专题08 一元一次方程（期中真题汇编，北京专用北京版2024）七年级数学上学期

专题08 一元一次方程 2大高频考点概览 考点01 方程的解与解一元一次方程 考点02 一元一次方程的实际应用 地 城 考点01 方程的解与解一元一次方程 一、单选题 1．(24-25七上·北京房山区·期中)若，则下列等式不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、若，则，原式成立，不符合题意； B、当时，不成立，符合题意； C、若，则，原式成立，不符合题意； D、若，则，原式成立，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 2．(23-24七上·北京通州区·期中)按下面的程序计算，若开始输入的值x为正整数，最后输出的结果为45，则满足条件的x的所有值是 ．    【答案】3，9，21 【分析】本题主要考查了解方程的能力，注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键． 【详解】解：若，则， 若，则：， 若，则： ， 故满足条件的x的值是3或9或21． 故答案为：3或9或21． 三、解答题 3．(24-25七上·北京房山区·期中)解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 4．(24-25七上·北京房山区·期中)解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 先去括号，再移项，合并同类项，最后化系数为1即可． 【详解】解： 地 城 考点02 一元一次方程的实际应用 一、解答题 5．(23-24七上·北京房山区·期中)为了更好地使用和节约水资源，自2014年5月1日起，北京市居民生活用水开始实施阶梯水价，下表为北京市居民用水（自来水）水费收费标准： 阶梯 每户年用水量 （单位：立方米） 水单价（单位：元/立方米） 价格组成（单位：元/立方米） 水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 0～180（含180） 5 第二阶梯 180～260（含260） 7 第三阶梯 260以上 9 例如，某用户的年用水量为300立方米，按三阶梯计量应缴纳水费为： （元）． 请解答以下问题： (1)如果用户的年用水量为100立方米，则用户需缴纳的水费为________元； (2)如果用户一年缴纳的水费为1040元，则用户该年用水量为________立方米； (3)如果用户的年用水量为（）立方米，求用户该年应缴纳水费多少元？（用含的代数式表示，并化简） 【答案】(1)500 (2)200 (3)用户该年应缴纳水费元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用： （1）利用单价乘以水量即可； （2）首先得出所用自来水的范围，设未知数、根据等量关系列方程即可； （3）根据数量关系，列出算式即可； 解题的关键是明确题意，找准数量关系，列出方程． 【详解】（1）解：（元）， 答：则用户需缴纳的水费为500元， 故答案为：500． （2）（元）， 则使用自来水260立方米时，应缴纳：， 设用户该年用水量为立方米， 则1， 解得：， 答：用户该年用水量为200立方米， 故答案为：200． （3）， ， ， ， 答：用户该年应缴纳水费元． 6．(24-25七上·北京大峪中学·期中)定义：数轴上表示的数分别为．若点到点中一个点的距离与点到点中另一个点的距离之和等于点与点之间的距离，我们就称是的调和点对．例如，如图，点表示的数分别为，，，．此时，，，因此，点满足，称是的调和点对． 请根据上述材料解决下面问题： 在数轴上点表示的数分别为，且满足， (1)______；______； (2)点表示的数分别为，，，，其中可以组成的调和点对的是______； (3)若点从点以每秒个单位长度向右运动，同时点从点以每秒个单位长度向左运动，当点到达点时，点同时停止运动．设点的运动时间为秒，当为的调和点对时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（）根据非负数的性质即可求得的值； （）根据两点之间的距离分别求出，进而根据调和点对的定义即可求解； （）分点在点的左边与点的右边两种情况分类讨论，根据新定义列出方程即可求解； 本题考查了数轴上两点的距离，非负数的性质，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， 故答案为：，； （2）解：解：如图所示， ∵，，， ∴是的调和点对， 故答案为：； （3）解：由题意，秒后点对应的数为，点对应的数为， ∵当点到达点时，点同时停止运动， ∴， ∴， ∵为的调和点对， ∴或， ①当在点的左侧时： 当时，则， 解得； 当时，则， 解得， ∵当时，，此时在点的右侧，不合题意； ②当在点的右侧时，， 则， 解得； 综上所述，或． 7．(24-25七上·北京石景山京源学校·期中)，，为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离的倍，我们就称点是【，】的好点． 例如，如图，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的好点．又如，点表示的数为，点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的好点，但点是【，】的好点． 如图，，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的为． (1)数__________表示的点是【，】的好点． (2)如图，，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，现有一只蚂蚁从点出发，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的好点？ 【答案】(1)或； (2)当或或时，点，和中恰有一个点为其余两点的好点 【分析】设【，】的好点表示的数是，根据定义可以列出关于的方程，解方程求出的值即可； 当运动秒时，点表示的数为，因为点，和中恰有一个点为其余两点的好点，所以本题要分种情况进行讨论，根据材料中提供的定义列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：设【，】的好点表示的数是， 根据题意可得：， 整理得：， 或， 解方程， 可得：， 解方程， 可得：， 数或表示的点是【，】的好点， 故答案是：或； （2）解：当运动秒时，点表示的数为， 蚂蚁从点出发，到达点停止， ， 解得：， 当点是【，】的好点时， 根据题意得：， 解得：或， 不符合题意； 当点是【，】的好点时， 根据题意得：， 解得：或(不符合题意，舍去)， 当时，点是【，】的好点； 当点是【，】的好点时， 根据题意得：， 解得：或(不符合题意，舍去)， 当时，点是【，】的好点； 当点是【，】的好点时， 根据题意得：， 解得：或(不符合题意，舍去)， 当时，点是【，】的好点； 当点是【，】的好点时， 根据题意得：， 解得：， 不符合题意，舍去； 点是【，】的好点时， 根据题意得：， 解得：或(不符合题意，舍去)， 当时，点是【，】的好点． 综上所述，当或或时，点，和中恰有一个点为其余两点的好点． 【点睛】本题主要考查了绝对值、数轴上两点之间的距离、解一元一次方程、分类讨论的思想．解决本题的关键是读懂材料中所提供的定义，根据定义列方程求解，解题时还要根据点的位置关系分情况讨论． 8．(24-25七上·北京房山区·期中)对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“唯美点”、例如，数轴上点、，所表示的数分别为0，2，3，此时点是点，的“唯美点”． (1)若点表示的数为，点表示的数为3，下列各数，，5，7所对应的点分别为，，，，其中是点，的“唯美点”的是___________； (2)点表示的数为（为整数），点表示的数为，点是数轴上的一个动点，对应的数用表示．若、且点、、中有一个点恰好是其他两个点的“唯美点”，则满足条件的的值有___________个、其中整数的值为___________（用含有的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)6；或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据数轴上两点距离计算公式分别求出点A和点B到，，，四个点的距离，再根据“唯美点”的定义判断即可； （2）先求出，，再分当A是B、T的“唯美点”时， 当B是A、T的“唯美点”时， 当T是A、B的“唯美点”时，三种情况根据 “唯美点”的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ∴， ∴，是点，的“唯美点”， 故答案为：，； （2）解：由题意得，，， 当A是B、T的“唯美点”时，则或， ∴或， ∴或； 当B是A、T的“唯美点”时，则或， ∴或， ∴或， ∴或或或（舍去）； 当T是A、B的“唯美点”时，则或， ∴或， ∴或， ∴或（舍去）或或， 综上所述，或或或或或， ∴t的值一共有6个，其中整数t的值为或； 故答案为：6；或． 9．(24-25七上·北京延庆区·期中)在数轴上，对于不重合的三点，点，点，原点给出如下定义：如果点到原点的距离为，点到点的距离是的倍（为正整数），那么就把点叫做点的“倍关联点”． 例如：图①中，点表示的数是，点表示的数是2，点到原点的距离是1，点到点的距离是3，就把点叫做点的“3倍关联点”． (1)当点表示的数是时， ①如果点表示的数是6，那么点叫做点的“___倍关联点”； ②如果点是点的“2倍关联点”，那么点表示的数是______； (2)如果点表示的数是1，点是点的“倍关联点”，且点表示的数是大于－4且小于4的整数，那么整数的最大值为______． 【答案】(1)①4；②2或 (2)4 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的运算等知识点，正确理解题意是解题关键. （1）①由题意得点到原点的距离为，点到点的距离是，即可求解；②设点表示的数，点到点的距离是；由题意得，即可求解； （2）由题意得点到点的距离是；设点表示的数是，则；根据可推出，即，即可求解； 【详解】（1）解：①∵点表示的数是，点表示的数是6， ∴点到原点的距离为，点到点的距离是； ∵， ∴点叫做点的“4倍关联点”； ②设点表示的数， 点到点的距离是； ∵点是点的“2倍关联点”， ∴， 解得：2或， ∴点表示的数是2或 故答案为：①4；②2或； （2）解：∵点表示的数是1， ∴点到原点的距离为， ∵点是点的“倍关联点”， ∴点到点的距离是； 设点表示的数是，则； ∵， ∴， ∴，即， ∴整数的最大值为4， 故答案为：4． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一元一次方程 2大高频考点概览 考点01 方程的解与解一元一次方程 考点02 一元一次方程的实际应用 地 城 考点01 方程的解与解一元一次方程 一、单选题 1．(24-25七上·北京房山区·期中)若，则下列等式不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 2．(23-24七上·北京通州区·期中)按下面的程序计算，若开始输入的值x为正整数，最后输出的结果为45，则满足条件的x的所有值是 ．    三、解答题 3．(24-25七上·北京房山区·期中)解方程：． 4．(24-25七上·北京房山区·期中)解方程：． 地 城 考点02 一元一次方程的实际应用 一、解答题 5．(23-24七上·北京房山区·期中)为了更好地使用和节约水资源，自2014年5月1日起，北京市居民生活用水开始实施阶梯水价，下表为北京市居民用水（自来水）水费收费标准： 阶梯 每户年用水量 （单位：立方米） 水单价（单位：元/立方米） 价格组成（单位：元/立方米） 水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 0～180（含180） 5 第二阶梯 180～260（含260） 7 第三阶梯 260以上 9 例如，某用户的年用水量为300立方米，按三阶梯计量应缴纳水费为： （元）． 请解答以下问题： (1)如果用户的年用水量为100立方米，则用户需缴纳的水费为________元； (2)如果用户一年缴纳的水费为1040元，则用户该年用水量为________立方米； (3)如果用户的年用水量为（）立方米，求用户该年应缴纳水费多少元？（用含的代数式表示，并化简） 6．(24-25七上·北京大峪中学·期中)定义：数轴上表示的数分别为．若点到点中一个点的距离与点到点中另一个点的距离之和等于点与点之间的距离，我们就称是的调和点对．例如，如图，点表示的数分别为，，，．此时，，，因此，点满足，称是的调和点对． 请根据上述材料解决下面问题： 在数轴上点表示的数分别为，且满足， (1)______；______； (2)点表示的数分别为，，，，其中可以组成的调和点对的是______； (3)若点从点以每秒个单位长度向右运动，同时点从点以每秒个单位长度向左运动，当点到达点时，点同时停止运动．设点的运动时间为秒，当为的调和点对时，直接写出的值． 7．(24-25七上·北京石景山京源学校·期中)，，为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离的倍，我们就称点是【，】的好点． 例如，如图，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的好点．又如，点表示的数为，点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的好点，但点是【，】的好点． 如图，，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的为． (1)数__________表示的点是【，】的好点． (2)如图，，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，现有一只蚂蚁从点出发，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的好点？ 8．(24-25七上·北京房山区·期中)对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“唯美点”、例如，数轴上点、，所表示的数分别为0，2，3，此时点是点，的“唯美点”． (1)若点表示的数为，点表示的数为3，下列各数，，5，7所对应的点分别为，，，，其中是点，的“唯美点”的是___________； (2)点表示的数为（为整数），点表示的数为，点是数轴上的一个动点，对应的数用表示．若、且点、、中有一个点恰好是其他两个点的“唯美点”，则满足条件的的值有___________个、其中整数的值为___________（用含有的代数式表示）． 9．(24-25七上·北京延庆区·期中)在数轴上，对于不重合的三点，点，点，原点给出如下定义：如果点到原点的距离为，点到点的距离是的倍（为正整数），那么就把点叫做点的“倍关联点”． 例如：图①中，点表示的数是，点表示的数是2，点到原点的距离是1，点到点的距离是3，就把点叫做点的“3倍关联点”． (1)当点表示的数是时， ①如果点表示的数是6，那么点叫做点的“___倍关联点”； ②如果点是点的“2倍关联点”，那么点表示的数是______； (2)如果点表示的数是1，点是点的“倍关联点”，且点表示的数是大于－4且小于4的整数，那么整数的最大值为______． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $