专题03 圆锥曲线（七大题型+好题推送）（期中真题汇编 上海专用）高二数学上学期

专题03 圆锥曲线（七大题型+好题推送） 7大高频考点概览 考点01 曲线与方程 考点02 椭圆双曲线抛物线的定义及应用 考点03 椭圆的标准方程与几何意义 考点04 双曲线的标准方程与几何意义 考点05 抛物线的标准方程与几何意义 考点06 直线与圆锥曲线的位置关系 考点07 圆锥曲线的综合题 地 城 考点01 曲线与方程 1．(24-25高二上·上海市七宝中学··期中) 下列各组两个方程表示相同曲线的是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．(24-25高二上·上海市闵行中学··期中) 定义平面直角坐标系中的笛卡儿卵形线为满足方程：，则下列结论正确的是 ．①该曲线关于轴对称；②曲线与x轴交点为和；③若点P在曲线上，则；④存在直线与该曲线恰有1个交点． 3．(24-25高二上·上海市上海中学··期中) 已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围． 地 城 考点02 椭圆双曲线抛物线的定义及应用 4．(24-25高二上·上海市上海财经大学附属北郊高级中学··期中) 已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于 . 5．(24-25高二上·上海市行知中学··期中)若点到点与到点的距离之和为10，则点P的轨迹方程为 6．(24-25高二上·上海市进才中学··期中)点在椭圆上，则点的横坐标的取值范围是 ． 地 城 考点03 椭圆的标准方程与几何意义 7．(24-25高二上·上海市晋元高级中学··期中) 椭圆的长轴长为 . 8．(24-25高二上·上海市晋元高级中学··期中) “实数”是“方程表示椭圆”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 9．(24-25高二上·上海市进才中学··期中) 已知椭圆的一个焦点是，且经过点．则这个椭圆的标准方程为 ． 地 城 考点04 双曲线的标准方程与几何意义 10．(24-25高二上·上海市进才中学··期中) 双曲线的实轴长为 ． 11．(24-25高二上·上海市进才中学··期中) 设为双曲线上两点，如下四个点：，，， 中，可作为线段中点的是 ．（请将所有满足条件的点填入） 12．(24-25高二上·上海市上海财经大学附属北郊高级中学··期中) 过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（   ）    A．2 B． C． D． 地 城 考点05 抛物线的标准方程与几何意义 13．(24-25高二上·上海市上海师范大学附属中学···期中) 顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为 . 14．(24-25高二上·上海市上海财经大学附属北郊高级中学··期中) 若抛物线的焦点在直线上，则p等于（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 15．(24-25高二上·上海市吴淞中学··期中) 抛物线上一点到准线的距离与到轴的距离相等，则 . 地 城 考点06 直线与圆锥曲线的位置关系 16．(23-24高二上·上海市华东师范大学附属周浦中学··期中) 直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为 . 17．(24-25高二上·上海市进才中学··期中) 直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为 ． 18．(24-25高二上·上海市进才中学··期中) 已知抛物线与直线相交于不同的、两点．记点、的横坐标分别为、且，若存在以、、为边长的三角形，则的取值范围是 ． 地 城 考点07 圆锥曲线的综合题 19．(24-25高二上·上海市上海师范大学附属中学··期中) 已知双曲线左右焦点分别为、，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则的取值所组成的集合为 . 20．(23-24高二上·江苏省南京市玄武高级中学··期中)已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的渐近线与抛物线交于抛物线两点（异于原点），若，则双曲线离心率是 . 21．(24-25高一上·上海市进才中学··期中) 已知椭圆：（，且），点在椭圆上，点，原点为． (1)若点在曲线上，且长轴长为，求椭圆的短轴长； (2)若点在第二象限，且是以为直角的等腰直角三角形，求的最小值； (3)若椭圆的焦点在轴上，是否存在，使得点在线段的中垂线上？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【好题推送】 1．(24-25高二上·上海市上海师范大学附属中学··期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．