专题三 求二次函数的解析式（解题策略+归类解析+方法总结）2025-2026学年人教版九年级上学期数学大单元教学分层优化

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 专题三 求二次函数的解析式（解题策略+归类解析+方法总结）（解析版） 二次函数解析式的求解是数学学习中的重要内容。下面系统梳理主要的求解方法、技巧，并通过例子帮你掌握。 一、待定系数法的三种形式 待定系数法是求二次函数解析式的核心方法，主要包括以下三种形式。 1.一般式（三点式） 适用条件：已知抛物线上的任意三点坐标 步骤： 1.设解析式为 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 2.将三点的坐标分别代入，得到三元一次方程组 3.解方程组求出 a, b, c 4.将 a, b, c 代回所设解析式 2.顶点式 适用条件：已知顶点坐标 (h, k)或对称轴（x=h）及另一个点的坐标 步骤： 1.设解析式为 y = a(x - h)² + k 2.将另一个已知点的坐标代入，解出 a 3.将 a 代回所设解析式 3.交点式（两根式） 适用条件：已知抛物线与x轴的两个交点 (x₁, 0), (x₂, 0)及另一个点（非交点）的坐标 步骤 ：1. 设解析式为 y = a(x - x₁)(x - x₂) 2.将另一个已知点的坐标代入，解出 a 3.将 a 代回所设解析式 二、图象平移变换法 若已知一个二次函数的图象经过平移得到所需图象，可先求出原函数解析式，再根据平移规律求目标解析式 平移规律：y = a(x - h)² + k 的图象可由 y = ax² 的图象平移得到。 左右平移：遵循“左加右减”，针对自变量x。 例如，y=ax² 向右平移h个单位得 y=a(x-h)²。 上下平移：遵循“上加下减”，针对整个函数值y。例如， y=ax² 向上平移k个单位得 y=ax² + k。 三、根据旋转和轴对称变换来确定二次函数解析式法 解决这类问题，通常遵循一个清晰的思路： 1.化为顶点式：先将给定的二次函数解析式化为顶点式 y = a(x - h)² + k，从而明确其顶点坐标 (h, k)​​ 和二次项系数 a​（它决定了开口方向和大小） 2.确定新顶点和新a值：根据具体的轴对称或旋转变换规则，确定变换后新抛物线的顶点坐标和新的二次项系数 a'。 3.写出新解析式：将新的顶点坐标和新的 a' 值代入顶点式 y = a'(x - h')² + k'，即可得到变换后的函数解析式 变换类型 对称轴或旋转中心 新的 a'值 (开口变化) 新的顶点坐标 (h', k') 新解析式形式 关于 x 轴对称 x 轴 a' = -a (开口反向) (h, -k) (横坐标不变，纵坐标取相反数) y = -a(x - h)² - k 关于 y 轴对称 y 轴 a' = a (开口不变) (-h, k) (纵坐标不变，横坐标取相反数) y = a(x + h)² + k 关于原点对称 原点 (0,0) a' = -a (开口反向) (-h, -k) (横、纵坐标均取相反数) y = -a(x + h)² - k 绕顶点旋转180° 原顶点 (h,k) a' = -a (开口反向) (h, k) (顶点位置不变) y = -a(x - h)² + k 轴对称变换主要研究关于x轴和y轴的对称。 1.关于x轴对称 规律：抛物线关于x轴对称时，形状不变，但开口方向相反，因此 a' = -a 原顶点 (h, k) 关于x轴对称的新顶点为 (h, -k)。 新解析式：y = -a(x - h)² - k 2.关于y轴对称 规律：抛物线关于y轴对称时，​形状和开口方向都不变，因此 a' = a 原顶点 (h, k) 关于y轴对称的新顶点为 (-h, k)。 · 新解析式：y = a(x + h)² + k 3.旋转变换的解析式求法（绕顶点旋转180°） 二次函数图像的旋转变换中，绕其顶点旋转180°是最常见的情况 。规律：抛物线绕其顶点旋转180°后，形状不变，但开口方向相反，因此 a' = -a。因为旋转中心是顶点，所以顶点坐标 (h, k) 不变 新解析式​：y = -a(x - h)² + k 类型1 利用一般式求解析式 例1．已知二次函数的图像经过点、和，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【答案】解析式为；开口向下；顶点为；对称轴为直线 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出函数解析式． 先由待定系数法求出函数解析式，再由判断开口方向，配方得到顶点式即可求解顶点坐标和对称轴． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点、和， ∴ 解得： ∴该函数解析式为：， ∵， ∴图像开口向下； ∵， ∴顶点为，对称轴为直线． 强化与拓展1 1．已知抛物线经过点，且对称轴为轴，求此抛物线对应的二次函数解析式． 【答案】 【分析】该题考查了待定系数法求二次函数解析式，可设抛物线对应的二次函数解析式为代入求解即可． 【详解】解：根据题意，可设抛物线对应的二次函数解析式为， 把代入得， 解得：， 则抛物线解析式为． 2．已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示： (1)求二次函数解析式； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，根据函数解析式画函数图形，根据函数自变量求函数取值范围，掌握待定系数法解二次函数解析式，函数图像的性质是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）根据函数解析式，用描点法即可求解； （3）根据自变量的取值范围，结合图象，即可确定函数值的取值范围． 【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，， ∴，解得， ∴二次函数解析式为． （2）解：二次函数解析式为，图像如图所示， 函数与轴的交点是，，与轴的交点是，对称轴为直线，符合题意． （3）解：当时， 当时，； 当时，； 当时，． 根据（2）中图象可知，当时，． 3．已知一个二次函数的图像经过，，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点是这个函数图像上的一点，当时，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）先求得二次函数的顶点坐标，则可得当时，y取最小值，再结合 自变量m的范围，进而根据二次函数图像的性质求解即可； 本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 根据题意得，解得：， ∴． （2）解：∵， ∴二次函数开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴当时，y取最小值， 当时，；当时，， ∴当时，n的取值范围是． 类型2 利用顶点式求解析式 例2．已知二次函数的图象经过顶点和另一点，求二次函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据二次函数的图象经过顶点，设二次函数的解析式是，把点的坐标代入求出的值即可． 【详解】解：二次函数的图象经过顶点， 设二次函数的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 二次函数的解析式是． 强化拓展2 1．二次函数中的自变量和函数值满足下表： … … … … (1)该二次函数图象的对称轴是_____； (2)求该二次函数的解析式； (3)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）根据表中x、y的对应值可知，与时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程； （2）根据（1）中结果设函数解析式为：，然后利用待定系数法求解即可； （3）根据二次函数的性质及表格中数据即可得出结论． 【详解】（1）解：∵由表中x、y的对应值可知，当与时y的值相等， ∴对称轴是直线 故答案为：； （2）解：∵由（1）得顶点坐标为， ∴设函数解析式为：， 当时，， ∴， 解得：， ∴函数解析式为：， （3）解：∵ ， ∴抛物线开口向上， 又对称轴是直线 ∴当时，． 2．已知是关于的二次函数，满足下表 … … … … 根据上表数据，完成下列问题： (1)直接写出此图象对称轴表达式 ； (2)写出此二次函数顶点坐标是 ； (3)求此二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据表中数据即可求解； （）根据（）所得对称轴方程及表中数据即可求解； （）利用抛物线的顶点式及待定系数法解答即可； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由表可知，当和时，， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 故答案为：； （2）解：∵二次函数图象的对称轴为直线，当时， ∴二次函数图象的顶点坐标为， 故答案为：； （3）解：设二次函数解析式为，把代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为． 3．已知二次函数图象的顶点是，且函数过点． (1)求这个函数的解析式； (2)请在坐标系内画出这个函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，能根据抛物线上的点的坐标，设出合适的函数解析式是解题的关键． （1）根据所给条件，可设函数解析式为顶点式，便可解决问题． （2）找出点的坐标，画出函数图象即可． 【详解】（1）解：因为二次函数图象的顶点是， 所以设函数的解析式为． 将点代入函数解析式得， ， 解得， 所以函数解析式为； （2）解：函数图象如图所示． 类型3 利用交点式求解析式 例3．已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 2 3 … … 5 0 0 … (1)求二次函数解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，抛物线与轴交于、两点，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)二次函数解析式为，顶点坐标为 (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、求二次函数解析式及顶点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据“当和时，”，设二次函数，根据时，，代入求出，得出二次函数解析式，再求出顶点坐标即可； （2）根据和，求出，根据三角形面积公式、坐标与图形，得出点的纵坐标为或，当点的纵坐标为时，，求解得出点的坐标即可；根据二次函数解析式为，顶点坐标为，是最低点，判断当点的纵坐标为时的情况不存在． 【详解】（1）解：∵当和时，， ∴设二次函数， ∵时，， ∴代入得：，即， 解得：， ∴二次函数解析式为，即， ∴，， ∴顶点坐标为； （2）解：∵抛物线与轴交于、两点，由表格得和， ∴， ∵， ∴点到的距离， ∴点的纵坐标为或， ∵点为抛物线上一点， ∴当点的纵坐标为时，，即， 解得：， ∴点的坐标为或； ∵二次函数解析式为，顶点坐标为， 当点的纵坐标为时的情况不存在； 综上所述，点的坐标为或． 强化拓展3 1.已知二次函数与自变量的部分对应值如下表： 0 1 5 0 (1)______． (2)求该二次函数的表达式； (3)当时，的取值范围是______． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． （1）利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，所以点和关于直线对称，从而确定的值； （2）设交点式，然后把代入求出即可；即； （2）先计算出时，；时，，加上时，有最小值，所以当时，的取值范围为． 【详解】（1）解：时，；时，， 抛物线的对称轴为直线， 点和关于直线对称， ； 故答案为：0； （2）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即； （3）解：时，；时，， 而时，有最小值， 当时，的取值范围为． 故答案为：． 2．二次函数的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B（5，0），并且经过点C（0，-3），试求该函数表达式． 【解析】设这个二次函数的表达式为y=a（x+3）（x-5），再将点C（0，-3）代入求解即可得． 解：由题意，设这个二次函数的表达式为y=a（x+3）（x-5）， 将点C（0，-3）代入得：（0+3）×（0-5）a=-3， 解得， 则，即， 故该函数表达式为． 3.如果抛物线经过点A(2，0)和B(－1，0)，且与y轴交于点C，若OC＝2(O为坐标原点)，则这条抛物线的解析式是(　　) A．y＝x2－x－2 B．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2 C．y＝－x2＋x＋2 D．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2 【答案】D [解析]设抛物线的解析式为y＝a(x－2)(x＋1). ∵OC＝2，∴C(0，2)或C(0，－2). 把C(0，2)的坐标代入y＝a(x－2)(x＋1)得a·(－2)·1＝2，解得a＝－1. 此时抛物线的解析式为y＝－(x－2)(x＋1)，即y＝－x2＋x＋2. 把C(0，－2)的坐标代入y＝a(x－2)(x＋1)得a·(－2)·1＝－2，解得a＝1，此时抛物线的解析式为y＝(x－2)(x＋1)，即y＝x2－x－2. 故抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2或y＝x2－x－2. 故选D. 4 .已知抛物线经过点(1，3)和(4，0)，对称轴为直线x＝2，则它与x轴的另一个交点为________，抛物线的解析式为____________. 【答案】(0，0) y＝－x2＋4x [解析]∵抛物线经过点(4，0)，对称轴为直线x＝2， ∴抛物线与x轴的另一个交点为(0，0). 设抛物线的解析式为y＝ax(x－4). 把(1，3)的坐标代入解析式得a·1·(－3)＝3，解得a＝－1. ∴抛物线的解析式为y＝－x(x－4)， 即y＝－x2＋4x. 5 .如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，其中点的坐标为抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，的取值范围为 ． （3）点为该二次函数在第四象限内图像上的一动点，过点作轴，交于点，设线段长为，求的最大值，并写出此时点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为， 【分析】（1）根据抛物线的对称性可求得点A的坐标为(-1，0)，设抛物线的解析式为，把点C(0，-5)代入即可求解； （2）先求得抛物线的顶点坐标(2，-9)，运用数形结合即可得到答案； （3）利用待定系数法求得直线BC的解析式，设P点的坐标为(，)，则点Q 的坐标为(，)，根据二次函数的性质即可求得PQ的最大值以及点的坐标． 【详解】（1）∵点的坐标为(5，0)，抛物线对称轴为直线， ∴点A的坐标为(-1，0)， 设抛物线的解析式为， 把点C(0，-5)代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， （2）， ∴抛物线的顶点坐标为(2，-9)， 观察图象：当时，， 故答案为：； （3）设直线BC的解析式为， 把点的坐标(5，0)代入得：， 解得：， ∴直线BC的解析式为， 设P点的坐标为(，)，则点Q 的坐标为(，)， ∴() = =， 当时，， 此时，P点的坐标为(，)， 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，抛物线的顶点坐标求法，二次函数的性质，此类题目，利用数形结合的思想是解题的关键． 类型4 利用平移求解析式 例4 .已知二次函数y=x2-2x+4． （1）写出抛物线的开口方向及顶点坐标； （2）当x为何值时，y随x的增大而减小？ （3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点P（1，-5），请说明理由． 【解析】（1）由a的符号即可确定抛物线的开口方向，把一般式化成顶点是即可求得顶点坐标； （2）根据二次函数的性质即可得到结论； （3）根据“左加右减，上加下减”的法则即可确定平移后的函数解析式，然后代入点P的坐标即可判断． 解：（1）∵y=x2-2x+4中，a=1＞0， ∴该抛物线的开口向上， ∵y=x2-2x+4=（x-1）2+3， ∴顶点坐标为（1，3）； （2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小； （3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线为：y=（x-1+3）2+3-7，即y=（x+2）2-4， 当x=1时，y=（1+2）2-4=5≠-5， ∴新抛物线不过点P（1，-5）． 强化拓展4 1．如图，已知二次函数的图像与轴交于点、点，与轴交于点，且，点为抛物线的顶点，连接． (1)求点的坐标及该抛物线的解析式， (2)如图1，点在直线下方抛物线上的一个动点，过点作交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线对称轴上运动，点是平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解过程． 【答案】(1)， (2)， (3)或或，过程见解析 【分析】（1）根据题意确定点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数解析式即可； （2）首先利用待定系数法解得直线的解析式，设，根据题意可知均为等腰直角三角形，可确定点坐标，易知，，进而可得，然后根据二次函数的图像与性质，即可获得答案； （3）根据题意，抛物线沿射线平移个单位，即抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位，即可确定平移后抛物线解析式以及对称轴，设点，结合点，，可得，，的长度，然后分和两种情况讨论，分别求解即可获得答案． 【详解】（1）解：∵点 ∴， ∵ ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴， 又∵抛物线的图像与轴交于点、点， 将点，，代入， 可得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴，点的纵坐标与点的纵坐标相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时点的坐标为； （3）依题意，抛物线沿射线平移个单位，即抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位，平移后抛物线解析式为，对称轴为直线， 故设点， 又∵，， ∴，， ， 由题意可知，以为腰的等腰三角形有两种情况： ①如图1，当时， 则， 解得：，． ，， 由平行四边形对角线互相平分可知， ∴，； ②如图2，当时，    则， 解得：， ∴， ∴， 综上所述，使以为边的菱形的点有： 或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、待定系数法解一次函数和二次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、二次函数综合应用等知识，综合性强，难度较大，解题关键是综合运用相关知识，并运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 2．如图，正方形的顶点A在抛物线上，顶点B，C在x轴的正半轴上，且点B的坐标为． (1)求点D的坐标； (2)将抛物线沿x轴方向适当平移，使得平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式，并说明你是如何平移的．此时点D在新抛物线上吗？ 【答案】(1)； (2)，原抛物线向右平移1个单位得到的，点D在新抛物线上． 【分析】（1）根据，，点A在抛物线上，得当时，，得， 得，得，，即得； （2）根据抛物线沿x轴方向平移后经过点，得平移后的抛物线表达式为，抛物线向右平移1个单位．当时，，得点在新抛物线上． 【详解】（1）解：∵正方形中，，且，点A在抛物线上， ∴点A的横坐标为1，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵抛物线的顶点为原点，沿x轴方向适当平移后经过点B， ∴平移后的抛物线顶点为， ∴平移后的抛物线表达式为， ∴抛物线向右平移1个单位； ∵当时，， ∴点在新抛物线上． 【点睛】本题考查了抛物线与正方形，熟练掌握抛物线性质，正方形性质，抛物线平移，点和抛物线的位置关系，是解题的关键． 3．已知抛物线的图象经过点，点 (1)求该二次函数的解析式； (2)将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先配方成顶点式，再根据“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点，点， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位， 平移后的抛物线的解析式为，即． 4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． (1)求二次函数的表达式和顶点坐标； (2)若直线与抛物线有两个公共点，求m的取值范围． (3)将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后的抛物线解析式． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】此题考查了待定系数法求出表达式，二次函数的图象和性质，二次函数的平移，解题的关键是掌握待定系数法求出表达式． （1）利用待定系数法求出表达式，然后配方成顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的开口方向和顶点坐标求解即可； （3）根据平移规律求解即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点 ∴ ∴ ∴二次函数的表达式为， ∴顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ∵直线与抛物线有两个公共点 ∴； （3）向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度， 得到的抛物线解析式为． 5．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式，并写出顶点的坐标； (2)若将此抛物线平移，使其顶点为点，请写出这个变换过程和平移后的抛物线解析式． 【答案】(1)， (2)先向左平移2的单位长度，再向上平移4个单位长度，得到新的抛物线解析式为 【分析】本题考查二次函数图象的平移与几何变换． （1）利用对称轴公式求出b，再把点代入即可解决； （2）根据平移的规律向左平移2的单位向上平移4个单位即可，平移前后a相同，根据顶点坐标即可写出解析式． 【详解】（1）解：∵对称轴， ∴， 把代入得， ∴二次函数为， ∵， ∴顶点； （2）解：将此抛物线平移，使其顶点为点B，即平移到点，需要向左平移2的单位向上平移4个单位， ∴平移后的解析式． 6．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的顶点为，与轴的交点为． （1）求点，的坐标； （2）已知点(4，2)，将抛物线向上平移得抛物线，点平移后的对应点为，且，求抛物线的解析式； （3）将抛物线：沿轴翻折，得抛物线，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，平行于轴的直线与抛物线交于点(，)，(，)，与直线交于点(，)，若＜＜，结合函数的图象，求的取值范围． 【答案】（1）M（－2，－1），N（0，3）；（2）抛物线的解析式为：；（3）． 【分析】（1）将解析式化成顶点式可得M的坐标，求出x＝0时y的值可得N的坐标； （2）设抛物线的解析式为：，则，过点P作PH⊥于点H，可得PH＝4，N′H＝m－2，根据勾股定理构建方程求出m即可； （3）求出抛物线的解析式，可得点A、B、D的坐标及的值，求出直线BD的解析式，根据结合函数图象可得的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴M（－2，－1）， 当x＝0时，， ∴N（0，3）； （2）设抛物线的解析式为：，则， 过点P作PH⊥于点H， ∵(4，2)， ∴PH＝4，N′H＝m－2， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （3）∵抛物线的顶点坐标为（－2，－1）， ∴抛物线的顶点坐标为（2，－1）， ∴抛物线的解析式为：， 令y＝0，得， 解得：，， ∴A（1，0），B（3，0）， 令x＝0，得， ∴D（0，3）， 设直线BD的解析式为：y＝kx＋b（k≠0）， 则，解得：， ∴直线BD的解析式为：y＝－x＋3， ∵抛物线的对称轴为：， ∴， 令y＝－x＋3＝－1，解得：x＝4， ∵， 结合函数图象得：， ∴， 即的取值范围为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式以及勾股定理的应用，准确作出图形，熟练掌握数形结合的数学思想是解题的关键． 类型5 利用关于x轴对称求解析式 例5．已知二次函数y=-x2+2x+3． （1）完成下面表格，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x …… -1 0 1 2 …… y …… 0 4 …… （2）当2≤x<4时，y的取值范围是 ； （3）将二次函数y=-x2+2x+3的图象沿x轴翻折，得到的新抛物线的解析式为 ． 【答案】（1）表格见解析，图见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）根据抛物线的解析式求出x值对应的函数值即可，再利用描点法画函数图象； （2）根据二次函数的增减性即可得； （3）根据翻折后得到的抛物线的顶点坐标与原来的抛物线的顶点坐标关于x轴对称，且两条抛物线与x轴的交点坐标相同即可得． 【详解】（1）对于， 当时，， 当时，， 当时，， 则填表如下： x …… 0 1 2 …… y …… 0 3 4 3 …… 根据表格数据描点，连线绘制如下函数图象： （2）二次函数化成顶点式为， 由二次函数的性质可知，在内，随x的增大而减小， 当时，；当时，， 则， 故答案为：； （3）由题意得：翻折后得到的抛物线的顶点坐标与原来抛物线的顶点坐标关于x轴对称，且两条抛物线与x轴的交点坐标相同， 原来二次函数的顶点坐标为，与x轴的一个交点坐标为， 翻折后得到的抛物线的顶点坐标为，与x轴的一个交点坐标为， 设翻折后得到的抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， 则翻折后得到的抛物线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了画二次函数的图象、二次函数的性质、待定系数法求二次函数的解析式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 强化拓展5 1．已知抛物线． (1)当时， ①抛物线的顶点坐标为______； ②抛物线沿轴翻折得到抛物线，则抛物线的解析式为______； ③抛物线沿轴翻折得到抛物线，则抛物线的解析式为______； (2)无论为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点在点的左侧）的长度始终不变，求的值和线段的长； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为，．是否存在实数使得以点，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）①将一般式化成顶点式即可求出顶点坐标；②利用关于“关于谁对称谁不变”可知翻折之后关于x轴对称，进一步可得抛物线的解析式；③沿y轴翻折后关于y轴对称，进一步可得抛物线的解析式； （2）分析可知抛物线过定点和，利用的长度不变，可知当时，线段的长恒为4； （3）因为抛物线：的顶点坐标为，由（2）可知，，点、均在直线上，根据翻折的性质可知G、H两点关于对称，即、在的两侧，故要使、、、四点构成的四边形为正方形，需满足，即，求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； ②∵抛物线沿着轴翻折得到抛物线， ∴抛物线的解析式为； ③∵抛物线沿着轴翻折得到抛物线， ∴抛物线的解析式为； 故答案为：①；②；③． （2）解：将变形得，， ∴抛物线总经过定点， 与轴交于点， ∴抛物线始终经过定点，， ∴直线与抛物线C1相交所得的线段AB的长度不变，且长度为： ， 即当时，线段AB的长恒为4． （3）解：存在实数使得以点、、、为顶点的四边形为正方形，理由如下： ∵抛物线：的顶点坐标为， 由（2）可知，，点、均在直线上，根据翻折的性质可知、两点关于对称，即、在的两侧，故要使、、、四点构成的四边形为正方形，需满足，即点G到直线的距离为2， ∴， ∴， 解得：或． 【点睛】本题考查二次函数，翻折的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数及翻折的性质． 2．已知抛物线： (1)当时 ①抛物线的顶点坐标为________． ②将抛物线沿轴翻折得到抛物线，则抛物线的解析式为________． (2)无论为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点在点左侧）的长度都不变，求的值和的长； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为，．是否存在实数，使得以点，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)当时，线段的长恒为2； (3)或． 【分析】（1）①将一般式化成顶点式即可求出顶点坐标；②利用关于“关于谁对称谁不变”可知翻折之后关于x轴对称，进一步可得抛物线的解析式； （2）分析可知抛物线过定点和，利用的长度不变，可知当时，线段的长恒为2； （3）因为的顶点坐标为，由（2）可知，，点、均在直线上，根据翻折的性质可知、两点关于对称，即、在的两侧，故要使、、、四点构成的四边形为正方形，需满足，即，求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， ②∵抛物线沿着轴翻折得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， （2）解：将变形得，， ∴抛物线总经过定点， 与轴交于点，且的长度不变， ∴当时，，即当时，线段的长恒为2； （3）解：存在实数使得以点、、、为顶点的四边形为正方形，理由如下： ∵抛物线：的顶点坐标为， 由（2）可知，，点、均在直线上， 根据翻折的性质可知、两点关于对称，即、在的两侧，故要使、、、四点构成的四边形为正方形，需满足，即点到直线的距离为1， ∴， ∴， 解得或． 【点睛】本题考查二次函数，翻折的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数及翻折的性质． 3．已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（1，0），现将抛物线L沿x轴翻折，并向左平移1个单位长度后得到抛物线L1． （1）求抛物线L1的解析式； （2）点E在抛物线L1对称轴上，O为坐标原点，则抛物线L1上是否存在点P，使以A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，点P坐标为（﹣5，﹣5）或（1，﹣5）或（﹣1，3）． 【分析】（1）将点A（﹣3，0）和点B（1，0）代入解析式可求抛物线L的解析式，由轴对称和平移的性质可求解； （2）分别以AO为边或AO为对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（1，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线L的解析式为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∵抛物线L沿x轴翻折，并向左平移1个单位长度后得到抛物线L1． ∴抛物线L1的解析式为：y＝﹣（x+1+1）2+4＝﹣x2﹣4x； （2）∵抛物线L1的解析式为：y＝﹣（x+2）2+4， ∴抛物线L1的对称轴为直线x=-2， ∵点E在抛物线L1对称轴上一点， ∴点E的横坐标为﹣2， ∵点A（﹣3，0）， ∴OA＝3． ①如图，若AO为边，则AO＝EP＝3，AO∥EP， ∴点P的横坐标为：﹣5或1， 当x＝﹣5时，y＝﹣9+4＝﹣5， ∴点P1（﹣5，﹣5）， 当x＝1时，y＝﹣9+4＝﹣5， ∴点P2（1，﹣5）， ②如图，若AO为对角线，连接EP3， ∴AO的中点M的坐标为（﹣，0）， ∵四边形AEOP3是平行四边形， ∴点M是EP3的中点， ∵点E横坐标为-2， ∴点P的横坐标为﹣1， ∴y＝﹣（-1+2）2-4×（-1）＝3， ∴点P3（﹣1，3）， 综上所述：当点P坐标为（﹣5，﹣5）或（1，﹣5）或（﹣1，3）时，以A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的翻折与平移、平行四边形的性质，熟记“左加右减，上加下减”的平移法则并灵活运用分类讨论的数学思想是解题关键． 类型6 利用关于y轴对称求解析式 例6 .已知二次函数的图像经过点. ⑴.求的值; ⑵.将该函数的图像沿轴翻折,求翻折后所得图像的函数表达式. 答案：⑴因为二次函数的图像经过点, 所以.解得. ⑵.方法一:原函数. 图像的顶点坐标为. 翻折后图像的顶点坐标为.  设新函数的表达式为. 由题意得新函数的图像经过点, 所以. 所以. 所以新函数的表达式为 (或). 方法二:设新函数的表达式为. 因为原函数的图像经过点、、, 所以翻折后新函数的图像经过点、、. 所以, ,解得, 所以新函数的表达式为. 解析： 强化拓展6 1．如图1，抛物线与x轴的两个交点中的左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线沿轴分别向右、左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点为. (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式； (2)小明发现：将抛物线沿x轴分别向右、左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与轴的交点的位置在发生变化. ①试求出与之间的函数表达式； ②在平移过程中，点A移动到点B的位置，点移动到点的位置，求当为何值时，△是等边三角形. 【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为： (2)①t与m之间的函数表达式是：；② 【分析】（1）先找出平移前的抛物线C1的顶点为，设平移前的抛物线的解析式为，再将点A代入函数解析式求抛物线的解析式即可； （2）①设抛物线右移m个单位长度后，得到的抛物线对应的函数表达式为：，因为抛物线与y轴的交点，则令得：，t与m之间的函数表达式是：即可求解； ②根据等边三角形的性质，得到方程，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵将抛物线沿轴分别向右、左平移1个单位后，恰好重合，重合后的抛物线的顶点为 ∴由平移得：平移前的抛物线的顶点为. 可设抛物线对应的函数表达式为：. 把点A坐标代入，求得.    所以抛物线对应的函数表达式为：； （2）解：①设抛物线右移m个单位长度后， 得到的抛物线对应的函数表达式为：. 令得：. ∴t与m之间的函数表达式是：； ②若△是等边三角形，则 ∴，. 即. ∴. 显然，当时，P、B、重合. ∴，即. ∴ . ∴ 或. ∵， ∴. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，函数图象对称的性质，等边三角形的性质是解题的关键． 2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线，与x轴交于点C，点C在点D的左侧，与y轴交于点A． 求抛物线顶点M的坐标； 若点A的坐标为，轴，交抛物线于点B，求点B的坐标； 在的条件下，将抛物线在B，C两点之间的部分沿y轴翻折，翻折后的图象记为G，若直线与图象G有一个交点，结合函数的图象，求m的取值范围． 【答案】（1）M的坐标为；（2）B（4，3）；（3）或． 【分析】利用配方法将已知函数解析式转化为顶点式方程，可以直接得到答案 根据抛物线的对称性质解答； 利用待定系数法求得抛物线的表达式为根据题意作出图象G，结合图象求得m的取值范围． 【详解】解：（1） , 该抛物线的顶点M的坐标为； 由知，该抛物线的顶点M的坐标为； 该抛物线的对称轴直线是， 点A的坐标为，轴，交抛物线于点B， 点A与点B关于直线对称， ； 抛物线与y轴交于点， ． ． 抛物线的表达式为． 抛物线G的解析式为： 由． 由，得： 抛物线与x轴的交点C的坐标为， 点C关于y轴的对称点的坐标为． 把代入，得：． 把代入，得：． 所求m的取值范围是或． 故答案为（1）M的坐标为；（2）B（4，3）；（3）或． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，画出函数G的图象是解题的关键． 3．规定：两个函数,的图象关于y轴对称,则称这两个函数互为“Y函数”.例如：函数与的图象关于y轴对称,则这两个函数互为“Y函数”.若函数(k为常数)的“Y函数”图象与x轴只有一个交点,则其“Y函数”的解析式为______. 答案：或 解析：函数(k为常数)的“Y函数”图象与x轴只有一个交点, 函数(k为常数)的图象与x轴也只有一个交点, 当k=0时,函数解析为,它的“Y函数”解析式为,它们的图象与x轴只有一个交点, 当时,此函数是二次函数, 它们的图象与x轴都只有一个交点, 它们的顶点分别在x轴上, ,得, 故,解得, 故原函数的解析式为, 故它的“Y函数”解析式为, 故答案为：或. 类型7 根据旋转求解析式 例7．已知抛物线， （1）若把该抛物线向右平移1个单位，再向上移动2个单位，则平移后抛物线解析式为 ； （2）若把该抛物线绕它的顶点旋转，则旋转后的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】（1）先把抛物线解析式转化为顶点式，再根据二次函数平移的性质求解即可； （2）根据抛物线绕它的顶点旋转后，开口方向与原方向相反，再根据抛物线的开口方向与a的正负有关，使旋转后的抛物线的开口方向相反，取a的相反数即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴把抛物线向右平移1个单位，再向上移动2个单位后，得到的抛物线解析式为， 故答案为：； （2）∵， ∴抛物线开口方向向上， ∵抛物线绕它的顶点旋转后，开口方向与原方向相反， ∴把该抛物线绕它的顶点旋转，则旋转后的抛物线解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换，把二次函数的解析式转化为顶点式是解题的关键． 强化拓展7 1．如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于，B两点，顶点为H． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线平移后得到抛物线，且抛物线的顶点始终在抛物线上， ①当点P在第一象限时，抛物线与y轴交于点E，若的面积为时，直接写出P点坐标； ②将平移后的抛物线绕点P旋转得到抛物线，抛物线与直线交于点M（M与H不重合），与y轴交于点N，连接，，若，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移、旋转的性质，直角三角形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①先求抛物线的解析式为，可得，再由的面积，求出的值即可； ②先求抛物线的解析式为，则，再分别求出点，，用待定系数法求直线的解析式为，联立方程求出，分两种情况讨论：过作轴交于，过作轴交于，可知，能求，在中，，从而确定点，，再求直线的解析式为；当在下方时，，同理求出，，可得直线的解析式为． 【详解】（1）将，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）①点始终在抛物线上， ， 抛物线的解析式为， ， ， 的面积， 解得或（舍， ； ②抛物线绕点旋转得到抛物线， 抛物线的解析式为， ， 中，当时，， 解得或， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，解得或， ， 如图1，过作轴交于，过作轴交于， ，，，， ， ， ， ， 在中，， ， ，， 直线的解析式为； 如图2，当在下方时， ， ， 在中，， ， ，， 直线的解析式为； 综上所述：直线的解析式为或． 2．把二次函数的图象在坐标平面内绕顶点旋转，再向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度后所得图象对应的函数解析式为___________. 答案：（或） 解析：.把图象在坐标平面内绕顶点旋转后所得图象对应的函数解析式为，把所得图象向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度后所得图象对应的函数解析式为. 3．已知二次函数的图象如图所示,将其沿x轴翻折后得到的抛物线的解析式为 . 答案： 解析：将二次函数的图象沿x轴翻折后得到的抛物线的解析式为， 整理得. 故答案为. 4．把二次函数的图象绕原点旋转后得到的函数的解析式为 . 答案： 解析：抛物线的顶点坐标为, 绕原点旋转后的抛物线的顶点坐标为， 所得到的函数的解析式为即. 5．已知抛物线（、、是常数，），自变量与函数值的部分对应值如表： (1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为直线______． (2)求抛物线的解析式和的值； (3)将抛物线的图象记为，将绕点旋转后的图象记为，、合起来得到的图象记为，完成以下问题： 画出的图象； 若直线与函数有且只有两个交点，直接写出的取值范围______．    【答案】(1)向上，； (2)，； (3)画图见解析；或或． 【分析】（）由表格数据和图象的性质即可求解； （）用待定系数法即可求解； （）画出函数图象，观察函数图象即可求解； 本题考查二次函数的图象和性质，正确求出函数解析式，准确的画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 【详解】（1）根据表格数据可知，其对称轴为直线，在对称轴的右侧随的增大而增大， ∴抛物线开口向上， 故答案为：上，； （2）由（）得，对称轴为直线，根据表格数据可知顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为且过， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为或； （3）由（）得，抛物线的解析式为； ∴顶点坐标为， 则绕点旋转后的图象为， 根据画函数图象的方法，如下图，   根据图象可知，直线与函数有且只有两个交点时， 的取值范围为：或或， 故答案为：或或． 如何选择方法 根据已知条件灵活选择最简便的方法： 1.任意三点→一般式 2.顶点+另一点、对称轴+另一点、最值+另一点、顶点式 3.与x轴两交点+另一点→交点式 4.已知原解析式和平移方式→平移变换法 5.旋转变换的解析式求法  规律：抛物线绕其顶点旋转180°后，​形状不变，但开口方向相反，因此 a' = -a。因为旋转中心是顶点，所以顶点坐标 (h, k) 不变 新解析式：y = -a(x - h)² + k 6.轴对称变换的解析式求法 轴对称变换主要研究关于x轴和y轴的对称。 关于x轴对称 规律：抛物线关于x轴对称时，形状不变，但开口方向相反，因此 a' = -a 。原顶点 (h, k) 关于x轴对称的新顶点为 (h, -k)。 新解析式：y = -a(x - h)² - k 常见技巧与注意 仔细审题：挖掘隐藏条件，如“对称轴”、“最大/最小值”、“与坐标轴交点”等关键词。 数形结合：遇到比较复杂的题，画个草图常常能帮你理清思路。 验证结果：求完解析式后，最好把已知的点坐标代回去验算一下。 整理形式：注意看题目要求答案写成哪种形式（一般式、顶点式等）。 二、归类精析 三、 方法总结 一、 类型及解题策略 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 专题三 求二次函数的解析式（解题策略+归类解析+方法总结） 二次函数解析式的求解是数学学习中的重要内容。下面系统梳理主要的求解方法、技巧，并通过例子帮你掌握。 一、待定系数法的三种形式 待定系数法是求二次函数解析式的核心方法，主要包括以下三种形式。 1.一般式（三点式） 适用条件：已知抛物线上的任意三点坐标 步骤： 1.设解析式为 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 2.将三点的坐标分别代入，得到三元一次方程组 3.解方程组求出 a, b, c 4.将 a, b, c 代回所设解析式 2.顶点式 适用条件：已知顶点坐标 (h, k)或对称轴（x=h）及另一个点的坐标 步骤： 1.设解析式为 y = a(x - h)² + k 2.将另一个已知点的坐标代入，解出 a 3.将 a 代回所设解析式 3.交点式（两根式） 适用条件：已知抛物线与x轴的两个交点 (x₁, 0), (x₂, 0)及另一个点（非交点）的坐标 步骤 ：1. 设解析式为 y = a(x - x₁)(x - x₂) 2.将另一个已知点的坐标代入，解出 a 3.将 a 代回所设解析式 二、图象平移变换法 若已知一个二次函数的图象经过平移得到所需图象，可先求出原函数解析式，再根据平移规律求目标解析式 平移规律：y = a(x - h)² + k 的图象可由 y = ax² 的图象平移得到。 左右平移：遵循“左加右减”，针对自变量x。 例如，y=ax² 向右平移h个单位得 y=a(x-h)²。 上下平移：遵循“上加下减”，针对整个函数值y。例如， y=ax² 向上平移k个单位得 y=ax² + k。 三、根据旋转和轴对称变换来确定二次函数解析式法 解决这类问题，通常遵循一个清晰的思路： 1.化为顶点式：先将给定的二次函数解析式化为顶点式 y = a(x - h)² + k，从而明确其顶点坐标 (h, k) 和二次项系数 a（它决定了开口方向和大小） 2.确定新顶点和新a值：根据具体的轴对称或旋转变换规则，确定变换后新抛物线的顶点坐标和新的二次项系数 a'。 3.写出新解析式：将新的顶点坐标和新的 a' 值代入顶点式 y = a'(x - h')² + k'，即可得到变换后的函数解析式 变换类型 对称轴或旋转中心 新的 a'值 (开口变化) 新的顶点坐标 (h', k') 新解析式形式 关于 x 轴对称 x 轴 a' = -a (开口反向) (h, -k) (横坐标不变，纵坐标取相反数) y = -a(x - h)² - k 关于 y 轴对称 y 轴 a' = a (开口不变) (-h, k) (纵坐标不变，横坐标取相反数) y = a(x + h)² + k 关于原点对称 原点 (0,0) a' = -a (开口反向) (-h, -k) (横、纵坐标均取相反数) y = -a(x + h)² - k 绕顶点旋转180° 原顶点 (h,k) a' = -a (开口反向) (h, k) (顶点位置不变) y = -a(x - h)² + k 轴对称变换主要研究关于x轴和y轴的对称。 1.关于x轴对称 规律：抛物线关于x轴对称时，形状不变，但开口方向相反，因此 a' = -a 原顶点 (h, k) 关于x轴对称的新顶点为 (h, -k)。 新解析式：y = -a(x - h)² - k 2.关于y轴对称 规律：抛物线关于y轴对称时，​形状和开口方向都不变，因此 a' = a 原顶点 (h, k) 关于y轴对称的新顶点为 (-h, k)。 · 新解析式：y = a(x + h)² + k 3.旋转变换的解析式求法（绕顶点旋转180°） 二次函数图像的旋转变换中，绕其顶点旋转180°是最常见的情况 。规律：抛物线绕其顶点旋转180°后，形状不变，但开口方向相反，因此 a' = -a。因为旋转中心是顶点，所以顶点坐标 (h, k) 不变 新解析式​：y = -a(x - h)² + k 类型1 利用一般式求解析式 例1．已知二次函数的图像经过点、和，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． 强化与拓展1 1．已知抛物线经过点，且对称轴为轴，求此抛物线对应的二次函数解析式． 2．已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示： (1)求二次函数解析式； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是 ． 3．已知一个二次函数的图像经过，，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点是这个函数图像上的一点，当时，求n的取值范围． 类型2 利用顶点式求解析式 例2．已知二次函数的图象经过顶点和另一点，求二次函数解析式． 强化拓展2 1．二次函数中的自变量和函数值满足下表： … … … … (1)该二次函数图象的对称轴是_____； (2)求该二次函数的解析式； (3)当时，请直接写出的取值范围． 2．已知是关于的二次函数，满足下表 … … … … 根据上表数据，完成下列问题： (1)直接写出此图象对称轴表达式 ； (2)写出此二次函数顶点坐标是 ； (3)求此二次函数的解析式． 3．已知二次函数图象的顶点是，且函数过点． (1)求这个函数的解析式； (2)请在坐标系内画出这个函数的图象． 类型3 利用交点式求解析式 例3．已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 2 3 … … 5 0 0 … (1)求二次函数解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，抛物线与轴交于、两点，若，求出此时点的坐标． 强化拓展3 1.已知二次函数与自变量的部分对应值如下表： 0 1 5 0 (1)______． (2)求该二次函数的表达式； (3)当时，的取值范围是______． 2．二次函数的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B（5，0），并且经过点C（0，-3），试求该函数表达式． 3.如果抛物线经过点A(2，0)和B(－1，0)，且与y轴交于点C，若OC＝2(O为坐标原点)，则这条抛物线的解析式是(　　) A．y＝x2－x－2 B．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2 C．y＝－x2＋x＋2 D．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2 4 .已知抛物线经过点(1，3)和(4，0)，对称轴为直线x＝2，则它与x轴的另一个交点为________，抛物线的解析式为____________. 5 .如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，其中点的坐标为抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，的取值范围为 ． （3）点为该二次函数在第四象限内图像上的一动点，过点作轴，交于点，设线段长为，求的最大值，并写出此时点的坐标． 类型4 利用平移求解析式 例4 .已知二次函数y=x2-2x+4． （1）写出抛物线的开口方向及顶点坐标； （2）当x为何值时，y随x的增大而减小？ （3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点P（1，-5），请说明理由． 强化拓展4 1．如图，已知二次函数的图像与轴交于点、点，与轴交于点，且，点为抛物线的顶点，连接． (1)求点的坐标及该抛物线的解析式， (2)如图1，点在直线下方抛物线上的一个动点，过点作交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线对称轴上运动，点是平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解过程． 2．如图，正方形的顶点A在抛物线上，顶点B，C在x轴的正半轴上，且点B的坐标为． (1)求点D的坐标； (2)将抛物线沿x轴方向适当平移，使得平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式，并说明你是如何平移的．此时点D在新抛物线上吗？ 3．已知抛物线的图象经过点，点 (1)求该二次函数的解析式； (2)将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式． 4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． (1)求二次函数的表达式和顶点坐标； (2)若直线与抛物线有两个公共点，求m的取值范围． (3)将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后的抛物线解析式． 5．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式，并写出顶点的坐标； (2)若将此抛物线平移，使其顶点为点，请写出这个变换过程和平移后的抛物线解析式． 6．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的顶点为，与轴的交点为． （1）求点，的坐标； （2）已知点(4，2)，将抛物线向上平移得抛物线，点平移后的对应点为，且，求抛物线的解析式； （3）将抛物线：沿轴翻折，得抛物线，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，平行于轴的直线与抛物线交于点(，)，(，)，与直线交于点(，)，若＜＜，结合函数的图象，求的取值范围． 类型5 利用关于x轴对称求解析式 例5．已知二次函数y=-x2+2x+3． （1）完成下面表格，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x …… -1 0 1 2 …… y …… 0 4 …… （2）当2≤x<4时，y的取值范围是 ； （3）将二次函数y=-x2+2x+3的图象沿x轴翻折，得到的新抛物线的解析式为 ． 强化拓展5 1．已知抛物线． (1)当时， ①抛物线的顶点坐标为______； ②抛物线沿轴翻折得到抛物线，则抛物线的解析式为______； ③抛物线沿轴翻折得到抛物线，则抛物线的解析式为______； (2)无论为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点在点的左侧）的长度始终不变，求的值和线段的长； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为，．是否存在实数使得以点，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 2．已知抛物线： (1)当时 ①抛物线的顶点坐标为________． ②将抛物线沿轴翻折得到抛物线，则抛物线的解析式为________． (2)无论为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点在点左侧）的长度都不变，求的值和的长； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为，．是否存在实数，使得以点，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 3．已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（1，0），现将抛物线L沿x轴翻折，并向左平移1个单位长度后得到抛物线L1． （1）求抛物线L1的解析式； （2）点E在抛物线L1对称轴上，O为坐标原点，则抛物线L1上是否存在点P，使以A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 类型6 利用关于y轴对称求解析式 例6 .已知二次函数的图像经过点. ⑴.求的值; ⑵.将该函数的图像沿轴翻折,求翻折后所得图像的函数表达式. 强化拓展6 1．如图1，抛物线与x轴的两个交点中的左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线沿轴分别向右、左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点为. (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式； (2)小明发现：将抛物线沿x轴分别向右、左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与轴的交点的位置在发生变化. ①试求出与之间的函数表达式； ②在平移过程中，点A移动到点B的位置，点移动到点的位置，求当为何值时，△是等边三角形. 2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线，与x轴交于点C，点C在点D的左侧，与y轴交于点A． 求抛物线顶点M的坐标； 若点A的坐标为，轴，交抛物线于点B，求点B的坐标； 在的条件下，将抛物线在B，C两点之间的部分沿y轴翻折，翻折后的图象记为G，若直线与图象G有一个交点，结合函数的图象，求m的取值范围． 3．规定：两个函数,的图象关于y轴对称,则称这两个函数互为“Y函数”.例如：函数与的图象关于y轴对称,则这两个函数互为“Y函数”.若函数(k为常数)的“Y函数”图象与x轴只有一个交点,则其“Y函数”的解析式为______. 类型7 根据旋转求解析式 例7．已知抛物线， （1）若把该抛物线向右平移1个单位，再向上移动2个单位，则平移后抛物线解析式为 ； （2）若把该抛物线绕它的顶点旋转，则旋转后的抛物线解析式为 ． 强化拓展7 1．如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于，B两点，顶点为H． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线平移后得到抛物线，且抛物线的顶点始终在抛物线上， ①当点P在第一象限时，抛物线与y轴交于点E，若的面积为时，直接写出P点坐标； ②将平移后的抛物线绕点P旋转得到抛物线，抛物线与直线交于点M（M与H不重合），与y轴交于点N，连接，，若，求直线的解析式． 2．把二次函数的图象在坐标平面内绕顶点旋转，再向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度后所得图象对应的函数解析式为___________. 3．已知二次函数的图象如图所示,将其沿x轴翻折后得到的抛物线的解析式为 . 5．已知抛物线（、、是常数，），自变量与函数值的部分对应值如表： (1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为直线______． (2)求抛物线的解析式和的值； (3)将抛物线的图象记为，将绕点旋转后的图象记为，、合起来得到的图象记为，完成以下问题： 画出的图象； 若直线与函数有且只有两个交点，直接写出的取值范围______．    二、归类精析 一、 类型及解题策略 学科网（北京）股份有限公司 $