 若直线与圆相切.则实数 . 【答案】 【分析】由圆心到直线距离等于半径即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得：， 故答案为： 9．(24-25高二上·重庆市巴蜀中学教育集团··期中) 圆：在点处的切线方程为 ； 【答案】 【分析】由切线与圆心和切点连线的垂直关系得切线斜率，再由点斜式方程可得答案. 【详解】由题意知圆心， ，，又过点， 所以切线方程为，即， 故答案为：. 地 城 考点04 圆与圆的位置关系 10．(24-25高二上·上海市行知中学··期中) 已知圆：和圆：外切，则的值为 . 【答案】 【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由圆：和圆：可知， 两圆的圆心坐标分别为，，两圆的半径分别为，， 因为两圆相外切，可得，解得. 故答案为：. 11．(24-25高二上·上海市晋元高级中学··期中) 若圆与圆外切，则实数 . 【答案】 【分析】根据两圆的圆心距与半径的关系即可列方程求解. 【详解】的圆心和半径分别为为， 圆的圆心和半径分别为， 根据两圆外切，故，解得， 故答案为： 10．(24-25高二上·上海市浦东新区2024届高三下学期期中··期中) 已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求出两圆得圆心及半径，再根据两圆相交，可得，解之即可. 【详解】圆化为标准方程得， 则圆心，半径， 圆化为标准方程得， 则，半径， 因为两圆相交， 所以， 即，解得（舍去）， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 地 城 考点05 综合题 13．(21-22高二上·吉林省吉林市吉化第一高级中学校··期中) 已知点在圆C：（）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则 ． 【答案】 【分析】根据点与圆的位置关系，可求得r的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到关于r的方程，求解即可. 【详解】由点在圆C：内，且 所以，又，解得 过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为 又， 所以，解得 故答案为： 14．(24-25高二上·上海市晋元高级中学··期中) 若关于的方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】变形给定等式，令，再利用几何意义，结合直线与圆的位置关系求出范围. 【详解】方程， 令，由，得， 因此表示以点为圆心，1为半径的上半圆（含端点）， 表示纵截距为，斜率为的直线，依题意，直线与半圆有两个交点， 在同一坐标系内作出直线与半圆，如图， 当直线与半圆相切时，，显然，解得， 当直线过点时，，此时直线与半圆有两个交点， 当时，直线与半圆有两个交点，即方程有两个不同的实数解， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 15．(22-23高二上·上海市静安区··期中) 类比教材中对圆双曲线的“对称性”和“范围”的研究，写出曲线的对称性和所在的范围为 ． 【答案】关于轴对称，， 【分析】根据有意义得出的范围，再根据的范围得出的范围；分别以代，以代，及以代，代，判断与原方程的关系即可得出对称性． 【详解】由得， 因为， 所以，即， 在曲线方程中，以代，得，与方程相同，所以曲线关于轴对称； 以代，得，与原方程不同，所以曲线不关于轴对称； 以代，代，得，与原方程不同，所以曲线不是中心对称图形， 故答案为：关于轴对称，，． 【好题推送】 1．(24-25高二上·上海市高桥中学··期中) 曲线与曲线恰有两个不同交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析出表示起点为的两条斜率分别为1和的射线， 分曲线为圆，椭圆和双曲线三种情况分析即可. 【详解】如图示：表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线. 当曲线为圆时，即， 此时与曲线有三个交点，不符合题意； 当曲线为椭圆时，即，只需点落在椭圆内， 即，解得：； 当曲线为双曲线时，即，渐近线方程：， 要使曲线与曲线恰有两个不同的交点， 只需，解得：， 所以实数的取值范围是. 故选：B 2．(23-24高二上·上海市金山中学、闵行中学、崇明中学、嘉定一中四校联考··期中) 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）.给出下列三个结论： ①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】对①：计算出所有整点即可得；对②：借助基本不等式即可得；对③：借助割补法计算即可得. 【详解】根据题意，曲线， 当时，曲线的方程为， 当时，曲线的方程为， 则曲线关于轴对称， 对于①，曲线， 当时，，所以，即曲线经过，； 当时，方程为，有， 解得，所以只能取整数1， 当时，有，解得或，即曲线经过，， 根据对称性可得曲线还经过，，所以曲线一共经过6个整点，①正确； 对于②，当时，曲线的方程为， 则有，变形可得，当且仅当时等号成立， 又由曲线关于轴对称，则曲线上任意一点都满足， 即曲线上任意一点到原点的距离都不超过，②正确； 对于②因为在轴上方，曲线围成图形的面积大于四点，， ，围成的矩形面积， 在轴下方，图形面积大于三点，， 围成的等腰直角三角形的面积， 故曲线所围成的“心形”区域的面积大于3，③错误 故选：A． 【点睛】关键点点睛：判断结论③的关键在于结合所得整点坐标，借助割补法得到在轴上方，曲线围成图形的面积大于四点，，，围成的矩形面积，在轴下方，图形面积大于三点，，围成的等腰直角三角形的面积. 3．(24-25高二上·上海市松江区上海师范大学附属外国语中学··期中) 若圆：关于直线对称，则实数 . 【答案】 【分析】根据圆关于直线对称，可得直线过圆心，即可代入求值. 【详解】由题知，直线过圆的圆心， 则，解得. 故答案为： 4．(24-25高二上·上海市高桥中学··期中) 已知坐标原点在圆的外部，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据方程为圆可得，再根据原点在圆外可得，故可求参数的取值范围. 【详解】由圆的方程可得即， 而原点在圆的外部，故即， 故，即 故答案为：. 5．(24-25高二上·上海市上海师范大学附属中学··期中) 经过点且与圆相切的直线方程为 . 【答案】或 【分析】分斜率存在和不存在两种情况讨论，切线斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径计算可求得直线斜率，即可求得切线方程. 【详解】由题意知，圆心坐标为，半径为5， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 即， 依题意有，解得， 此时直线方程为，即， 所以所求切线的方程为或. 故答案为：或. 6．(24-25高二上·上海市进才中学··期中) 已知圆关于直线对称，且过点 (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若直线过点，且与圆交于，两点，满足，求直线的方程． 【答案】(1)圆心坐标为，半径为 (2)或 【来源】上海市进才中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【分析】（1）根据圆心在直线上和点在圆上，列方程可求，进而可得圆的圆心和半径. （2）利用几何法，根据弦长可求圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，可求直线的斜率，进而得到的方程. 【详解】（1）由题意：. 所以圆：. 所以圆的圆心为，半径. （2）因为，所以圆心到直线的距离为：. 设直线的点斜式方程为：，即. 由或. 所以直线的方程为：或. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 曲线方程的概念与圆（五大题型+好题推送） 5大高频考点概览 考点01 曲线方程的概念 考点02 圆的方程 考点03 直线与圆的位置关系 考点04 圆与圆的位置关系 考点05 综合题 地 城 考点01 曲线方程的概念 1．(24-25高二上·上海市延安中学··期中) 已知曲线上点的坐标都是方程的解，则下列命题中正确的是（   ） A．曲线是方程的解 B．不在曲线上的点的坐标一定不是方程的解 C．凡坐标不满足方程的点都不在曲线上 D．以方程的解为坐标的点都在曲线上 2．(23-24高二上·上海市大同中学··期中) 关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（     ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于对称 D．关于原点中心对称 3．(22-23高二上·上海市回民中学··期中) 若曲线C 的方程为：，则该曲线（     ） A．曲线关于轴对称 B．曲线的顶点坐标为 C．曲线位于直线的左侧 D．曲线过坐标原点 地 城 考点02 圆的方程 4．(24-25高二上·上海市晋元高级中学··期中) 圆的周长为 .（结果保留） 5．(24-25高二上·上海市上海财经大学附属北郊高级中学··期中) 已知A点坐标为，B点坐标为，以线段为直径的圆的半径是（    ） A．4 B． C． D．2 6．(24-25高二上·陕西省咸阳市实验中学··期中) 若方程表示圆，则实数的取值范围为 . 地 城 考点03 直线与圆的位置关系 7．(24-25高二上·上海市上海财经大学附属北郊高级中··期中) 若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．(24-25高二上·上海交通大学附属中学··期中) 若直线与圆相切.则实数 . 9．(24-25高二上·重庆市巴蜀中学教育集团··期中) 圆：在点处的切线方程为 ； 地 城 考点04 圆与圆的位置关系 10．(24-25高二上·上海市行知中学··期中) 已知圆：和圆：外切，则的值为 . 11．(24-25高二上·上海市晋元高级中学··期中) 若圆与圆外切，则实数 . 10．(24-25高二上·上海市浦东新区2024届高三下学期期中··期中) 已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 . 地 城 考点05 综合题 13．(21-22高二上·吉林省吉林市吉化第一高级中学校··期中) 已知点在圆C：（）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则 ． 14．(24-25高二上·上海市晋元高级中学··期中) 若关于的方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 15．(22-23高二上·上海市静安区··期中) 类比教材中对圆双曲线的“对称性”和“范围”的研究，写出曲线的对称性和所在的范围为 ． 【好题推送】 1．(24-25高二上·上海市高桥中学··期中) 曲线与曲线恰有两个不同交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·上海市金山中学、闵行中学、崇明中学、嘉定一中四校联考··期中) 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）.给出下列三个结论： ①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．(24-25高二上·上海市松江区上海师范大学附属外国语中学··期中) 若圆：关于直线对称，则实数 . 4．(24-25高二上·上海市高桥中学··期中) 已知坐标原点在圆的外部，则实数a的取值范围为 ． 5．(24-25高二上·上海市上海师范大学附属中学··期中) 经过点且与圆相切的直线方程为 . 6．(24-25高二上·上海市进才中学··期中) 已知圆关于直线对称，且过点 (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若直线过点，且与圆交于，两点，满足，求直线的方程． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $