专题04 有理数的运算（期中真题汇编，北京专用北京版2024）七年级数学上学期

专题04 有理数的运算 2大高频考点概览 考点01 有理数的加减法 考点02 有理数的乘除法 地 城 考点01 有理数的加减法 一、单选题 1．(24-25七上·北京延庆区·期中)图中的数据是加工零件尺寸的要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：），其中不合格的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法和减法的实际应用，求得零件直径的合格范围是解题的关键． 根据图片信息得出零件直径的合格范围，对比四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：，， ∴零件直径的合格范围是：零件直径， ∵， ∴不合格． 故选：A． 2．(23-24七上·北京通州区·期中)若a是有理数，那么下列说法一定正确的是（    ） A．当a是正有理数时，有成立 B．当a是负有理数时，有成立 C．当a是0时，有成立 D．当a是非负数时，有成立 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的计算，解题的关键是熟练掌握有理数运算法则． 【详解】解：A．当a是正有理数时，有成立，故A错误； B．当a是负有理数时，有成立，故B正确； C．当a是0时，有成立，故C错误； D．当a是非负数时，有成立，故D错误． 故选：B． 3．(23-24七上·北京昌平区融合学区（第三组）·期中)如果两个有理数之和为负，那么（　　） A．这两个加数都是负数 B．这两个加数一正一负 C．这两个加数中一个为负数，另一个为0 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据有理数的加法法则判断即可． 【详解】解：如果两个有理数之和为负，那么这两个加数都是负数或这两个加数一正一负或两个加数中一个为负数，另一个为0， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加法，正数与负数，解题的关键是掌握有理数的加法法则． 4．(23-24七上·北京房山区·期中)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示，在这个数据运算程序中，如果第1次输入的值为3，那么此次输出的结果是1．把输出值当作值返回进行第2次运算，那么第2次输出的结果是6，…，依此类推，第2023次输出的结果是（    ）    A．2 B．7 C．9 D．4 【答案】C 【分析】开始输入的a的值为3，根据运算程序，先计算前几次的输出结果，发现规律∶ 每8次一循环，再由得出第2023次输出的结果与第7次输出的结果相同，即可求解． 【详解】解：第1次输入的值为3，那么第1次输出的结果是1， 第2次输入的值为1，第2次输出的结果是6， 第3次输入的值为6，第3次输出的结果是2， 第4次输入的值为2，第4次输出的结果是7， 第5次输入的值为7，第5次输出的结果是12， 第6次输入的值为12，第6次输出的结果是4， 第7次输入的值为4，第7次输出的结果是9， 第8次输入的值为9，第8次输出的结果是3， 第9次输入的值为3，第9次输出的结果是1， … 发现规律为每8次一循环， ∵ ∴第2023次输出的结果与第7次输出的结果相同为9， 故选：C． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解决本题的关键是根据数字是变化寻找规律． 二、填空题 5．(24-25七上·北京房山区·期中)北京地铁房山线，又称“北京地铁25号线”，是北京市第十条建成运营的地铁线路若某节车厢中原有乘客20人，经过3个车站时上下车情况记录如下（下车为负、上车为正）：，，，则车上还有 人． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，用原来车上的人数加上上车的人数再减去下车的人数即可得到答案． 【详解】解：人， ∴车上还有人． 故答案为：． 6．(23-24七上·北京房山区·期中)长阳音乐节在10月2日和6日成功举办，为打造房山形象，特招募了一批志愿者参与服务工作，帮助维持现场秩序．某志愿服务站点有A，，，四名志愿者，某一天每人可参与服务时间段如下表所示： 志愿者 服务时段1 服务时段2 A 已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的服务，任意时刻志愿服务站点同时最多需要2名志愿者服务，则该志愿服务站点这一天所有参与服务的志愿者的累计服务时间最短为 小时，最长为 小时（假设志愿者只要参与服务，就一定把相应时间段的任务全部完成）． 【答案】 6 12.5 【分析】先列表表示时段1时间安排，时段2时间安排，再结合每名志愿者一天至少要参加一个时间段的服务，任意时刻同时最多需要2名志愿者服务，分析得出答案即可． 【详解】解：服务时段1时间安排表， A A A B B B B C C D D D D 服务时段1时间安排表， A A B B B C C C C D D D ∵任意时刻志愿服务站点同时最多需要2名志愿者服务，每名志愿者一天至少要参加一个时间段的服务， ∴A参与时段服务，B参加时段服务，C参加时段服务，D参加时段服务时，累计服务时间最短， ∴该志愿服务站点这一天所有参与服务的志愿者的累计服务时间最短为：（小时）， ∵任意时刻志愿服务站点同时最多需要2名志愿者服务，每名志愿者一天至少要参加一个时间段的服务， ∴A、B、D参与时段1服务，A、C、D参加时段2服务，累计服务时间最长， ∴该志愿服务站点这一天所有参与服务的志愿者的累计服务时间最长为： （小时） 故答案为：6；12.5． 【点睛】本题考查的是逻辑推理，理解题意，找到突破口，逐步分析是解本题的关键． 7．(23-24七上·北京房山区·期中)已知，，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】根据绝对值的意义得到：，，由于，所以，或，，然后分别代入 中计算即可． 【详解】∵，， ∴，， ∵， ∴异号， ∴，或，， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了绝对值运算，掌握去绝对值符号法则是解题的关键． 三、解答题 8．(24-25七上·北京房山区·期中)完成计算，并补全相应步骤的运算依据． 运算依据：___________； 运算依据：___________； ___________．运算依据：异号的两个数相加，取___________的符号，并用___________． 【答案】加法的交换律；加法的结合律；；绝对值较大加数；较大的绝对值减去较小的绝对值 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．在加减混合运算中，通常将分母相同的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组求解． 【详解】解： 运算依据：加法的交换律； 运算依据：加法的结合律； ．运算依据：异号的两个数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 故答案为：加法的交换律；加法的结合律；；绝对值较大加数；较大的绝对值减去较小的绝对值． 9．(24-25七上·北京房山区·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，有理数的加减计算： （1）根据有理数减法计算法则求解即可； （2）根据有理数加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．(24-25七上·北京延庆区·期中)先阅读材料，再解决问题． 阅读材料：下面矩形框中是小明在计算的主要思考过程以及解答． 思考过程： ①观察、判断运算类型：有理数的乘法； ②再观察运算对象：异号两数； ③确定积的符号：根据两数相乘，异号得负，确定积的符号为“”； ④确定积的绝对值：根据积的绝对值等于乘数绝对值的积，因为， ，所以 ⑤得出结果： 解答： 解： 解决问题： 请你类比小明的思考过程及解答，写出计算的思考过程及解答． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法和乘法运算法则，根据有理数加法法则结合材料解答即可． 【详解】①观察、判断运算类型：有理数的加法； ②再观察运算对象：异号两数； ③确定和的符号：根据异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，因为， ，所以确定和的符号为“”； ④确定和的绝对值：根据和的绝对值等于用较大的绝对值减去较小的绝对值，所以 ； ⑤得出结果：， 解：． 11．(24-25七上·北京延庆区·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加法运算法则求解即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：． ． 12．(24-25七上·北京延庆区·期中)探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①；    ②； ③；    ④； ⑤；    ⑥； ⑦；    ⑧． (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，______； 一个数与0进行“”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 【答案】(1)同号得正，异号得负，再把绝对值相加；正数与0“”运算得它本身，负数与0“” 运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值 (2)9 (3)不适用，例子见解析 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算； （1）观察新定义运算，类比有理数的运算法则，写出“”运算法则，即可求解； （2）根据（1）中的运算法则进行计算即可求解； （3）根据新定义运算与有理数加法结合律，分别举例计算和，即可求解． 【详解】（1）解： “”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，再把绝对值相加. 一个数与0进行“”运算时，正数与0“”运算得它本身，负数与0“”运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值 （2）解： （3）解：结合律在有理数的“”运算中不适用. 例如：           ；    这时，，所以结合律在有理数的“”运算中不适用 13．(24-25七上·北京延庆区·期中)某运动器材专卖店推出两种优惠活动，并规定只能选择其中一种． 活动一：所购买的商品均按原价打八折； 活动二：所购买的商品按原价每满200元减50元． （1）若购买一件原价为150元的运动器材，更划算的是活动 ；能省 元． （2）若购买一件原价为元的运动器材（其中在210元至400元之间），选择活动二比活动一更划算，则的取值范围是 ． 【答案】 一 30 210到250之间 【分析】本题考查有理数的乘法和减法的实际应用，列代数式，理解题意是解答的关键． （1）分别按照活动一和活动二的方案计算出活动后的价格，比较后可得到选择哪种活动更合算； （2）分别表示出按照活动一和按照活动二需付的费用，进而根据选择活动二比选择活动一更合算列出不等式求解即可． 【详解】解：（1）按照活动一需付费：（元） 按照活动二需付费：150（元） （元） 更划算的是活动一，能省30元； 故答案为：一，30． （2）解：按照活动一需付费：（元） 按照活动二需付费：元 ∵选择活动二比活动一更划算， ∴ 解得 又∵在210元至400元之间 ∴的取值范围是210到250之间． 故答案为：210到250之间． 14．(23-24七上·北京昌平区融合学区（第三组）·期中)如图是小明和小乐在学习有理数运算后的一段对话． 解： （　　）（依据：___________） （ ___________） ___________．       【答案】，有理数的减法法则，5，2 【分析】根据有理数的加法法则和加法法则计算即可． 【详解】解： （依据：有理数的减法法则） ， 故答案为：，有理数的减法法则，5，2． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 15．(23-24七上·北京人大附中北京经济技术开发区学校·期中)定义*运算：，， ，，， (1)请你仔细观察上述运算，归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，如何确定符号 ，并如何算数值 ；特别地，0和任何数进行*运算，结果都等于 ． (2)用脱式完成计算：； (3)是否存在有理数a，b，使得，若存在，写出a，b的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)同号两数运算取正号，异号两数运算取负号；再把绝对值相加；等于这个数的绝对值 (2) (3)存在，【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据题目中的例子可以将题目中的空填写完整； （2）根据（1）中的结论可以解答本题； （3）由知，据此可得答案． 【详解】（1）解：两数进行运算时，同号两数运算取正号，再把绝对值相加，异号两数运算取负号，再把绝对值相加， 特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行☆运算，等于这个数的绝对值， 故答案为：同号两数运算取正号，异号两数运算取负号；再把绝对值相加；等于这个数的绝对值； （2） ， 故答案为：； （3）存在，理由如下： ， ， ． 16．(23-24七上·北京昌平区融合学区（第三组）·期中)计算． 【答案】0 【分析】利用有理数的加减混合运算的法则解答即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算的法则与加法的运算律是解题的关键． 17．(23-24七上·北京房山区·期中)根据提示完成计算，并补全相应步骤的运算依据： 解：原式① ______________________ _______ ①依据：减去一个数，等于_______________． 将步骤①化为代数和形式填在横线上． 此步骤运用了加法________律． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数的加减法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，加号可以省略，利用加法交换律，先将同号的相加，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ①的依据：减去一个数，等于加上这个数的相反数；此步骤运用了加法交换律． 故答案为：加上这个数的相反数，交换． 地 城 考点02 有理数的乘除法 一、单选题 1．(23-24七上·北京顺义区第五中学·期中)如果，必有（    ） A．且 B．且 C．或， D．以上结论均不正确 【答案】C 【分析】根据有理数的乘法法则，即可求解． 【详解】解：如果，必有或，； 故选C． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法，熟练掌握两个有理数相乘，同号得正，异号得负是解题的关键． 2．(24-25七上·北京昌平区第一中学·期中)式子表示（   ） A．5个相乘 B．2个相乘 C．5个2相乘的积的相反数 D．2个5相乘的积的相反数 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，a叫做底数，n叫做指数． 【详解】解：式子表示2个5相乘的积的相反数． 故选D． 二、填空题 3．(23-24七上·北京顺义区第五中学·期中)平方得9的数是 ， ． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方可进行求解． 【详解】解：∵， ∴平方得9的数是； ； 故答案为；． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键． 4．(24-25七上·北京平谷区精英未来学校·期中)把67.758精确到0.1得到的近似数是 【答案】67.8 【分析】本题考查了近似数，经过四舍五入得到的数为近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．据此即可求解． 【详解】解：67.758精确到0.1得到的近似数是67.8， 故答案为：67.8． 5．(24-25七上·北京延庆区·期中)用四舍五入法将539.626精确到0.01，所得到的近似数为 ． 【答案】539.63 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 把千分位上的数字6进行“四舍五入”即可． 【详解】解：用四舍五入法将539.626精确到0.01，所得到的近似数为539.63． 故答案为：539.63． 6．(23-24七上·北京顺义区第五中学·期中)用科学记数法表示： ，用四舍五入法将取近似数并精确到，得到的值是 ． 【答案】 【分析】根据科学记数法和近似数的求法可得答案． 【详解】解：用科学记数法表示：；用四舍五入法将取近似数并精确到，得到的值是， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了科学记数法和近似数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值；经过四舍五入得到的数为近似数，从一个近似数左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 7．(23-24七上·北京昌平区融合学区（第三组）·期中)按要求取近似值： (精确到个位)． 【答案】82 【分析】把十分位上的数字7进行四舍五入即可． 【详解】解：(精确到个位)． 故答案为：82． 【点睛】本题考查了近似数，掌握通过四舍五入求近似数是解题的关键． 8．(24-25七上·北京大峪中学·期中)近似数0.302精确到 位． 【答案】千分 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握精确度的确定方法是解题的关键． 近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，据此进行求解即可． 【详解】解：近似数0.302精确到千分位． 故答案为：千分． 9．(23-24七上·北京通州区·期中)将有理数四舍五入取近似数，并且精确到百分位，结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到百分位即可作答．解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答． 【详解】解：依题意， （精确到百分位） 故答案为： 10．(24-25七上·北京昌平区第一中学·期中)将有理数2.096四舍五入取近似值，并且精确到0.01，结果是 ． 【答案】2.10 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 【详解】解：． 故答案为：2.10． 11．(24-25七上·北京通州区·期中)将有理数1.2857329精确到0.001的近似值是 ． 【答案】1.286 【分析】本题考查近似数，掌握将一个数精确到哪位，就是将这位后面的数进行四舍五入是解题关键．将千分位后面的7“五入”即得出近似值是1.286． 【详解】解：将有理数1.2857329精确到0.001的近似值是1.286， 故答案为：1.286． 12．(24-25七上·北京房山区·期中)在学习了有理数的乘法之后、有同学画出了计算流程图、如图所示： 根据以上信息、图中的①处应填的是 ，②处应填的是 ． 【答案】 取“”号 0 【分析】本题考查了有理数的乘法．根据有理数的乘法法则即可解答． 【详解】解：同号两数相乘,取“”号,并把绝对值相乘； 任何一个数与0相乘，积仍为0． 故答案为：取“”号；0． 三、解答题 13．(24-25七上·北京延庆区·期中)先阅读材料，再解决问题． 阅读材料：下面矩形框中是小明在计算的主要思考过程以及解答． 思考过程： ①观察、判断运算类型：有理数的乘法； ②再观察运算对象：异号两数； ③确定积的符号：根据两数相乘，异号得负，确定积的符号为“”； ④确定积的绝对值：根据积的绝对值等于乘数绝对值的积，因为， ，所以 ⑤得出结果： 解答： 解： 解决问题： 请你类比小明的思考过程及解答，写出计算的思考过程及解答． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法和乘法运算法则，根据有理数加法法则结合材料解答即可． 【详解】①观察、判断运算类型：有理数的加法； ②再观察运算对象：异号两数； ③确定和的符号：根据异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，因为， ，所以确定和的符号为“”； ④确定和的绝对值：根据和的绝对值等于用较大的绝对值减去较小的绝对值，所以 ； ⑤得出结果：， 解：． 14．(24-25七上·北京昌平区第一中学·期中)某同学模仿二维码的方式为学校设计了一个身份识别图案系统：在的正方形网格中，黑色正方形表示数字，白色正方形表示数字．图是某个学生的身份识别图案．约定如下：把第行，第列表示的数字记为（其中），如图，第行第列的数字，对第行使用公式进行计算，所得结果表示所在年级，表示所在班级，表示学号的十位数字，表示学号的个位数字；第二行，说明这个学生在班． (1)图代表的学生所在年级是__年级，他的学号是__； (2)请仿照图，在图中画出八年级班学号是的同学的身份识别图案． 【答案】(1)七； (2)详见解析【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是有理数的乘法，根据题意，依次求出，，，，进行解答，即可． （1）根据题意，依次求出，，，进行解答，即可； （2）根据题意，，，，，进行逆运算，画出图案，即可． 【详解】（1）解：， ， ∴图代表的学生所在年级是七年级，他的学号是． 故答案为：七；． （2）解：由题意得，八年级班学号是的同学 ∴， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∴， 图案如图所示： 15．(24-25七上·北京延庆区·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算和有理数乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据有理数乘法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．(24-25七上·北京房山区·期中)计算： (1)； (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算． （1）根据乘法分配律计算即可． （2）先计算括号里面的，再把除法转化为乘法计算括号外面的． 【详解】（1）解： （2）解： 17．(24-25七上·北京石景山京源学校·期中)计算． 【答案】0 【分析】本题主要考查了有数混合运算、有理数乘法运算律等知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键．首先根据乘法运算律将原式整理为，再进行括号内的运算，然后进行乘法运算即可． 【详解】解：原式 ． 18．(24-25七上·北京延庆区·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）利用有理数的乘法分配律求解即可； （2）先计算乘方，然后计算乘除，再计算括号里的，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．(23-24七上·北京顺义区第五中学·期中)计算与合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)11 (2) (3)15 (4) (5) (6) 【分析】（1）根据有理数的加减法可进行求解； （2）根据含乘方的有理数混合运算可进行求解； （3）根据含乘方的有理数混合运算结合乘法分配律可进行求解； （4）根据乘法分配律可进行求解； （5）根据合并同类型可进行求解； （6）根据合并同类项可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式； （6）解：原式． 【点睛】本题主要考查含乘方的有理数混合运算及合并同类项，熟练掌握各个运算是解题的关键． 20．(24-25七上·北京大峪中学·期中)计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】（）根据有理数的加减运算法则计算即可； （）根据有理数的加减运算法则和运算律计算即可； （）根据有理数的乘除运算法则计算即可； （）根据有理数的乘除运算法则计算即可； （）利用有理数的乘法分配律计算即可； （）利用有理数的乘法分配律计算即可； （）利用有理数的乘法分配律计算即可； （）根据有理数的运算法则计算即可； 本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解：原式 ， ， ； （3）解：原式 ， ； （4）解：原式 ， ； （5）解：原式 ， ， ； （6）解：原式 ， ； （7）解：原式 ， ， ， ， ； （8）解：原式 ， ， ． 21．(23-24七上·北京通州区·期中)计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，乘法运算律，化简绝对值： （1）先把有理数的减法化为加法，再运算有理数的加法，即可作答； （2）运用乘法分配律计算即可； （3）乘除法同级运算，从左到右，即可作答； （4）先化简绝对值，和运算乘方，再算除法，即可作答； 正确掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 22．(23-24七上·北京昌平区融合学区（第三组）·期中)计算． 【答案】 【分析】先算有理数的乘除运算，再算有理数的加减运算，即可作答． 【详解】解： 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数相关运算的法则和运算顺序． 23．(22-23七上·北京大兴区·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，关键是熟记有理数混合运算的顺序，运算法则与运算定律． 先确定符号，再根据有理数乘除混合运算法则进行计算． 【详解】解： ． 24．(24-25七上·北京房山区·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算． （1）把除法转化成乘法依次计算即可． （2）从左到右依次计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 25．(24-25七上·北京平谷区精英未来学校·期中)计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，正确掌握运算法则是解题的关键 （1）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减计算； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后进行加减计算； （3）利用分配律进行简便计算； （4）先计算乘方，再计算小括号内，再计算乘除法，最后进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 26．(24-25七上·北京石景山京源学校·期中)计算． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键，按照先算乘方，再算乘除的计算顺序计算即可． 【详解】 解： ． 27．(24-25七上·北京石景山京源学校·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．首先利用乘法分配律把与括号里面的每一个加数分别相乘，得到：原式，然后根据乘法法则进行计算可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 28．(24-25七上·北京通州区·期中)计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)1 (3) (4)5 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）去括号，再将分母相同的两个数分别结合为一组求解； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算； （4）根据乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 29．(24-25七上·北京昌平区第一中学·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘除，然后计算加减，即可求解． 【详解】解：原式 30．(23-24七上·北京通州区·期中)观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为．如数对，都是“共生有理数对”． (1)数对，，，其中是“共生有理数对”的是 ； (2)若是“共生有理数对”，则 （填写“是”或“不是”）“共生有理数对”，说明你的理由． 【答案】(1)， (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了新定义运算，涉及有理数的混合运算： （1）根据“共生有理数对”的定义即可列式作答； （2）根据符不符合“共生有理数对”的定义，若符合就是，否则不是； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意， ∵， ∴是“共生有理数对”， ∵，，且， ∴不是“共生有理数对”， ∵， ∴是“共生有理数对”， 故是“共生有理数数对”的有：，； （2）解：∵是“共生有理数对”， ，整理得， 把代入，得， ∴是“共生有理数对”， 故答案为：是． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 有理数的运算 2大高频考点概览 考点01 有理数的加减法 考点02 有理数的乘除法 地 城 考点01 有理数的加减法 一、单选题 1．(24-25七上·北京延庆区·期中)图中的数据是加工零件尺寸的要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：），其中不合格的是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24七上·北京通州区·期中)若a是有理数，那么下列说法一定正确的是（    ） A．当a是正有理数时，有成立 B．当a是负有理数时，有成立 C．当a是0时，有成立 D．当a是非负数时，有成立 3．(23-24七上·北京昌平区融合学区（第三组）·期中)如果两个有理数之和为负，那么（　　） A．这两个加数都是负数 B．这两个加数一正一负 C．这两个加数中一个为负数，另一个为0 D．以上都有可能 4．(23-24七上·北京房山区·期中)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示，在这个数据运算程序中，如果第1次输入的值为3，那么此次输出的结果是1．把输出值当作值返回进行第2次运算，那么第2次输出的结果是6，…，依此类推，第2023次输出的结果是（    ）    A．2 B．7 C．9 D．4 二、填空题 5．(24-25七上·北京房山区·期中)北京地铁房山线，又称“北京地铁25号线”，是北京市第十条建成运营的地铁线路若某节车厢中原有乘客20人，经过3个车站时上下车情况记录如下（下车为负、上车为正）：，，，则车上还有 人． 6．(23-24七上·北京房山区·期中)长阳音乐节在10月2日和6日成功举办，为打造房山形象，特招募了一批志愿者参与服务工作，帮助维持现场秩序．某志愿服务站点有A，，，四名志愿者，某一天每人可参与服务时间段如下表所示： 志愿者 服务时段1 服务时段2 A 已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的服务，任意时刻志愿服务站点同时最多需要2名志愿者服务，则该志愿服务站点这一天所有参与服务的志愿者的累计服务时间最短为 小时，最长为 小时（假设志愿者只要参与服务，就一定把相应时间段的任务全部完成）． A A A B B B B C C D D D D A A B B B C C C C D D D 7．(23-24七上·北京房山区·期中)已知，，且，则的值为 ． 三、解答题 8．(24-25七上·北京房山区·期中)完成计算，并补全相应步骤的运算依据． 运算依据：___________； 运算依据：___________； ___________．运算依据：异号的两个数相加，取___________的符号，并用___________． 9．(24-25七上·北京房山区·期中)计算： (1)； (2)． 10．(24-25七上·北京延庆区·期中)先阅读材料，再解决问题． 阅读材料：下面矩形框中是小明在计算的主要思考过程以及解答． 思考过程： ①观察、判断运算类型：有理数的乘法； ②再观察运算对象：异号两数； ③确定积的符号：根据两数相乘，异号得负，确定积的符号为“”； ④确定积的绝对值：根据积的绝对值等于乘数绝对值的积，因为， ，所以 ⑤得出结果： 解答： 解： 解决问题： 请你类比小明的思考过程及解答，写出计算的思考过程及解答． 11．(24-25七上·北京延庆区·期中)计算： (1)； (2)． 12．(24-25七上·北京延庆区·期中)探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①；    ②； ③；    ④； ⑤；    ⑥； ⑦；    ⑧． (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，______； 一个数与0进行“”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 13．(24-25七上·北京延庆区·期中)某运动器材专卖店推出两种优惠活动，并规定只能选择其中一种． 活动一：所购买的商品均按原价打八折； 活动二：所购买的商品按原价每满200元减50元． （1）若购买一件原价为150元的运动器材，更划算的是活动 ；能省 元． （2）若购买一件原价为元的运动器材（其中在210元至400元之间），选择活动二比活动一更划算，则的取值范围是 ． 14．(23-24七上·北京昌平区融合学区（第三组）·期中)如图是小明和小乐在学习有理数运算后的一段对话． 解： （　　）（依据：___________） （ ___________） ___________．       15．(23-24七上·北京人大附中北京经济技术开发区学校·期中)定义*运算：，， ，，， (1)请你仔细观察上述运算，归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，如何确定符号 ，并如何算数值 ；特别地，0和任何数进行*运算，结果都等于 ． (2)用脱式完成计算：； (3)是否存在有理数a，b，使得，若存在，写出a，b的值，如果不存在，请说明理由． 16．(23-24七上·北京昌平区融合学区（第三组）·期中)计算． 17．(23-24七上·北京房山区·期中)根据提示完成计算，并补全相应步骤的运算依据： 解：原式① ______________________ _______ ①依据：减去一个数，等于_______________． 将步骤①化为代数和形式填在横线上． 此步骤运用了加法________律． 地 城 考点02 有理数的乘除法 一、单选题 1．(23-24七上·北京顺义区第五中学·期中)如果，必有（    ） A．且 B．且 C．或， D．以上结论均不正确 2．(24-25七上·北京昌平区第一中学·期中)式子表示（   ） A．5个相乘 B．2个相乘 C．5个2相乘的积的相反数 D．2个5相乘的积的相反数 二、填空题 3．(23-24七上·北京顺义区第五中学·期中)平方得9的数是 ， ． 4．(24-25七上·北京平谷区精英未来学校·期中)把67.758精确到0.1得到的近似数是 5．(24-25七上·北京延庆区·期中)用四舍五入法将539.626精确到0.01，所得到的近似数为 ． 6．(23-24七上·北京顺义区第五中学·期中)用科学记数法表示： ，用四舍五入法将取近似数并精确到，得到的值是 ． 7．(23-24七上·北京昌平区融合学区（第三组）·期中)按要求取近似值： (精确到个位)． 8．(24-25七上·北京大峪中学·期中)近似数0.302精确到 位． 9．(23-24七上·北京通州区·期中)将有理数四舍五入取近似数，并且精确到百分位，结果是 ． 10．(24-25七上·北京昌平区第一中学·期中)将有理数2.096四舍五入取近似值，并且精确到0.01，结果是 ． 11．(24-25七上·北京通州区·期中)将有理数1.2857329精确到0.001的近似值是 ． 12．(24-25七上·北京房山区·期中)在学习了有理数的乘法之后、有同学画出了计算流程图、如图所示： 根据以上信息、图中的①处应填的是 ，②处应填的是 ． 三、解答题 13．(24-25七上·北京延庆区·期中)先阅读材料，再解决问题． 阅读材料：下面矩形框中是小明在计算的主要思考过程以及解答． 思考过程： ①观察、判断运算类型：有理数的乘法； ②再观察运算对象：异号两数； ③确定积的符号：根据两数相乘，异号得负，确定积的符号为“”； ④确定积的绝对值：根据积的绝对值等于乘数绝对值的积，因为， ，所以 ⑤得出结果： 解答： 解： 解决问题： 请你类比小明的思考过程及解答，写出计算的思考过程及解答． 14．(24-25七上·北京昌平区第一中学·期中)某同学模仿二维码的方式为学校设计了一个身份识别图案系统：在的正方形网格中，黑色正方形表示数字，白色正方形表示数字．图是某个学生的身份识别图案．约定如下：把第行，第列表示的数字记为（其中），如图，第行第列的数字，对第行使用公式进行计算，所得结果表示所在年级，表示所在班级，表示学号的十位数字，表示学号的个位数字；第二行，说明这个学生在班． (1)图代表的学生所在年级是__年级，他的学号是__； (2)请仿照图，在图中画出八年级班学号是的同学的身份识别图案． 15．(24-25七上·北京延庆区·期中)计算： (1)； (2)． 16．(24-25七上·北京房山区·期中)计算： (1)； (2) 17．(24-25七上·北京石景山京源学校·期中)计算． 18．(24-25七上·北京延庆区·期中)计算： (1)； (2)． 19．(23-24七上·北京顺义区第五中学·期中)计算与合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 20．(24-25七上·北京大峪中学·期中)计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 21．(23-24七上·北京通州区·期中)计算： (1) (2) (3) (4) 22．(23-24七上·北京昌平区融合学区（第三组）·期中)计算． 23．(22-23七上·北京大兴区·期中)计算：． 24．(24-25七上·北京房山区·期中)计算： (1)； (2)． 25．(24-25七上·北京平谷区精英未来学校·期中)计算 (1) (2) (3) (4) 26．(24-25七上·北京石景山京源学校·期中)计算． 27．(24-25七上·北京石景山京源学校·期中)计算：． 28．(24-25七上·北京通州区·期中)计算： (1) (2) (3) (4) 29．(24-25七上·北京昌平区第一中学·期中)计算：． 30．(23-24七上·北京通州区·期中)观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为．如数对，都是“共生有理数对”． (1)数对，，，其中是“共生有理数对”的是 ； (2)若是“共生有理数对”，则 （填写“是”或“不是”）“共生有理数对”，说明你的理由． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $