2.2基本不等式求最值（常见题型）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

基本不等式求最值（常见题型） 【考向一 求最值（基础类型）】 典例剖析 【题型一 利用不等式链求最值】 【归纳总结】利用不等式链求最值 不等式链： ≥ ≥ ≥ 平方 算术 几何 调和 【注意】适用情况和取等条件 1．（多选）已知，且，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 【答案】AC 【分析】利用均值不等式以及其常用变式分别判断各个选项的正误即可. 【详解】由均值不等式知：，当且仅当时，等号成立，选项A正确； 因为，故，当且仅当时，等号成立， 即最小值是，选项B错误； ， 当且仅当且，即时，等号成立，选项C正确； ，故， 当且仅当时等号成立， 即的最大值为，选项D错误， 故选：AC． 【变式】（多选）已知正数满足，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为6 【答案】ABD 【分析】运用基本不等式逐一判断即可. 【详解】对于A：因为是正数，所以，当且仅当时取等号， 即当时，有最大值为，因此A正确； 对于B：因为是正数，， 当且仅当时取等号，即当时，的最小值为，B正确； 对于C：因为 当且仅当时取等号，即当时，，因此C不正确； 对于D，由， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以，故D正确； 故选：ABD. 【题型二 常数“1”的替换】 【归纳总结】常数“1”的替换 1.适用情况：形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题 2.两种思路方法： ①乘整体：将转化为，再用基本不等式求最值. ②将式子中的常数用条件的式子整体代换 （乘整体） 2．已知，则的最小值为（    ） A．13 B．19 C．21 D．27 【答案】D 【分析】由均值不等式计算可得结果. 【详解】由题意，， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D. 【练习】若，则的最小值为（   ） A．24 B．26 C．32 D．92 【答案】C 【分析】利用基本不等式‘1’的代换求解即可. 【详解】因为， 所以， 由基本不等式可得，即， 当且仅当时取等，此时解得，， 则的最小值为32，故C正确. 故选：C （常数整体代入替换） 3．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】首先根据已知条件将变形为，然后利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可. 【详解】已知，得， 代入得： 由于，， 得： 当且仅当，即：，时等号成立. 故的最小值为. 故选：A 【变式】已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】由条件可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】由题意知， 当且仅当，且 ，即，时等号成立， 即的最小值为. 故选:A. 【题型三 双勾型求最值】 【归纳总结】双勾型函数求最值 1.双勾型函数与基本不等式的关系（直接结论） 基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时，。即双勾函数顶点的纵坐标为基本不等式取得的最值，横坐标为取得最值时的取等条件 2. 双勾型函数的图象与性质 当范围不满足时，则根据函数思想，利用函数图象和性质确定最值 （结论直接应用：标准型双勾结论） 4．函数的最小值为 ，此时＝ ． 【答案】 / 【分析】应用基本不等式求函数最小值，并确定对应自变量取值即可. 【详解】由，则，当且仅当时等号成立， 所以函数在时取最小值. 故答案为：， 【变式】下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．当时， C．若，则 D．若，则的最小值为2 【答案】B 【分析】利用特殊值判断A、C，利用基本不等式判断B，利用对勾函数的性质判断D. 【详解】对于A：令，，则，故A错误； 对于B：因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C：令，则，故C错误； 对于D：因为，又对勾函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值，故D错误. 故选：B （双勾型函数图象性质） 5．已知函数，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式，即可求出的最小值. 【详解】由题意，， 在中， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为， 故选：D. 【考向二 配凑法（不等式链、双勾型的变形配凑）】 典例剖析 【归纳总结】配凑法求最值 利用配凑法求最值，关键是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. 【题型一 利用不等式链变形配凑】 6．已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 【答案】 1 【分析】由基本不等式，要求积的最值，配凑和为定值即可. 【详解】时，和都为正值，，即和为定值． ，当且仅当，即时取等号，即的最大值是1． 由于时，和都为正值． ，当且仅当，即时取等号，即的最大值是． 【变式】已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由应用基本不等式求最大值，进而确定取值条件即可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 故选：C 7．已知，求函数的最大值． 【答案】 【分析】函数在给定区间内求最大值问题，进行函数合理变形，结合基本不等式满足条件，从而求得最值； 【详解】， 所以，当，即时，． 【题型二 利用双勾型函数变形配凑】 （直接配凑常数、系数） 8．已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 【答案】 1 【分析】利用基本不等式结合配凑法计算即可得. 【详解】由，则， ， 当且仅当，即时取等号，即的最大值是1； ， 当且仅当，即时取等号， 即的最大值是． 故答案为：1；. （二次商式的变形配凑：大除法） 9．若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 【变式】函数 在 上的最大值为 ；最小值为 ． 【答案】 / 【分析】令，化简得，令，，利用对勾函数的性质求解最值即可． 【详解】令，则，∵，∴， ∴， 令，， 由对勾函数的性质可知，函数在上为减函数，在上为增函数， ∵，， ∴，， ∴函数在 上的最大值和最小值分别为和． 故答案为：；. 【考向三 常数“1”的替换构造变形】 典例剖析 【题型一 条件等式（有和有积无常数）】 10．（多选）已知正数满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由题可得，利用“1”的巧用，结合基本不等式一一判断各选项，即可判断出正确答案； 【详解】由，，得：； 对于A，, 当且仅当，结合，即，时等号成立，A错误； 对于B，， 当且仅当，结合，即，时取等号，B正确； 对于C，（当且仅当，即，时取等号）， ，解得：（当且仅当，时取等号），C错误； 对于D，（当且仅当，结合，即，时取等号）， 由C知：（当且仅当，时取等号）， （当且仅当，时取等号），D正确. 故选：BD 【变式】已知正数满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式乘“1”法，求得的最小值，进而可求解. 【详解】由题意知：不等式恒成立， 即， ， 即：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，当且仅当即 时等号成立. ∴当时，取得最小值为8. ∴解得： 故选：C. 11．已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】由题意，利用乘“1”法求解基本不等式问题即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以，即的最小值是4． 故选：A． 【题型二 分式型：分母和为定值】 12．设，若恒成立，则k的最小值为（    ） A．9 B．8 C．－1 D．－2 【答案】C 【分析】用“1”的代换及基本不等式求得的最小值为9，解不等式，求出范围得最值. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，解得， 所以的最小值为. 故选：C. 【变式】已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入得，由构造，利用基本不等式求解即可. 【详解】由得，即， 因为，所以， 于是， 又， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B 【题型三 复杂分式的构造变形】 （直接配凑常数、系数） 13．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式化简可得最值. 【详解】由，得， 所以 ， 当且仅当，即，时取得等号． 故选：B. 【变式】若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围 . 【答案】． 【分析】由基本不等式求得的最小值，然后解相应不等式可得． 【详解】因为，则， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以不等式有解，即，解得或， 故答案为：． （方程法或换元法配凑构造） 14．已知且，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】通过换元，令，得，将问题转化为求的最小值.再通过“1”的代换结合基本不等式即可得解. 【详解】由，得，令，则， 故 ， 当且仅当即时等号成立， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9． 故答案为：9. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题：基本不等式求最值常见题型 典例剖析 【考向一求最值（基础类型)】 【题型一利用不等式链求最值】 【归纳总结】利用不等式链求最值 a2+62 2 ≥a+b2≥ ab≥ 不等式链： V2 +号 a 平方 算术 几何 调和 【注意】适用情况和取等条件 1.(多选)已知a,b>0,且a+b=1,则() A.ab的最大值是 B.a2+b2的最大值是 C.吉+号的最小值是4 D.V+VB的最小值是V2 第1页 【变式】（多选）己知正数a,b满足a+2b=1,则() A.ab的最大值为 B.a2+4b2的最小值为 C.V+V2b的最大值为2 D.爱+的最小值为6 【题型二常数“1”的替换】 【归纳总结】常数“1”的替换 1.适用情况：形如“已知yt(t为常数)，求：+的最值”的间题 y 2.两种思路方法： ①束整你：将是+转化为（任+）中，再用老未不等式求最位 ②将式子中的常数用条件的式子整体代换 (乘整体) 2.已知a>0,b>0,3a+=1,则特+3b的最小值为() A.13 B.19 C.21 D.27 第2页 【练习】若x>0,y>0,2x+9y=1,则袁+的最小值为() A.24 B.26 C.32 D.92 (常数整体代入替换) 3.已知a>0,b>0且a十b=1,则结+的最小值为() A. B. c.号 D.1 【变式】已知正实数，y满足x十2y=3,则的最小值为() A.2y2+1B.4 C.4y2+1 D.6 第3页 【题型三双勾型求最值】 【归纳总结】双勾型函数求最值 1.双勾型函数与基本不等式的关系（直接结论） b 本不等式a”≥2ar02b>0.bx>0,当且收当c=O时取到最小值，即田 y=2√b。即双勾函数顶点的纵坐标为基本不等式取得的最值，横坐标为取得最值时的取等条件 2.效勾型函数的图象与性质 当范围不满足>0，br>0)时，则根据函数思想，利用函数图象和性质确定最值 (结论直接应用：标准型双勾结论) 4.函数y=2x十专(x>0)的最小值为一，此时x=一· 【变式】下列结论正确的是() A.若a,bER,则号+号≥2 B.当x>0时，G+是≥4 C.若x<0,则x+≥4 D.若x∈R,则N2+2+2的最小值为2 第4页 (双勾型函数图象性质) 5.己知函数f(x)=2x+京+2，xE(0,4),则f(x)的最小值为() A.4 B.6 c.22 D.2W2+2 典例剖析 【考向二配凑法（不等式链、双勾型的变形配凑)】 【归纳总结】配凑法求最值 利用配凑法求最值，关键是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式。 【题型一利用不等式链变形配凑】 6.已知0<a<2,则a(2-a)的最大值是，a(5-2a)的最大值是一 第5页 【变式】已知0<x<2,则y=2xW4-x2取最大值时x的值为（) A.1 B.2-1 c.2 D.2-2 7.已知x∈(0，)，求函数y=x(1-5x)的最大值 【题型二利用双勾型函数变形配凑】 (直接配凑常数、系数) 8.已知a<等，则3a一1十的最大值是一，a一1十气的最大值是一 第6页 (二次商式的变形配凑：大除法) 9.若x>0,则2二+的最小值是 【变式】函数y=5在x∈[月，3]上的最大值为 ；最小值为」 ☒ 典例剖析 【考向三常数“1”的替换构造变形】 【题型一条件等式（有和有积无常数）】 10.（多选)己知正数a,b满足a+2b=2ab,则下列说法一定正确的是（) A.a+b≥4 B.a+2b≥4 C.ab≥3 D.a2+4b2≥8 第7页 【变式】已知正数xy满足(x-2)(y-1)=2.若不等式x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的 取值范围是() A.(-∞，-4)U(2,+0) B.(-∞，-2)U(4,+∞) C.（-4,2) D.(-2,4) 11.己知a>0,b>0,且ab-4b+1=0,则后+9b的最小值是() A.4 B.6 C.8 D.9 【题型二分式型：分母和为定值】 12.设0<m<1,若品+≥k2-8k恒成立，则k的最小值为() A.9 B.8 C.-1 D.-2 第8页 【变式】已知a>1,b>0,且a2-3a+2b=0,则+最的最小值为() A.多 B.星 c. D.9 【题型三复杂分式的构造变形】 (直接配凑常数、系数) 13.已知正数a,b满足寺+b=3,则a十品的最小值为() A.2 B.4 C.6 D.8 第9页 【变式】若两个正实数x,y满足x+y=1,且存在这样的x,y使不等式x+<m2+号m有 解，则实数m的取值范围 (方程法或换元法配凑构造) 14.已知x>y>0且4x+3y=1,则x与+的最小值为一 第10页