专题01空间直线与平面（13知识&10题型&2易错&4方法清单）（期中知识清单）高二数学上学期沪教版

专题01空间直线与平面（13知识&10题型&2易错&4方法清单） 【清单01】平面的基本性质及推论 1．公理1：如果一条直线上有两点在一个平面上 ， 那么这条直线上所有的点都在这个平面上 ． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 2．公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面 符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示： 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． （1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示： （2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： （3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： 3．公理3：如果两个不同的平面有一个公共点 ， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ． 符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示： 作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点． 对三个公理的理解 （1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内． （2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件． （3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一． 【清单02】异面直线及其所成的角 1、异面直线所成的角： 直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直． 2、求异面直线所成的角的方法： 求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线． 【清单03】异面直线的判定 （1）判定空间直线是异面直线方法： ①根据异面直线的定义； ②异面直线的判定定理． 【清单04】空间中直线与直线之间的位置关系 空间两条直线的位置关系： 位置关系 共面情况 公共点个数 图示 相交直线 在同一平面内 有且只有一个 平行直线 在同一平面内 无 异面直线 不同时在任何一个平面内 无 【清单05】空间中直线与平面之间的位置关系 空间中直线与平面之间的位置关系： 位置关系 公共点个数 符号表示 图示 直线在平面内 有无数个公共点 a⊂α 直线和平面相交 有且只有一个公共点 a∩α＝A 直线和平面平行 无 a∥α 【清单06】直线与平面平行 1、直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α． 2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行． 1、直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b． 2、直线和平面平行的性质定理的实质是： 已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行． 由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行． 正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条． 【清单07】直线与平面垂直 直线与平面垂直： 如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面． 直线与平面垂直的判定： （1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线． （2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． （3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 直线与平面垂直的性质： ①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b ②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b． 【清单08】平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系： 位置关系 公共点个数 符号表示 图示 两平面平行 无 α∥β 两平面相交 有一条公共直线 α∩β＝l 【清单09】平面与平面平行 两个平面平行的判定： （1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． （2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β． （3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β． 平面与平面平行的性质： 性质定理1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面． 性质定理2：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 性质定理3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面． 【清单10】平面与平面垂直 平面与平面垂直的判定： 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 平面与平面垂直的性质： 性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内． 性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面． 性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直． 【清单11】直线与平面所成的角 直线和平面所成的角，应分三种情况： （1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°； （3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°． 显然，斜线和平面所成角的范围是；直线和平面所成的角的范围为． 【清单12】二面角 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角， 2.二面角的平面角 （1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角 （2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角 （3）二面角的平面角范围是； （4）二面角平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直； 【清单13】异面直线的距离 异面直线和的距离：设直线和是异面直线，当点、分别在和上，且直线既垂直于直线，又垂直于直线时，我们把直线叫做异面直线和公垂线，，垂足、之间的距离叫做异面直线和的距离． 【题型一】平面的概念及其表示 【例1-1】（24-25高二上·上海·期中）用集合语言表述“直线和直线相交于点”： ． 【例1-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）已知平面，直线，点，若，且，则 （填数学符号）． 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）用符号表示“平面与相交于直线” ． 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）“一个点和一条直线确定一个平面”是 命题.（填“真”、“假”） 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期中）若点与直线确定一个平面，则点与直线的位置关系是点 直线（用“”、“”、“”填空） 【题型二】平面分空间的区域数量 【例2】（24-25高二上·上海静安·期中）两个平面最多可以将空间分成 部分. 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成 个区域． 【题型三】】平面的基本性质及辨析 【例3】（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【变式3-1】（24-25高二上·上海松江·期中）空间三点最多可确定 条直线. 【变式3-2】（24-25高二上·上海静安·期中）平面与平面相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是 ． 【变式3-3】（24-25高二上·上海·期中）正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 【题型四】点（线）确定的平面数量问题 【例4】（23-24高二上·上海浦东新·期中）两条相交直线确定 个平面. 【变式4-1】（23-24高二上·上海静安·期中）空间两两相交且不共点的三条直线可以确定 平面． 【变式4-2】（24-25高二上·上海·期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型五】空间中的点（线）共面问题 【例5】（23-24高二上·上海浦东新·期中）若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 . 【变式5】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【题型六】由平面的基本性质作截面图形 【例6】（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【变式6-1】（24-25高二上·上海·期中）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是 （填上所有满足条件的几何体的序号） ①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台 【变式6-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【题型七】斜二测画法中有关量的计算 【例7-1】（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 . 【例7-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是矩形，其中，，则原图形周长是 ．    【变式7-1】（24-25高二上·上海·期中）已知一个利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中，，，则原的面积为 . 【变式7-2】（24-25高二上·上海·期中）用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图如图所示，已知，则的面积为 . 【变式7-3】（24-25高二上·上海·期中）若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为 . 【题型八】异面直线的判定 【例8】（24-25高二上·上海·期中）在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成（   ）对异面直线． A．72 B．96 C．102 D．126 【变式8-1】（24-25高二上·上海·期中）在正方体各个表面的对角线所在直线中，与直线异面的直线有n条，则 【变式8-2】（23-24高二上·上海·期中）如图，正六棱柱的底面和顶面均为正六边形，侧棱均垂直于底面和顶面.其6个侧面12条面对角线所在的直线中，与直线异面的共有 条.    【题型九】线面关系的判断 【例9-1】（23-24高二上·上海·期中）已知直线，，平面，则“，”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．不充分不必要 【例9-2】（23-24高二上·上海普陀·期中）已知正方形在平面的同一侧，若A、B、C三点到平面的距离分别为1、2、3，则直线与平面的位置关系为 .（填“平行”或“相交”） 【例9-3】（24-25高二上·上海·期中）命题：若直线与平面上的无数条直线垂直，则，是 命题（选填“真”或“假”）． 【例9-4】（24-25高二上·上海·期中）下列四个命题： ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行； ③若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线； ④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. 其中，真命题的序号是 . 【变式9-1】（23-24高二上·上海崇明·期中）“直线垂直于平面内的所有直线”是“”的 条件． 【变式9-2】（24-25高二上·上海崇明·期中）正方体中，与的交点称为正方体的中心，若平面经过该正方体的中心，且顶点，到平面的距离相等，则符合条件的平面的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．12个 D．无数个 【变式9-3】（24-25高二上·上海·期中）已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【题型十】解答综合题 【例10-1】（24-25高二上·上海宝山·期中）正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值. 【例10-2】（24-25高二上·上海徐汇·期中）正方体，E，F分别是棱，的中点．    (1)直线平面； (2)求异面直线与所成角的大小； 【变式10-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，棱长为2的正方体中，分别是的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角表示） 【变式10-2】（24-25高二上·上海·期中）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的大小（结果用反三角表示）； (3)若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大. 【变式10-3】（24-25高二上·上海松江·期中）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 【题型一】空间位置关系判断错误 1.异面直线的判定：不能准确理解异面直线的定义和判定定理，容易错误地判断两条直线的位置关系。例如，分别和两条异面直线相交的两条不同直线，可能异面也可能相交，但很多同学容易忽略相交的情况，直接认为是异面关系。 2.平面与空间的混淆：把空间问题简单地等同于平面问题处理。如在正四面体的平面展开图还原问题中， 不能正确还原空间图形，从而对直线间的平行、异面、垂直等关系判断错误 【例1】（24-25高二上·上海·期中）已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）如果平面外有两点、，它们到平面的距离都是3，则直线和平面的位置关系是 ． 【题型二】空间角的计算错误 异面直线所成角：在求异面直线所成角时，不能正确地通过平移直线将异面直线所成角转化为相交直线所成角，或者在平移过程中出现错误。另外，在计算出相交直线所成角后，没有注意到异面直线所成角的范围是（0°，90°】，如果求出的角是钝角，没有取其补角作为异面直线所成角。 【例2】（24-25高二上·上海·期中）是空间四边形，且和成角，、分别是和的中点，则和所成的角是（    ） A． B． C．或 D． 【变式2-1】（23-24高二上·上海奉贤·期中）若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（23-24高二上·上海普陀·期中）在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为 . 【变式2-3】（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，异面直线与所成的角的余弦值等于 .    【方法一】空间中的平行关系转化 【例1】（24-25高二上·上海·期中）空间中垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是 . 【变式1-1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）设是两个不同的平面，是直线且.“”是“”的 条件.（填“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“不充分不必要”） 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为 . 【变式1-3】（23-24高二上·上海金山·期中）在正四棱柱中，已知是棱的中点，是对角线的中点，设是正四棱柱的面上的动点，且平面，则动点P围成的图形的周长为 ． 【方法二】空间中的垂直关系转化 【例2】（24-25高二上·上海·期中）命题：“若两个平面垂直，那么过第一个平面上一点且垂直于第二个平面的直线，不一定在第一个平面上.”上述命题为 （选填“真命题”或“假命题”）． 【变式2-1】（24-25高二上·上海静安·期中）从平面外一点向该平面引垂线段及斜线段、，已知的长为，，．则的长为 ． 【变式2-2】（24-25高二上·上海松江·期中）已知所在平面外一点，且二面角、、大小相等，则点在平面内的射影应为的 心. 【变式2-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知平面，垂直，则图中共有 个直角三角形． 【变式2-4】（24-25高二上·上海静安·期中）已知在平面上，平面外一点满足，，，则点在平面上的投影点是的 .（请在“外心”、“内心”、“垂心”中选填一个） 【方法三】空间角的求法 (1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)． (2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)． (3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法；③垂面法． 【题型一】求异面直线所成的角 【例1】（24-25高二上·上海·期中）在长方体中，，则直线与直线所成角的余弦值为 . 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为 . 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知正方体 的棱长为2，，分别为，的中点，求异面直线与所成角.    【变式1-3】（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍（méng）”的五面体（如图），其中四边形为矩形，.若，和都是正三角形，且，求异面直线与所成角的大小.    【题型二】求线面角 【例2】（24-25高二上·上海·期中）正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为 . 【变式2-1】（24-25高二上·上海浦东新·期中）若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则直线与平面所成角的正切值是 【变式2-2】（23-24高二上·上海·期中）在正方体中，与平面所成角的大小为 . 【变式2-3】（23-24高二上·上海·期中）在长方体中，，则直线与平面所成角的大小为 . 【题型三】由线面角的大小求值 【例3】（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是    【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）如果三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，顶点在底面的射影在内，那么是的 心. 【变式3-2】（23-24高二上·上海普陀·期中）在四棱锥中，已知平面，底面四边形是正方形，，直线与平面所成角的正切值是，则 ． 【变式3-3】（24-25高二上·上海·期中）设点到平面的距离为，点在平面上，使得直线与所成的角不小于且不大于，则满足条件的点构成的区域的面积为 . 【题型四】求二面角 【例4】（24-25高二上·上海·期中）若二面角内一点到的距离分别等于，则该二面角的大小为 . 【变式4-1】（24-25高二上·上海·期中）正四面体棱长为1，平面，垂足为，设为线段上一点，且，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·上海·期中）正四棱锥的侧面是正三角形，则它的侧面与底面所成二面角的正弦值为 ． 【题型五】由二面角大小求线段长度或距离 【例5】（23-24高二上·上海崇明·期中）在的二面角的一个面上有一点，它到棱的距离等于，则点到另一个平面的距离为 ． 【变式5-1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）在二面角的一个面内有一个点，它到另一个平面的距离是，则这个点到二面角的棱的距离为 . 【变式5-2】（23-24高二上·上海浦东新·期中）若一个二面角的大小为，且点到平面的距离为，则点到棱的距离为 ． 【方法四】空间距离的求法 （1）求两异面直线的距离，关键是找到两异面直线的公垂线，并给出证明，然后再求出公垂线的长度，即采用“作”—“证”—“求”的方法． 2．可以用垂线法和等积法求点到平面的距离． 从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等积法转换求解． 3.直线与平面、两平行平面之间的距离可转化为点到平面的距离，再求值． 【题型一】求点面距离 【例1】（24-25高二上·上海·期中）已知正方体棱长为2，则点到平面的距离为 . 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知长方体的棱长，则点到棱的距离是 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，平面.正方形的边长为，，则到平面的距离是 . 【题型二】求异面直线的距离 【例2】（23-24高二上·上海普陀·期中）已知长方体的棱，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【变式2-1】（23-24高二上·上海黄浦·期中）已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 . 【变式2-2】（21-22高二上·上海奉贤·期中）若正方体的棱长为，则异面直线与之间的距离为 . 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01空间直线与平面（13知识&10题型&2易错&4方法清单） 【清单01】平面的基本性质及推论 1．公理1：如果一条直线上有两点在一个平面上 ， 那么这条直线上所有的点都在这个平面上 ． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 2．公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面 符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示： 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． （1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示： （2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： （3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： 3．公理3：如果两个不同的平面有一个公共点 ， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ． 