第一章集合数学思想方法的应用专练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版必修第一册     第一章 集合  思想方法归纳

问题1(2019全国高考) 某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(     )

1. 0.5                    B. 0.6                   C. 0.7                   D. 0.8

【数形结合思想】

核心与本质：以形助数，以数辅形      功效：复杂问题简单化；抽象问题具体化

应用范围：  ①有关集合的交并补综合运算及抽象集合问题Venn图求解

②不等式表示的数集时借助数轴          ③给定的集合是点集借助坐标系

例题1  已知集合，，则的子集的个数为(   )

1. 3                    B. 4                  C. 1                   D. 0

例题2 已知全集U=R，集合，，且，求实数a的取值范围.

 

【分类与整合思想】：当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类问题的结论得到整个问题的答案。

核心与本质：化整为零，各个击破，再积零为整

应用范围：

①集合相等：对应元素相同(互异性)           ②：讨论∅和∅

例题3 设集合，且，则实数m的取值范围是            .

 

【化归与转化的思想】：在研究和解决数学问题时借助数学知识和数学方法，将问题进行转化，使抽象问题具体化，复杂问题简单化，未知问题已知化。化归与转化的思想在解决问题中应用广泛，是高考考查的重点。

例子①②③是的充分条件，这三个条件之间有何关系？

例题4 若集合的子集只有2个，则实数a=               .

 

思考：将题中的“子集只有2个”改为“真子集只有1个”或者改为“非空子集只有1个”，结果还一样吗？

 

例题5 已知，非空集合.

(1)若是的必要不充分条件，求m的取值范围；(2)是否存在实数m，使是的充要条件？

【补集思想】：一个例子说明一切：我在花园外面。

例题6 若“R，”是假命题，则实数m的取值范围为                    .

 

例题7 已知，，，若三个集合中至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围.

 

例题8已知集合.

（1）若集合中有且只有1个元素，求的值.

（2）若集合中至少有1个元素，求的取值范围(用集合表示).

（3）若集合中至多有1个元素，求的取值范围(用集合表示).

作业

一、选择题

1、已知集合，若，则(      )

1. 2                    B.                   C. 4                   D. 2或4

2、设命题p：若，则，则p的否定为(      )

1. ，     B. ，     C. ，     D. ，

3、已知集合，，若，则(      )

2. 0                    B.                   C. 1                   D.

4、已知集合，，则满足  的集合C的个数为(      )

1. 6                    B. 7                  C. 8                   D. 16

5、设甲：，乙：，那么甲是乙的(      )

1. 充要条件           B. 充分不必要条件        C. 必要不充分条件         D. 既不充分也不必要条件

6、(多选题)命题“，”为真命题的充分条件可以是(      )

1.               B.            C.             D.

 

7、(多选题)下列命题中是真命题的是