1.4.2 课时2 夹角问题 同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2 课时2夹角问题 【基础巩固】 1．在正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 3．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4．在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角 的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（ ） A． B． C． D． 5．（多选）如图，棱长为的正方体中中，下列结论正确的是（ ） A．异面直线与所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．二面角平面角的正切值为 D．点到平面的距离为 6．在底面边长为的正三棱柱中，异面直线与所成角的余弦值为，则该正三棱柱的体积为_________． 7．在四棱柱中，平面，，，点满足，，则直线与底面所成角的正弦值为_________． 8．如图1，在直角梯形中，已知，现将沿折起到的位置，使平面平面，如图2. (1)求证：； (2)求与平面所成的角的正弦值； (3)求二面角的平面角的余弦值. 【能力拓展】 9．如图，直三棱柱各棱长都相等，是棱的中点，是棱上的动点，是棱的中点．设，随着增大，直线与平面所成角是 （ ） A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 10．（多选）如图，正方形，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，点，分别在正方形对角线，上移动，且和的长度保持相等.记，则下列说法正确的是（ ） A．当时，的长为 B．当时，三棱锥的体积是 C．当的长最小时，平面与平面所成二面角的正弦值为 D．存在，使得直线与所成角的正弦值为 11．如图，在正方体中，，、为上底面（包含边界）内的两个动点，且满足，．给出下面四个结论： ①当与重合时，五面体的体积为； ②记直线分别与平面和平面所成角为、，则的值不变； ③存在、，使得； ④存在、，使得五面体中，所在平面与其余四个面所在平面的四个夹角中，有三个彼此相等． 其中，所有正确结论的序号为_________． 【素养提升】 12．在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，与交于点，，，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)设的中点为，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 课时2夹角问题 【基础巩固】 1．在正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，可得， 则， 所以,故选D. 2．在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系. 则平面的一个法向量为， 设正三棱柱中，，则，， 所以，所以, 所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：A. 3．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接， 因为为中点， 所以， 又平面底面，平面底面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，得， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为．故选：B． 4．在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设底面正方形边长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，可取， 所以， 因直线与平面所成角的余弦值为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得 故正四棱柱的体积为， 故选：B. 5．（多选）如图，棱长为的正方体中中，下列结论正确的是（ ） A．异面直线与所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．二面角平面角的正切值为 D．点到平面的距离为 【答案】AC 【解析】对于A，连接，， ，，四边形为平行四边形，， 异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角）， 为等边三角形，， 即异面直线与所成角为，A正确； 对于B，连接， 平面，即为直线与平面所成角， ，， ， ， ，即直线与平面所成角不是，B错误； 对于C，连接，交于点，连接，， 四边形为正方形，，为，中点， ，，二面角的平面角为， 平面，平面，， ，，， ， 即二面角的正切值为，C正确； 对于D，连接，，， ， ，， 又，， 设点到平面的距离为，则， 解得，即点到平面的距离为，D错误. 故选：AC. 6．在底面边长为的正三棱柱中，异面直线与所成角的余弦值为，则该正三棱柱的体积为_________． 【答案】 【解析】设正三棱柱的高为，以为坐标原点，在底面内过点作的垂线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角标系， 则， 则， 因为异面直线与所成角的余弦值为， 故， 由于，即，解得， 故该正三棱柱的体积为， 故答案为： 7．在四棱柱中，平面，，，点满足，，则直线与底面所成角的正弦值为_________． 【答案】 【解析】如图，以为坐标原点，,所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 故，，， 由，， 所以， 由题知是平面的一个法向量， 设直线与底面所成角为，则， 即直线与底面所成角的正弦值为 故答案为： 8．如图1，在直角梯形中，已知，现将沿折起到的位置，使平面平面，如图2. (1)求证：； (2)求与平面所成的角的正弦值； (3)求二面角的平面角的余弦值. 【答案】见解析 【解析】(1)因为，则， 可得，则. 又因为平面平面，且平面平面平面， 可得平面， 且平面，所以. (2)过点作，交于点. 因为，则为的中点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，所在的直线为轴，过且平行于所在的直线为轴，所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，可得， 因为平面，所以平面的一个法向量可为， 可得. 直线与平面所成的角的正弦值为. (3)由(2)知， 则. 设平面的法向量为， 则，即，令，可得， 所以平面的一个法向量为， 且平面的一个法向量可为.可得， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的平面角的余弦值为. 【能力拓展】 9．如图，直三棱柱各棱长都相等，是棱的中点，是棱上的动点，是棱的中点．设，随着增大，直线与平面所成角是 （ ） A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【答案】A 【解析】以中点为坐标原点，分别为轴，并垂直向上作轴建立空间直角坐标系. 设所有棱长均为，则，， 可得，，， 设平面法向量，则， 令，则，可得. 设直线与平面所成角为， 则， 令，可知在内单调递减，且， 则，可知在内单调递减， 可得在内单调递增，所以随着增大而增大. 故选：A. 10．（多选）如图，正方形，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，点，分别在正方形对角线，上移动，且和的长度保持相等.记，则下列说法正确的是（ ） A．当时，的长为 B．当时，三棱锥的体积是 C．当的长最小时，平面与平面所成二面角的正弦值为 D．存在，使得直线与所成角的正弦值为 【答案】AC 【解析】在正方形，中，， 且它们所在的平面互相垂直，交线为， 所以平面，平面，， 则两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系， ， 因为正方形，的边长都是1，所以， 又和的长度保持相等，所以， 当时，，故A正确； 当，， ， ，故B错误； 当，， ， 所以当时，取得最小值，此时，且分别是中点， 则，设中点为， 所以，， 则就是平面与平面所成二面角的平面角， ， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为，故C正确； 根据题意，， 又直线与所成角的正弦值为， 所以， 整理得：， 方程无解，故D错误. 故选：AC. 11．如图，在正方体中，，、为上底面（包含边界）内的两个动点，且满足，．给出下面四个结论： ①当与重合时，五面体的体积为； ②记直线分别与平面和平面所成角为、，则的值不变； ③存在、，使得； ④存在、，使得五面体中，所在平面与其余四个面所在平面的四个夹角中，有三个彼此相等． 其中，所有正确结论的序号为_________． 【答案】①②④ 【解析】对于①，当与重合时， ，①对； 对于②，过点作分别交、于点、，连接、， 过点作分别交、于点、，连接、， 过点在平面内作，垂足为点， 因为，，则，且，故平面， 因为平面，平面，则， 又因为，，、平面，故平面， 故，同理可得， 所以，为定值，②对； 对于③，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、，设点，则， 则，， 所以，， 故不存在、，使得，③错； 对于④，不妨取点，则点，则、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量为， 所以，， 故底面与平面夹角的余弦值为， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 所以，， 即底面与平面所成夹角的余弦值为， 同理可知，底面与平面所成夹角的余弦值为， 此时，点为棱的中点，则平面平面， 则底面与平面夹角的余弦值为，④对. 故答案为：①②④. 【素养提升】 12．在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，与交于点，，，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)设的中点为，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解析】(1) 如图，取的中点，连接，由，得， 由是等腰梯形两条对角线的交点，得，则， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，平面， 所以平面. (2)由(1)及，得直线两两垂直， 以点为原点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系， 由，得， 由，得， 所以，故， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，故， 由题意得，平面的法向量， 所以，故平面与平面所成角的余弦值为. (3)由(2)知，， 所以，. 假设在线段上存在点满足条件，则， 所以. 由(2)知平面的法向量， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 整理得，解得， 所以在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，. 第12页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $