基本不等式求最值（常见题型）课后练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

课后训—基本不等式求最值（常见题型）- 日期：2025. 时长： 45-60分钟/次 【题组一 三种基本类型】 1．（多选）若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用给定条件，结合基本不等式，逐项分析、计算判断作答即可. 【详解】对于A，因为， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为， 所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，因为， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当，即时取等号，故D错误. 故选：ABC. 2．设，，若，则的最小值为（     ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，，， 则， 当且仅当，即，时取等， 所以的最小值为8. 故选：A. 3．已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据基本不等式“1”的妙用先求得的最小值，进而转化问题为，解不等式即可求解. 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 要使恒成立，则， 解得，即实数的取值范围为. 故选：A. 4．已知，，，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据题意将表达式中的“2”进行替换，将分式化为齐次式，再利用基本不等式计算即可. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当时等号成立，则的最大值为． 故选：D． 5．（多选）下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．最小值等于4 C．当 D．函数最小值为 【答案】CD 【分析】利用基本不等式的性质和对勾函数单调性依次判断选项即可. 【详解】对选项A，，令，则，，， 根据对勾函数的单调性知：在上单调递增，，故A错误； 对选项B，当时，根据对勾函数的单调性知：为减函数，所以，故B错误； 对选项C，因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对选项D，， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：CD. 【题组二 简单配凑：不等式链+双勾型】 6．（1）已知，求的最大值 ； 【答案】 【分析】利用基本不等式,结合构造和为定值来求积的最大值，并注意说明取等号条件. 【详解】∵，∴， ∴， ∴当且仅当， 即时，． （2）已知，求的最大值 . 【答案】（2）. 【详解】（2） ， ，， ， 当且仅当时，即时取得等号， ，即最大值为. 7．（1）已知，求的最小值 ； 【答案】（1）； 【分析】（1）二次除一次后，可直接用基本不等式求最值； 【】详解 （1）因为且, 所以， 当且仅当，即时，y取到最小值. （2）当时，函数的最小值为 A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 【题组三 “1”的构造变形】 （条件等式：有和有积无常数） 8．已知x，y均为正数，，则的最小值 . 【答案】 【分析】应用基本不等式计算求解. 【详解】已知x，y均为正数，，则， ， 当且仅当取最小值. 故答案为：. 9．若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解此不等式即可得的取值范围． 【详解】因为正实数满足，即，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 因此的最小值为4， 又恒成立，所以，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为：. （分母和为常数） 10．已知实数满足，则的最小值为（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】B 【分析】由乘“1”法即可求解. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即取等号， 故最小值为25， 故选：B （复杂分式构造变形） 11．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果. 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 12．若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用已知条件构造，利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】由，可知，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $课后训一基本不等式求最值（常见题型)·一 日期：2025. 时长：45-60分钟/次 【题组一三种基本类型】 1.(多选)若a>0,b>0,a+b=4,则下列不等式中对一切满足条件的a,b恒成立的是() A.ab≤4 B.Va+Vb≤2V2 C.a2+b2≥8 D.1+1≥2 a b 2.设a>0,b>0,若a+b=2,则上+2的最小值为() a b A.8 B.4 25 3.已知实数X,y>0,且2+=1，若2x+y>m-8m恒成立，则实数m的取值范围为() X y A.{mV-1<m<9} B.{mV-9<m<1} C.mV-1≤m≤9 D.{mVm<-1或m>9 4.已知x>0,y>0,2X+y=2,则三%的最大值为() x2+2y A. C.1 D.4 第1页 5.(多选)下列不等式正确的有() A.若x∈R,则函数y=2+4+一1 的最小值为2 2+4 B.y=x+4(0<x<1)最小值等于4 C.当x>-1,x+1,≥1 X+1 D.函数y=1-2X-3(x<0)最小值为1+26 【题组二简单配凑：不等式链+双勾型】 6①已知0<x空求y=X1-2X的最大值 2 (2)已知x<3,求y=X+4的最大值 X-3 7.(1)已知>0，求y=-4+1的最小值 t (2)当X>0时，函数y=3+X+X的最小值为 1+X 第2页 【题组三“1”的构造变形】 8.已知x,y均为正数，Xy=4x+y,则2x+y的最小值一 9.若正实数x,y满足x-1y-4=4,且x+≥a2-3a恒成立，则实数a的取值范围是一· 10.已知实数x清足0<X子侧+，9x的极小值为() x1-4x A.20 B.25 C.30 D.35 1.已知x00,且x+y=5者+，中22m+1恒成立，则实数m前取位态图是一 第3页 12.若a>b>1,且a+3b=5,则，1+4的最小值为 "a-b*b-1 第4页