专题04 空间点、直线、平面之间的位置关系（六大题型+好题推送）（期中真题汇编 上海专用）高二数学上学期

专题04 空间点、直线、平面之间的位置关系（六大题型+好题推送） 6大高频考点概览 考点01 公理及其应用 考点02 共面、共线、共点问题 考点03 空间位置关系的判断 考点04 空间的角 考点05 空间的距离 考点06 立体几何综合题 地 城 考点01 公理及其应用 1．(21-22高二上·上海市浦东新区··期中) 公理2：不在同一直线上的 点确定一个平面. 2．(22-23高二上·上海市建平中··期中) 已知三条直线，，满足且，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 3．(山东省枣庄市2019-2020学年高一（下）··期中) 有如下命题： ①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面； ②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内； ③平行于同一条直线的两条直线平行； ④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 其中作为公理（基本事实）的是 （填写序号）． 地 城 考点02 共面、共线、共点问题 4．(24-25高二上·上海交通大学附属中学··期中) 下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．(24-25高二上·上海市浦东新区上海海洋大学附属大团高级中学··期中) 如图，正方体中，分别为的中点，则    ①四点共面 ② ③三线不共点 ④ 以上四个结论中，正确结论的序号是 . 6．(23-24高二上·上海市格致中学··期中) 已知直三棱柱，底面三角形是等腰直角三角形，其中为直角顶点，且．若点为棱的中点，点为平面的一动点，则的最小值是 ． 地 城 考点03 空间位置关系的判断 7．(24-25高二上·上海市上海中学··期中) 空间中垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是 8．(24-25高二上·上海市通河中学··期中) 命题：若直线与平面上的无数条直线垂直，则，是 命题（选填“真”或“假”）． 9．(24-25高二上·上海市三林中学··期中) 如图，已知平面，垂直，则图中共有 个直角三角形． 地 城 考点04 空间的角 10．(24-25高二上·上海市上海中学··期中) 二面角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11．(24-25高二上·上海市松江一中··期中) 在正方体中，所在直线与平面所成的角为 . 12．(24-25高二上·上海市实验学校··期中)正四面体棱长为1，平面，垂足为，设为线段上一点，且，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点05 空间的距离 13．(24-25高二上·上海市民办扬波中学··期中) 在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为 . 14．(24-25高二上·上海市川沙中学··期中) 如图，已知长方体的棱长，则点到棱的距离是 15．(24-25高二上·上海市三林中学··期中) 如图，已知直角三角形中，两直角边，，若面，且，则点到斜边的距离为 ． 地 城 考点06 立体几何综合题 16．(24-25高二上·上海市松江一中··期中) 已知所在平面外一点，且二面角、、大小相等，则点在平面内的射影应为的 心. 17．(24-25高二上·上海市崇明中学··期中) 如图，正方体的棱长为1，、分别是棱、的中点，经过直线的平面分别与棱、交于点、，设，，给出下列三个结论： ①四边形一定是菱形； ②若四边形的面积为，，则有最大值与最小值； ③若四棱锥的体积为，，则为常值函数. 以上结论中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 18．(23-24高二上·上海市莘庄中学··期中) 某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为 时，所遮阴影面ABC＇面积达到最大 【好题推送】 1．(23-24高二上·上海市实验学校··期中)已知平行四边形的四个顶点均在平面的同一侧，若，，三点到平面的距离分别为2、3、4，则点到平面的距离为 . 2．(23-24高二上·上海市松江一中··期中)如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：    ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③点到的距离为； ④存在点，使得. 其中所有正确的结论是 . 3．(23-24高二上·上海市上海中学··期中)若二面角内一点到的距离分别等于，则该二面角的大小为 . 4．(23-24高二上·上海市实验学校··期中)正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为 . 5．(23-24高二上·【课堂例】10.3.3 直线与平面所成的角··期中)给出以下四个命题： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； ②如果一条直线和一个平面上的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； ④、与平面成角相等，则． 其中是真命题的有 ． 6．(23-24高二上·上海市通河中学··期中)如图，正方体的棱长为1，，求：    (1)与所成角的大小； (2)与平面所成角的正切值． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 空间点、直线、平面之间的位置关系（六大题型+好题推送） 6大高频考点概览 考点01 公理及其应用 考点02 共面、共线、共点问题 考点03 空间位置关系的判断 考点04 空间的角 考点05 空间的距离 考点06 立体几何综合题 地 城 考点01 公理及其应用 1．(21-22高二上·上海市浦东新区··期中) 公理2：不在同一直线上的 点确定一个平面. 【答案】三/3 【分析】根据公理2判断可得； 【详解】解：公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面 故答案为：三 2．(22-23高二上·上海市建平中··期中) 已知三条直线，，满足且，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 【答案】B 【分析】根据空间直线平行垂直的定义，结合等角定理进行判定. 【详解】若且，根据空间直线垂直的定义，可得，不平行，有可能共面，也有可能异面. 故选：B. 3．(山东省枣庄市2019-2020学年高一（下）··期中) 有如下命题： ①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面； ②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内； ③平行于同一条直线的两条直线平行； ④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 其中作为公理（基本事实）的是 （填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据公理可得出结论. 【详解】公理如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题②为公理； 公理过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题①为公理； 公理如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； 公理平行于同一条直线的两条直线平行，命题③为公理. 命题④为等角定理. 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题. 地 城 考点02 共面、共线、共点问题 4．(24-25高二上·上海交通大学附属中学··期中) 下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据空间中点和线的位置关系，即可求解. 【详解】对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误， 对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确， 对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误， 对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外 ，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确 故选：B 5．(24-25高二上·上海市浦东新区上海海洋大学附属大团高级中学··期中) 如图，正方体中，分别为的中点，则    ①四点共面 ② ③三线不共点 ④ 以上四个结论中，正确结论的序号是 . 【答案】①② 【分析】由题意可得，，从而得，即可判断①，②；由与的数量关系可得，四边形为梯形，为腰，设，由点线面的位置关系及公理2，可得，从而判断③；求得，，即可判断④. 【详解】解：由题意可得，， ，， 所以且， 所以四点共面，故①，②正确； 所以四边形为梯形，为两底， 因为四边形为梯形，为腰， 所以设， 所以平面，平面， 又因为平面平面， 所以， 所以三线共点，故③错误； 易知三角形为等腰直角三角形， 所以； 设正方体的棱长为1， 在中，, 所以 又因为， 所以， 所以，故④错误. 故答案为：①② 6．(23-24高二上·上海市格致中学··期中) 已知直三棱柱，底面三角形是等腰直角三角形，其中为直角顶点，且．若点为棱的中点，点为平面的一动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由，得到平面平面，从而达到点关于平面BCD对称点E落在的延长线上，然后由最小时，三点共线求解. 【详解】解：如图所示： 由题意得，又因为三棱柱是直三棱柱， 所以平面平面，且平面平面， 平面ABC，所以平面， 又平面BCD，所以平面平面， 所以点关于平面BCD对称点E落在的延长线上， 且，即， 若最小，则三点共线， 所以， ， 故答案为： 地 城 考点03 空间位置关系的判断 7．(24-25高二上·上海市上海中学··期中) 空间中垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是 【答案】平行 【分析】利用线面垂直的性质定理可得结论. 【详解】由线面垂直的性质定理可知，空间中垂直于同一条直线的两个平面平行. 故答案为：平行. 8．(24-25高二上·上海市通河中学··期中) 命题：若直线与平面上的无数条直线垂直，则，是 命题（选填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】根据空间中线面的位置关系判断即可. 【详解】当时，在平面内存在无数条直线与直线垂直，但是与不垂直，故命题为假命题. 故答案为：假. 9．(24-25高二上·上海市三林中学··期中) 如图，已知平面，垂直，则图中共有 个直角三角形． 【答案】 【分析】利用线面垂直的性质可得出结论. 【详解】因为平面，、、平面， 所以，，，， 因为，，、平面，则平面， 因为平面，所以，， 所以，、、、都是直角三角形， 因为，图中共有个直角三角形. 故答案为：. 地 城 考点04 空间的角 10．(24-25高二上·上海市上海中学··期中) 二面角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二面角的定义判定选项即可. 【详解】由二面角的定义可知，二面角的平面角范围是. 故选：D 11．(24-25高二上·上海市松江一中··期中) 在正方体中，所在直线与平面所成的角为 . 【答案】 【分析】由正方体的结构特征有所在直线与平面所成角为，即可求其大小. 【详解】由题设知，面，所以所在直线与平面所成角为， 设正方体棱长为2，则，则. 故答案为： 12．(24-25高二上·上海市实验学校··期中)正四面体棱长为1，平面，垂足为，设为线段上一点，且，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接延长交于，则是中点，得是二面角的平面角．求出可得结论． 【详解】依题意，是中心， 连接延长交于，则是中点，连接，则，， 而平面，则平面， cc以平面，则，因此是二面角的平面角． 由，，得，， 又，由平面，平面，得， 所以二面角的余弦值. 故选：B 地 城 考点05 空间的距离 13．(24-25高二上·上海市民办扬波中学··期中) 在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为 . 【答案】 【分析】先证明线面平行，得到直线到平面的距离等于点到平面的距离，证明线面垂直，得到即为点到平面的距离，求出答案. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面， 直线到平面的距离等于点到平面的距离， 连接，与相交于点，则⊥， 又⊥平面，平面， 所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故即为点到平面的距离， 因为正方体的棱长为2， 所以， 故直线到平面的距离. 故答案为： 14．(24-25高二上·上海市川沙中学··期中) 如图，已知长方体的棱长，则点到棱的距离是 【答案】5 【分析】根据长方体的性质，结合线面垂直性质以及点线距离定义，可得答案. 【详解】连结，如图： 在长方体中，由平面，平面， 所以，则点到棱的距离是， 在矩形中，. 故答案为：5 15．(24-25高二上·上海市三林中学··期中) 如图，已知直角三角形中，两直角边，，若面，且，则点到斜边的距离为 ． 【答案】 【分析】过作交于，连结，利用线面垂直的判定定理证明平面，进而可证，可得到斜边的距离为，解出即可求解. 【详解】 如图，过作交于，连结， 在直角三角形中，，，， 由等面积法可得， 所以， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以，又， 平面，平面，且， 所以平面，平面，所以， 所以到斜边的距离为， 在中，，，. 故答案为： 地 城 考点06 立体几何综合题 16．(24-25高二上·上海市松江一中··期中) 已知所在平面外一点，且二面角、、大小相等，则点在平面内的射影应为的 心. 【答案】内 【分析】若面，且，连接，利用线面垂直的判定、性质定理证、，结合题设二面角相等，即可判断. 【详解】如下图，若面，且，连接， 由面，则， 又均在面内，则面，面，即， 同理可证，结合二面角、大小相等， 结合下图示，、对应二面角分别为， 在中，， 所以，则， 综上，到距离相等，同理到距离与到距离也一样， 所以点在平面内的射影是的内心. 故答案为：内 17．(24-25高二上·上海市崇明中学··期中) 如图，正方体的棱长为1，、分别是棱、的中点，经过直线的平面分别与棱、交于点、，设，，给出下列三个结论： ①四边形一定是菱形； ②若四边形的面积为，，则有最大值与最小值； ③若四棱锥的体积为，，则为常值函数. 以上结论中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据面面平行的性质定理得出四边形为平行四边形，进而根据线面垂直的判定定理以及性质定理证明，即可得出①；根据①的结论，得出四边形的面积，利用二次函数的性质求解判断②；将四棱锥分割为三棱锥与，利用棱锥的体积公式求解判断③． 【详解】对于①，如图，连接． 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可得． 所以四边形为平行四边形． 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，， 所以平面， 又平面，所以， 因为分别是的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以，所以四边形为菱形，故①正确； 对于②，∵由题意得，，， ∴在矩形中，可得， ∴四边形的面积， ∵，∴当时，有最小值1；没有最大值．故②错误； 对于③，如图，连接， ∴四棱锥被分割为三棱锥与三棱锥， ∵平面，平面，∴． 又，平面，， 所以平面， 所以，点到平面的距离等于， 即点到平面的距离等于， ∵，平面，平面， ∴平面． 又，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，为， 同理，点到平面的距离也为， 而， ∴四棱锥的体积 ， 则为常值函数．故③正确． 故选：C． 18．(23-24高二上·上海市莘庄中学··期中) 某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为 时，所遮阴影面ABC＇面积达到最大 【答案】 【分析】遮阴影面面积达到最大即是点到的距离最大，根据正弦定理表示出点到的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系． 【详解】如图，过点C作交AB于D，连接，由题知， 因此就是遮阳篷ABC与地面所成的角， 因为，则求遮阴影面面积最大，即是求最大， 又，， 设，，由正弦定理，得， 当且仅当时取等号，此时所遮阴影面面积最大， 故答案为： 【好题推送】 1．(23-24高二上·上海市实验学校··期中)已知平行四边形的四个顶点均在平面的同一侧，若，，三点到平面的距离分别为2、3、4，则点到平面的距离为 . 【答案】3 【分析】根据空间位置关系求得点到平面的距离. 【详解】如图，连接，相交于点，则点为和的中点， 分别作平面，平面，平面，垂足分别为，，， 则四边形为直角梯形，为梯形的中位线，因为，两点到平面的距离分别为2、4，则， 点B到平面的距离也为3，直线在平面的同侧， 所以上有两个点到平面的距离都为3，则直线平面， 故点D到平面的距离为3. 故答案为：3. 2．(23-24高二上·上海市松江一中··期中)如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：    ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③点到的距离为； ④存在点，使得. 其中所有正确的结论是 . 【答案】①③④ 【分析】根据题设有，利用线面平行的判定判断①；应用线面平行的判定得到面，问题化为求点到平面的距离，应用等体积法求点面距判断②；进而利用等面积法求点到的距离判断③；利用余弦定理得到关于的表达式，进而判断是否能成立判断④. 【详解】①当点是中点时，则是中点，易知， 又面，面，故直线平面，对； ②由题设，易知，面，面，故面， 所以直线到平面的距离，即点到平面的距离， 由，，， 故到距离为，则， 所以，可得，错；    ③令点到的距离，则，对； ④由题设，易得，且， ， 所以， ， 在中， 由，显然时，能成立，故存在点使得，对. 故答案为：①③④ 3．(23-24高二上·上海市上海中学··期中)若二面角内一点到的距离分别等于，则该二面角的大小为 . 【答案】 【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，说明即为二面角的平面角，再分别在和求出，进而可得出答案. 【详解】如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 则， 因为，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 同理，故四点共面， 则即为二面角的平面角， 在中，，则， 在中，，则， 所以，所以， 即二面角的大小为. 故答案为：. 4．(23-24高二上·上海市实验学校··期中)正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用线面角的定义直接求解. 【详解】在正方体中，平面， 则是直线与平面所成的角，而， 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 故答案为：    5．(23-24高二上·【课堂例】10.3.3 直线与平面所成的角··期中)给出以下四个命题： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； ②如果一条直线和一个平面上的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； ④、与平面成角相等，则． 其中是真命题的有 ． 【答案】①② 【分析】根据线线，线面的位置关系，判断选项. 【详解】根据线面平行的性质定理可知①正确； 根据线面垂直的判断定理，可知②正确； 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，相交或异面，故③错误； 若与平面成角相等，则两直线平行，相交或异面，故④错误. 故答案为：①② 6．(23-24高二上·上海市通河中学··期中)如图，正方体的棱长为1，，求：    (1)与所成角的大小； (2)与平面所成角的正切值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据得到异面直线所成的角，进而解出即可； （2）取BC中点E，然后证明平面，进而得到线面角，解出即可； 【详解】（1）∵，∴与所成的角就是（或其补角）. ∵平面，平面，∴， ∵四边形是正方形，∴，而， ∴平面，又平面，∴. 在中，，，， ∴.即与所成角为. （2）如图，取BC中点E，连接，易知O为的中点， ∴且， ∴平面，∴为与平面所成的角. 在中，，， ∴. 即与平面所成角的正切值为.    试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $