2.3.2含参数的一元二次不等式的解法 微专题难点训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.3.2含参数的一元二次不等式的解法 难点训练微专题 （解析版） 突破通法： 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法 （1）当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数等于0、小于0、大于0的情形,然后将不等式转化为一元一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式的形式. （2）当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论判别式 与0的关系. （3）确定无实根时，可直接写出解集;确定方程有两个不相等的实根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集的形式. 微专题训练 一、单选题 1．已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 【答案】C 【分析】依题意可得是方程的两根，利用韦达定理可得与的关系，再代入目标不等式，解出即可. 【详解】不等式的解集为， 则，即， 由得， 即，解得或. 故选：C. 2．若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，比较的大小，进而结合二次函数的图象写出解集. 【详解】当时，，解，得， 所以不等式的解集为. 故选：D 3．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由 可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围． 【详解】关于的不等式，而， 由原不等式的解集中的整数恰有3个，得， 解不等式，得，因此原不等式解集中的3个整数是， 则，即，于是，又， 因此，解得， 实数的取值范围是， 故选：C 4．“”是“关于的不等式有解”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【分析】应用一元二次不等式的解的情况计算求参结合充分不必要条件定义判断即可. 【详解】若关于的不等式有解，则，得． 由“”可以推出“”，由“”不能推出“”， 所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件． 故选：D. 5．对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A. 6．关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出不等式对应方程的根并判断大小，再求出不等式的解集. 【详解】由，得，不等式化为， 而方程的二根为或，又，即， 所以原不等式的解集为. 故选：C 7．若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系求解即可. 【详解】因为的解集为， 所以且，故. 故选：D. 8．若关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先利用已知一元二次不等式的解集求得参数，，再代入所求不等式，利用分式大于零，则分子分母同号，列不等式计算即得结果. 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以的两根是和，所以，， 所以可转化为， 等价于或，解得或． 所以原不等式的解集为或. 故选：B． 二、多选题 9．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集，确定的关系及符号，可判断AC的真假；解不等式可判断BD的真假. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以和是一元二次方程的两个实数根，且该一元二次函数的开口向下. 所以且，解得.A正确； ，解得，故的解集为，B错误； ，C正确；， 解得. 所以的解集为，D正确. 故选：ACD 10．关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据与2的大小，求得不等式的解，分析其中恰有2个整数的情形即可求解. 【详解】不等式化为， 当时，不等式解为， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则； 当时，不等式无解，不符合； 当时，不等式解为， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则. 综上，满足题意的实数的取值范围可能是或. 故选：AB 11．已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A．可能为空集 B．中可能只有一个元素 C．若，则中的元素为负数 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据根的判别式即可判断AB；由，求出集合即可判断C；由，结合C选项，列出不等式即可判断D. 【详解】对于A，由题意得， 则不可能为空集，A错误； 对于B，由，得， 当，即时，，得，则，B正确； 对于C，当，即时，，C正确． 对于D，当，即时，， 因为，所以，得，D正确． 故选：BCD. 三、填空题 12．已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据得或，结合充分不必要条件列不等式求参数范围. 【详解】由，得或， 又是的充分不必要条件， 所以，解得. 故答案为： 13．若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】应用分类讨论求一元二次不等式的解集，根据整数解个数列不等式求参数范围. 【详解】令，解得或. 当，即时，不等式的解集为，则，解得； 当，即时，不等式无解，所以不符合题意； 当，即时，不等式的解集为，则，解得. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 14．已知命题：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先解不等式得到命题和成立的的范围，再由是的充分不必要条件得到自变量范围的包含关系从而可得结果. 【详解】由得，即，记； 由得，即，记. 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．解下列关于x的不等式 【答案】答案见解析 【分析】分、及，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】，即. 当时，，原不等式的解集为或； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为或. 16．已知关于的不等式的解集为，其中． (1)若，求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系，结合韦达定理可得结果. （2）讨论的范围，解一元二次不等式可得结果. 【详解】（1）当时，关于的方程的两根为， 由韦达定理可得，解得. （2）原不等式可化为. 当时，原不等式为，解得，； 当时，方程的根为，， 当时，不等式可化为，解得或， ； 当，即时，原不等式为，； 当，即时，不等式可化为，解得，； 当，即时，不等式可化为，解得，. 综上所述，当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.2含参数的一元二次不等式的解法 难点训练微专题 （学生版） 突破通法： 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法 （1）当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数等于0、小于0、大于0的情形,然后将不等式转化为一元一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式的形式. （2）当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论判别式 与0的关系. （3）确定无实根时，可直接写出解集;确定方程有两个不相等的实根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集的形式. 微专题训练 一、单选题 1．已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 2．若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．“”是“关于的不等式有解”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 5．对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 6．关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、多选题 9．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 10．关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 11．已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A．可能为空集 B．中可能只有一个元素 C．若，则中的元素为负数 D．若，则 三、填空题 12．已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 13．若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 14．已知命题：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．解下列关于x的不等式 16．已知关于的不等式的解集为，其中． (1)若，求的值； (2)求不等式的解集. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $