3.2简单几何体的三视图 同步课堂讲义2025－2026学年浙教版数学九年级下册

本讲义聚焦初中数学“简单几何体的三视图”核心知识点，系统构建从基础概念到组合体应用的知识链条，涵盖三视图定义、画法规则、正投影性质及实际问题解决，前后衔接紧密，形成由易到难的学习支架。 资料设计亮点突出，体现数学眼光、思维与语言三大核心素养。例如通过“墙来了”情境题引导学生用几何直观理解三视图本质，强化空间观念；在立方体组合体分析中训练逻辑推理能力，提升运算与建模意识；课后习题设置层次分明，既可辅助教师课堂精讲突破难点，又便于学生自主查漏补缺，巩固知识结构，真正实现学以致用。

3.2简单几何体的三视图 讲解目录 【知识点1】简单几何体的三视图 1 【知识点2】简单组合体的三视图 2 【知识点3】作图-三视图 2 【题型1】简单几何体三视图的应用 3 【题型2】简单实物的三视图及其应用 6 【题型3】由立方体组成的组合体的三视图 8 【题型4】简单几何体的三视图 11 【题型5】简单组合体三视图的画法 14 【题型6】简单组合体三视图的应用 17 【题型7】简单组合体的三视图 19 【题型8】正投影的定义及性质 21 【题型9】由立方体组成的组合体的三视图的应用 23 【题型10】简单几何体三视图的画法 26 【题型11】三视图及其相关定义 29 【题型12】正投影的示意图及计算 30 知识讲解 【知识点1】简单几何体的三视图 （1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． （2）常见的几何体的三视图： 圆柱的三视图： 【知识点2】简单组合体的三视图 （1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． （2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． （3）画物体的三视图的口诀为： 主、俯：长对正； 主、左：高平齐； 俯、左：宽相等． 【知识点3】作图-三视图 （1）画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图． （2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． （3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． （4）具体画法及步骤： ①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”． 要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线． 题型专练 【题型1】简单几何体三视图的应用 【典型例题】中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似地，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A、三视图分别为正方形，三角形及长方形，故A选项符合题意； B、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，故B选项不符合题意； C、三视图分别为长方形，长方形及圆，故C选项不符合题意； D、三视图分别为三角形，三角形，矩形及对角线，故D选项不符合题意； 故选：A． 【举一反三1】在娱乐节目“墙来了！”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人物造型的空洞．选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一块几何体恰好能以右图中两个不同形状的“姿势”分别穿过这两个空洞，则该几何体为（　 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A、三视图都为正方形，故A选项不符合题意； B、三视图分别为长方形，长方形，圆，故B选项不符合题意； C、三视图分别为三角形，三角形，圆，故C选项符合题意； D、三视图都为圆，故D选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三2】如图是一个长方体从正面和从左面看到的形状图，由图中数据可以得出该长方体的表面积是 　       ． 【答案】（14a+24）cm2 【解析】根据图中数据可知，该长方体的长、宽、高分别为：4cm、3cm、a cm； 根据长方体的表面积公式得：2（3×4+3a+4a）＝（14a+24）cm2； 故答案为：（14a+24）cm2． 【举一反三3】一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A′B′C′D′装有一些有色液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α （注：图1中∠CBE＝α，图2中BQ＝3dm）． 探究：如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，其三视图及尺寸如图2所示，那么：图1中，液体形状为　  　（填几何体的名称）；利用图2中数据，可以算出图1中液体的体积为　   　dm3．（提示：V＝底面积×高） 拓展：在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．若从正面看，若液面与棱C′C或CB交于点P、点Q始终在棱BB′上，设PC＝x，请你在下图中把此容器主视图补充完整，并用含x的代数式表示BQ的长度． 【答案】解：（1）图1中，液体形状为三棱柱（填几何体的名称）； 利用图2中数据，可以算出图1中液体的体积为V液＝×3×4×4＝24（dm3）． 故答案为：三棱柱，24； （2）当容器向左旋转时，如图3， ∵液体体积不变， ∴（x+BQ）×4×4＝24， ∴BQ＝﹣x+3． 当容器向右旋转时， 如图4．同理可得：×（4﹣x）×BQ×4＝24 ∴BQ＝． 【举一反三4】某直三棱柱零件如图①所示，张师傅根据此零件按1：1的比例画出准确的三视图（如图②）．已知在△EFG中，EF＝4cm，∠EFG＝45°，FG＝12cm，又知AD＝8cm．求： （1）AB的长； （2）这个直三棱柱的体积． 【答案】（1）过点E作EH⊥FG于点H，如图． 在Rt△EHF中，EF＝4cm，∠EFH＝45°， ∴∠FEH＝∠EFH＝45°． ∴FH＝EH． ∴由勾股定理，得2EH2＝EF2， ∴． 由图形可知． （2）直三棱柱的体积＝． 【题型2】简单实物的三视图及其应用 【典型例题】如图，一块底面是等腰直角三角形的三明治，可以近似看作一个直三棱柱，则其主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】从正面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的虚线． 故选：D． 【举一反三1】百米飞人大赛，裁判经常会依据视频作出正确判断，则高空摄像机视角所看到的是运动员撞线的（　　） A.主视图 B.左视图 C.俯视图 D.右视图 【答案】C 【解析】因为是百米赛跑，看谁先过线，所以高空摄像机视角所看到的是运动员撞线的俯视图． 故选：C． 【举一反三2】按如图所标的主视方向填写下列几何体的三视图的名称． 【答案】解：圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆； 圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆（带圆心）； 球的主视图、左视图和俯视图都是圆． 故答案为：矩形；等腰三角形；圆；圆；圆（带圆心）；圆；矩形；等腰三角形；圆． 【举一反三3】如图，从上往下看A、B、C、D、E、F六个物体，能得到a、b、c、d、e、f六个图形，请把上下两行中对应的图形与物体连接起来． 【答案】解：连线如下： 【题型3】由立方体组成的组合体的三视图 【典型例题】如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，小明分别以A和B为正方向观察该几何体，则他从两个方向观察到的三视图（　　） A.主视图相同，左视图不同，俯视图不同 B.主视图不同，左视图相同，俯视图不同 C.主视图不同，左视图不同，俯视图相同 D.主视图相同，左视图相同，俯视图不同 【答案】D 【解析】以A为正方向观察该几何体，三视图如下： 以B为正方向观察该几何体，三视图如下： 观察可知，两者的主视图不同，左视图相同，俯视图不同． 故选：D． 【举一反三1】由4个正方体搭成的几何体按如图放置，若要求画出它的三视图，则在所画的俯视图中正方形共有（　 　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】如图所示： 则在所画的俯视图中正方形共有3个． 故选：C． 【举一反三2】如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成．判断拿走图中的哪一个积木后，此图形主视图的形状会改变（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】B 【解析】拿走图中的“乙”一个积木后，此图形主视图的形状会改变，第二列小正方形的个数由原来的两个变成一个． 故选：B． 【举一反三3】如图，是一个由若干个小正方体搭建而成的几何体的主视图与左视图，那么下列图形中可以作为该几何体的俯视图的序号是 　    　（多填或错填得0分，少填酌情给分） 【答案】①②③ 【解析】综合主视图与左视图，有3行3列．故图形可能是①②③． 故答案为：①②③． 【举一反三4】画出如图所示的几何体从三个方向看到的图形． 【答案】解：如图所示： 【举一反三5】一个由完全相同的小立方体搭成的几何体如图所示，请在虚线方格中画出从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图． 【答案】解：如图所示： ． 【题型4】简单几何体的三视图 【典型例题】如图，四个几何体中，各自的主视图与左视图完全相同的几何体的个数是（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】圆柱的主视图和左视图都是矩形； 圆锥主视图与左视图都是三角形 圆台的主视图和左视图都是梯形； 五棱柱的主视图与左视图形状都是里面有一条虚线的矩形，但大小不一定相同； 所以主视图和左视图相同的有3个． 故选：C． 【举一反三1】下列关于三视图的说法，正确的是（　　） A.主视图反映物体的长和宽 B.左视图反映物体的长和高 C.俯视图反映物体的宽和高 D.画三视图时，要注意“长对正，高平齐，宽相等” 【答案】D 【解析】A．主视图反映物体的长和高的关系，因此选项A不符合题意； B．左视图反映物体的宽和高的关系，因此选项B不符合题意； C．俯视图反映物体的长和宽的关系，因此选项C不符合题意； D．画三视图时，要注意“长对正，高平齐，宽相等”因此选项D符合题意； 故选：D． 【举一反三2】下列几何体中，三个视图完全相同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A、该图形的左视图和主视图是一样的长方形，但俯视图是正方形，故该选项是不符合题意的； B、该图形的左视图和主视图是一样的三角形，但俯视图是有圆心的圆，故该选项是不符合题意的； C、该图形的左视图和主视图是一样的长方形，但俯视图是无圆心的圆，故该选项是不符合题意的； D、该图形的左视图和主视图、俯视图是一样的圆，故该选项是符合题意的； 故选：D． 【举一反三3】下列几何体中，仅主视图与左视图相同的是　  　．（填序号） 【答案】③④ 【解析】正方体的主视图、左视图、俯视图都是正方形，因此①正方形不符合题意； 球的主视图、左视图、俯视图都是圆形，因此②球不符合题意； 圆锥主视图、左视图是等腰三角形、俯视图是圆形，因此③圆锥符合题意； 圆柱主视图、左视图是长方形、俯视图是圆形，因此④圆柱符合题意； 故答案为：③④． 【举一反三4】如图，四个几何体中，它们各自的三个视图（主视图、左视图和俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是　    　（填序号）． 【答案】②③ 【解析】①因为正方体的三个视图都相同，都是正方形，不符合条件； ②圆柱的主视图与左视图都是长方形，俯视图是圆，符合条件； ③圆锥的主视图与左视图都是三角形，俯视图是圆中间还有一点，符合条件； ④球的三个视图都相同，都是圆，不符合条件． 故符合条件的是：②③． 故答案为：②③． 【举一反三5】甲、乙、丙三个几何体如图所示： 分别在图中找出上述几何体的主视图、左视图和俯视图． 【答案】解：甲的主视图是④，左视图是④，俯视图是③； 乙的主视图是⑦，左视图是⑥，俯视图是①； 丙的主视图是②，左视图是②，俯视图⑤． 【题型5】简单组合体三视图的画法 【典型例题】如图所示几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图所示，几何体的左视图是： 故选：C． 【举一反三1】如图所示，几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】从正面看有，可得如下图形： ． 故选：B． 【举一反三2】某同学画出了如图所示的几何体的三种视图，其中正确的是（　　） A.①② B.①③ C.②③ D.② 【答案】B 【解析】根据几何体的摆放位置，主视图和俯视图正确．左视图中间有一条横线，故左视图不正确． 故选：B． 【举一反三3】图中物体的主视图和俯视图如图所示，请在所给的方格纸中画出该物体的左视图　     　． 【答案】 【解析】 故答案为： 【举一反三4】画出下面几何体的三视图， 主视图　            　 俯视图　             　 左视图　          　． 【答案】；； 【解析】主视图为：； 俯视图为：； 左视图； 故答案为；；． 【举一反三5】画出如图图形的三视图． 【答案】解：如图所示： 【题型6】简单组合体三视图的应用 【典型例题】如图，正方体的棱长和圆柱直径均为1，且圆柱的高为2，则这个组合体右视图的面积是　　． 【答案】2 【解析】右视图是两个小正方形， 故答案为：2． 【举一反三1】用三个大小不等的正方体拼成了一个如图所示的几何体，若该几何体的主视图、左视图和俯视图的面积分别表示为S1、S2、S3，则S1、S2、S3的大小关系是 　     　（用“＜”从小到大连接）． 【答案】S3＜S2＜S1 【解析】主视图的面积是三个正方形的面积，左视图是两个正方形的面积，俯视图是一个正方形的面积， 故S3＜S2＜S1， 故答案为：S3＜S2＜S1． 【举一反三2】如图①是一个组合几何体，右边是它的两种从不同方向看的图形，根据两种图形中尺寸，计算这个组合几何体的表面积和体积．（结果保留π） 【答案】解：两个视图分别为左视图、俯视图， 体积为：8×5×2+π×22×6＝80+24π， 表面积为：（8×5+8×2+5×2）×2+4π×6＝132+24π， 答：这个几何体的表面积为132+24π，体积为80+24π． 【举一反三3】两个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形平放于桌面上，上面正方体下底面的四个顶点恰好是下面相邻正方体的上底面各边的中点，并且下面正方体的棱长为1，则能够看到部分的面积是多少？ 【答案】解：∵下面正方体的棱长为1， ∴下面正方体的面的对角线为＝， ∴上面正方体的棱长为， 可看见的部分有上面正方体的小正方形的5个面，面积为：5×（）2＝， 下面正方体的大正方形的4个完整侧面，面积为：4×12＝4， 两正方体的重叠面部分可看见的部分，面积为12﹣（）2＝， 所以，能够看到部分的面积为+4+＝7． 【题型7】简单组合体的三视图 【典型例题】如图的一个几何体，其左视图是（　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】从左边看，是一列三个相邻的矩形． 故选：B． 【举一反三1】如图所示的几何体从左面看到的形状图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】从左边看，是一列两个相邻的矩形． 故选：B． 【难度】基础题 【举一反三2】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，左图中构件的突出部分叫榫头，右图凹进部分叫卯眼，则带卯眼的木构件的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】带卯眼的木构件的俯视图是： ． 故选：C． 【举一反三3】如图，图①是图②中几何体的 　  　视图． 【答案】俯 【解析】从上面看，是一个矩形，距离的两边各有一条纵向的虚线． 故答案为：俯． 【举一反三4】一个圆柱和一个长方体如图放置，说出下面①②两组视图分别是什么视图？ 【答案】解：由题可得，图①是俯视图，图②是主视图． 【举一反三5】将如图物体与它们各自的主视图连起来．（不考虑大小） 【答案】解：如图所示： 【题型8】正投影的定义及性质 【典型例题】木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定（　　） A.大于1.2m B.小于1.2m C.等于1.2m D.小于或等于1.2m 【答案】D 【解析】投影线垂直于投影底幕面时，称正投影，根据木棒的不同位置可得不同的线段长度． 正投影的长度与木棒的摆放角度有关系，但无论怎样摆都不会超过1.2 m． 故选：D． 【举一反三1】如图所示是正方体ABCD﹣A1B1C1D1在平面P中的正投影，其中平面ABCD平行于平面P，下列说法中正确的个数是（　　） ①正方体中面ABCD在平面P中的正投影是正方形A′B′C′D′； ②正方体中面ABB1A1在平面P中的正投影是线段A′B′； ③正方体中面BCC1B1在平面P中的正投影是面A′B′C′D′； ④正方体中面DCC1D1在平面P中的正投影是线段C′D′． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】①正方体中面ABCD在平面P中的正投影是正方形A′B′C′D′，故正确； ②正方体中面ABB1A1在平面P中的正投影是线段A′B′，故正确； ③正方体中面BCC1B1在平面P中的正投影是线段B′C′，故错误； ④正方体中面DCC1D1在平面P中的正投影是线段C′D′，故正确． 故选：C． 【举一反三2】与投影面不平行的平面图形的正投影的面积 　  　（填“小于”、“等于”或“大于”）其正投影的面积． 【答案】小于 【解析】与投影面不平行的平面图形的正投影的面积小于其正投影的面积． 故答案为：小于． 【举一反三3】把一块梯形硬纸板Q放在三个不同的位置． （1）当纸板Q平行于投影面P时，Q的正投影与Q的形状、大小 　  　． （2）当纸板Q倾斜于投影面P时，Q的正投影与Q的形状、大小 　  　．（3）当纸板Q垂直于投影面P时，Q的正投影为 　   　． 【答案】（1）不变；（2）改变；（3）一条线段 【解析】（1）根据平行投影特点得：这个面的正投影与这个面的形状、大小不变； （2）当纸板Q倾斜于投影面P时，Q的正投影与Q的形状、大小 改变； （3）当纸板Q垂直于投影面P时，Q的正投影为一条线段． 故答案为：（1）不变；（2）改变；（3）一条线段． 【举一反三4】一个长方体与投影面的相对位置如图所示，矩形A'B′C′D'是长方体在投影面上的正投影，你能说出长方体的各个面在投影面上的正投影吗？ 【答案】解：平面ABCD和平面EFGH的正投影都是四边形A′B′C′D′； 平面ADHE的投影是线段A′D′， 平面BCGF的投影是线段B′C′； 平面ABFE的投影是线段A′B′； 平面DCGH的投影是线段C′D′． 【题型9】由立方体组成的组合体的三视图的应用 【典型例题】如图所示的几何体是由6个边长为1cm的相同的正方体搭成的，它的表面积等于 　    　． 【答案】26cm2 【解析】4×2+4×2+5×2＝26（cm2）． 所以该几何体的表面积为26cm2． 故答案为：26cm2． 【举一反三1】如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体．在该几何体的表面（除最底层）喷上黄色的漆，若现在你手头还有一个相同的小正方体添上去，考虑颜色，要使从正面看、从左面看和从上面看到的形状图保持不变，则新添的正方体至少要在 　　个面上着色． 【答案】2 【解析】为保证几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图保持不变，正方体添加的位置如图所示， ∵小正方体添加后，左面、底面和背面被遮挡且不从右面看， ∴至少需要在正面、顶部两个面上着色， 故答案为：2． 【举一反三2】下面是由一些棱长为a厘米的正方体小木块搭建成的几何体的主视图、左视图和俯视图． （1）该几何体是由 　  　块小木块组成的； （2）求出该几何体的体积； （3）求出该几何体的表面积（包含底面）． 【答案】（1）几何体的小正方形的个数如俯视图所示，2＝1+3+1+1+2＝10． 故答案为：10． （2）V＝10a3（cm3） ∴该几何体的体积为10a3 cm3． （3）S＝2（6a2+6a2+6a2）+2（a2+a2）＝40a2（cm2）． ∴该几何体的表面积40a2 cm2． 【举一反三3】如图，是由几个大小完全相同的小正方体垒成的几何体． （1）请分别画出你所看到的三视图； （2）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和主视图不变，最多可以再添加 　　个小正方体． 【答案】解：（1）图形如下： （2）保持俯视图和主视图不变，最多可往第2列前面的1个几何体上放一个小正方体，在第3列前面的1个几何体上放2个小正方体， 2+1＝3（个）． 故最多可以再添加3个小正方体． 故答案为：3． 【题型10】简单几何体三视图的画法 【典型例题】如图所示的五棱柱，其主视图是（　 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】从正面看，是一个正五边形． 故选：A． 【举一反三1】如图所示的圆柱的三种视图画法正确的是（　 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】该圆柱体的主视图、俯视图均为矩形，左视图为圆， 故选：A． 【举一反三2】按1：4的比例画出如图长方体的三视图．　       　 【答案】 【解析】如图所示： 故答案为：． 【举一反三3】如图，找出下列几何体的主视图、左视图和俯视图． （1）几何体甲的主视图是 　   　，左视图是 　 　，俯视图是 　 　； （2）几何体乙的主视图是 　 　，左视图是 　 　，俯视图是 　 　； （3）几何体丙的主视图是 　 　，左视图是 　 　，俯视图是 　 　． 【答案】（1）B，B，F； （2）F，F，F； （3）D，D，G． 【解析】（1）由题意知，几何体甲的主视图是B，左视图是B，俯视图是F； （2）几何体乙的主视图是F，左视图是F，俯视图是F； （3）几何体丙的主视图是D，左视图是D，俯视图是G． 故答案为：（1）B，B，F； （2）F，F，F； （3）D，D，G． 【举一反三4】如图，画出这些立体图形的从各面看的示意图． 【答案】解：（1）如图： ； （2）如图： ； （3）如图： ； （4）如图： ． 【题型11】三视图及其相关定义 【典型例题】下列几何体三视图相同的是（　　） A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.球体 【答案】D 【解析】A、圆柱的主视图、左视图是矩形、俯视图是圆，故本选项错误； B、圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形；故本选项错误； C、三棱柱的主视图、左视图是矩形、俯视图三角形，故本选项错误． D、球体的主视图、左视图、俯视图都是圆形；故本选项正确． 故选：D． 【举一反三1】下列几何体主视图是长方形的是（　　） A.圆锥 B.球体 C.四棱锥 D.圆柱 【答案】D 【解析】A、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意； B、球体的主视图是圆，不符合题意； C、四棱锥的主视图是三角形，不符合题意； D、圆柱的主视图是长方形，符合题意． 故选：D． 【举一反三2】一辆轿车的　   　视图中看不见车轮． 【答案】俯 【解析】由三视图的概念，主视图、左视图都能看见车轮，只有俯视图看不见车轮． 故答案为：俯 【举一反三3】画三视图的位置规定：　   　在左上边，它的下方应是　   　，　  　坐落在右边；并且　   　和 　   　的长对正，　     和　    　的高对齐，和　     　和的宽相等． 【答案】主视图；俯视图；主视图；俯视图；主视图；左视图；左视图、俯视图 【解析】画三视图的位置规定：主视图在左上边，它的下方应是俯视图，左视图坐落在右边；并且主视图和俯视图的长对正，主视图和左视图的高对齐，和左视图、俯视图和的宽相等． 故答案为：主视图；俯视图；主视图；俯视图；主视图；左视图；左视图、俯视图 【举一反三4】在描述某个物体时，我们为什么要用从正面、左面、上面看到的平面图形来表示它呢？ 【答案】解：从不同的方向观察同一物体时，可以看到不同的图形，为了能完整确切地表达物体的形状和大小，必须从多方面观察物体，前后，左右，上下三方向观察物体． 【举一反三5】球的三视图与其摆放位置有关吗？为什么？ 【答案】解：球的三视图与其摆放位置无关， 因为球的三视图都是圆，故球的三视图与其摆放位置无关． 【题型12】正投影的示意图及计算 【典型例题】随着光伏发电项目投资成本下降，越来越多的“光伏+”项目正在逐步走进我们的生活．光伏发电不仅能为城市提供清洁能源，还能减少城市污染和能源消耗．如图，长BC＝8m、宽AB＝1.5m的太阳能电池板与水平面成30°夹角，经过太阳光的正投影，它在水平面所形成的阴影的面积为（　　） A.12m2 B.6m2 C. D. 【答案】C 【解析】在Rt△BCD中， ∵∠B＝30°，BC＝8m， ∴BD＝BC•cos30°＝8×＝4（cm）， ∵AB＝1.5m， ∴它在水平面所形成的阴影的面积＝1.5×4＝6m2， 故选：C． 【举一反三1】如图，若正三棱柱看不见的一个侧面与投影面平行，则这个正三棱柱的正投影是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据题意，三棱柱后侧面与投影面平行， 则该三棱柱的正投影即主视图是： ， 故选：A． 【举一反三2】下列投影，是正投影的有 　　．（只填序号） 【答案】③④⑤ 【解析】由正投影的意义可知， 正投影是平行投影线垂直于投影面所形成的投影， 因此③④⑤的投影符合题意； 故答案为：③④⑤． 【举一反三3】如图，回答下列图形在投影面上的正投影是什么图形． （1）矩形AA1D1D． （2）矩形CC1D1D． （3）棱CC1，A1B1． 【答案】解：（1）矩形AA1D1D的投影是矩形． （2）矩形CC1D1D的投影是线段． （3）棱CC1的投影是线段，棱A1B1的投影是点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2简单几何体的三视图 讲解目录 【知识点1】简单几何体的三视图 1 【知识点2】简单组合体的三视图 2 【知识点3】作图-三视图 2 【题型1】简单几何体三视图的应用 3 【题型2】简单实物的三视图及其应用 4 【题型3】由立方体组成的组合体的三视图 6 【题型4】简单几何体的三视图 7 【题型5】简单组合体三视图的画法 9 【题型6】简单组合体三视图的应用 10 【题型7】简单组合体的三视图 11 【题型8】正投影的定义及性质 13 【题型9】由立方体组成的组合体的三视图的应用 14 【题型10】简单几何体三视图的画法 15 【题型11】三视图及其相关定义 17 【题型12】正投影的示意图及计算 17 知识讲解 【知识点1】简单几何体的三视图 （1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． （2）常见的几何体的三视图： 圆柱的三视图： 【知识点2】简单组合体的三视图 （1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． （2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． （3）画物体的三视图的口诀为： 主、俯：长对正； 主、左：高平齐； 俯、左：宽相等． 【知识点3】作图-三视图 （1）画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图． （2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． （3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． （4）具体画法及步骤： ①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”． 要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线． 题型专练 【题型1】简单几何体三视图的应用 【典型例题】中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似地，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（　 ） A. B. C. D. 【举一反三1】在娱乐节目“墙来了！”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人物造型的空洞．选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一块几何体恰好能以右图中两个不同形状的“姿势”分别穿过这两个空洞，则该几何体为（　 　） A. B. C. D. 【举一反三2】如图是一个长方体从正面和从左面看到的形状图，由图中数据可以得出该长方体的表面积是 　       ． 【举一反三3】一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A′B′C′D′装有一些有色液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α （注：图1中∠CBE＝α，图2中BQ＝3dm）． 探究：如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，其三视图及尺寸如图2所示，那么：图1中，液体形状为　  　（填几何体的名称）；利用图2中数据，可以算出图1中液体的体积为　   　dm3．（提示：V＝底面积×高） 拓展：在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．若从正面看，若液面与棱C′C或CB交于点P、点Q始终在棱BB′上，设PC＝x，请你在下图中把此容器主视图补充完整，并用含x的代数式表示BQ的长度． 【举一反三4】某直三棱柱零件如图①所示，张师傅根据此零件按1：1的比例画出准确的三视图（如图②）．已知在△EFG中，EF＝4cm，∠EFG＝45°，FG＝12cm，又知AD＝8cm．求： （1）AB的长； （2）这个直三棱柱的体积． 【题型2】简单实物的三视图及其应用 【典型例题】如图，一块底面是等腰直角三角形的三明治，可以近似看作一个直三棱柱，则其主视图是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】百米飞人大赛，裁判经常会依据视频作出正确判断，则高空摄像机视角所看到的是运动员撞线的（　　） A.主视图 B.左视图 C.俯视图 D.右视图 【举一反三2】按如图所标的主视方向填写下列几何体的三视图的名称． 【举一反三3】如图，从上往下看A、B、C、D、E、F六个物体，能得到a、b、c、d、e、f六个图形，请把上下两行中对应的图形与物体连接起来． 【题型3】由立方体组成的组合体的三视图 【典型例题】如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，小明分别以A和B为正方向观察该几何体，则他从两个方向观察到的三视图（　　） A.主视图相同，左视图不同，俯视图不同 B.主视图不同，左视图相同，俯视图不同 C.主视图不同，左视图不同，俯视图相同 D.主视图相同，左视图相同，俯视图不同 【举一反三1】由4个正方体搭成的几何体按如图放置，若要求画出它的三视图，则在所画的俯视图中正方形共有（　 　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三2】如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成．判断拿走图中的哪一个积木后，此图形主视图的形状会改变（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【举一反三3】如图，是一个由若干个小正方体搭建而成的几何体的主视图与左视图，那么下列图形中可以作为该几何体的俯视图的序号是 　    　（多填或错填得0分，少填酌情给分） 【举一反三4】画出如图所示的几何体从三个方向看到的图形． 【举一反三5】一个由完全相同的小立方体搭成的几何体如图所示，请在虚线方格中画出从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图． 【题型4】简单几何体的三视图 【典型例题】如图，四个几何体中，各自的主视图与左视图完全相同的几何体的个数是（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三1】下列关于三视图的说法，正确的是（　　） A.主视图反映物体的长和宽 B.左视图反映物体的长和高 C.俯视图反映物体的宽和高 D.画三视图时，要注意“长对正，高平齐，宽相等” 【举一反三2】下列几何体中，三个视图完全相同的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】下列几何体中，仅主视图与左视图相同的是　  　．（填序号） 【举一反三4】如图，四个几何体中，它们各自的三个视图（主视图、左视图和俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是　    　（填序号）． 【举一反三5】甲、乙、丙三个几何体如图所示： 分别在图中找出上述几何体的主视图、左视图和俯视图． 【题型5】简单组合体三视图的画法 【典型例题】如图所示几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图所示，几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】某同学画出了如图所示的几何体的三种视图，其中正确的是（　　） A.①② B.①③ C.②③ D.② 【举一反三3】图中物体的主视图和俯视图如图所示，请在所给的方格纸中画出该物体的左视图　     　． 【举一反三4】画出下面几何体的三视图， 主视图　            　 俯视图　             　 左视图　          　． 【举一反三5】画出如图图形的三视图． 【题型6】简单组合体三视图的应用 【典型例题】如图，正方体的棱长和圆柱直径均为1，且圆柱的高为2，则这个组合体右视图的面积是　　． 【举一反三1】用三个大小不等的正方体拼成了一个如图所示的几何体，若该几何体的主视图、左视图和俯视图的面积分别表示为S1、S2、S3，则S1、S2、S3的大小关系是 　     　（用“＜”从小到大连接）． 【举一反三2】如图①是一个组合几何体，右边是它的两种从不同方向看的图形，根据两种图形中尺寸，计算这个组合几何体的表面积和体积．（结果保留π） 【举一反三3】两个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形平放于桌面上，上面正方体下底面的四个顶点恰好是下面相邻正方体的上底面各边的中点，并且下面正方体的棱长为1，则能够看到部分的面积是多少？ 【题型7】简单组合体的三视图 【典型例题】如图的一个几何体，其左视图是（　 ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图所示的几何体从左面看到的形状图是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，左图中构件的突出部分叫榫头，右图凹进部分叫卯眼，则带卯眼的木构件的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，图①是图②中几何体的 　  　视图． 【举一反三4】一个圆柱和一个长方体如图放置，说出下面①②两组视图分别是什么视图？ 【举一反三5】将如图物体与它们各自的主视图连起来．（不考虑大小） 【题型8】正投影的定义及性质 【典型例题】木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定（　　） A.大于1.2m B.小于1.2m C.等于1.2m D.小于或等于1.2m 【举一反三1】如图所示是正方体ABCD﹣A1B1C1D1在平面P中的正投影，其中平面ABCD平行于平面P，下列说法中正确的个数是（　　） ①正方体中面ABCD在平面P中的正投影是正方形A′B′C′D′； ②正方体中面ABB1A1在平面P中的正投影是线段A′B′； ③正方体中面BCC1B1在平面P中的正投影是面A′B′C′D′； ④正方体中面DCC1D1在平面P中的正投影是线段C′D′． A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三2】与投影面不平行的平面图形的正投影的面积 　  　（填“小于”、“等于”或“大于”）其正投影的面积． 【举一反三3】把一块梯形硬纸板Q放在三个不同的位置． （1）当纸板Q平行于投影面P时，Q的正投影与Q的形状、大小 　  　． （2）当纸板Q倾斜于投影面P时，Q的正投影与Q的形状、大小 　  　．（3）当纸板Q垂直于投影面P时，Q的正投影为 　   　． 【举一反三4】一个长方体与投影面的相对位置如图所示，矩形A'B′C′D'是长方体在投影面上的正投影，你能说出长方体的各个面在投影面上的正投影吗？ 【题型9】由立方体组成的组合体的三视图的应用 【典型例题】如图所示的几何体是由6个边长为1cm的相同的正方体搭成的，它的表面积等于 　    　． 【举一反三1】如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体．在该几何体的表面（除最底层）喷上黄色的漆，若现在你手头还有一个相同的小正方体添上去，考虑颜色，要使从正面看、从左面看和从上面看到的形状图保持不变，则新添的正方体至少要在 　　个面上着色． 【举一反三2】下面是由一些棱长为a厘米的正方体小木块搭建成的几何体的主视图、左视图和俯视图． （1）该几何体是由 　  　块小木块组成的； （2）求出该几何体的体积； （3）求出该几何体的表面积（包含底面）． 【举一反三3】如图，是由几个大小完全相同的小正方体垒成的几何体． （1）请分别画出你所看到的三视图； （2）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和主视图不变，最多可以再添加 　　个小正方体． 【题型10】简单几何体三视图的画法 【典型例题】如图所示的五棱柱，其主视图是（　 　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图所示的圆柱的三种视图画法正确的是（　 　） A. B. C. D. 【举一反三2】按1：4的比例画出如图长方体的三视图．　       　 【举一反三3】如图，找出下列几何体的主视图、左视图和俯视图． （1）几何体甲的主视图是 　   　，左视图是 　 　，俯视图是 　 　； （2）几何体乙的主视图是 　 　，左视图是 　 　，俯视图是 　 　； （3）几何体丙的主视图是 　 　，左视图是 　 　，俯视图是 　 　． 【举一反三4】如图，画出这些立体图形的从各面看的示意图． 【题型11】三视图及其相关定义 【典型例题】下列几何体三视图相同的是（　　） A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.球体 【举一反三1】下列几何体主视图是长方形的是（　　） A.圆锥 B.球体 C.四棱锥 D.圆柱 【举一反三2】一辆轿车的　   　视图中看不见车轮． 【举一反三3】画三视图的位置规定：　   　在左上边，它的下方应是　   　，　  　坐落在右边；并且　   　和 　   　的长对正，　     和　    　的高对齐，和　     　和的宽相等． 【举一反三4】在描述某个物体时，我们为什么要用从正面、左面、上面看到的平面图形来表示它呢？ 【举一反三5】球的三视图与其摆放位置有关吗？为什么？ 【题型12】正投影的示意图及计算 【典型例题】随着光伏发电项目投资成本下降，越来越多的“光伏+”项目正在逐步走进我们的生活．光伏发电不仅能为城市提供清洁能源，还能减少城市污染和能源消耗．如图，长BC＝8m、宽AB＝1.5m的太阳能电池板与水平面成30°夹角，经过太阳光的正投影，它在水平面所形成的阴影的面积为（　　） A.12m2 B.6m2 C. D. 【举一反三1】如图，若正三棱柱看不见的一个侧面与投影面平行，则这个正三棱柱的正投影是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】下列投影，是正投影的有 　　．（只填序号） 【举一反三3】如图，回答下列图形在投影面上的正投影是什么图形． （1）矩形AA1D1D． （2）矩形CC1D1D． （3）棱CC1，A1B1． 学科网（北京）股份有限公司 $