符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示： 作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点． 对三个公理的理解 （1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内． （2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件． （3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一． 【清单02】异面直线及其所成的角 1、异面直线所成的角： 直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直． 2、求异面直线所成的角的方法： 求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线． 【清单03】异面直线的判定 （1）判定空间直线是异面直线方法： ①根据异面直线的定义； ②异面直线的判定定理． 【清单04】空间中直线与直线之间的位置关系 空间两条直线的位置关系： 位置关系 共面情况 公共点个数 图示 相交直线 在同一平面内 有且只有一个 平行直线 在同一平面内 无 异面直线 不同时在任何一个平面内 无 【清单05】空间中直线与平面之间的位置关系 空间中直线与平面之间的位置关系： 位置关系 公共点个数 符号表示 图示 直线在平面内 有无数个公共点 a⊂α 直线和平面相交 有且只有一个公共点 a∩α＝A 直线和平面平行 无 a∥α 【清单06】直线与平面平行 1、直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α． 2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行． 1、直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b． 2、直线和平面平行的性质定理的实质是： 已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行． 由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行． 正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条． 【清单07】直线与平面垂直 直线与平面垂直： 如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面． 直线与平面垂直的判定： （1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线． （2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． （3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 直线与平面垂直的性质： ①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b ②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b． 【清单08】平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系： 位置关系 公共点个数 符号表示 图示 两平面平行 无 α∥β 两平面相交 有一条公共直线 α∩β＝l 【清单09】平面与平面平行 两个平面平行的判定： （1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． （2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β． （3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β． 平面与平面平行的性质： 性质定理1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面． 性质定理2：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 性质定理3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面． 【清单10】平面与平面垂直 平面与平面垂直的判定： 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 平面与平面垂直的性质： 性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内． 性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面． 性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直． 【清单11】直线与平面所成的角 直线和平面所成的角，应分三种情况： （1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°； （3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°． 显然，斜线和平面所成角的范围是；直线和平面所成的角的范围为． 【清单12】二面角 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角， 2.二面角的平面角 （1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角 （2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角 （3）二面角的平面角范围是； （4）二面角平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直； 【清单13】异面直线的距离 异面直线和的距离：设直线和是异面直线，当点、分别在和上，且直线既垂直于直线，又垂直于直线时，我们把直线叫做异面直线和公垂线，，垂足、之间的距离叫做异面直线和的距离． 【题型一】平面的概念及其表示 【例1-1】（24-25高二上·上海·期中）用集合语言表述“直线和直线相交于点”： ． 【答案】且 【详解】由点与直线的位置关系可得“直线和直线相交于点”可表述为且； 故答案为：且 【例1-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）已知平面，直线，点，若，且，则 （填数学符号）． 【答案】 【详解】如果一条直线上的两点在平面内，那么这条直线在此平面内， 由题意可知， 故答案为：. 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）用符号表示“平面与相交于直线” ． 【答案】 【详解】“平面与相交于直线”的符号表示， 故答案为：. 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）“一个点和一条直线确定一个平面”是 命题.（填“真”、“假”） 【答案】假 【详解】当点在直线上不能确定一个平面，故此命题为假命题. 故答案为：假. 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期中）若点与直线确定一个平面，则点与直线的位置关系是点 直线（用“”、“”、“”填空） 【答案】 【详解】直线与直线外的一点可以确定一个平面， 所以点A与直线的位置关系是点， 故答案为： 【题型二】平面分空间的区域数量 【例2】（24-25高二上·上海静安·期中）两个平面最多可以将空间分成 部分. 【答案】4 【详解】两个平面的位置关系是平行与相交，若两个平面平行，则可将空间分成三部分，若两个平面相交，可将空间分成四部分. 故答案为：4. 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成 个区域． 【答案】 【详解】条直线把平面分成个区域，条直线把平面分成个区域，则有， 同理，条直线把平面分成个区域，则有， 条直线把平面分成个区域，则有， 条直线把平面分成个区域，则有， 依次类推，第条直线与前条直线都相交， 则第条直线有个交点，被分为段，每段都会把对应的平面分为两部分， 则增加了个平面，即． 故答案为：. 【题型三】】平面的基本性质及辨析 【例3】（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【答案】B 【详解】自行车的前轮、后轮、排脚与地面的三个接触点不在同一条直线， 它们可以确定一个平面，因此自行车就稳了， 故选：B. 【变式3-1】（24-25高二上·上海松江·期中）空间三点最多可确定 条直线. 【答案】3 【详解】当空间三点共线时，三点可以确定1条直线；当三点不共线时，三点可以确定3条直线， 所以空间三点最多可确定3条直线. 故答案为：3 【变式3-2】（24-25高二上·上海静安·期中）平面与平面相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是 ． 【答案】直线 【详解】根据题意，因为直线AB与直线l相交于点R，， 又平面与平面相交于直线l，所以平面β， 又点C在平面上，所以平面β， 因为平面γ，R点在直线AB上，所以平面， 又平面，所以平面， 所以与的交线是直线． 故答案为：直线． 【变式3-3】（24-25高二上·上海·期中）正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 【详解】（1） 连接，并延长直线，交射线于， 因为， 所以确定一个平面， 平面和平面的交线为. （2）连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以四边形是等腰梯形. 【题型四】点（线）确定的平面数量问题 【例4】（23-24高二上·上海浦东新·期中）两条相交直线确定 个平面. 【答案】 【详解】根据平面的基本事实，结合确定平面的依据，可得两条相交直线确定唯一的一个平面. 故答案为：. 【变式4-1】（23-24高二上·上海静安·期中）空间两两相交且不共点的三条直线可以确定 平面． 【答案】1 【详解】空间两两相交且不共点的三条直线，可得三个交点不在同一条直线上， 根据平面的基本事实1，过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 故答案为：1. 【变式4-2】（24-25高二上·上海·期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误， 对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确， 对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误， 对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外 ，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确 故选：B 【题型五】空间中的点（线）共面问题 【例5】（23-24高二上·上海浦东新·期中）若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 . 【答案】平行或相交 【详解】若空间中两条直线、确定一个平面，则、平行或相交. 故答案为：平行或相交. 【变式5】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【详解】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 【题型六】由平面的基本性质作截面图形 【例6】（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【答案】D 【详解】取的中点，连接， 因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为， 所以，， 故， 所以四边形为平行四边形， 故经过、、的截面为平行四边形. 故选：D 【变式6-1】（24-25高二上·上海·期中）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是 （填上所有满足条件的几何体的序号） ①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台 【答案】①②④ 【详解】①正三棱柱的截面可以是五边形，如下图所示： ②正方体的截面可以是五边形，如下图所示： ③正三棱锥的截面最多边数的是四边形，不可能是五边形； ④正四棱锥的截面可以是五边形，如下图所示： 圆柱、圆锥、圆台的截面都不可能是五边形， 故答案为：①②④. 【变式6-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【详解】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 【题型七】斜二测画法中有关量的计算 【例7-1】（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 . 【答案】 【详解】由直角梯形可得，，， ， 而，故， 故直角梯形的面积为， 故答案为： 【例7-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是矩形，其中，，则原图形周长是 ．    【答案】 【详解】    在直观图中，设与交于点， 根据题意，为矩形，， 则，所以， 在平面直角坐标系下还原图形，如图：   ， 所以原图形的周长为：. 故答案为： 【变式7-1】（24-25高二上·上海·期中）已知一个利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中，，，则原的面积为 . 【答案】21 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】由直观图还原出原图形，并得出相应线段的长度，然后计算三角形面积． 【详解】由直观图还原原图形，如图，，， 则， 故答案为：21. 【变式7-2】（24-25高二上·上海·期中）用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图如图所示，已知，则的面积为 . 【答案】 【详解】不妨设的底边，点到边的距离为，则，如下图所示： 在斜二测直观图中，如下图所示： 点到直线的距离为， 所以，，则， 本题中，在直观图中，， 则为等边三角形，则， ， 所以，， 所以，， 则. 故答案为：. 【变式7-3】（24-25高二上·上海·期中）若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为 . 【答案】 【详解】 如图，过点作于点，则为等腰直角三角形， 由平行四边形的面积为8得， ∵，∴，∴， ∴原平面图形中，，. 故答案为：. 【题型八】异面直线的判定 【例8】（24-25高二上·上海·期中）在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成（   ）对异面直线． A．72 B．96 C．102 D．126 【答案】D 【详解】每条棱与其他棱构成异面直线，共有条； 每条棱与面对角线构成异面直线，共有条； 每条面对角线每条面对角线与其他面对角线构成异面直线，共有条， 所以共有条. 故选：D. 【变式8-1】（24-25高二上·上海·期中）在正方体各个表面的对角线所在直线中，与直线异面的直线有n条，则 【答案】5 【详解】观察可得，与直线异面的直线有，共5条， 所以. 故答案为：5. 【变式8-2】（23-24高二上·上海·期中）如图，正六棱柱的底面和顶面均为正六边形，侧棱均垂直于底面和顶面.其6个侧面12条面对角线所在的直线中，与直线异面的共有 条.    【答案】5 【详解】与直线相交的有， 与直线平行的有， 剩余的与直线异面，共5条. 故答案为：5 【题型九】线面关系的判断 【例9-1】（23-24高二上·上海·期中）已知直线，，平面，则“，”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．不充分不必要 【答案】D 【详解】若直线，直线且，则直线，可以相交，故不是充分条件； 若直线，且，都与平面相交，则也不是必要条件. 故选：D 【例9-2】（23-24高二上·上海普陀·期中）已知正方形在平面的同一侧，若A、B、C三点到平面的距离分别为1、2、3，则直线与平面的位置关系为 .