4.2.1 指数函数的概念（教学设计）数学人教A版2019必修第一册

该高中数学教学设计聚焦指数函数概念，通过淄博烧烤游客增长（指数增长）和三星堆碳14测年（指数衰减）实例导入，衔接实数指数幂运算与函数基础，为后续图象性质学习搭建认知支架。 资料特色在于情境化与素养导向，以热点和传统文化激发兴趣，通过实例抽象定义、对比辨析指数函数与幂函数形式，落实数学抽象和建模素养，分层练习助学生巩固，为教师提供丰富素材与清晰流程，提升教学效率。

4.2.1 指数函数的概念 教学设计 1. 教学内容 本节课是人教A版2019必修第一册第四章“指数函数与对数函数”中4.2.1节“指数函数的概念”。内容包括通过实际实例（旅游人次增长、碳14衰减）抽象出指数函数的概念，理解指数函数的定义域、底数的限制条件，以及指数函数在实际问题中的应用。 1. 内容解析 指数函数是重要的基本初等函数之一，其概念的形成源于对现实世界中“指数增长”和“指数衰减”现象的数学抽象。 (1) 通过分析B地景区游客人次的年增长率为常数（指数增长）和碳14含量的年衰减率为常数（指数衰减），提炼出共同的函数形式（且），从而抽象出指数函数的定义。 (2) 指数函数的核心特征是“底数为常数且大于0不等于1，指数为自变量”，定义域为。底数的限制条件（且）确保函数对任意实数都有意义且避免常数函数（如时，无研究价值）。 (3) 指数函数是刻画增长率（衰减率）为常数的变化规律的数学模型，体现了数学与现实生活的紧密联系。 教学目标 (1) 通过旅游人次增长和碳14衰减的实例，经历从具体到抽象的过程，理解指数函数的概念，能准确表述指数函数的定义。 (2) 明确指数函数中底数的限制条件（且），并能解释其合理性。 (3) 能根据指数函数的概念判断给定函数是否为指数函数，能求简单指数函数的解析式（已知函数过某点）。 (4) 体会指数函数在刻画实际问题中的作用，感受数学的应用价值，发展数学抽象和数学建模素养。 目标解析经历通过代数运算发现指数增长(衰减)变化规律进而抽象出指数函数概念的过程，知道指数函 数是刻画现实世界中增长率(衰减率)不变的规律的数学模型. 能利用指数的定义和运算性质，借助计算工具画出具体指数函数的图象，通过指数函数图象和指 数运算的方法得出指数函数的性质. 达成上述目标的标志是： 学生能分析实例：B地景区游客人次与时间的关系为，碳14含量与死亡年数的关系为，归纳出共同形式，从而理解指数函数的定义。 学生能解释：若，则可能无意义（如时无意义）；若，则为常数函数，故需且。 学生能判断：是指数函数，（幂函数）、（系数不为1）不是指数函数；已知指数函数过点，能求出解析式为。 对于指数函数概念的介绍，教科书强调从实际问题中抽象出数量关系；并用一定的数学式子表达这种数量关系；在分析数学式子特征的基础上，归纳概括得到指数函数的定义.这个过程强调了指数函数概念的抽象概括.在研究指数函数性质的过程中，教科书强调数形结合思想方法的运用，利用指数函数的图象探究指数函数的性质，并用所得到的性质进一步理解指数函数的图象 本节教科书还充分关注了与实际问题的联系，体现数学应用的价值.例如，教科书从旅游人次的增长问题和碳14的衰减问题这两个实例引入指数函数的概念.这两个问题，一个是增长问题，一个是衰减问题.通过实例，有利于学生更好地感受指数函数模型，促进学生了解中国文化、关心社会.建议教学时结合具体的实际问题渗透数学思想方法和彰显人文价值. 根据本节内容具有数形结合的特点和计算的需要，在教学过程中要充分发挥信息技术的作用，尽量利用信息技术创设教学情境，为学生的数学探究和数学思维提供支持，更好地克服可能遇到的困难，理解指数函数的概念、图象和性质. 学生已学习实数指数幂的运算性质，对“指数”和“函数”的概念有一定基础，但对“指数为自变量”的函数形式较为陌生。学生易混淆指数函数与幂函数的形式（如误将当作指数函数），需通过对比强化区别。对实际问题中“增长率为常数”的理解存在困难，难以从年增加量过渡到年增长率，需通过计算表格数据（如B地景区每年人次的比值）突破。 基于以上分析，确定本节课的教学重点：指数函数的概念及特征（形式为，且），理解底数的限制条件的合理性；教学难点：从实际问题中抽象出指数函数的模型（识别指数增长与衰减的规律），区分指数函数与幂函数（前者指数为自变量，后者底数为自变量）。 知识点一　指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． [想一想]　指数函数中为什么要规定a>0，且a≠1? 提示：(1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． (2)如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义． (3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. 知识点二　指数增长模型 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． 导入新知 导入A：淄博烧烤“出圈”数据 【情境】2023年3月淄博日均游客20万，4月日均28万，5月日均39万…… 【追问】“如果按此趋势，暑假日均游客会达到多少？” 【设计意图】 · 用学生亲历的热点事件激发兴趣 · 引出“逐月增长率”概念，为指数模型埋伏笔 【教学建议】 · 让学生先猜“线性增长”还是“指数增长”，再用数据验证 导入B：三星堆“上新”考古 【情境】三星堆遗址碳14测年：某文物距今约3000年，碳14剩余量约30% 【追问】“考古学家怎么算出3000年？” 【设计意图】 · 渗透中华优秀传统文化，激发民族自豪感 · 从“半衰期”自然过渡到指数衰减模型 【教学建议】 · 用动画演示“每5730年减半”过程，直观感受衰减 【设计意图】通过具体的引例和类比，引导学生初步思考全称量词命题和存在量词命题的否定形式，为后续的探究做好准备。 【教学建议】教师可以通过提问和讨论的方式，引导学生思考引例中的问题，鼓励学生发表自己的见解。 探究点1：指数函数的概念 对于幂，我们已经把指数的范围拓展到了实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法．下面继续研究其他类型的基本初等函数． 问题1 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．表4.2-1给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量． 表4.2-1 时间／年 Ａ地景区 Ｂ地景区 人次／万次 年增加量／万次 人次／万次 年增加量／万次 2001 600 278 2002 609 9 309 31 2003 620 11 344 35 2004 631 11 383 39 2005 641 10 427 44 2006 650 9 475 48 2007 661 11 528 60 2008 671 10 588 60 2009 681 10 655 67 2010 691 10 729 74 2011 702 11 811 82 2012 711 9 903 92 2013 721 10 1005 102 2014 732 11 1118 113 2015 743 11 1244 126 比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？ 为了有利于观察规律，根据表4.2-1，分别画出A，B 两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象（图4.2-1和图4.2-2）． ( 为了便于观察，可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来。 ) 观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为10万次）；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律． 探究 我们知道，年增长量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试． 从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 ( 做减法可以得到游客 人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的长率．增加量、增长率是年增刻画事物变化规律的两个很重要的量． )， ，……， ． 结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为 ，是一个常数． 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，B地景区的游客人次近似于指数增长． 显然，从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：1年后，游客人次是2001年的倍；2年后，游客人次是2001年的倍；3年后，游客人次是2001年的倍；……；年后，游客人次是2001年的倍． 如果设经过年后的游客人次为2001年的倍，那么 ． ① 这是一个函数，其中指数是自变量． 探究点2：指数函数在实际问题中的应用 问题2　当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么 死亡1年后，生物体内碳14含量为， 死亡2年后，生物体内碳14含量为， 死亡3年后，生物体内碳14含量为， …… 死亡5730年后，生物体内碳14含量为． 根据已知条件，，从而，所以． 设生物死亡年数为，死亡生物体内碳14含量为，那么，即 ② 这也是一个函数，指数是自变量．死亡生物体内碳14含量每年都以的衰减率衰减．像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减． 如果用字母代替上述①②两式中的底数和，那么函数和就可以表示为 的形式，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量． 一般地，函数，且叫做指数函数（exponential function），其中指数是自变量，定义域是． 典例分析 例1 已知指数函数，且，，求，，的值． 分析：要求，，的值，应先求出的解析式，即先求的值． 解：因为 ，且，则，解得 ，于是 ． 所以，，，． 【变式】已知函数，且），其图象像经过点（-1，5），（0，4），则的值为 . 【答案】7 【知识点】指数函数的判定与求值、求指数函数解析式 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再代入求值即可． 【详解】解：由已知得，解得， 所以，所以． 故答案为 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式及求函数值，属于基础题． 【感悟提升】　求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)； (2)利用已知条件求底数a； (3)写出指数函数的解析式． 例2 （1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况． （2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ 解：（１）设经过年，游客给A，B两地带来的收入分别为和，则 ， ． 利用计算工具可得， 当时，． 当 时，． 结合图4.2-3可知： 当时，， 当 时，． 当时，． 这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412 000万元；随后10年，虽然，但的增长速度大于；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，，游客给B地带来的收入超过了A地；由于增长得越来越快，在2015年，B地的收入已经比A地多347303万元了． （2）设生物死亡年后，它体内碳14含量为．如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么 ． 当时，利用计算工具求得 ． 所以，生物死亡10 000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约． 在实际问题中，经常会遇到类似于例2(1)的指数增长模型：设原有量为，每次的增长率为，经过次增长，该量增长到，则．形如（， 且，，且）的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． 【变式2】按复利计算利息的一种储蓄，本金为a（单位：元），每期利率为r，本利和为y（单位：元），存期数为x. （1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式； （2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和. 【答案】（1）.（2）（元）. 【知识点】指数函数模型的应用（1） 【解析】（1）根据题意，结合复利的含义，分析可得本利和随变化的函数关系式； （2）根据（1）的函数表达式，代入数据即可计算5期后的本利和． 【详解】解：（1）根据题意可得； （2）由（1）可知，当时， ， ∴5期后的本利和约为元． 【点睛】本题主要考查指数函数的应用，属于基础题． 【感悟提升】　常见的几类函数模型 (1)指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y， 则y＝N(1＋p)x(x∈N)． (2)指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y， 则y＝N(1－p)x(x∈N)． (3)指数型函数 把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． 1.(多选题)下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】指数函数的判定与求值 【分析】根据指数函数的定义验证各选项得出答案. 【详解】由指数函数定义知，指数函数的一般形式为： 选项A中， ，所以选项A错误； 根据指数函数的定义，选型BD正确； 选项C中，，不符合指数函数的形式，选项 C错误； 故选：BD. 2.(多选题)（21-22高一上·重庆北碚·期中）下列函数是指数函数的有（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】指数函数的判定与求值 【分析】根据指数函数的定义逐一判断即可. 【详解】解：对于A，函数不是指数函数， 对于B，函数是指数函数； 对于C，函数是指数函数； 对于D，函数不是指数函数. 故选：BC. 3.(多选题)（22-23高一上·全国·课后作业）下列函数中，是指数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】指数函数的判定与求值 【分析】利用指数函数的定义逐项判断可得出合适的选项. 【详解】形如(且)形式的为指数函数，以上满足的条件的为AD. 故选：AD. 4.给出下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是指数函数的个数是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】根据指数函数的定义，可知形如且的函数是指数函数， 所以只有是指数函数，①是幂函数，②、④、⑤都称为指数型函数. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了指数函数定义及其应用，其中解答中熟记指数函数的定义是解答的关键，属于基础题. 5.若函数是上的减函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【分析】已知指数函数为减函数可直接得到底数的范围是，由此解出的范围. 【详解】因为是减函数，所以，所以，所以实数的取值范围是. 故选C. 【点睛】指数函数且的单调性判断： 当时，在上单调递减；当时，在上单调递增. 6.(多选题)（23-24高一上·江西新余·期中）若函数是指数函数，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【分析】根据指数函数的定义求解. 【详解】因为函数是指数函数， 所以，解得或. 故选：AB 7.(多选题)若函数，且）是指数函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】指数函数的判定与求值、根据函数是指数函数求参数 【分析】根据指数函数的定义求出函数解析式，再对选项作出判断． 【详解】解：因为函数是指数函数，所以，所以，所以，所以，，故B、D错误，A．C正确． 故选 【点睛】本题考查指数函数的定义，及函数值的求解，属于基础题． 8.(多选题)若函数（，且）是指数函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． E． 【答案】AC 【知识点】指数函数的判定与求值 【解析】由指数函数的定义可得，所以，，代入计算即可得出结果. 【详解】因为函数是指数函数，所以，所以， 所以，所以，，， 故B、D、E错误，A、C正确. 故选：AC 【点睛】本题考查了指数函数定义，考查了计算能力，属于基础题目. 9.（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数则 . 【答案】3 【知识点】指数函数的判定与求值、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】直接代入计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：3. 10.（23-24高一上·广东广州·期末）已知指数函数和幂函数的图象都过点，若，则 ． 【答案】/0.25 【知识点】指数函数的判定与求值、求幂函数的值、求指数函数解析式、求幂函数的解析式 【分析】根据指数函数、幂函数的知识求得和，通过解方程求得，由此求得正确答案. 【详解】依题意，设，， 代入得，，解得. 所以，，由，， 解得：，所以. 故答案为：. 1.已知，，，则，，的大小关系是 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数的单调性判断的大小，利用中间值即可得到的大小关系. 【详解】函数在上是减函数，， 又，． 故选D. 【点睛】常用指数幂大小的判断方法：（1）利用指数函数单调性判断大小；（2）利用中间值判断大小. 2.（24-25高一上·全国·课后作业）若指数型函数，满足，，则 ． 【答案】 【知识点】函数方程组法求解析式、求解析式中的参数值、已知函数类型求解析式、根据函数是指数函数求参数 【分析】由，，代入函数解析式，结合指数型函数的性质，解出的值即可得. 【详解】指数型函数，有且， 由，解得，所以. 故答案为：. 3.（2023高一·全国·课后作业）设，，为奇函数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值、由奇偶性求参数 【分析】先化简已知函数，再由函数为奇函数可得，由此式可解的值． 【详解】要使为奇函数，∵ ,∴需， ∴， 由,得,． 故答案为：1. 4.（20-21高三上·安徽六安·阶段练习）若函数是指数函数，则的值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】指数函数的判定与求值 【分析】根据指数函数的定义：形如或a>1）的函数叫指数函数，显然系数为1，故而能求出a的值，即，所以，求出. 【详解】因为函数是指数函数，所以，即，所以，那么. 故选：B 【点睛】明确指数函数的定义，类似的还有对数函数，幂函数. 1.指数函数的概念： 一般地，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量， 定义域是R. 2.指数函数需要注意的几个点： ①指数函数的定义域是实数集R； ②自变量是指数x，且指数位置只能有x这一项； ③底数a只能有一项，且其系数必须为1； ④底数a的范围是a>0且a≠1. (3)幂函数与指数函数的区别. 【设计意图】通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的主要内容，巩固所学知识。引导学生总结本节课的重点和难点，加深对集合概念的理解。 【教学建议】教师通过提问和讲解，引导学生回顾本节课的主要内容。引导学生总结本节课的重点和难点，帮助学生形成知识体系。 1.课本P115的练习1,2,3.题； 2.完成教材第119页习题4. 2第2题，第4题. 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 .1 指数函数的概念 1. 概念形成 · 实例1（B地游客）：（指数增长） · 实例2（碳14衰减）：（指数衰减） · 定义：（且），定义域 1. 底数限制（且） · ：可能无意义； · ：为常数函数，无研究价值。 1. 与幂函数的区别 类型 解析式 自变量位置 指数函数 指数 幂函数 底数 例1：判断指数函数 例2：求解析式（过点） 例3：细菌增长模型 【设计意图】通过板书，清晰呈现本节课的主要知识点，帮助学生理解和记忆。引导学生通过板书内容，梳理本节课的重点和难点，加深对集合间基本关系的理解。 【教学建议】教师在讲解过程中，逐步板书本节课的重点内容，帮助学生形成知识体系。引导学生通过板书内容，回顾本节课的主要知识点，巩固所学内容。 【感悟提升】常见的几类函数模型 (1)指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． (2)指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)． (3)指数型函数 把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． 练习（第115页） 1．下列函数中，有可能表示指数函数的是（ ） 1．【答案】C 【解析】A为一次函数图象，B为二次函数图象，D可以为的图象． 2．已知函数，且，求函数的一个解析式． 2．【解析】， ；； ；……； ． 所以函数的一个解析式． 3．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具） 3．【解析】令，则； 所以该湖泊的蓝藻变为原来的6.16倍． 学科网（北京）股份有限公司 $