(24-25高二上·上海市大同中学··期中)已知曲线：，若直线与的交点的可能个数的集合记为，则下列结论正确的是（   ） ①关于轴对称；  ②；  ③；  ④“”的充要条件是“”． A．①② B．②③④ C．③④ D．①②④ 3．(24-25高二上·上海市行知中学··期中)点P在椭圆上运动，分别在圆，圆上运动，则的最大值为，最小值为，则 . 4．(24-25高二上·上海市上海大学附属嘉定高级中学··期中)三角形三边长分别为4、5、6，则以边长为5的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的椭圆的离心率为 ． 5．(24-25高二上·上海交通大学附属中学··期中)设椭圆的焦距为.若，，依次成等比数列，则该椭圆的离心率 . 6．(22-23高二上·上海市静安区··期中)类比教材中对圆双曲线的“对称性”和“范围”的研究，写出曲线的对称性和所在的范围为 ． 7．(24-25高二上·上海市华东师范大学第二附属中学··期中)如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线． (1)求曲线C的方程； (2)若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点； (3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线（七大题型+好题推送） 7大高频考点概览 考点01 曲线与方程 考点02 椭圆双曲线抛物线的定义及应用 考点03 椭圆的标准方程与几何意义 考点04 双曲线的标准方程与几何意义 考点05 抛物线的标准方程与几何意义 考点06 直线与圆锥曲线的位置关系 考点07 圆锥曲线的综合题 地 城 考点01 曲线与方程 1．(24-25高二上·上海市七宝中学··期中) 下列各组两个方程表示相同曲线的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据方程判断其中的范围及化简后关系式是否相同，即可得答案. 【详解】A：过原点，而不过原点，不是同一曲线； B：，显然与不是同一曲线； C：由，即有，故为同一曲线； D：由，而中，故不是同一曲线. 故选：C 2．(24-25高二上·上海市闵行中学··期中) 定义平面直角坐标系中的笛卡儿卵形线为满足方程：，则下列结论正确的是 ．①该曲线关于轴对称；②曲线与x轴交点为和；③若点P在曲线上，则；④存在直线与该曲线恰有1个交点． 【答案】② 【分析】对①，在方程中分别将替换为，以及将替换为，看看方程与原方程是否一致判断；对②，在方程中令，分类讨论求得答案；对③，令，求得曲线与轴交于点，再根据类比椭圆的性质判断；对④，根据曲线是类椭圆的封闭曲线，且原点在曲线内部，可判断. 【详解】对于①，在方程中将替换为，方程不变，所以该曲线关于轴对称， 在方程中将替换为，方程变为， 即，与原方程不同，所以该曲线不关于轴对称，故①错误； 对于②，在方程中令，可得， 当时，方程为，解得，合题意， 当时，方程为，解得，无解， 当时，方程为，解得，合题意， 综上，曲线与轴的交点为和，故②正确； 对于③，点P在曲线上，令，得，解得，即曲线与轴交于点， 设，，，则曲线表示， 类比椭圆的性质，曲线是类椭圆的封闭曲线，又曲线不关于轴对称，所以存在点P，使得，故③错误； 对于④，由于曲线是类椭圆的封闭曲线，且原点在曲线内部，所以直线一定和曲线有两个交点，故④错误. 故答案为：②. 3．(24-25高二上·上海市上海中学··期中) 已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程； (2)若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用双曲线的定义和之间的关系即可求出轨迹方程； （2）当时，符合题意，时，设是轨迹上关于对称的两点，设直线方程为，中点为，根据该中点在直线上以及在直线上，可得①式，联立直线与双曲线，结合韦达定理以及根的判别式，可得②③式，三个式子联立即得相关的不等式，求解即可. 【详解】（1）由题知，点到两定点之间距离之差的绝对值为， 所以动点的轨迹为以为焦点的双曲线， 其中焦距，实轴长， 所以， 所以动点的轨迹方程为. （2）当时，直线，符合题意； 当时，设是轨迹上关于对称的两点， 则，设直线方程为，中点为， 则，又， 可得，① 联立，可得， 则该方程必有两个不同的根， 即， 可得，② 又，，③ 联立①③，可得，， 代入②，解得， 解得或，所以或或， 综上，的取值范围为. 地 城 考点02 椭圆双曲线抛物线的定义及应用 4．(24-25高二上·上海市上海财经大学附属北郊高级中学··期中) 已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于 . 【答案】36 【分析】分焦点在和两种情况，根据椭圆定义得到方程，求出答案. 【详解】若焦点在轴上，由椭圆定义得，解得，满足要求， 若焦点在轴上，，不合题意， 综上，. 故答案为：36 5．(24-25高二上·上海市行知中学··期中)若点到点与到点的距离之和为10，则点P的轨迹方程为 【答案】 【分析】由椭圆的定义可知本题点的轨迹为椭圆，由定义即可得到的值，由此写出椭圆方程. 【详解】设，则，满足椭圆定义， ∴，∴，∴， ∵在轴上，所以点P的轨迹方程为. 故答案为：. 6．(24-25高二上·上海市进才中学··期中)点在椭圆上，则点的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的性质求解即可. 【详解】因为椭圆， 所以椭圆上的点的横坐标取值范围为， 故答案为：. 地 城 考点03 椭圆的标准方程与几何意义 7．(24-25高二上·上海市晋元高级中学··期中) 椭圆的长轴长为 . 【答案】 【分析】根据长轴长的定义即可求解. 【详解】椭圆中，故长轴长为， 故答案为： 8．(24-25高二上·上海市晋元高级中学··期中) “实数”是“方程表示椭圆”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】利用方程表示椭圆，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】方程表示椭圆，则且， 所以“实数”是“方程表示椭圆”的必要非充分条件. 故选：B 9．(24-25高二上·上海市进才中学··期中) 已知椭圆的一个焦点是，且经过点．则这个椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据焦点坐标得，根据椭圆的定义求出，再根据求出，从而可得椭圆的标准方程. 【详解】由已知，设椭圆的标准方程为， 因为椭圆的一个焦点是，且经过点， 所以椭圆的另一个焦点为，， ， 则，所以， 所以这个椭圆的标准方程为. 故答案为：. 地 城 考点04 双曲线的标准方程与几何意义 10．(24-25高二上·上海市进才中学··期中) 双曲线的实轴长为 ． 【答案】； 【分析】根据双曲线标准方程即可得出实轴长为. 【详解】由双曲线标准方程可知，可得； 即可得双曲线的实轴长为. 故答案为： 11．(24-25高二上·上海市进才中学··期中) 设为双曲线上两点，如下四个点：，，， 中，可作为线段中点的是 ．（请将所有满足条件的点填入） 【答案】 【分析】根据双曲线方程利用点差法求得直线的斜率表达式，再根据各点坐标以及中点坐标公式得出直线方程，与双曲线方程联立根据判别式判断方程根的个数可得结论. 【详解】设，则可得的中点坐标为， 因此， 因为在双曲线上，所以，两式相减可得， 因此， 对于，可得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线没有交点， 故不符合题意； 对于，可得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线没有交点， 故不符合题意； 对于，可得，此时， 此时，即， 显然为双曲线的渐近线，所以直线与双曲线没有交点， 故不符合题意； 对于，可得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线有两个交点， 故符合题意；综上可知可作为线段中点的是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解圆锥曲线弦中点问题时，经常利用点差法由中点坐标求得弦所在直线的斜率或直线方程，即可得出相应结论. 12．(24-25高二上·上海市上海财经大学附属北郊高级中学··期中) 过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（   ）    A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直求直线的方程，联立直线方程求点的坐标，表示，利用得到的关系，即可求出双曲线离心率. 【详解】由题意得，，渐近线方程为. 因为，所以直线的方程为. 由得，即， 由得，即， 所以， ， 因为，所以，整理得， 所以双曲线的离心率. 故选：D. 地 城 考点05 抛物线的标准方程与几何意义 13．(24-25高二上·上海市上海师范大学附属中学···期中) 顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为 . 【答案】 【分析】设出抛物线方程，再代入点的坐标得解. 【详解】由题意，可设抛物线方程为， 又抛物线经过， 所以，解得， 所以所求抛物线方程为， 故答案为： 14．(24-25高二上·上海市上海财经大学附属北郊高级中学··期中) 若抛物线的焦点在直线上，则p等于（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】将焦点坐标代入直线方程可得. 【详解】由题知，抛物线的焦点为， 代入得，解得. 故选：B 15．(24-25高二上·上海市吴淞中学··期中) 抛物线上一点到准线的距离与到轴的距离相等，则 . 【答案】/ 【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义及已知条件可知轴，且垂足为点，即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 因为由抛物线的定义可知，点到准线的距离与到焦点的距离相等， 又点到准线的距离与到轴的距离相等，所以轴，且垂足为点，即. 故答案为： 地 城 考点06 直线与圆锥曲线的位置关系 16．(23-24高二上·上海市华东师范大学附属周浦中学··期中) 直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为 . 【答案】 【分析】联立方程组，结合韦达定理和曲线的弦长公式，列出方程，即可求解. 【详解】联立方程组，整理得， 设直线与曲线的交点为， 可得，解得，且， 由弦长公式， 可得 ， 解得. 故答案为：. 17．(24-25高二上·上海市进才中学··期中) 直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】对直线是否与双曲线渐近线平行分类讨论，利用方程根的个数即可得出实数的值. 【详解】易知双曲线的左、右顶点为，渐近线方程为； 显然直线过定点，当直线与渐近线平行时，满足题意，此时； 当直线与渐近线不平行时，此时， 联立，整理可得， 因此，解得. 综上可得，实数的值为或. 故答案为：或 18．(24-25高二上·上海市进才中学··期中) 已知抛物线与直线相交于不同的、两点．记点、的横坐标分别为、且，若存在以、、为边长的三角形，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将直线方程与抛物线的方程联立，可得出，可得出，由以及，，可求出实数的取值范围. 【详解】由于存在以、、为边长的三角形，则、、都为正数， 联立可得， 由题意可知，关于的方程有两个不等的实根、， 则，可得， 将代入不等式，得，可得， 由得，可得， 由得，则，即，可得， 由可得，可得， 又因为，即，即，可得， 由于，可得， 显然，则显然成立， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 地 城 考点07 圆锥曲线的综合题 19．(24-25高二上·上海市上海师范大学附属中学··期中) 已知双曲线左右焦点分别为、，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则的取值所组成的集合为 . 【答案】 【分析】结合双曲线的定义，再结合直线与圆相切的性质，转化求得，再根据数量积公式，即可求解. 【详解】如图，设圆与的延长线、的延长线和线段分别切于点， 连接，则，由双曲线方程为， 可得，又为右支上的一动点，所以， ，所以，所以， 由题意可知，又, 所以. 故答案为：.    【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合直线与圆相切的几何关系，进行线段长度的转化. 20．(23-24高二上·江苏省南京市玄武高级中学··期中)已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的渐近线与抛物线交于抛物线两点（异于原点），若，则双曲线离心率是 . 【答案】或 【分析】分在焦点左侧、在焦点右侧讨论，过作交轴于点，结合抛物线定义、可得答案. 【详解】当在焦点左侧时， 因为渐近线关于轴对称， 所以，过作交轴于点， 设，则，由抛物线定义得， 又因为，所以， 因为； 当在焦点右侧时， 过作交轴于点，，设， 则，由抛物线定义得，又因为， 所以， 因为， 故或. 故答案为：或. 【点睛】方法点晴：求解抛物线与其他圆锥曲线综合问题时，解答要根据所涉及的抛物线与其他圆锥曲线的相应知识，利用曲线的定义、标准方程、几何性质，并借助于图形的直观性，构建出关于待求量的方程(组)或不等式(组)，然后逐步求解即可得到所求结果. 21．(24-25高一上·上海市进才中学··期中) 已知椭圆：（，且），点在椭圆上，点，原点为． (1)若点在曲线上，且长轴长为，求椭圆的短轴长； (2)若点在第二象限，且是以为直角的等腰直角三角形，求的最小值； (3)若椭圆的焦点在轴上，是否存在，使得点在线段的中垂线上？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)9；(3)不存在，答案见解析 【分析】（1）已知，代入点的坐标，可求，为短轴长. （2）先利用复数的运算确定点坐标，代入椭圆方程，得到的关系，再结合基本（均值）不等式求和的最小值. （3）先求线段中垂线方程，与椭圆方程联立，利用根的判别式判断方程解是否存在. 【详解】（1）因为：，把代入可得：， 所以. 所以椭圆的短轴长为：. （2）因为在第二象限，且是以为斜边的等腰直角三角形， 由. 所以点坐标为. 又点在椭圆上，所以， 所以（当且仅当即时取“”）. （3）如图： 由. 即为线段的中垂线方程. 将代入到， 得：，整理得：. 由. 因为椭圆的焦点在轴上，且， 所以，，所以. 所以直线与椭圆无交点. 故这样的椭圆不存在. 【好题推送】 1．(24-25高二上·上海市上海师范大学附属中学··期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】由椭圆定义得到，结合，相加得到周长. 【详解】由题意得，故，， 由椭圆定义得， 故的周长为. 故选：B 2．(24-25高二上·上海市大同中学··期中)已知曲线：，若直线与的交点的可能个数的集合记为，则下列结论正确的是（   ） ①关于轴对称；  ②；  ③；  ④“”的充要条件是“”． A．①② B．②③④ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，可以得到曲线的图象，根据点关于轴对称点是判断曲线的对称性，得到①，利用双曲线的渐近线判断②，结合与圆相切和双曲线的渐近线，判断③，当时，直线恒过定点，根据直线和圆相切，直线和双曲线相切，数形结合判断④. 【详解】当时，，是以为圆心，以为半径的上半圆； 当时，，表示焦点在轴，对称中心在原点的双曲线的轴下方部分； 所以曲线的图象如图所示， 设点在曲线上，则，点关于轴对称点是， 因为，所以曲线关于轴对称，①正确； 当时，直线恒过定点，因为双曲线的渐近线是， 所以当或时，与直线有个交点，当时，与直线有个交点， 所以，②正确； 当时，直线，恒过定点， 当直线与相切时，由得（舍去）， 结合双曲线的渐近线是，当时，直线与曲线有个交点，如， 当或或时，直线与曲线有个交点，如 当时，直线与曲线没有交点，如， 所以，③错误； 当时，直线恒过定点， 由得， 联立得， 由得， 所以要使得直线与曲线有个交点，则或， 即，故④正确； 故选：D. 3．(24-25高二上·上海市行知中学··期中)点P在椭圆上运动，分别在圆，圆上运动，则的最大值为，最小值为，则 . 【答案】8 【分析】易知椭圆的左、右焦点坐标恰好为两圆圆心，由椭圆定义以及定点到圆上点距离最值问题计算可得结果. 【详解】根据由题意可知椭圆的左、右焦点坐标恰好为两圆圆心； 易知两圆半径都为，由椭圆定义可得，如下图所示： 因此可得的最大值为，即图中的位置； 最小值为；即图中的位置； 所以可得. 故答案为：8 4．(24-25高二上·上海市上海大学附属嘉定高级中学··期中)三角形三边长分别为4、5、6，则以边长为5的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意可得，即可得离心率. 【详解】对于，设， 可知， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 5．(24-25高二上·上海交通大学附属中学··期中)设椭圆的焦距为.若，，依次成等比数列，则该椭圆的离心率 . 【答案】 【分析】根据等比中项可得，结合椭圆中，即可根据齐次式求解. 【详解】由，，依次成等比数列，故， 又，所以， 解得，或（舍去）， 故答案为： 6．(22-23高二上·上海市静安区··期中)类比教材中对圆双曲线的“对称性”和“范围”的研究，写出曲线的对称性和所在的范围为 ． 【答案】关于轴对称，， 【分析】根据有意义得出的范围，再根据的范围得出的范围；分别以代，以代，及以代，代，判断与原方程的关系即可得出对称性． 【详解】由得， 因为， 所以，即， 在曲线方程中，以代，得，与方程相同，所以曲线关于轴对称； 以代，得，与原方程不同，所以曲线不关于轴对称； 以代，代，得，与原方程不同，所以曲线不是中心对称图形， 故答案为：关于轴对称，，． 7．(24-25高二上·上海市华东师范大学第二附属中学··期中)如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线． (1)求曲线C的方程； (2)若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点； (3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)存在， 【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题 【分析】（1）设，求得D点并代入，化简求得曲线C的方程； （2）设的方程为，直线的方程为，将直线的方程与曲线C的方程联立，求得M，N的坐标，对进行分类讨论，由此证得直线过定点并求得定点坐标； （3）假设存在点使得，先求得，设出G，H的坐标，由直线SH和直线SG的方程求得P，Q两点的坐标，结合G在曲线C上求得R点的坐标． 【详解】（1）设，，则， 由题意知，所以，得(，所以， 因为，得，故曲线C的方程为． （2）由题意可知，直线不平行坐标轴， 则可设的方程为：，此时直线的方程为． 由，消去得：， 解得：或(舍去)，所以， 所以，同理可得：． 当时，直线的斜率存在， ， 则直线的方程为， 所以直线过定点． 当时，直线斜率不存在，此时直线方程为：，也过定点， 综上所述：直线过定点． （3）假设存在点R使得，设， 因为，所以，即， 所以，所以， 直线与曲线C交于不同的两点G、H，易知G、H关于轴对称， 设， 易知点，直线方程是， 令得点P横坐标， 直线方程是，令得点Q横坐标， 由，得，又在椭圆上， 所以，所以，解得， 所以存在点，使得成立． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $