专题10 解题技巧专题：含30°角的直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半（题型专练）-2025-2026学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

专题10含30°角的直角三角形 斜边上的 中线等于斜边的一半 题型导航 目录 【题型一 利用含30°的直角三角形的性质求解】 ..1 【题型二 利用含30°的直角三角形的性质证明】 .4 【题型三 利用含30°的直角三角形的性质解决动点问题】 7 【题型四利用含30°的直角三角形的性质解决最值问题】 .11 【题型五利用直角三角形斜边的中线求长度】 .14 【题型六利用直角三角形斜边的中线求角度】 16 【题型七利用直角三角形斜边的中线证明】 … 。。。 18 【题型八直角三角形斜边的中线的实际应用】 21 典例探究 知识点 定理1 直角三角形的两个锐角互余： 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对 直角三角形斜边上的中线等 的直角边等于斜边的一半； 定理2 于斜边的一半 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那 么这条直角边所对的角等于30°， 【题型一利用含30°的直角三角形的性质求解】 例题：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4,则AC的长是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角所对的直角边等于斜边的一半是解 题的关键.根据含30度角所对的直角边等于斜边的一半求解即可. 【详解】解：∠C=90°，∠B=30°，AB=4, 1 AC=AB=二×4=2， 2 故选：B. B 【变式训练】 1.(24-25八年级上湖北武汉期中)如图，在ABC中，∠C=30°，AD1AB,垂足为A,交BC于点D, 过点D的直线m恰好垂直平分线段AC,若AD=3,则BC的长是() m B A.6 B.9 C.12 D.18 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和定 理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD=3，由 ∠C=30°，AD⊥AB,得到∠B=30°，进而得出BD=2AD=6,即可求解 【详解】解：：直线m恰好垂直平分线段AC,AD=3, CD=AD=3, .∠CAD=∠C=30°， :AD⊥AB, ∠BAD=90°， 2 LBAC=∠BAD+∠CAD=90°+30°=120°， :∠B=180°-∠BAC-∠C=30°， :BD=2AD=6, BC=BD+CD=6+3=9, 故选：B 2.(24-25八年级上安微合肥期末)如图，ABC是等边三角形，D、E分别是边AC、BC上的点，且 AD=CE.AE与BD相交于点P,BF⊥AE于点F,若PF=3,PD=1,则AE的长为 【答案】7 【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，证△ABD≌aCAE,推 出∠ABD=LCAE,求出LBPF=∠APD=60°，得出∠PBF=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出即 可 【详解】解：：ABC是等边三角形， .AB=AC,∠BAC=∠C=60°， 在△ABD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠C, AD=CE :△ABD≌△CAE(SAS, ∴.∠ABD=∠CAE,BD=AE, :LAPD=∠ABD+∠PAB=LCAE+∠PAB=∠BAC=60°， ∴∠BPF=∠APD=60°， :∠BFP=90°，∠BPF=60°， ∴.∠PBF=30°， .BP=2PF=2×3=6, PD=1, ∴.BD=BP+PD=6+1=7, ·AE=BD=7. 故答案为：7. 【题型二利用含30°的直角三角形的性质证明】 例题：(23-24八年级上江苏南通·期末)如图，ABC中，AB=AC,D是边AB上一点，过点D作 DE⊥BC,垂足为E,交CA的延长线于点F. B （1)求证：AD=AF; (2)若∠B=2∠F,BE=2,CF=16,求BC的长. 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定以及用含30°直角三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形 的性质和角度关系进行推理计算。 (1)利用AB=AC得到∠B=∠C,结合直角三角形两锐角互余，通过角的等量代换证明角相等，进而得出 线段相等： (2)根据已知∠B=2LF,∠B=∠C,求出∠F=30°，再利用含30°直角三角形的性质求出线段长度，从而 得出BC的长 【详解】(1)证明：：AB=AC, .∠B=∠C, :DE⊥BC, LFEC=LDEB=90°， ∠C+∠F=90,∠B+∠BDE=90°， ∴.∠BDE=∠F, :∠BDE=∠ADF, ∠ADF=∠F, :AF AD (2)解：：LB=2LF,LB=C, ∠C=2LF, ∠C+LF=90°， .∠F=30°， :∠FEC=90°，CF=16, 1 :CE=2CF=8, BE=2, BC=BE+CE=8+2=10. 【变式训练】 1.(24-25七年级下山东东营阶段练习)如图，在ABC中，AD垂直平分BC,垂足为D,过点D作 DF⊥AB,垂足为F,FD的延长线与AC边的延长线交于点E,∠E=30°. B F (1)求证： ABC是等边三角形； 2)求证：BF=AE. 6 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)根据AD垂直平分BC得AB=AC,再根据EF⊥AB,∠E=30°得∠BAC,由此即可得出结 论； (2)先根据AD垂直平分BC得出BD=CD=】BC.再证明CE=CD,然后根据等边三角形与直角三角形 的性质即可得出结论. 【详解】(1)证明：：AD垂直平分BC, :AB=AC, :EF⊥AB,∠E=30°， ∠BAC=90°-∠E=60°， :△ABC为等边三角形； (2)解：AE=6BF,理由如下： :AD垂直平分BC, :.BD=CD=IBC, :ABC是等边三角形， .∠B=60°， 又：∠BFD=90°， ∠BDF=30°，∠EDC=30°， 又：∠E=30°， .CE=CD, :在直角BDF中，BF=BD=CD=CE=BC, 2 2 .AE AC+CE BC+CE =4BF+2BF=6BF, BF=二AE. 6 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三 角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，30°的角所对的 直角边等于斜边的一半是解决问题的关键， 2.(24-25八年级下.湖南娄底期中)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC,DE1AB于E, 连接CE,交AD于点F. B (1)求证：AE=AC; (2)若∠BAC=60°，AD=10,求DF的长， 【答案】(1)见解析 6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握 30度角所对的直角边等于斜边一半是解题关键， (1)利用“AAS"证明出△AED≌△ACD(AAS),即可得出结论； (2)证明△ACE是等边三角形，根据等边三角形三线合一的性质，得到∠CAD=30°，AD⊥CE,再利用 30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可. 【详解】(1)证明：：∠ACB=90°，DE1AB, .∠AED=∠ACD=90°， :AD平分∠BAC, .LEAD=∠CAD, 在△AED和△ACD中， ∠EAD=∠CAD ∠AED=∠ACD, AD=AD △AED≌△ACD(AAS), .:.AE=AC (2)解： ∠BAC=60°，AE=AC, :△ACE是等边三角形， .∠ACE=60°， :AD平分∠BAC, .∠CAD=30°，AD⊥CE, :∠ACB=90°，AD=10, CD=4D=5, 在RtACFD中，∠DCF=LACB-∠ACE=30°， Γ2 【题型三利用含30°的直角三角形的性质解决动点问题】 例题：(24-25八年级下湖南益阳·期末)如图，在ABC中，∠C=90°，AC=3,∠B=30°，P是边BC上 的动点（点P不与点C,B重合)，则AP的取值范围是_ 【答案】3<AP<6 【分析】本题考查垂线段最短，含30°角的直角三角形的性质，掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的 关键.利用垂线段最短分析可知：AP与AC重合时为3，根据含30°角的直角三角形的性质得出AB=6,结 合点P不与点C,B重合，由此可得到答案， 【详解】解：根据垂线段最短，可知AP的最小值为3， :在ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3, .AB=2AC=6, :点P不与点C,B重合， ∴AP的取值范围是3<AP<6, 故答案为：3<AP<6. 【变式训练】 1.(24-25八年级下河南郑州期中)如图，等边三角形ABC的边长为9，D为AC边上一动点，E为AB延 长线上一动点，DE交CB于点P,点P为DE中点.若DE⊥AC,则CD长为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【分析】过点D作DF∥AB,交BC于F,先证CDF是等边三角形，再证△PDF≌△PEB,得CD=BE, 设BE=x,则BE=CD=x,AD=9-x,AE=9+x,最后根据在直角三角形中，30°的角所对的边是斜边的 半，计算9-=9列，即可。 【详解】解：如下图，过点D作DF∥AB,交BC于F, :△ABC是等边三角形， ⊙ E :∠A=∠ABC=∠C=60°， DF∥AB, ∴，∠CDF=∠A=60°，∠DFC=∠ABC=60°，∠DFP=∠EBP, :△CDF是等边三角形， :CD=DF, :点P为DE中点， :PD PE, 在△PDF和△PEB中， I∠DFP=∠EBP ∠DPF=∠EPB, PD=PE △PDF≌△PEB, .DF BE :CD=BE, :DE⊥AC, ∠ADE=90°， ∠E=90°-∠A=30°， 设BE=x,则BE=CD=x,AD=9-x,AE=9+x, 1 .9-x=。×9+x, 解得：x=3, CD=3, 故选：B. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，在直角三角形 中，30°的角所对的边是斜边的一半，解题的关键是作辅助线证明△PDF≌△PEB, 2.（24-25八年级上河南商丘·期末)如图，ABC是边长为21cm的等边三角形，动点P,Q同时从A,B 9 两点出发，分别沿AB,BC方向匀速移动，其中点P运动的速度是4cm/s,点Q运动的速度是3cm/s,当 点P到达点B时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t(s),解答下列问题： B (1)在点P与点Q的运动过程中，BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t,若不能，请说明理由， (2)当t为何值时，BPQ是直角三角形？ 【答案】(1)能，当t=3s时，BPQ是等边三角形 2)当1=2.1s或1=42 时，BPQ是直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握含30°的直角 三角形的性质是解题关键。 (1)由等边三角形的性质列方程即可求解； (2)分情况讨论，由含30度角的直角三角形的性质列方程即可求解 【详解】(1)解：能，：ABC为等边三角形， 根据题意得AP=4tcm,BQ=3tcm, .BP =(21-4t cm .∠B=60°. ∴.BP=BQ时， BPO为等边三角形 21-4t=3t, 解得t=3; 当t=3时， BPQ是等边三角形， (2).AP 4tcm, BO=3tcm, .BP =(21-4t cm 当∠BQP=90°时， :∠B=60°. ·.∠BPQ=30°， 10 专题10 含30°角的直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半 目录 【题型一 利用含30°的直角三角形的性质求解】 1 【题型二 利用含30°的直角三角形的性质证明】 2 【题型三 利用含30°的直角三角形的性质解决动点问题】 3 【题型四 利用含30°的直角三角形的性质解决最值问题】 4 【题型五 利用直角三角形斜边的中线求长度】 5 【题型六 利用直角三角形斜边的中线求角度】 6 【题型七 利用直角三角形斜边的中线证明】 6 【题型八 直角三角形斜边的中线的实际应用】 7 知识点 定理1 直角三角形的两个锐角互余； 定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于. 【题型一 利用含30°的直角三角形的性质求解】 例题：在中，，，，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，垂足为，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，若，则的长是（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且．与相交于点P，于点F，若，，则的长为 ． 【题型二 利用含30°的直角三角形的性质证明】 例题：（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，中，是边上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 2．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型三 利用含30°的直角三角形的性质解决动点问题】 例题：（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，在中，，，，P是边上的动点（点P不与点C，B重合），则的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，等边三角形的边长为9，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿，方向匀速移动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，当点到达点时，、两点都停止运动，设运动时间为（），解答下列问题： (1)在点与点的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出，若不能，请说明理由． (2)当为何值时，是直角三角形？ 【题型四 利用含30°的直角三角形的性质解决最值问题】 例题：（21-22八年级上·全国·期中）如图，，平分．P是射线上的一点，且，若点Q是射线上的一个动点．则的最小值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1．（21-22八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，点D是边上的定点，，点E、点P分别是边上的动点，当的值最小时，，则为 ． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，，，点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值 ． 【题型五 利用直角三角形斜边的中线求长度】 例题：（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，为斜边上的中线，若，则 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·云南丽江·期末）如图，在中，，，垂足为D，E是的中点，若，则 ． 2．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【题型六 利用直角三角形斜边的中线求角度】 例题：（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段练习）在中，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·陕西延安·期末）如图，在中，为斜边的中线，在线段及的延长线上依次取点，，连接，且，若，求的度数． 2．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型七 利用直角三角形斜边的中线证明】 例题：（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，连接，点是对角线的中点，连接．求证：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广西河池·期中）如图，在中，是高，是中线，，是的中点．求证： (1)； (2)． 2．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接． (1)求证：． (2)已知，求的度数． 【题型八 直角三角形斜边的中线的实际应用】 例题：（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，某公园的一块直角三角形空地，米，点是的中点，沿放置了一道栅栏把分成两个区域，则栅栏的长为 米． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，某城市中有如图所示的公路，，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，一根长为的木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍的中点为点P．若木棍的A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行，请问木棍在滑动过程中，点P到点O的距离是否发生变化？并说明理由． 一、单选题 1．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，恰好是边的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为24，则的周长为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 3．（24-25八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2023八年级上·湖南益阳·竞赛）如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，m，，则立柱的长度为（   ） A．4m B．8m C．10m D．16m 5．（20-21八年级上·陕西汉中·期末）如图，中，，平分，垂直平分，交于点E．若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．1 D．3 二、填空题 6．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在中，，，于，，则 ， ． 7．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，小云将一个三角形模型的一边放在直尺上，点分别对应刻度尺上的刻度2和8（单位：cm），点为的中点．若，则 ． 8．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，， 垂直平分，分别交 、 于点D、E，平分，， ，则 的长为 ． 9．（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在Rt与Rt中，，点和点位于边的同侧，为边的中点．连接，若，则 ． 10．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，为垂足．求证：是中点． 12．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，是高，分别是的中点． (1)若，，求四边形的周长； (2)与有怎样的位置关系？证明你的结论． 13．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知：如图，在中，是边上的高，是边上的中线，是的平分线，与的垂直平分线相交于点．求证： (1)平分； (2)． 14．（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）如图，在中，是边上的中线，E是边上一点，过点D作交的延长线于点F，． (1)求证：． (2)若，求的长． 15．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $