基本不等式求最值（常见题型练习）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

题型练习——基本不等式求最值（常见题型） 一、不等式链 1．已知正实数满足，则下列说法不正确的是（ ） A．的最小值是4 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】B 【分析】根据题意利用基本不等式以及常用不等式逐项分析判断． 【详解】因为正实数满足， 对于A：因为，当且仅当， 即时，等号成立，所以的最小值是4，故A正确； 对于B：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故B错误； 对于C：因为，即， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是，故D正确. 故选：B． 2．（多选）设正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为2 【答案】CD 【分析】利用基本不等式一一计算可得； 【详解】解：对于A：， 当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：， ，当且仅当时等号成立， 故有最大值2，而不是最小值为2，故B错误； 对于C：，故，当且仅当等号成立，故C正确； 对于D：，当且仅当时等号成立，故的最小值为2，故D正确； 故选：CD 3．（多选）设正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据条件，利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为正实数满足，则， 所以， 当且仅当时，取等号，所以A正确， 对于B，因为， 当且仅当时，取等号，得到，所以B错误， 对于C，因为，当且仅当时，取等号，得到，所以C正确， 对于D，因为， 当且仅当时，取等号，所以D正确， 故选：ACD. 4．（多选）设正数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】直接利用均值不等式判断A选项，通过“1”的代换判断B选项，利用平方判断CD选项. 【详解】A选项，， 当且仅当即时等号成立，故的最大值为，A错误； B选项，，当且仅当时等号成立，故B正确； C选项，由，得， 所以，当且仅当时等号成立，故C正确； D选项，由，得， 当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：BCD. 5．（多选）已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（   ） A．xy的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解判断. 【详解】正数x、y，满足， 对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 6．（多选）设正实数x，y满足，则（    ） A．有最大值为1 B．有最小值为4 C．有最小值为5 D．有最大值为 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式及其变形形式逐项计算即可. 【详解】对于A，由基本不等式，， ， ， ， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，， ， ， ， ，即， 的最小值为2， 当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，， ， 当且仅当， 解得：，时取等号，故C正确； 对于D，， ， 又， 则当且仅当，即，时取等号， ， 即有最大值为， 故D正确. 故选：ACD 二、简单配凑+双勾型 7．求下列各题的最值． (1)已知，求的最小值； (2)设，求函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用基本不等式，直接求解，即可得到答案； （2）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. （2）解：由，可得， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 8．（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 【答案】（1）；（2）8；（3）． 【分析】利用基本不等式结合常数代换求最值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号； 所以，的最大值为. （2）因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. （3），． 又，， ， 当且仅当，即时，等号成立． 由得 当，时，取得最小值． 9．（多选）下列函数的最小值为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】AC由基本不等式进行求解；B选项，可举出反例；D选项，变形后利用基本不等式求出答案. 【详解】对于A，因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立，，故A正确； 对于B，取，则，故B不正确； 对于C，，当且仅当，即时，等号成立，因为，故不是4，故C错误. 对于D，因为，所以， 故有基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：AD 10．函数在上的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据对勾函数的单调性得出最小值. 【详解】因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以. 故答案为：. 11．（多选）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据基本不等式及适用范围分别判断即可求解． 【详解】对于A，当与为负数时，显然不成立，故A错误． 对于B，，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C，若为负值，则， 显然不成立，故C错误． 对于D，， 但等号成立需满足，此时无解， 所以等号不成立，即，故D正确． 故选：BD. 12．（多选）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是3 C．当时，的最小值是5 D．设，，且，则的最小值是 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式可判断A，B，通过系数化正结合基本不等式可判断C，利用“1”的妙用，可判断D. 【详解】对于A，因为时，，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B，因为，所以，，当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，时，，所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，因为，，由， 因，所以，当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ABD 13．（多选）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 【答案】ABC 【分析】根据各项函数，结合基本不等式及相关结论检验各选项最小值，即可判断. 【详解】对于A，当时函数值为负数，显然错误. 对于B，，当且仅当时等号成立，但，所以取等条件不成立，错误； 对于C，，当且仅当时等号成立，错误； 对于D，，当且仅当，即时等号成立，正确. 故选：ABC 14．（多选）下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是 D．若，则的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判断A、C、D，利用对勾函数的性质判断B. 【详解】对于A，，，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，， 令，则且，因为在上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，， 当且仅当时取等号，故D正确， 故选：ACD． 15．（多选）下列函数的最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本不等式的应用条件“一正、二定、三相等”，对选项逐一验证即可得出结论. 【详解】A选项，当时，，故A错误； B选项，，当且仅当时，等号成立，故B正确； C选项，化简可得，当且仅当时，等号成立，故C正确； D选项，易知，当，即时，等号成立，最小值为，故D错误， 故选：BC． 16．若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 17．（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值. （2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 【答案】（1）4，    （2）6， 【分析】（1）根据基本不等式求解即可； （2）将函数化成的形式，然后用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因，则有， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为4；      （2）当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为6. 18．解决下列问题： (1)求函数的最小值； (2)若，且，求的最小值. (3)求函数的最小值； 【答案】(1)3； (2)9； (3)10. 【分析】（1）由基本不等式可得答案； （2）注意到，后由基本不等式可得答案； （3）令，则，后由基本不等式可得答案. 【详解】（1） ∵， ∴（当且仅当，即时取等号） ∴的最小值为3； （2）因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，， 所以的最小值为9. （3）令，则， ∴ 当且仅当即时取等号 ∴的最小值为10. 三、常数“1”的替换 （直接应用） 19．已知，且，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知将变形为，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解最小值即可. 【详解】，又，可得， 且 ， 当且仅当，时等号成立． 即最小值为. 故选：B． 20．设正实数满足，则的最小值为（   ） A． B．17 C． D．16 【答案】C 【分析】代入，再由基本不等式即可求解； 【详解】由题意知， 当且仅当，即时，等号成立． 因此，的最小值为． 故答案为：C （构造变形：有和有积无常数） 21．已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】利用条件得到，然后运用基本不等式，即可得出结果. 【详解】解：因为已知，所以 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值是 故答案为： 22．已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式和常值代换法，对各选项逐一判断即得. 【详解】由，，可得. 对于A，，（当且仅当时取等号），故A错误； 对于B，，（当且仅当时取等号），故B错误； 对于C，因，由B已得；， 则，（当且仅当时取等号），故C错误； 对于D，因， 由C项已得：，则，故，即得， （当且仅当时取等号），故D正确. 故选：D． （构造变形：分母和为定值） 23．已知，求函数的最小值． 【答案】9 【分析】根据条件，利用“”的妙用，即可求解. 【详解】因为，所以． 所以， 当且仅当，即时，上式取等号， 故． 24．已知，． (1)若，求证：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等式条件，对代数式进行换元，再根据基本不等式中的配凑法，证明不等式成立即可. （2）根据参数的范围，构造等式，再根据基本不等式中“1”的运用，求出最小值即可. （3）根据参数的范围，解出关于x的不等式，根据基本不等式，求出代数式的最小值，求出结果. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以． （2）因为，所以，则， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 故的最小值为． （3）因为，，所以， 则可化为恒成立， 又，当且仅当时取得等号， 所以，则. 故的取值范围为． 25．若（，），则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．12 D．49 【答案】B 【分析】根据已知有且，再应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【详解】由题设且， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号. 故选：B （构造变形：复杂分式构造变形） 26．已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】实数，，满足，故， 即， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故选：C 27．设正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，根据“1”的代换化简得出.进而根据基本不等式，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：C． 28．已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，则，，且， 所以， ， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 29．已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由题可得.，然后由基本不等式可得 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：D 30．已知正数满足，则的最小值是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由正数满足，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值6. 故选：C 31．（多选）已知，，．则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，利用基本不等式、“1”的妙用逐项判断即可得解. 【详解】选项A，，当且仅当时取等号，所以A正确； 选项B，，当且仅当，即时取等号，所以B正确； 选项C，，当且仅当时取等号，即的最大值为1，而非最小值为1，所以C错误； 选项D，，当且仅当， 即时取等号，所以D正确. 故选：ABD. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $题型练习一一基本不等式求最值（常见题型） 一、不等式链 1.己知正实数m,n满足m+n=1,则下列说法不正确的是() A.1+1的最小值是4 m n B.m2+n2的最大值是} C.m+Vn的最大值是2 D.√mn的最大值是 2.(多选)设正实数m、n满足m+n=2,则下列说法正确的是() A.1+2的最小值为22 B.m+n的最小值为2 m n c.nm的最大值为号 D.m2+n2的最小值为2 2 3.(多选)设正实数a,b满足a+b=2,则下列说法正确的是() 第1页 A.b+2的最小值为3 a b B.a+Vb的最小值为2 C.ab的最大值为1 D.a2+b的最小值为2 4.(多选)设正数X,y满足x+2y=3,则下列说法正确的是（) A.y的最小值为 B.上+3的最小值为4 X y C.Vx+V2y的最大值为6 D.x2+4y2的最小值为9 5.（多选)已知正数x、y,满足x+y=2,则下列说法正确的是() A.y的最大值为1 B.x2+y2的最小值为2 第2页 。女号的饭小恤为： D.2+X的最小值为3 xy 6.(多选)设正实数x,y满足X+y=2,则() A.y有最大值为1 B.x2+y有最小值为4 C.4y+2有最小值为5 D.Vx+3+Vy+4有最大值为3V2 X y 二、简单配凑+双勾型 7.求下列各题的最值. ()已知x>0,求y=2+3x的最小值： X 第3页 (②设0<x<号求函数y=4x13-2x的最大值. 8.(1)已知0<x<1,求x4-3x的最大值： (2)若x>1,求4x+x 1一的最小值： (3)己知a,b为正实数，2a+8b-ab=0,求a+b的最小值. 9.(多选)下列函数的最小值为4的有() A.y=x2+4 B.y=x+9-2 X X C.y=x+4(x>5) D.y=- 1+x+1x>1 -1 第4页 10.函数fx=X+4在3,4上的最小值是一· X 11.(多选)下列选项正确的是（) A.a+b≥2 B.x2+1 ≥2 C.2-x-4s-2D.+5>2 b a X x2+4 第5页 12.(多选)下列结论正确的是（) A当x>0时，Vx+元≥2 B.当x>1时，X+1,的最小值是3 X-1 C.当x<时，4X-2+4X-5的最小值是3 4 D.设x>0,y>0,且x+y=2,则上+4的最小值是2 13.(多选)下列判断错误的是() A.函数y=X+9的最小值为7B.函数y=49X+1+1的最小值为7 4x 4x2+1 C.函数y=x2+9 的原小为？D.感数经+7x过是小仁为？ x2+ 第6页 14.（多选)下列说法正确的是（) A.X+1(x>0)的最小值是2 B.x2+5的最小值是2 x2+4 X(x<0)的最小值是-1D.若x>0,则2-3X-4的最大值是2-43 C.X+x+1 15.(多选)下列函数的最小值为4的是() A.y=x+4 B.y=x+-1 +1x>1 -1 第7页 C.y=4x-4x+9(x>0) D.yx49 x2+13 16.若x3-1,则2X+4x+4的最小值为一 X+1 17.(1)若x>0,求x+4的最小值，并写出取得最小值时x的值. X 第8页 (2)若x>2,求函数f(X)=X-2x+4的最小值，并写出取得最小值时x的值。 X-2 18.解决下列问题： )求函数y=X+x+1x>0的最小值： (2)若x,y∈0，+∞，且x+4y=1,求1+上的最小值， x y 6)求函数y=X+2x+6x21的最小值： X-1 三、常数“1”的替换 (直接应用) 第9页 19.已知x>0,y>-1,且x+y=1,则Y+3+y最小值为() x y+1 A.2-3 B.2+3 c.3 D.1+3 20.设正实数0，b满足a+2b=1,则a+1P+b的最小值为() ab A贸 B.17 C.8+45 D.16 (构造变形：有和有积无常数) 21.已知a>0,b>0,且a+2b=ab,则2a+3b的最小值是一 第10页