（填“平行”或“相交”） 【答案】平行 【详解】根据题干信息，连结，相交于点.则点为的中点， 分别作平面，平面，平面. 则四边形为直角梯形，为梯形的中位线， 因为，两点到平面的距离分别为1、3. 则，点到平面的距离也为2，直线在平面的同侧， 所以上有两个点距离都为2，则直线平面. 故答案为：平行. 【例9-3】（24-25高二上·上海·期中）命题：若直线与平面上的无数条直线垂直，则，是 命题（选填“真”或“假”）． 【答案】假 【详解】当时，在平面内存在无数条直线与直线垂直，但是与不垂直，故命题为假命题. 故答案为：假. 【例9-4】（24-25高二上·上海·期中）下列四个命题： ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行； ③若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线； ④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. 其中，真命题的序号是 . 【答案】③④ 【详解】对于①，如图所示： 满足直线上有无数个点不在平面内，此时直线与平面相交，故①错误； 对②，若直线与平面平行，则直线与平面内的直线无公共点， 即直线与平面内的直线平行或异面，故②错误； 对③，若直线不平行于平面且，则直线与平面相交， 若在平面内存在直线，使得， 又因为，，由线面平行的判定定理可得，与已知条件矛盾，故③正确； 对④，若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点，故④正确. 故答案为：③④. 【变式9-1】（23-24高二上·上海崇明·期中）“直线垂直于平面内的所有直线”是“”的 条件． 【答案】充要 【详解】由直线与平面垂直的定义及直线垂直于平面内的所有直线，得， 反之，直线，则直线垂直于平面内的所有直线， 所以“直线垂直于平面内的所有直线”是“”的充要条件. 故答案为：充要 【变式9-2】（24-25高二上·上海崇明·期中）正方体中，与的交点称为正方体的中心，若平面经过该正方体的中心，且顶点，到平面的距离相等，则符合条件的平面的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．12个 D．无数个 【答案】D 【详解】分别在上取点，使得，连接，如下图所示： 易知平面即为平面，此时，到平面的距离相等， 显然这样的平面可以作出无数个. 故选：D 【变式9-3】（24-25高二上·上海·期中）已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【详解】根据直线与平面垂直的判定定理可知： 如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面. 而“垂直于内的两条直线”，没有满足相交， 所以不一定能推出直线与平面垂直， 但是如果一条直线与平面垂直，一定能推出这条直线垂直于平面内的所有直线， 即可得：“垂直于内的两条直线”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【题型十】解答综合题 【例10-1】（24-25高二上·上海宝山·期中）正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值. 【详解】（1）因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面. （2）连接，如下图所示： 在正方体中，，， 故四边形为平行四边形，所以， 所以与的夹角为或其补角， 易知为等边三角形，故. 因此，与的夹角的余弦值为. 【例10-2】（24-25高二上·上海徐汇·期中）正方体，E，F分别是棱，的中点．    (1)直线平面； (2)求异面直线与所成角的大小； 【详解】（1）取中点，连接， 则, 由于平面，平面，故平面, 由于,故四边形为平行四边形， 则， 平面，平面，故平面, 平面， 故平面平面， 平面,故直线平面    （2）由（1）知， 或其补角为异面直线与所成角， 设正方体棱长为1，则，， ，所以异面直线与所成角的大小为.    【变式10-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，棱长为2的正方体中，分别是的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角表示） 【详解】（1）如图：连接，. 因为为正方体，所以. 又，、分别是、的中点，所以， 所以，平面，平面，所以平面. （2）如图：连接、 因为，所以即为异面直线与所成的角，设为. 在中，，，. 所以. 所以异面直线与所成的角为：. 【变式10-2】（24-25高二上·上海·期中）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的大小（结果用反三角表示）； (3)若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大. 【详解】（1）由题意可得都是边长为2的等边三角形， 所以，则， 所以，因为， 所以， 设点到平面的距离为， 则，可得， 即，解得， 则点到平面的距离为. （2） 过作于，连接，因为平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 由题意知，是边长为2的等边三角形， 所以，由， 知， 在中，，即， 所以二面角的大小为． （3）因为，且平面平面，所以平面， 所以到平面的距离即为到平面的距离，因为， 所以，即， 所以， 即到平面的距离为， 设直线与平面所成的角为，则， 要使最大，则需使最小，此时，由对称性知，， 所以， 即， 故当点在线段上靠近点的处时， 直线与平面所成的角最大，最大角为． 【变式10-3】（24-25高二上·上海松江·期中）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 【详解】（1）取的中点，连接、，又为的中点，则且， 而平面，平面，则，，又，则， 因此四边形为平行四边形，则，而平面，平面， 所以平面. （2）在等边中，为的中点，则， 由平面，平面，得， 而，于是，，又，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面. （3）在平面内，过作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，则为和平面所成的角， 由，，得，，， 在中，， 所以直线和平面所成角的正弦值为. 【题型一】空间位置关系判断错误 1.异面直线的判定：不能准确理解异面直线的定义和判定定理，容易错误地判断两条直线的位置关系。例如，分别和两条异面直线相交的两条不同直线，可能异面也可能相交，但很多同学容易忽略相交的情况，直接认为是异面关系。 2.平面与空间的混淆：把空间问题简单地等同于平面问题处理。如在正四面体的平面展开图还原问题中， 不能正确还原空间图形，从而对直线间的平行、异面、垂直等关系判断错误 【例1】（24-25高二上·上海·期中）已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【答案】B 【详解】因为与相交，所以与确定一个平面，不妨设为， 又，所以或， 若，则与相交，若，则与异面； 综上可得与的位置关系是相交或异面. 故选：B 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）如果平面外有两点、，它们到平面的距离都是3，则直线和平面的位置关系是 ． 【答案】平行或相交. 【详解】若、在平面的同侧，因为平面外有两点、到平面的距离相等， 所以直线和平面平行； 若、在平面的两侧，因为平面外有两点、到平面的距离相等， 所以直线和平面相交； 综上所述:直线和平面的位置关系一定是平行或相交 故答案为：平行或相交. 【题型二】空间角的计算错误 异面直线所成角：在求异面直线所成角时，不能正确地通过平移直线将异面直线所成角转化为相交直线所成角，或者在平移过程中出现错误。另外，在计算出相交直线所成角后，没有注意到异面直线所成角的范围是（0°，90°】，如果求出的角是钝角，没有取其补角作为异面直线所成角。 【例2】（24-25高二上·上海·期中）是空间四边形，且和成角，、分别是和的中点，则和所成的角是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】 取中点，连结， ∵在空间四边形中，，且异面直线与所成的角为， 分别为边和的中点， 且 且， 是异面直线AB与CD所成的角（或所成角的补角）， ∵异面直线与所成的角为， ∴或， ∵，得是异面直线和所成的角， 当时， ， 当时，， ∴异面直线和所成的角为或. 故选：C. 【变式2-1】（23-24高二上·上海奉贤·期中）若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】在空间取一点，经过点分别作， 设直线确定平面，当直线满足它的射影在所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角， 因为直线，所成的角为，得所成锐角等于， 所以当射影在所成锐角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 当的射影在所成钝角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条. 故选：D. 【变式2-2】（23-24高二上·上海普陀·期中）在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为 . 【答案】或 【详解】取中点为，连接， 因为分别是的中点， 所以，，，且，. 又异面直线所成角的大小为， 所以，或. 当时， 在中，由余弦定理可得， ， 所以，； 当时， 在中，由余弦定理可得， ， 所以，. 综上所述，或. 故答案为：或. 【变式2-3】（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，异面直线与所成的角的余弦值等于 .    【答案】 【详解】   ,为边长为1的等边三角形，将沿着翻折形成三棱锥 ,如图，点在底面上的投影在的平分线上， 则三棱锥的高为过点的高， 所以当平面平面时，三棱锥的高最大，体积最大， 此时为平面平面平面所成的角，所以, 且平面, 所以平面， 分别取中点为,连接, 因为所以为异面直线与所成的角或其补角， 在中， , 在直角三角形中，, 所以, 由余弦定理可得，,    所以异面直线与所成的角的余弦值为， 故答案为: . 【方法一】空间中的平行关系转化 【例1】（24-25高二上·上海·期中）空间中垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是 . 【答案】平行 【详解】由线面垂直的性质定理可知，空间中垂直于同一条直线的两个平面平行. 故答案为：平行. 【变式1-1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）设是两个不同的平面，是直线且.“”是“”的 条件.（填“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“不充分不必要”） 【答案】必要不充分 【详解】由直线且，则或与相交，所以充分性不成立； 反之：若且，根据两平面平行的性质，可得，即必要性成立， 所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为 . 【答案】或 【详解】 由已知，平面，平面， 所以， 当平面，在点同侧时，由可知点在靠近平面一侧， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 当平面，在点异侧时， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 综上所述或， 故答案为：或. 【变式1-3】（23-24高二上·上海金山·期中）在正四棱柱中，已知是棱的中点，是对角线的中点，设是正四棱柱的面上的动点，且平面，则动点P围成的图形的周长为 ． 【答案】 【详解】是对角线的中点,故是正四棱柱的中心， 所以点均在平面上， 平面，即平面， ， 取的中点分别为, 且是棱的中点 ,, 且平面，平面， 平面，平面, 且平面，, 所以平面平面， 所以当平面时，平面， 此时平面，即平面. 且是正四棱柱的面上的动点， 故围成的图形即四边形, 四边形的周长为: . 故答案为： 【方法二】空间中的垂直关系转化 【例2】（24-25高二上·上海·期中）命题：“若两个平面垂直，那么过第一个平面上一点且垂直于第二个平面的直线，不一定在第一个平面上.”上述命题为 （选填“真命题”或“假命题”）． 【答案】假命题 【详解】如图，我们将垂直的两个平面记为，两条直线分别记为，点记为， 由题意得，，且设， 过点作，故， 由面面垂直的性质得，因为过一点有且只有一条直线与垂直， 所以直线与直线重合，故. 故答案为：假命题. 【变式2-1】（24-25高二上·上海静安·期中）从平面外一点向该平面引垂线段及斜线段、，已知的长为，，．则的长为 ． 【答案】 【详解】如图，设平面为，由题意得平面，因为平面，所以， 在中，，， 所以，同理， 在中，，， 所以． 故答案为： 【变式2-2】（24-25高二上·上海松江·期中）已知所在平面外一点，且二面角、、大小相等，则点在平面内的射影应为的 心. 【答案】内 【详解】如下图，若面，且，连接， 由面，则， 又均在面内，则面，面，即， 同理可证，结合二面角、大小相等， 结合下图示，、对应二面角分别为， 在中，， 所以，则， 综上，到距离相等，同理到距离与到距离也一样， 所以点在平面内的射影是的内心. 故答案为：内 【变式2-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知平面，垂直，则图中共有 个直角三角形． 【答案】 【详解】因为平面，、、平面， 所以，，，， 因为，，、平面，则平面， 因为平面，所以，， 所以，、、、都是直角三角形， 因为，图中共有个直角三角形. 故答案为：. 【变式2-4】（24-25高二上·上海静安·期中）已知在平面上，平面外一点满足，，，则点在平面上的投影点是的 .（请在“外心”、“内心”、“垂心”中选填一个） 【答案】垂心 【详解】连接，由，，平面， 得平面，而平面，则，又平面， 则，又平面，因此平面， 而平面，则，同理， 所以点是的垂心. 故答案为：垂心 【方法三】空间角的求法 (1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)． (2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)． (3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法；③垂面法． 【题型一】求异面直线所成的角 【例1】（24-25高二上·上海·期中）在长方体中，，则直线与直线所成角的余弦值为 . 【答案】 【详解】如图所示： 不妨设，则由长方体性质可得， 易知直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即为或其补角； 在中，可得， 由余弦定理可知. 故答案为： 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为 . 【答案】 【详解】设的中点分别为，连接,,,， 由题意可得，，且， 所以四边形为平行四边形， 因为异面直线与所成的角为， 所以直线与所成的角等于， 所以． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知正方体 的棱长为2，，分别为，的中点，求异面直线与所成角.    【答案】 【详解】取中点，连接，，，    因为是中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角，为. 由题意知，， 故在△ 中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角为. 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍（méng）”的五面体（如图），其中四边形为矩形，.若，和都是正三角形，且，求异面直线与所成角的大小.    【答案】 【详解】    如图，在上取一点，使得， 因为，，四边形为矩形， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以为异面直线与所成角或其补角， 设，所以，， 因为和都是正三角形，所以， 由，所以， 所以，所以， 所以异面直线与所成角为. 【题型二】求线面角 【例2】（24-25高二上·上海·期中）正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为 . 【答案】 【详解】在正方体中，平面， 则是直线与平面所成的角，而， 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 故答案为：    【变式2-1】（24-25高二上·上海浦东新·期中）若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则直线与平面所成角的正切值是 【答案】 【详解】 因为为正四棱柱，则底面为正方形，所以， 又平面，平面，所以， 平面，，所以平面， 由线面角的定义可知，为直线与平面所成角， 则. 故答案为： 【变式2-2】（23-24高二上·上海·期中）在正方体中，与平面所成角的大小为 . 【答案】 【详解】如图，连接交交于点，连接，在正方形中，， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以平面，垂足点为点， 所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以， 即与平面所成的角为. 故答案为： 【变式2-3】（23-24高二上·上海·期中）在长方体中，，则直线与平面所成角的大小为 . 【答案】 【知识点】求线面角 【分析】根据长方体的性质及线面角定义可得出线面角，根据直角三角形求解即可. 【详解】连接，如图， 因为平面， 所以为直线与平面所成角， 故, 所以. 故答案为： 【题型三】由线面角的大小求值 【例3】（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是    【答案】 【详解】连接，相交于点，连接， 则⊥平面，故， 因为，所以，， 故，故， 正四棱锥的高为.    故答案为： 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）如果三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，顶点在底面的射影在内，那么是的 心. 【答案】外 【详解】三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，设夹角为， 顶点在底面的射影在内， 所以， 所以，故是的外心. 故答案为：外 【变式3-2】（23-24高二上·上海普陀·期中）在四棱锥中，已知平面，底面四边形是正方形，，直线与平面所成角的正切值是，则 ． 【答案】 【详解】四棱锥中， 平面， 平面，，， 底面四边形是正方形，则， 平面，，平面， 则直线与平面所成角为，   中，，， 中，. 故答案为： 【变式3-3】（24-25高二上·上海·期中）设点到平面的距离为，点在平面上，使得直线与所成的角不小于且不大于，则满足条件的点构成的区域的面积为 . 【答案】 【详解】如图， 过作，则， 当时，，当时，． 所以，满足条件的点构成的区域的面积为. 故答案为：. 【题型四】求二面角 【例4】（24-25高二上·上海·期中）若二面角内一点到的距离分别等于，则该二面角的大小为 . 【答案】 【详解】如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 则， 因为，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 同理，故四点共面， 则即为二面角的平面角， 在中，，则， 在中，，则， 所以，所以， 即二面角的大小为. 故答案为：. 【变式4-1】（24-25高二上·上海·期中）正四面体棱长为1，平面，垂足为，设为线段上一点，且，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，是中心， 连接延长交于，则是中点，连接，则，， 而平面，则平面， cc以平面，则，因此是二面角的平面角． 由，，得，， 又，由平面，平面，得， 所以二面角的余弦值. 故选：B 【变式4-2】（24-25高二上·上海·期中）正四棱锥的侧面是正三角形，则它的侧面与底面所成二面角的正弦值为 ． 【答案】 【详解】正四棱锥的四个侧面与底面所成角相等， 如图所示，正四棱锥中，为对角线的交点，为的中点， 则底面，， 则， 则即为侧面与底面所成角的平面角， 因为正四棱锥的侧面是正三角形，所以该棱锥的侧棱与底面边长相等，设棱锥的棱长为， 则， 在中，， 即正四棱锥的侧面与底面所成角的正弦值为. 故答案为：. 【题型五】由二面角大小求线段长度或距离 【例5】（23-24高二上·上海崇明·期中）在的二面角的一个面上有一点，它到棱的距离等于，则点到另一个平面的距离为 ． 【答案】1 【详解】二面角大小为，点，于，且， 过作于，连接，显然，而平面， 则平面，又平面，因此，是二面角的平面角， 即，于是， 所以点到另一个平面的距离为1. 故答案为：1 【变式5-1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）在二面角的一个面内有一个点，它到另一个平面的距离是，则这个点到二面角的棱的距离为 . 【答案】 【详解】如下图所示： 二面角为，点，点在平面内的射影点为， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为，，则， 因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，则， 所以，二面角的平面角为，故. 因此，这个点到二面角的棱的距离为. 故答案为：. 【变式5-2】（23-24高二上·上海浦东新·期中）若一个二面角的大小为，且点到平面的距离为，则点到棱的距离为 ． 【答案】 【详解】过作，垂足为，过作，垂足为，连接，则，    因为，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 所以是二面角的平面角，即， 所以点到棱的距离为. 故答案为：. 【方法四】空间距离的求法 （1）求两异面直线的距离，关键是找到两异面直线的公垂线，并给出证明，然后再求出公垂线的长度，即采用“作”—“证”—“求”的方法． 2．可以用垂线法和等积法求点到平面的距离． 从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等积法转换求解． 3.直线与平面、两平行平面之间的距离可转化为点到平面的距离，再求值． 【题型一】求点面距离 【例1】（24-25高二上·上海·期中）已知正方体棱长为2，则点到平面的距离为 . 【答案】 【详解】如图所示，E为侧面的中心， 根据正方体的特征可知平面， 平面，所以， 又平面， 所以平面，即点到平面的距离为. 故答案为： 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知长方体的棱长，则点到棱的距离是 【答案】5 【详解】连结，如图： 在长方体中，由平面，平面， 所以，则点到棱的距离是， 在矩形中，. 故答案为：5 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，平面.正方形的边长为，，则到平面的距离是 . 【答案】 【详解】因为，平面，平面， 所以平面， 即点到平面的距离等于到平面的距离， 过点作⊥于点， 因为平面，平面， 所以， 又⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故的长即为到平面的距离， 因为，，故， 则. 故答案为： 【题型二】求异面直线的距离 【例2】（23-24高二上·上海普陀·期中）已知长方体的棱，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以是异面直线与所成角或其补角， 在直角中，，， 故答案为：．    【变式2-1】（23-24高二上·上海黄浦·期中）已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 . 【答案】 【详解】在正方体中，平面， 所以直线与的距离即为点到的距离， 又因为正方形的对角线为，且， 所以点到的距离为， 即异面直线与之间的距离是. 故答案为：． 【变式2-2】（21-22高二上·上海奉贤·期中）若正方体的棱长为，则异面直线与之间的距离为 . 【答案】 【详解】如图： 因为是正方体，所以，平面， 又因为平面，所以， 所以是异面直线与的公垂线段， 所以异面直线与之间的距离为． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $