专题08 一元一次方程（期中真题汇编，北京专用人教版2024）七年级数学上学期

专题08 一元一次方程 2大高频考点概览 考点01 方程的解与解一元一次方程 考点02 一元一次方程的实际应用 地 城 考点01 方程的解与解一元一次方程 一、单选题 1．(20-21七上·北京大兴区·期末)下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．(24-25七上·北京西城外国语学校·期中)下列式子的变形中，正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 3．如果x＝2是方程x+a＝﹣1的解，那么a的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣6 4．(23-24七上·北京第八中学·期中)若是关于的方程的解，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．(24-25七上·北京日坛中学·期中)如果x与y两个量成反比例关系，且x与y的两组对应值如表，那么m的值是（　　） x 15 60 y 8 m A．2 B．0 C．32 D．53 二、填空题 6．(22-23七上·北京二中教育集团·期末)如果是关于x的方程的解，那么m的值是 ． 7．(24-25七上·北京朝阳区将府实验学校·期中)等式中，若x是整数，则整数a的取值是 ． 三、解答题 8．(24-25七上·北京丰台区第二中学·期中)解方程 (1) (2) 9．(24-25七上·北京东城区东直门中学·期中)解方程： (1)； (2)． 10．(24-25七上·北京西城外国语学校·期中)我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”，例如：的解为，且，则该方程是和解方程． 请根据上边规定解答下列问题： (1)判断是否为和解方程； (2)若关于的一元一次方程是和解方程，求的值． 11．(24-25七上·北京西城外国语学校·期中)解方程：； 地 城 考点02 一元一次方程的实际应用 一、单选题 1．(23-24七上·北京丰台区·期末)幻方是一种中国传统的数字游戏．游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数字和都相等．右图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中a的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D．12 二、填空题 2．(24-25七上·北京西城区德胜中学·期中)如图，点A，B为数轴上的两点，O为原点，A，B表示的数分别是x，，B，O两点之间的距离等于A，B两点间的距离，则x的值是 ． 3．(24-25七上·北京朝阳外国语学校·期中)如图，在数轴上有一点，将点向右移动1个单位得到点，点向右移动2个单位得到点，点、、分别表示有理数、、．、、三点在数轴上的位置如图所示，、、三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则的值为 ． 三、解答题 4．(24-25七上·北京第五中学分校·期中)如图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ (2)“型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，的值能否等于74？若能，求的值；若不能，说明理由． 5．(24-25七上·北京第二十二中学·期中)下列每一幅图都是由单位长度均为1的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的． (1)根据规律，第4个图中白色小正方形共有_____个，灰色小正方形共有_____个； (2)第个图形中，白色小正方形共有_____个，灰色小正方形共有_____个（用含的式子表示，为正整数）； (3)白色小正方形可能比灰色小正方形正好多64个吗？如果可能，求出的值；如果不可能，请说明理由． 6．(24-25七上·北京东城区东直门中学·期中)如图，数轴上有A、B、C三个点分别表示数，，16，有两条动线段和 (点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左侧．点M在点N的左侧)，点P到点Q的距离，点M到点N的距离．线段以每秒1个单位长度的速度从点B开始一直向右匀速运动；同时线段以每秒3个单位长度的速度从点A开始向右匀速运动，当点Q运动到点C时，线段立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段、同时停止运动(整个运动过程中，线段和保持长度不变)．设运动时间为t秒． (1)当时，点M表示的数为 ，点Q表示的数为 ； (2)在整个运动过程中，当时，求出点M表示的数． 7．(22-23七上·北京通州区·期末)已知：点A、B、P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，则称P是的“k倍点”，记作：．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，则P是的“2倍点”，记作：． (1)如图， A、B、P为数轴上三点，回答下面问题： ① ； ②若点C在数轴上且，则点C表示的数为 ； ③点D是数轴上一点，且，求点D所表示的数． (2)数轴上，点E表示的数为，点F表示的数为50，从某时刻开始，若点M从原点O出发向右在数轴上做匀速直线运动，且M的速度为5单位/秒，设运动时间为t秒（）当时，请求出t的值． 8．(24-25七上·北京西城区德胜中学·期中)【阅读定义】 在数轴上有三个点，若其中一点分别与另外两点组成的线段长度恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“二倍和谐点”． 【理解定义】 （1）如图1，点A，B，C在数轴上，如果，我们就可以认为点A是点B与点C的“二倍和谐点”，此时点B 点A与点C的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”），点C 点A与点B的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”）； 【迁移运用】 （2）点D，E，F在数轴上，点D表示的数为2，点E表示的数为4，如果点D是点E与点F的“二倍和谐点”，则点F表示的数是 ； （3）如图2，点O是数轴的原点，点P表示的数为－5，点Q表示的数为1．点K从P点出发，在数轴上以每秒4个单位的速度向右运动．若在点K运动的同时，线段在数轴上以每秒2个单位的速度向右运动，点M在线段上，满足，且点M也随一起运动，点N也同时从原点出发，在数轴上以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．当点K位于点M右侧且点M是点K与点N的“二倍和谐点”时，求点K此时表示的数． 9．(24-25七上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·月考)随着祖国的日益强大，经济发展迅速，人民的生活越来越好，幸福指数也越来越高．王老师在数学课上给出了定义：在数轴上，若点到点A的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”；若点C到点A、B的距离之和为6，则称点C为点、的“幸福中心”． 【初步应用】 （1）若点A表示的数是，则点A的“幸福点”点C表示的数是___________； （2）已知点M表示的数是m，点N表示的数是n，且．若点为点、的“幸福中心”，则点表示的数可以是___________（填一个满足要求的数即可）； 【深入理解】（3）若点A表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，一个电子蚂蚁Q从点P出发，以2单位/秒的速度沿数轴向左运动，若经过t秒电子蚂蚁Q是点、的“幸福中心”，求出t的值． 【综合应用】 （4）在（3）的条件下，在数轴上存在点C（点C与点B不重合），使得电子蚂蚁Q既是、B的“幸福中心”又是、的“幸福中心”，请直接写出点C表示的数． 10．(24-25七上·北京第五中学分校·期中)已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； (2)若8表示的点与表示的点重合，回答下列问题： ①数轴上A，B两点间的距离为2022（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示数分别为 ， ． ②在①的条件下，点C为数轴上的一个动点，从点O出发，以2个单位每秒的速度向右运动，求当时间t为多少秒时，之间的距离恰好是之间距离的2倍． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一元一次方程 2大高频考点概览 考点01 方程的解与解一元一次方程 考点02 一元一次方程的实际应用 地 城 考点01 方程的解与解一元一次方程 一、单选题 1．(20-21七上·北京大兴区·期末)下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、若，则，本选项正确，不符合题意； B、若，则，本选项正确，不符合题意； C、若，则，本选项正确，不符合题意； D、若，只有当时，才成立，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是等式的基本性质，熟知等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解答此题的关键． 2．(24-25七上·北京西城外国语学校·期中)下列式子的变形中，正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，一元一次方程的变形，掌握移项，去括号，系数化为1的方法是解题的关键．根据等式的性质，解一元一次方程的方法进行判定即可． 【详解】解：A、根据移项，由得，原选项变形错误，不符合题意； B、根据移项，由得，原选项变形正确，符合题意； C、根据系数化为1，由得，原选项变形错误，不符合题意； D、根据去括号，由得，原选项变形错误，不符合题意； 故选：B ． 3．如果x＝2是方程x+a＝﹣1的解，那么a的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣6 【答案】A 【分析】把x＝2代入方程x+a＝﹣1，得出关于a的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把x＝2代入方程x+a＝﹣1得：2a＝﹣1， 解得：a＝﹣2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解及解法，熟练掌握一元一次方程的解及解法是解题的关键． 4．(23-24七上·北京第八中学·期中)若是关于的方程的解，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，将代入方程，即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ 解得： 故答案为：D． 5．(24-25七上·北京日坛中学·期中)如果x与y两个量成反比例关系，且x与y的两组对应值如表，那么m的值是（　　） x 15 60 y 8 m A．2 B．0 C．32 D．53 【答案】A 【分析】此题考查了反比例关系，根据反比例的定义列关于m的方程并求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故选：A． 二、填空题 6．(22-23七上·北京二中教育集团·期末)如果是关于x的方程的解，那么m的值是 ． 【答案】4 【分析】把代入方程得到关于的方程，求得的值即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得：． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是关键． 7．(24-25七上·北京朝阳区将府实验学校·期中)等式中，若x是整数，则整数a的取值是 ． 【答案】或1或3或5 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；由题意易得方程的解为，然后问题可求解． 【详解】解：由可得：， ∵x是整数，a也是整数， ∴3是的倍数， ∴或1或3或5； 故答案为或1或3或5． 三、解答题 8．(24-25七上·北京丰台区第二中学·期中)解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤——去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，并针对方程的特点灵活应用是解题的关键． （1）通过移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步求解，即可得出答案． （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步求解，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． （2）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 9．(24-25七上·北京东城区东直门中学·期中)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程常见的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解题的关键． （1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1的过程，求解即可； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的过程，求解即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得． 10．(24-25七上·北京西城外国语学校·期中)我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”，例如：的解为，且，则该方程是和解方程． 请根据上边规定解答下列问题： (1)判断是否为和解方程； (2)若关于的一元一次方程是和解方程，求的值． 【答案】(1)是和解方程，理由见解析； (2)的值为． 【分析】（）根据新定义代入判断即可； （）根据和解方程得出关于的方程，求出方程的解即可． 本题考查的是新定义情境下的一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：是和解方程，理由： 由可得， ，解得：， ∴， ∴是和解方程； （2）解：根据题意得：， 又， ∵关于的一元一次方程是和解方程， ∴， 解得：， ∴的值为． 11．(24-25七上·北京西城外国语学校·期中)解方程：； 【答案】 【来源】北京市西城外国语学校2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 地 城 考点02 一元一次方程的实际应用 一、单选题 1．(23-24七上·北京丰台区·期末)幻方是一种中国传统的数字游戏．游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数字和都相等．右图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中a的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．由第三行和第三列上的数字和相等，可得出左下角的数字为，由第二行和每条斜对角线上的数字和都相等，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵第三行和第三列上的数字和相等， ∴左下角的数字为，如图所示， 根据题意得：， 解得：． 故选：B． 二、填空题 2．(24-25七上·北京西城区德胜中学·期中)如图，点A，B为数轴上的两点，O为原点，A，B表示的数分别是x，，B，O两点之间的距离等于A，B两点间的距离，则x的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离，解一元一次方程，依题意得，求解即可，熟练掌握数轴上的两点之间距离的求解是解题的关键． 【详解】解：依题意得： 解得：， 故答案为：． 3．(24-25七上·北京朝阳外国语学校·期中)如图，在数轴上有一点，将点向右移动1个单位得到点，点向右移动2个单位得到点，点、、分别表示有理数、、．、、三点在数轴上的位置如图所示，、、三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是有理数的乘法、一元一次方程、数轴，解题的关键是掌握有理数的乘法法则、灵活运用分类讨论思想解决． 根据数轴、结合题意设的值为，分情况列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的值为，则的值为，的值为， 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，符合题意， 故答案是：． 三、解答题 4．(24-25七上·北京第五中学分校·期中)如图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ (2)“型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，的值能否等于74？若能，求的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)小明是星期二出发的 (2)的值不能等于，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设小明出发的日期是，根据题意得一元一次方程，然后解方程即可； （2）根据月历的特点可得另外三个数为，，，则解方程得到，由于10月15日在第一列，故此时不能出现“S型”，据此可得结论． 【详解】（1）解：设小明出发的日期是，则另外两天的日期分别是，， 根据题意得：，解得：， 月日是星期二， 小明是星期二出发的； （2）解：的值不能等于，理由如下： 假设的值能等于， “型”阴影覆盖的最小数字为， “型”阴影覆盖的另外三个数字分别为，，， 根据题意得：， 解得：， 月日是星期日，在第一列， 不符合题意，舍去， 假设不成立，即的值不能等于． 5．(24-25七上·北京第二十二中学·期中)下列每一幅图都是由单位长度均为1的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的． (1)根据规律，第4个图中白色小正方形共有_____个，灰色小正方形共有_____个； (2)第个图形中，白色小正方形共有_____个，灰色小正方形共有_____个（用含的式子表示，为正整数）； (3)白色小正方形可能比灰色小正方形正好多64个吗？如果可能，求出的值；如果不可能，请说明理由． 【答案】(1)28；8 (2)； (3)可能； 【分析】此题考查了图形变化类规律问题； （1）根据题意归纳出本题第n个图中共有个小正方形，其中灰色小正方形个，白色小正方形共有个，再将代入计算即可； （2）由（1）可知，第n个图形中共有灰色小正方形个，白小正方形个数为个； （3）根据题意可得到，从而可求解． 【详解】（1）解：∵第1个图中共有个小正方形，其中灰色小正方形共有2个，白色小正方形共有个， 第2个图中共有个小正方形，其中灰色小正方形共有个，白色小正方形共有个， 第3个图中共有个小正方形，其中灰色小正方形共有个，白色小正方形共有个， …， ∴第n个图中共有个小正方形，其中灰色小正方形共有个，白色小正方形共有个， ∴第4个图中共有个小正方形，其中灰色小正方形共有个，白色小正方形共有个， 故答案为：28，； （2）由（1）可知，第n个图形中灰色小正方形共有个，白小正方形个数共有个， 故答案为：，； （3）设第个图形白色小正方形比灰色小正方形正好多个， 得，   解得， ∴可能白色小正方形比灰色小正方形正好多64个． 6．(24-25七上·北京东城区东直门中学·期中)如图，数轴上有A、B、C三个点分别表示数，，16，有两条动线段和 (点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左侧．点M在点N的左侧)，点P到点Q的距离，点M到点N的距离．线段以每秒1个单位长度的速度从点B开始一直向右匀速运动；同时线段以每秒3个单位长度的速度从点A开始向右匀速运动，当点Q运动到点C时，线段立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段、同时停止运动(整个运动过程中，线段和保持长度不变)．设运动时间为t秒． (1)当时，点M表示的数为 ，点Q表示的数为 ； (2)在整个运动过程中，当时，求出点M表示的数． 【答案】(1)8； (2)或2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． （1）利用时间＝路程÷速度，可求出点Q到达点C、点Q返回点A及点N到达点C所需时间，由线段，的运动方向、运动速度、运动时间及两线段的长，可得出当时，点M，Q表示的数； （2）当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为，根据，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入中可得出点M表示的数；当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为，根据，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入中可得出点M表示的数． 【详解】（1）解：（秒），（秒），（秒）． 根据题意得：当时， 点N表示的数为， 点Q表示的数为． ∵，且点M在点N的左侧， ∴当时，点N表示的数为． 故答案为：8；． （2）解：当时，点P表示的数为， 点Q表示的数为， 点M表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴； 当时，点P表示的数为， 点Q表示的数为， 点M表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴． 答：在整个运动过程中，当时，点M表示的数为或2． 7．(22-23七上·北京通州区·期末)已知：点A、B、P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，则称P是的“k倍点”，记作：．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，则P是的“2倍点”，记作：． (1)如图， A、B、P为数轴上三点，回答下面问题： ① ； ②若点C在数轴上且，则点C表示的数为 ； ③点D是数轴上一点，且，求点D所表示的数． (2)数轴上，点E表示的数为，点F表示的数为50，从某时刻开始，若点M从原点O出发向右在数轴上做匀速直线运动，且M的速度为5单位/秒，设运动时间为t秒（）当时，请求出t的值． 【答案】(1)①4；②2；③3或11 (2)t的值为7或16 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离、动点问题： （1）分别根据新定义可解答； （2）根据点M运动的速度可得M运动t秒表示的数为，分点M在点F的左边和右边，根据新定义列方程可解答． 动点问题中熟练应用公式：路程=速度×时间，认真理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵点P表示，点A表示，点B表示5， ，， 则P是的“4倍点”，记作：； 故答案为：4； ②∵点C在数轴上且， ∴点C表示的数为：； 故答案为：2； ③， ， ∵点A表示，点B表示5， 或6， ∴点D所表示的数为3或11； 故答案为：3或11． （2）解：设点M在数轴上表示的数为a， ， ， ∵点E表示的数为，点F表示的数为50， ， 或80， 当点M运动到点F的左边时，，解得：； 当点M运动到点F的右边时，，解得：； 综上所述，t的值为7或16． 8．(24-25七上·北京西城区德胜中学·期中)【阅读定义】 在数轴上有三个点，若其中一点分别与另外两点组成的线段长度恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“二倍和谐点”． 【理解定义】 （1）如图1，点A，B，C在数轴上，如果，我们就可以认为点A是点B与点C的“二倍和谐点”，此时点B 点A与点C的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”），点C 点A与点B的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”）； 【迁移运用】 （2）点D，E，F在数轴上，点D表示的数为2，点E表示的数为4，如果点D是点E与点F的“二倍和谐点”，则点F表示的数是 ； （3）如图2，点O是数轴的原点，点P表示的数为－5，点Q表示的数为1．点K从P点出发，在数轴上以每秒4个单位的速度向右运动．若在点K运动的同时，线段在数轴上以每秒2个单位的速度向右运动，点M在线段上，满足，且点M也随一起运动，点N也同时从原点出发，在数轴上以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．当点K位于点M右侧且点M是点K与点N的“二倍和谐点”时，求点K此时表示的数． 【答案】（1）不是，是；（2）点F表示的数是或或或；（3）点此时所代表的数为或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用里的动点问题，数轴上表示数，数轴上两点间的距离等知识， 理解“双倍和谐点”的定义是解决本题的关键． （1）根据“二倍和谐点”的定义求解即可； （2）根据“二倍和谐点”的定义分四种情况分别求解即可； （3）根据“二倍和谐点”的定义点表示的数为，由题意得到点移动后表示的数为， 点移动后表示的数为， 点移动后表示的数是，则，，分①，②两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴点是的中点， ∴，， ∴点B不是点A与点C的“二倍和谐点”， 点C是点A与点B的“二倍和谐点”， 故答案为：不是，是； （2）设点表示的数为， ①当点在点左侧，时， ， 解得：， ②当点在点左侧，时， ， 解得：， ③当点在点右侧，时， ， 解得：， ④当点在点右侧，时， ， 解得：， ∴点F表示的数是或或或； （3）设点表示的数为， 则：， ∴， ∴点表示的数为， 由题意得：点移动后表示的数为， 点移动后表示的数为， 点移动后表示的数是， ∴， ∵点位于点右侧， ∴， ①， ∴， 当时，， 即， ∴， 当时， ， ∴，方程无解，舍去， ②， ∴， 当时， ， 即， ∴， 当时， ， 即， ∴， 当 时， ， 当时， ， 当时，，线段为负，不合题意，舍去， ∴当点位于点右侧且点是点与点N的“双倍和谐点”时， 点此时所代表的数为或． 9．(24-25七上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·月考)随着祖国的日益强大，经济发展迅速，人民的生活越来越好，幸福指数也越来越高．王老师在数学课上给出了定义：在数轴上，若点到点A的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”；若点C到点A、B的距离之和为6，则称点C为点、的“幸福中心”． 【初步应用】 （1）若点A表示的数是，则点A的“幸福点”点C表示的数是___________； （2）已知点M表示的数是m，点N表示的数是n，且．若点为点、的“幸福中心”，则点表示的数可以是___________（填一个满足要求的数即可）； 【深入理解】（3）若点A表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，一个电子蚂蚁Q从点P出发，以2单位/秒的速度沿数轴向左运动，若经过t秒电子蚂蚁Q是点、的“幸福中心”，求出t的值． 【综合应用】 （4）在（3）的条件下，在数轴上存在点C（点C与点B不重合），使得电子蚂蚁Q既是、B的“幸福中心”又是、的“幸福中心”，请直接写出点C表示的数． 【答案】（1）或；（2）（答案不唯一）；（3）或 秒；（4）或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴和两点间的距离，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键；注意数轴的三要素：原点、正方向、单位长度；能够正确表示数轴上两点间的距离，两点所对应的数的差的绝对值； （1）根据题中所给定义可直接进行求解； （2）先求得，，再根据“幸福中心”的定义可直接进行求解； （3）由题意可分两种情况列式：①点在点和点之间，②点在点的左侧讨论； 进而分类求解即可； （4）根据题意，结合数轴，在（3）的条件下，根据新定义得，分类讨论，即可求解； 【详解】解：（1）表示的数为或， 故答案为：或； （2）由题意可得：，， ∴点表示的数是，点表示的数是， ∴点、的距离为， ∵点为点、的“幸福中心”， ∴点在点、之间， 即点表示的数可以是与之间的数， ∴点表示的数可以是，故答案为：（答案不唯一）； （3）由题意可得、之间的距离为，故有两种可能： 设经过秒点是、的“幸福中心”，则点表示的数为， ①点Q在点B和点P之间，则有：， 解得：， ②点在点的左侧，则有， 解得：， 综上所述：当经过或 秒时，点Q是、的“幸福中心”； （4）由（3）可得，当时，点Q表示的数为 ， ∴，之间的距离为， ∵点是、的“幸福中心”， ， ∵点与点不重合， ∴点在点的右侧， ∴点表示的数是； 当，点表示的数为， ∴，之间的距离为， ∵点是、的“幸福中心”， ， ∵点与点不重合，则点在点的左侧， ∴点表示的数是； 综上所述，点表示的数为或； 10．(24-25七上·北京第五中学分校·期中)已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； (2)若8表示的点与表示的点重合，回答下列问题： ①数轴上A，B两点间的距离为2022（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示数分别为 ， ． ②在①的条件下，点C为数轴上的一个动点，从点O出发，以2个单位每秒的速度向右运动，求当时间t为多少秒时，之间的距离恰好是之间距离的2倍． 【答案】(1) (2)①；；②170秒或1518秒 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解绝对值方程： （1）先根据题意可求出折叠中心表示的数为，再根据折叠后互相重合的两点到折叠中心的距离相等进行求解即可； （2）①先求出折叠中心表示的数为，再求出点A和点B到折叠中心的距离都为1011，据此根据数轴上两点距离计算公式求出点A和点B表示的数即可；②点C表示的数为，则，，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵折叠数轴1表示的点与表示的点重合， ∴折叠中心表示的数为， ∴表示的点与的点重合， 故答案为：； （2）解：①∵折叠数轴8表示的点与表示的点重合， ∴折叠中心表示的数为， ∵数轴上A，B两点间的距离为2022（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合， ∴点A和点B到折叠中心的距离都为1011， ∴点A表示的数为，点B表示的数为， 故答案为：；； ②由题意得，点C表示的数为， ∴，， ∵之间的距离恰好是之间距离的2倍， ∴， ∴或， 解得或， ∴当时间t为170秒或1518秒时，之间的距离恰好是之间距离的2倍． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $