1.2 &1.3空间向量基本定理及坐标运算讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2&1.3 空间向量基本定理及坐标运算

 

【知识必备】

一、空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．

二、空间向量的正交分解

1．单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．

2．向量的正交分解

由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．

三、空间直角坐标系

1．空间直角坐标系及相关概念

(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．

2．右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．

四、空间一点的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．

五、空间向量的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．

六、空间向量的坐标运算

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有

 

七、空间向量的平行、垂直及模、夹角

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有

当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；

a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；

|a|＝＝；

cos〈a，b〉＝＝ .

八、空间两点间的距离公式

设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，

则P1P2＝||＝.

【题型精讲】

【题型一  空间向量基底的判断】

方法技巧  基底的判断思路

(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．

(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．

例1（基底的判断）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（   ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

 

例2（求参数）已知，，，若不能构成空间的一个基底，则         .

例3（换基底求坐标）已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

 

【跟踪精练】

1．（1）已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（    ）

A． B． C． D．

（2）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（    ）

A． B．

C． D．

（3）若为空间的一个基底，则下列各项中不能构成基底的一组向量是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

 

2．已知非零向量不共线，如果，则四点（    ）

A．共线 B．恰是空间四边形的四个顶点 C．共面 D．不共面

 

3．下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ）

A．已知向量，则、与任意向量都不能构成空间的一个基底

B．若，，，四点共面，则

C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底

D．在四面体，，，中，若，，则

 

4．已知是空间的一组单位正交基，是空间的另一组基.若向量在下的坐标为，则向量在下的坐标为（    ）

A． B． C． D．