8.6.2直线与平面垂直 预习案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册
8．6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定
一、直线与平面垂直的定义
定义 | 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同． |
记法 | l⊥α |
有关概念 | 直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的________．它们唯一的公共点P叫做________ |
图示 |
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画法 | 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 |
过一点垂直于已知平面的直线________________条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的____________，____________的长度叫做这个点到该平面的距离．
【微点拨】
(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况．
(2)运用直线与平面垂直的定义来判定直线与平面垂直时，要紧扣“一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直”．若在平面内找到一条或无数条直线与已知直线垂直，都不能确定直线垂直于这个平面，但是在平面内能找到一条直线与已知直线不垂直，则这条直线与这个平面不垂直．
【即时练习】 空间中直线l和△ABC所在的平面垂直，则这条直线和三角形的边AB的位置关系是( )
A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定
二、直线与平面垂直的判定
文字语言 | 如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直是定理的关键词，应用定理时不能忽略． |
符号语言 | l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，____________⇒l⊥α |
图形语言 |
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【微点拨】
(1)该定理有五个条件：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b，这五个条件缺一不可，但对
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l⊥a，l⊥b在什么位置(过不过交点)、以什么方式(共面或异面)都不作要求，正是这种不作要求的“宽松”条件，使证明直线与平面垂直的方法很灵活．
(2)用定义证明直线与平面垂直，可操作性差，无法验证平面内所有直线，所以证明直线与平面垂直一般用判定定理．
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．( )
(2)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( )
2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A．垂直 B．平行 C．相交不垂直 D．不确定
三、直线与平面所成的角
有关概念 | 对应图形 | |
斜线 | 一条直线l与平面α________，但不和这个平面α________，图中直线PA |
点P是斜线上异于斜足A的任意一点，点P具有任意性． |
斜足 | 斜线和平面的________，图中点A | |
射影 | 过斜线上斜足以外的一点向平面引________，过________和________的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为________ | |
直线与平面所成的角 | 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角． 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是________；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是________ | |
取值范围 | [0°，90°] | |
【微点拨】
(1)斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．
(2)直线和平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°，而斜线和平面所成的角θ的取值范围是0°<θ<90°.
【即时练习】 在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角为________．
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