第11章 整式的乘除习题课件 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

第11章 整式的乘除 11.4 整式的除法 11.4.2 多项式除以单项式 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点 多项式除以单项式 1.【答题模板】计算: ______ _______________ _ ________________ . 2.计算： 的结果是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.计算 的结果为( ) B A. B. C. D. 4.若长方形的面积是，它的一边长为 ，则它的 周长为( ) D A. B. C. D. 5.如果，那么单项式 等于 ( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 6.计算： （1） _______; （2） ___________; （3） _ _______________. 7.当时，式子 的值为__. 分层训练 构建学科思维 5 8.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 6 （3） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 7 9.（2024·白银）先化简，再求值： ,其中， . 解：原式 . 当，时，原式 . 分层训练 构建学科思维 8 10.（吉林中考）【阅读理解问题】下面是一道例题及其解答过 程的一部分，其中是关于的多项式.请写出多项式 ，并将该 例题的解答过程补充完整. 例：先去括号，再合并同类项： . 解： ________. 解：由题意，得 . 分层训练 构建学科思维 9 11.对任意整数 ，按下列程序计算，则输出结果为( ) D A. B. C. D.1 12.如果，且 为正整数，我们称多项式 能被整除.已知多项式能被 整除， 则常数 只能为___. 0 分层训练 构建学科思维 10 13.计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 11 14.化简求值： ， 其中， ． 解：原式 ． 当，时，原式 ． 分层训练 构建学科思维 12 15.小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不 小心污染了这道习题，只看见了被除式的最后一项“ ”和中 间的“ ”，污染后的习题形式如下：（ ） ， 小明翻看了书后的答案是“ ”，你能复原这个 算式吗？ 分层训练 构建学科思维 13 解：能复原这个算式. 由题意，得原来的除式是 . 所以被除式是 . 所以原来的算式为 . 分层训练 构建学科思维 14 16.如图1所示的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入 如图2所示的杯子中，那么你知道一共需要多少个这样的杯子吗？ （单位： ） 图1 图2 分层训练 构建学科思维 15 解：依题意，得 . 一共需要 个这样的杯子. 分层训练 构建学科思维 16 $第11章 整式的乘除 全国视野 核心素养专练 1 1.【推理能力】（荆门中考）对于任意实数， ， 恒成立，则下列关系式正确的是 ( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 2 2.【数学文化】【推理能力】（为非负整数）当 ， 1，2，3， 时的展开情况如下： ； ； ； ； ； ； …… 分层训练 构建学科思维 3 观察上面式子的等号右边各项的系数， 我们得到了下图： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详 解九章算法》中列出的一个神奇的 “图”，他揭示了 展开后各项系 C A.128 B.256 C.512 D.1024 数的情况，被后人称为“杨辉三角”.根据图，你认为 展开 式中所有项系数的和应该是( ) 分层训练 构建学科思维 4 3.【抽象能力、推理能力、应用意识、创新意识】在日常生活中， 如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密 码，方便记忆.如：对于多项式 ，因式分解的结果是 ，若取， 时，则各个因式的 值是：，， ，于是就可 以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式 ，取 ， 时，用上述方法生成的密码可以是( ) D A.101001 B.1307 C.1370 D.10137 分层训练 构建学科思维 5 4.【注重阅读理解、数学文化】（常州中考节 选）第十四届国际数学教育大会 会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了 2022 我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数 符号写出的八进制数3745. 八进制是以8作为进位基数的数字系统， 有 共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是 ，表示 的举 办年份.八进制数3746换算成十进制数是______. 分层训练 构建学科思维 6 5.【几何直观、运算能力】（六盘水中考）如图， 学校劳动实践基地有两块边长分别为， 的正方 形秧田，，其中不能使用的面积为 . （1）用含，的代数式表示 中能使用的面积________； （2）若，，求比 多出的使用面积. 解：比 多出的使用面积为 . 答：比 多出的使用面积为50. 分层训练 构建学科思维 7 6.【跨学科融合】【抽象能力、运算能力、应用意识】如图，把 ，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为 ， 则，当 ， ， ，时，求 的值. 分层训练 构建学科思维 8 解： . 答：的值为 . 分层训练 构建学科思维 9 7.【运算能力、推理能力】有一系列等式： ； ； ； . （1）根据你的观察、归纳发现的规律，写出 的结果为______; 分层训练 构建学科思维 10 （2）试猜想 是哪一个数的平方，并 予以证明. 解：根据（1）中的规律，可猜想 . 证明：因为 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 11 8.【几何直观、推理能力、应用意识】用几个小的长方形、正方 形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的 正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些 不规则图形的面积. 分层训练 构建学科思维 12 （1）由图1可得等式：________________________； 图1 分层训练 构建学科思维 13 图2 （2）如图2，由几个面积不等的小正方形和 几个小长方形拼成一个边长为 的 正方形，从中你能发现什么结论？该结论用 等式表示为_____________________________ ________________； 分层训练 构建学科思维 14 （3）利用（2）中的结论解决以下问题：已知 ， ，求 的值； 解：因为 ，且 ， ， 所以 . 分层训练 构建学科思维 15 （4）如图3，由两个边长分别为，的正方形拼在一起，点 ， ，在同一直线上，连接,，若， ，则 图3中阴影部分的面积为____. 36 图3 分层训练 构建学科思维 16 $第11章 整式的乘除 11.1 幂的运算 11.1.3 积的乘方 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 积的乘方 1.（江西中考）计算 的结果为 ( ) A A. B. C. D. 2.计算 正确的是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.填空： （1）（天津中考改编） ___； [答案] ; ; （2）（2024·上海） ______. 分层训练 构建学科思维 4 4.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 5 （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 积的乘方的逆运算 5. ___． 6.若，，则 _____． 7.已知，则 的值为___. 1 2 分层训练 构建学科思维 7 8.指出下列的计算哪些是对的，哪些是错的，并将错误的改正. （1） ； [答案] ； （2） ； [答案] ； 分层训练 构建学科思维 8 （3） ； [答案] ； （4） . [答案] . 分层训练 构建学科思维 9 9.一个立方体的棱长是 ，则这个立方体的体积为 _____________ .（结果用科学记数法表示） 10.计算： （1） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 10 （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 11 11.若，，试求 的值． 解：因为， ， 所以， ， 所以， ， 解得， ． 所以 ． 分层训练 构建学科思维 12 12.已知，则 的值为______. 1025 分层训练 构建学科思维 13 $第11章 整式的乘除 11.2 整式的乘法 11.2.1 单项式与单项式相乘 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 单项式与单项式相乘 1.（2024·湖北省卷）计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 2.（遵义中考）下列计算正确的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.【答题模板】填空：__×__ =______. 5 4.计算： （1）（甘肃中考） _____； （2）（西宁中考） ______； （3） _______. 3 + + 分层训练 构建学科思维 4 5.计算： （1） ； 解：原式 ． （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 5 （3） ； 解：原式 . （4） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 6 （5） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 7 ▶ 知识点2 单项式与单项式相乘的应用 6.在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是 纳米，则 个这样的细胞排成的细胞链的长是( ) B A.纳米 B.纳米 C.纳米 D. 纳米 7.一种计算机每秒可以做 次运算，它工作600秒可做 ___________次运算（用科学记数法表示）. 分层训练 构建学科思维 8 8.计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 9.，则 ( ) C A.8 B.9 C.10 D.无法确定 10.若单项式与 是同类项，则这两个单项式的 积是_ ________. 分层训练 构建学科思维 9 11.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 10 （3） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 11 （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 12 12.有理数，满足条件 ，求代 数式 的值． 解：因为 ， 所以 解得 所以 ． 分层训练 构建学科思维 13 13.如图，长方形 是“阳光小区”内的一块空地，已知 ，，且为边的中点， ，现打算在 阴影部分种植一片草坪，求这片草坪的面积. 分层训练 构建学科思维 14 解：因为为的中点，，， ， 所以， . 所以 . 分层训练 构建学科思维 15 14.【新中考·新定义型运算】若三角形“ ”表示 ，方框 “ ”表示 ，求 × . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 16 $第11章 整式的乘除 专题训练（三） 整式的化简与求值 1 ▶ 类型1 整式的化简 1.计算： （1）（兰州中考） ; 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 2 （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 3 （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 4 ▶ 类型2 整式的化简与求值 2.化简求值： （1）（南充中考），其中 ; 解：原式 ． 当时，原式 ． 分层训练 构建学科思维 5 （2）（2024·赤峰节选）已知 ，求代数式 的值； 解：原式 . 因为，所以 . 当 时， 原式 . 分层训练 构建学科思维 6 （3），其中 ； 解：原式 ． 当时，原式 . 分层训练 构建学科思维 7 （4）（盐城中考），其中 ， ; 解：原式 ． 当，时，原式 ． 分层训练 构建学科思维 8 （5），其中， 满足 ． 解：原式 . 因为 ， 所以，，解得， . 当， 时， 原式 ． 分层训练 构建学科思维 9 ▶ 类型3 运用整式的运算进行推理说明 3.试说明式子的值与 的取值无关． 解：原式 ． 因为计算结果中不含字母 ， 所以式子的值与 的取值无关． 分层训练 构建学科思维 10 4.化简： . （1）若， 是任意整数，请观察化简后的结果，它能被3整除吗？ [答案] 原式 . 因为 是3的倍数， 所以它能被3整除. 分层训练 构建学科思维 11 （2）当 时，求式子的值. [答案] 因为 ， 所以， . 所以， . 当， 时， 原式 . 分层训练 构建学科思维 12 5.数学老师给学生出了一道题：当， 时，求 的值．题目出完后，小 明说：“老师给出的条件 是多余的．”小亮说：“不是多 余的．”你同意谁的说法？为什么？请给出推理过程． 分层训练 构建学科思维 13 解：同意小明的说法．理由如下： ． 因为结果只与有关，与 无关， 所以条件 是多余的， 所以当时，原式 ， 所以小明的说法正确． 分层训练 构建学科思维 14 6.（河北中考）【注重学习过程】发现：两个已知正整数之和与 这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以 表示为两个正整数的平方和. 验证：如, 为偶数，请把10的一半表示为 两个正整数的平方和. 探究：设“发现”中的这两个正整数为， ，请验证“发现”中的结 论正确. 分层训练 构建学科思维 15 解：验证：10的一半为5， . 探究： . 故两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且 该偶数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和. 分层训练 构建学科思维 16 $第11章 整式的乘除 11.5 因式分解 第2课时 运用公式法分解因式 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 运用平方差公式分解因式 1.（柳州中考）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的 是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.（2023·杭州）分解因式： ( ) A A. B. C. D. 3.因式分解: （1） __________________； （2） ______________________. 分层训练 构建学科思维 4 4.分解因式： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 5 （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 6 ▶ 知识点2 运用完全平方公式分解因式 5.下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 6.因式分解： （1）（2024·盐城） _________; （2） __________; （3）（2024·达州） ___________; （4）（2024·广元） _________; （5）（2024·通辽） ___________. 分层训练 构建学科思维 8 7.分解因式： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 9 （3） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 10 8.若，则 ( ) B A.12 B.10 C.8 D.6 9.若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整 数为“好数”.下列正整数中能称为“好数”的是( ) D A.205 B.250 C.502 D.520 分层训练 构建学科思维 11 10.（2024·广西）如果， ，那么 的值为( ) D A.0 B.1 C.4 D.9 分层训练 构建学科思维 12 11.分解因式： （1） ; 解：原式 ． （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 13 12.运用简便方法计算： （1） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 14 （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 15 13.学完《因式分解》之后，某数学兴趣小组对多项式 进行因式分解，过程如下： 解：设 ， 原式 . 分层训练 构建学科思维 16 （1）该同学因式分解的结果是否彻底？ ________（填“彻底”或“不彻底”）；若不彻底，请直接写出正确 的结果：_________； 不彻底 （2）该过程中用到的因式分解的方法是________； 公式法 分层训练 构建学科思维 17 （3）请你模仿上面的方法对多项式 进行因式分解. 分层训练 构建学科思维 18 解：设 ， 原式 . 分层训练 构建学科思维 14.有一张边长为 厘米的正方形 桌面，因为实际需要，需将正方 形边长增加 厘米，木工师傅设 计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证公式： . 对于方案一，小明是这样验证的： . 请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程. 分层训练 构建学科思维 20 解：方案二： . 方案三： . 分层训练 构建学科思维 21 $第11章 整式的乘除 易错易混专练 1 ▶ 易错点1 对幂的乘方法则理解不透而出错 1.下列四个算式中运算正确的有( ) ； ； ； . C A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 分层训练 构建学科思维 2 ▶ 易错点2 整式乘法时容易出现符号或者漏乘错误 2.计算： _____________________. 3.计算： ______________. 4.计算： _______________. 分层训练 构建学科思维 3 ▶ 易错点3 对乘法公式的特征理解不透而出错 5.下列计算正确的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 6.下列计算： ； ； ； .其中错误的个数有( ) B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 分层训练 构建学科思维 5 ▶ 易错点4 多种情况下出现漏解错误 7.已知，则整数 的值可能为_________. 8.（安顺中考）若代数式是一个完全平方式，则 __________. 9.若，，则 _______. 10.已知，，则 _______. 0，6，4 或10 3或 1或 分层训练 构建学科思维 6 易错点5 添括号时符号出错 11.计算： . 解： . 以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错在哪里，并写出正确 的解答过程. 分层训练 构建学科思维 7 解：不正确.将添括号时出错，正确的解答过程如下： . 分层训练 构建学科思维 8 ▶ 易错点6 多项式首项符号为“-”号时，因式分解出现符号 错误 12.把 分解因式，正确的结果是 ( ) B A. B. C. D. 13.分解因式： ___________________. 分层训练 构建学科思维 9 ▶ 易错点7 因式分解不彻底致错 14.因式分解： _________________________. 15.因式分解： ________________. 分层训练 构建学科思维 10 $第11章 整式的乘除 综合与实践 1 1.数形结合思想是根据数与形之 间的对应关系，通过数与形的相 互转化来解决数学问题的思 想．我们常利用数形结合思想， 借助形的几何直观性来阐明数之 间某种关系.如：探索整式乘法的一些法则和公式． 分层训练 构建学科思维 2 （1）探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状， 拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式为 ________________________; （2）探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为 的大正方体进 行以下探索： 在大正方体一角截去一个棱长为 的小正方体，如图3所 示，则得到的几何体的体积为________； 分层训练 构建学科思维 3 （3）将图3中的几何体分割成三个长方体①，②，③，如图4， 图5所示，，，， 长方体①的体积 为__________．类似地，长方体②的体积为 __________，长方 体③的体积为 __________；（结果不需要化简） （4）用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式 （将一个多项式因式分解）为 _____________________________ ____; 分层训练 构建学科思维 4 （5）问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知 ， ，求 的值． 解：因为，， ，所以 ， 所以 ， 所以 ． 分层训练 构建学科思维 5 2.“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在“整式的乘除”这一章 的学习过程中，我们经常采用构造几何图形的方法对整式的变形 加以说明，借助直观、形象的几何模型，加深对乘法公式的认识 和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟代数与几何内在的 统一性．#1 分层训练 构建学科思维 6 材料1：如图1，现有若干张3种不同型号的卡片：边长分别为 ， 的正方形卡片，长为，宽为 的长方形卡片；#1.1 分层训练 构建学科思维 7 材料2：用材料1中的卡片拼成图2（卡片间不重叠无缝隙），可 以用来验证我们学过的“和的完全平方公式”: ． 验证如下：因为 ， 且，所以 . 分层训练 构建学科思维 8 （1）写出图3中所验证的等式：_________________________； （2）请利用材料1中的卡片，设计一个几何图形来计算 ，并写出计算过程； 解： .如图所示. 分层训练 构建学科思维 9 （3）用（1）中的等式解决下面问题： 如图4，已知正方形的边长为，,分别为, 上的点， 已知，，长方形的面积为6，分别以 , 为边作正方形，求阴影部分的面积． 分层训练 构建学科思维 10 解：由图4,知， ， . 因为长方形 的面积是6， 所以 . 设，，，，则， ， 由，得 ， 所以，所以 ，即 . 答：阴影部分的面积为5． 分层训练 构建学科思维 11 $第11章 整式的乘除 章末复习 整式的乘除 1 ▶ 复习点1 幂的运算 1.（2024·无锡）下列运算正确的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 2 2.下面是小颖同学和小芳同学计算 的过程： 小颖： 小芳： 分层训练 构建学科思维 3 则她们计算步骤依据的运算性质依次~ 分别是( ) A A.积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的乘法、幂 的乘方 B.幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂 的乘法 C.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、幂的乘方、积的乘方 D.幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、幂的乘方 分层训练 构建学科思维 4 3. _ ___． 4.若，，则 _ __. 分层训练 构建学科思维 5 ▶ 复习点2 乘法公式 5.在等式（ ） 中，括号里应填的多项式是 ( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 6.我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成 的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释 ．那么通过图乙面积的计算，验证了 一个恒等式，此等式是( ) 图甲 图乙 分层训练 构建学科思维 7 A. B. C. D. √ 分层训练 构建学科思维 8 7.阅读理解： 已知，,求 的值. 解：因为，所以 ，即 . 因为，所以 . 分层训练 构建学科思维 9 参考上述过程，解答下列问题： （1）若，，则 ___， ___； 5 1 分层训练 构建学科思维 10 （2）若，.求 的值； 解：， ， 即， ， （3）若，，则 ____. . 分层训练 构建学科思维 11 ▶ 复习点3 整式的乘、除法 8.弟弟把小明的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目， 如图所示，请你帮他推测出被除式应等于( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 9.如果的乘积中不含的一次项，则 为( ) D A.2 B. C.1 D. 10.计算： （1）计算： _______; （2） ________; （3） ______________． 分层训练 构建学科思维 13 11.计算： . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 14 12.先化简，后求值： ，其中 ． 解：原式 ． 因为 ， 所以， ． 解得， ， 所以原式 ． 分层训练 构建学科思维 15 13.现有甲、乙、丙三种矩形卡片 各若干张，卡片的边长如图所示 ．某同学分别用6张卡片 拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表1和表2，其面积分别为 ， ． 分层训练 构建学科思维 16 表1 表2 分层训练 构建学科思维 17 （1）请用含的式子分别表示，，当时，求 的值； 解：由图,可知 ， ， 当时， ． （2）比较与 的大小，并说明理由． 解： ．理由如下： 因为 ， 且 ， 所以，所以 分层训练 构建学科思维 18 ▶ 复习点4 因式分解 14.分解因式： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 19 ▶ 复习点5 两种思想 思想1 整体思想 15.如果，，求和 的值. 解：因为， ， 所以 . . 分层训练 构建学科思维 20 思想2 方程思想 16.若，则 的值为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 17.若，求, 的值. 解：因为，且， 所以 ， 可得， ， 解得， . 分层训练 构建学科思维 21 $第11章 整式的乘除 11.3 乘法公式 11.3.1 两数和乘以这两数的差 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 平方差公式 1.下列各式中能用平方差公式计算的是 ( ) D A. B. C. D. 2.（2024·成都）下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.计算: （1）（2024·上海） ________； （2） _________； （3） ___________； （4） _________. 4.填空：（________） ． 分层训练 构建学科思维 4 5.运用平方差公式计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 5 （3） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 6 ▶ 知识点2 平方差公式的应用 6.三个连续的整数，中间的一个是 ，则这三个整数的积是( ) D A. B. C. D. 7.若三角形的底边长为，底边上的高为 ，则此三角 形的面积为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 8.填空： （1）（____-____）（________） _______-______ __________； 60 0.2 60 0.2 3 600 0.04 （2）（教材P37例2变式）计算： （_____- ___）（________） _______． 100 2 100 2 9 996 分层训练 构建学科思维 8 9.（2024·吉林）先化简，再求值： ，其 中 . 解：原式 . 当时，原式 . 分层训练 构建学科思维 9 10.为了运用平方差公式计算 ,下列变形 正确的是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 10 11.从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米 的正方形土 地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一 边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你， 租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老 汉的租地面积会( ) C A.没有变化 B.变大了 C.变小了 D.无法确定 分层训练 构建学科思维 11 12.【整体思想】（2024·凉山州）已知 ，且 ，则 ____. 【变式】若，则 ___． 6 13.计算 . 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 12 14.如图1，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为 的小正方形， 再沿着线段 剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形. 分层训练 构建学科思维 13 （1）设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为 ，请 直接用含，的代数式表示， ； 解： ， . （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式. 解： . 分层训练 构建学科思维 14 15.下面的式子均是多项式乘以多项式，其中第1个多项式都是 第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； … 分层训练 构建学科思维 15 （1）请根据规律，写出第4个等式：________________________ __________________________； （2）猜想：________（其中为正整数，且 ）； 分层训练 构建学科思维 16 （3）利用（2）猜想的结论计算： ． 解：设（2）式中的，， ，则有 . 即 ， 分层训练 构建学科思维 17 所以 ， 所以 ． 分层训练 构建学科思维 18 $第11章 整式的乘除 11.1 幂的运算 11.1.4 同底数幂的除法 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 同底数幂的除法 1.（常州中考）计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 2.墨迹覆盖了等式“ ”中的运算符号，则覆盖 的是( ) D A. B.- C.× D. 分层训练 构建学科思维 3 3.（临沂中考）计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 4.若，则 ___． 5.计算: ___. 4 9 分层训练 构建学科思维 4 6.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 5 知识点2 同底数幂的除法法则的拓展与应用 7.若，，则 等于( ) B A.5 B.3 C.15 D.10 【变式】 若，，则 的值等于( ) C A.1 B. C. D.6 8.逆用同底数幂的除法运算法则填空： [答案] 6; 9; 6. 分层训练 构建学科思维 6 9.下列计算正确的是( ) B A. B. C. D. 10.已知，，，则 的值是_ __． 分层训练 构建学科思维 7 11.计算： （1） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 8 （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 9 12.【真实生活情景】某中学科技小组进行了一次统计调查，得 知某市一年中废弃的纽扣电池约为粒，约污染地下水 升，那么平均每一粒纽扣电池每年约污染地下水多少升？假如每 人每年生活用水约为10立方米，那么该市每年约有多少人的生活 用水会被纽扣电池污染？（提示：1立方米 升） 分层训练 构建学科思维 10 解： （升）. （人）. 答：平均每一粒纽扣电池每年约污染地下水500升，该市每年约 有 人的生活用水会被纽扣电池污染. 分层训练 构建学科思维 11 13.已知，，求 的值. 解：因为， ， 所以 . 又因为 ， 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 12 $第11章 整式的乘除 11.1 幂的运算 11.1.1 同底数幂的乘法 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 同底数幂的乘法 1.（湖州中考）计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 2.下列各项中，两个幂是同底数幂的是( ) D A.与 B.与 C.与 D.与 分层训练 构建学科思维 3 3.在等式中，“ ”所表示的式子为 ( ) B A. B. C. D. 4.填空： （1） ； [答案] ; （2） __ [答案] ; ; 分层训练 构建学科思维 4 5.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 5 （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 同底数幂的乘法的逆运算 6.若，则 等于 ( ) A A.7 B.4 C.2 D.6 【变式】 若，则 的值为( ) A A.2 B.3 C.4 D.5 7.若已知，，则 的值为_____. 分层训练 构建学科思维 7 8.【数学文化】（河南中考）《孙子算经》中记载：“凡大数之法， 万万曰亿，万万亿曰兆.”说明了大数之间的关系：1亿万 万，1兆万万 亿.则1兆等于( ) C A. B. C. D. 9.若，则 ____. 10 分层训练 构建学科思维 8 10.如果，那么我们规定，例如：因为 ，所 以 . （1）根据上述规定，填空： ___， ___, ____； 3 0 分层训练 构建学科思维 9 （2）记，，．试说明： ． 解：由题意，得，， ， 所以，所以 ， 即 . 所以 ． 分层训练 构建学科思维 10 11.已知 ，且 ，求 的值. 解：由题意，得 ， 且 ， 解得， . 所以 . 分层训练 构建学科思维 11 12.我们知道，同底数幂乘法法则为 （其中 ，，为正整数）.类似地，我们规定关于任意正整数 ， 的一种新运算：.若 ，则 ________. 分层训练 构建学科思维 12 $第11章 整式的乘除 11.1 幂的运算 11.1.2 幂的乘方 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 幂的乘方 1.（2024·攀枝花）计算 的结果是( ) A A. B. C. D. 2.在下列各式的括号内，应填入 的是( ) C A.（ ） B.（ ） C.（ ） D.（ ） 3.填空： 分层训练 构建学科思维 3 4.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 4 （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 5 知识点2 幂的乘方法则的拓展与逆用 5.逆用幂的乘方的运算法则填空：___ . 5 6.已知，则 ___， ____， ____. 3 27 81 7.已知，，则 _____. 576 分层训练 构建学科思维 6 8.（2024·河南）计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 9.（2024·河北）若, 是正整数，且满足 ，则与 的关系 正确的是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 10.已知，，，那么,, 的大小关系是 ( ) D A. B. C. D. 11.已知，，则 的值是___. 3 分层训练 构建学科思维 8 12.在幂的运算中规定：若（且，, 是正整 数），则 ．利用上面结论解答下列问题： （1）若，求 的值； 解：因为，所以 ， 所以，解得 ． （2）若，求 的值. 解：因为，所以 ， ，所以,所以，解得 . 分层训练 构建学科思维 9 13.【阅读理解问题】阅读下列材料： 若，，则，的大小关系是___（填“ ”或“ ”）. 分层训练 构建学科思维 10 解答下列问题： （1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质:__________； 幂的乘方 （2）已知，，试比较与 的大小. 解：因为 ， ， 因为，所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 11 $第11章 整式的乘除 11.3 乘法公式 11.3.2 两数和（差）的平方 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 两数和的平方 1.利用乘法公式计算 等于( ) D A. B. C. D. 2.【答题模板】根据完全平方公式填空： （___） （___） （___） （___） . 1 1 分层训练 构建学科思维 3 3.计算： （1） __________； （2） ________. 4.计算： （1）（兰州中考改编） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 4 ▶ 知识点2 两数差的平方 5.【答题模板】根据完全平方公式填空： （___） （___） （___） （___） . 1 1 6.如果为完全平方式，则 的值为 ( ) C A.4 B. C. D.16 分层训练 构建学科思维 5 7. 的计算结果为( ) B A. B. C. D. 8.小明在计算时算得正确结果 ，最 后一项不慎被墨水污染，则被墨水污染的这一项应该是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 9.将 变形正确的是( ) C A. B. C. D. 10.已知，满足，,则 _______． 11.（2024·乐山）已知，，则 ____. 1或 29 分层训练 构建学科思维 7 12.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 8 （3）（西宁中考） 解:原式 ． 分层训练 构建学科思维 9 13.先化简，再求值：，其中， . 解：原式 . 当，时，原式 . 分层训练 构建学科思维 10 14.（河北中考）现有甲、乙、 丙三种不同的矩形纸片 （边长如图）. （1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为________； （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸 片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片___块. 4 分层训练 构建学科思维 11 15.对于实数，，定义新运算“◎”如下： ◎ .若◎，则 的值为 ____. 分层训练 构建学科思维 12 16.（1）运用完全平方公式进行简便运算： ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 13 （2）已知 ，求代数式 的值； 解：原式 . 因为 ， 所以 . 所以原式 . 分层训练 构建学科思维 14 （3）已知：,，求 的值． 解：因为， ， 所以，所以 ，解得 . 因为 ， 所以 分层训练 构建学科思维 15 ． 分层训练 构建学科思维 17.如图，某市有一块长为 米， 宽为 米的长方形地块，规划部 门计划将阴影部分进行绿化，中间将修 建一座雕像，则绿化的面积是多少平方 米？并求出当， 时的绿化面 积. 分层训练 构建学科思维 17 解:长方形地块绿化的面积为 （平方米）. 当， 时， 原式 . 答：绿化的面积为平方米，当， 时的绿 化面积为63平方米. 分层训练 构建学科思维 18 18.（教材P42阅读材料变式）（巴中中考）我国南宋时期数学家 杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了 展开式的系数规律． 当代数式的值为1时，则 的值为 ( ) C A.2 B. C.2或4 D.2或 分层训练 构建学科思维 19 $第11章 整式的乘除 教材回归（三） 完全平方公式的变形（针对教材P 57复习题T12） 1 教材母题（教材P57复习题 ） 已知，，求 的值. 解： . 分层训练 构建学科思维 2 利用完全平方公式进行计算时，若已知，， ， 中的两个，即可求出另外两个式子，常见计算公式如下： ； ； ； . 分层训练 构建学科思维 3 1.已知，，则 的值为( ) B A.3 B.9 C.49 D.100 2.已知，，则 的值是_______． 3.一个长方形的周长是18厘米，设长方形的长、宽分别为 厘米， 厘米，且 ，那么该长方形的面积是____平方厘米． 4.若，，则 的值为_____. 5或 15 分层训练 构建学科思维 4 5.若，则 ____． 6.【分类讨论思想】已知，，则 ________. 10 28或36 分层训练 构建学科思维 5 7.已知实数，满足， ． （1）求 的值； 解：因为， ， 所以原式 ． 分层训练 构建学科思维 6 （2）求 的值． 解： ． 分层训练 构建学科思维 7 8.【阅读理解问题】若满足 ，求 的值. 解：设， ， 则， ， 所以 . 分层训练 构建学科思维 8 请仿照上面的方法解答下面的问题： 若满足 ，求 的值. 分层训练 构建学科思维 9 解：设， ， 则 ， ， 所以 . 分层训练 构建学科思维 10 $第11章 整式的乘除 专题训练（四） 因式分解及其应用 1 ▶ 类型1 运用提公因式法因式分解 1.分解因式： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 2 ▶ 类型2 运用公式法因式分解 2.分解因式： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 3 （3） ． 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 4 ▶ 类型3 先提公因式后运用公式法因式分解 3.分解因式： （1） ； 解：原式 ． （2） ； 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 5 （3） . 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 6 ▶ 类型4 选择适当的方法因式分解 4.分解因式： （1） ; 解：原式 ． （2） ; 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 7 （3） ； 解：原式 . （4） ． 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 8 ▶ 类型5 运用特殊方法因式分解 方法1 十字相乘法 5.阅读下面的材料． 材料一：当时，，或 ． 分层训练 构建学科思维 9 材料二：把等式 的左右两边 交换位置后，得到 ，也就是 说一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如 ． 所以在解方程 时，可以把方程变形为 ，所以，或 ．所以 ， ．#1.2.1 分层训练 构建学科思维 根据以上材料回答下列问题： （1）因式分解： ______________； （2）解方程： ； 解：由题意，知方程 分解得 ， 所以或 ， 解得， ． 分层训练 构建学科思维 11 （3）若，则与 的关系式是 _____________ _______． 或 分层训练 构建学科思维 12 方法2 分组分解法 6.（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解 的方法是分组分解法． 例如： ． 分层训练 构建学科思维 13 ①分解因式： ； 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 14 ②若，都是正整数且满足，求 的值； 解：由题意，得，即 ． 因为，为正整数且 ， 所以即 所以 ． 分层训练 构建学科思维 15 （2）若，为实数且满足 ， ，求 的最小值． [答案] 由题意,得 ． 所以 分层训练 构建学科思维 16 ． 因为， , 所以（当且仅当, 时取等号）． 经验证：,满足 . 综上所述，的最小值为 ． 分层训练 构建学科思维 ▶ 类型6 因式分解的应用 7.（2024·徐州）若，，则代数式 的值是___. 2 分层训练 构建学科思维 18 8.设，， ，比较 数，， 的大小，按从小到大的顺序排列. 解：因为 ， ， . 所以 . 分层训练 构建学科思维 19 9.阅读材料：利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法 叫做多项式 的配方法，运用多项式的配方法 及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． 分层训练 构建学科思维 20 根据以上材料，解答下列问题： （1）分解因式： ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 21 （2）求多项式 的最小值； 解： ， 因为，所以 ， 所以多项式的最小值为 . 分层训练 构建学科思维 22 （3）已知，，是 的三边长，且满足 ，求 的周长． 解：因为 ， 所以 ， 即 ， 所以 . 因为，， ， 所以，， ， 所以的周长为 ． 分层训练 构建学科思维 23 $第11章 整式的乘除 11.2 整式的乘法 11.2.3 多项式与多项式相乘 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 多项式与多项式相乘 1.（武汉中考）计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 2.下列算式计算结果为 的是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.计算的结果中，含 的项的系数为( ) A A. B.1 C.5 D. 【变式】 若关于的多项式展开合并后不含 项，则 的值是 ( ) A A.2 B. C.0 D. 分层训练 构建学科思维 4 4.填空： （1） ___ _________ ________； （2） ______ ______ __________________. 5.已知，，则代数式 的值为___. 5 分层训练 构建学科思维 5 6.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 6 （3） ； 解：原式 . （4）（2024·重庆B卷节选） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 7 7.先化简，再求值： ，其中 . 解：原式 . 当时，原式 . 分层训练 构建学科思维 8 ▶ 知识点2 多项式与多项式相乘的应用 8.三个连续奇数，若中间一个数为 ，则它们的积是( ) C A. B. C. D. 9.小明家承包了一个长方形的鱼塘，原来长为 米，宽为 米，现将这个鱼塘的长和宽都增加2米，则总面积增加了 ( ) B A.平方米 B. 平方米 C.4平方米 D. 平方米 分层训练 构建学科思维 9 10.设，，则与 的大小 关系为( ) A A. B. C. D.不能确定 分层训练 构建学科思维 10 11.（随州中考）设有边长分别为和的类和 类正方形 纸片、长为宽为的 类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边 长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张 类纸 片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要 类纸 片的张数为( ) C A.6 B.7 C.8 D.9 分层训练 构建学科思维 11 12.将4个数，，， 排成2行2列，两边各加一条竖线记成 ，定义 ，上述记号叫做二阶行列式，若 ，则 的值为____. 分层训练 构建学科思维 12 13.解方程： . 解： ， ， ， ， . 分层训练 构建学科思维 13 14.已知 ，试求 的值. 解：由题意,知解得 原式 . 分层训练 构建学科思维 14 15.阅读下列材料，完成相应的任务．#1 平衡多项式 定义：对于一组多项式，，， （，，， 是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个 多项式乘积的差是一个常数 时，称这样的四个多项式是一组平 衡多项式， 的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 分层训练 构建学科思维 15 例如：对于多项式，，， ，因为 ，所以多项式，，， 是一组平衡多项式，其平衡因子为 ． 分层训练 构建学科思维 16 任务：#1.3 （1）小明发现多项式，，， 是一组平衡多 项式，在求其平衡因子时，列式如下： ，根据他的思路求该组平衡多项 式的平衡因子； 解：原式 . 因为 ，所以该组平衡多项式的平衡因子是3. 分层训练 构建学科思维 17 （2）判断多项式，，， 是否为一组平衡多 项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． 解：多项式，，， 是一组平衡多项式. 因为 ，且 . 所以该组平衡多项式的平衡因子是3. 分层训练 构建学科思维 18 （3）若多项式，，，（ 是常数）是一组 平衡多项式，求 的值． 解：若多项式，，，（ 是常数）是一组 平衡多项式，有三种情况， ① , 因为该组多项式是一组平衡多项式， 所以，解得 . 分层训练 构建学科思维 19 ② , 因为该组多项式是一组平衡多项式， 所以，解得 . 分层训练 构建学科思维 20 ③ , 因为该组多项式是一组平衡多项式， 所以，解得 . 综上所述,的值为或7或 ． 分层训练 构建学科思维 21 $第11章 整式的乘除 专题训练（二） 幂的运算及应用 1 类型1 直接利用幂的运算性质进行计算 1.计算： （1） ____; （2） ______； （3） ______; （4） _______; （5） _________； （6） _____; 分层训练 构建学科思维 2 （7） ____； （8） ___________； （9） _____; （10） ______． 分层训练 构建学科思维 3 2.计算： （1） ； 解:原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 4 （4） ； 解：原式 . （5） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 5 类型2 逆用幂的运算性质 （1）将指数相加的幂写成同底数幂的积，即 ； （2）将指数相乘的幂写成幂的乘方，即 ； （3）将相同指数幂的积写成积的乘方，即 ； （4）将指数相减的幂写成同底数幂的商，即 . 分层训练 构建学科思维 6 3.计算: . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 7 4.已知，，（，都是正整数），用含 ， 或 的式子表示下列各式： （1） ； 解： . 分层训练 构建学科思维 8 （2） . 解： . 分层训练 构建学科思维 9 5.（1）若，，求 的值； 解：因为 ， 所以 ． （2） ． 解：原式 ． 分层训练 构建学科思维 10 6.已知，求 的值. 解：因为 ， 且 ， 所以 . 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 11 7.（1）已知，，求 的值； 解：因为， ， 所以 ． 分层训练 构建学科思维 12 （2）已知，求 的值． 解：因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以，解得 ． 所以 的值为6． 分层训练 构建学科思维 13 8.（ 为正整数）能被13整除吗？说明 理由. 解：（ 为正整数）能被13整除.理由如 下： 分层训练 构建学科思维 14 . 因为为正整数，所以 是正整数. 所以 能被13整除. 分层训练 构建学科思维 类型3 利用幂的乘方法则比较大小 方法1 化为同指数幂比较——指数有公因数 9.已知，，，试比较，， 的大小，用“ ”将它们连接起来：__________. [解析]， ， .因为 ， 所以.所以 . 分层训练 构建学科思维 16 10.试比较，，三个数的大小，用“ ”将它们连 接起来：_____________________. 分层训练 构建学科思维 17 方法2 化为同底数幂比较——底数有公共的幂因数 11.已知，，，试比较，， 的大小， 用“ ”将它们连接起来：__________. [解析]， ， .因为 ， 所以 . 分层训练 构建学科思维 18 12.，，的大小关系是________________（用“ ”连接）. 13.已知，，则___（填“ ”“ ”或“ ”）. 分层训练 构建学科思维 19 $第11章 整式的乘除 11.2 整式的乘法 11.2.2 单项式与多项式相乘 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 单项式与多项式相乘 1.填空： （1）单项式与多项式相乘的依据是____________； 乘法分配律 （2）计算： ____ ____ ___ __________________． 6 分层训练 构建学科思维 3 2.下列运算正确的是 ( ) C A. B. C. D. 3.（2024·兰州）计算： ( ) D A. B. C. D. 4.已知，则代数式 的值为( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 【变式】 已知，则代数式 的值为___． 9 分层训练 构建学科思维 4 5.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 5 6.先化简，再求值： ，其中 ． 解：原式 ． 当时，原式 ． 分层训练 构建学科思维 6 ▶ 知识点2 单项式与多项式相乘的应用 7.若三角形的底边为，对应高为 ，则此三角形的面积 为( ) D A. B. C. D. 8.一个长方体的高是，底面积是 ，则它的 体积是___________________. 分层训练 构建学科思维 7 9.如图，根据图形的面积可得到一个整式乘法的等式为________ _______________. 分层训练 构建学科思维 8 10.下列运算中，正确的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 11.今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小 明拿出课堂笔记复习，发现一道题： ， 的地方被钢笔水 弄污了，你认为 内应填写( ) A A. B. C. D.1 12.现规定一种运算：，其中， 是实数，则 等于( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 10 13.小明外祖母家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分 的图形如图所示.现有，，三种地砖可供选择，则需要 砖___ 块，砖___块， 砖___块. 0 8 2 分层训练 构建学科思维 11 14.先化简，再求值： ，其中 . 解：原式 . 当时，原式 . 分层训练 构建学科思维 12 15.若无论取何值时，多项式 与 的值都相等，求常数， 的值. 解：因为 ，且 无论取何值，它与多项式 的值都相等， 所以，，解得 . 所以， . 分层训练 构建学科思维 13 16.某同学在计算一个多项式乘以时，算成了加上 ，得 到的答案是 ，那么正确的计算结果是多少？ 解：设这个多项式为 ，则 ， 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 14 17.阅读下列文字，并解决问题. 已知，求 的值. 分析：考虑到满足的， 的可能值较多，不可以逐一代 入求解，故考虑整体思想，将 整体代入. 解： . 请你用上述方法解决问题：已知 ，求 的值. 分层训练 构建学科思维 15 解： . 分层训练 构建学科思维 16 $第11章 整式的乘除 11.4 整式的除法 11.4.1 单项式除以单项式 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点 单项式除以单项式 1.计算: （1）【答题模板】[____ ______] （____ ____）（____ ___） ___ ________. （2）（青岛中考） _____． 12 2.计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.若，则， 的取值分别为 ( ) A A.， B.， C.， D.， 4. （ ） ，则括号内应填的代数式是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 5.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 5 （3） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 6 6.一个三角形的面积为，一边长为 ，则这个三角形这边 上的高为( ) B A. B. C. D. 7.若单项式为与是同类项，且， ， 则 __. 分层训练 构建学科思维 7 8.计算： （1） ________； （2） _______. 9.地球到太阳的距离约为 ，光的速度约为 ，则光从太阳射到地球的时间约为________ . 分层训练 构建学科思维 8 10.已知 ，且 ，求 的值. 分层训练 构建学科思维 9 解：因为 ， 所以 . 又因为 ， 所以.所以 ， 即 . 分层训练 构建学科思维 10 11.观察下面的一行单项式：，，，，， （1）从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式 的商，你有什么发现？ 解：从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是 . （2）试写出第八个单项式，第 个单项式. 解：第八个单项式是，第个单项式为 . 分层训练 构建学科思维 11 $第11章 整式的乘除 11.5 因式分解 第1课时 因式分解及提公因式法分解因式 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 因式分解的概念 1.（济宁中考）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.对于； ， 从左到右的变形，下列表述正确的是( ) C A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解，②是乘法运算 D.①是乘法运算，②是因式分解 3.将对分解成，则， 的值为( ) D A.5， B.，14 C.5，14 D.， 分层训练 构建学科思维 4 ▶ 知识点2 用提公因式法分解因式 4.（永州中考）与 的公因式为____． 5.因式分解： （1）（2024·浙江） _________. （2）（2024·福建） _________. （3）（黄石中考） ______________． 分层训练 构建学科思维 5 6.（1）若，，则 的值为_______； （2）已知，，则代数式 的值为_____． 4 900 分层训练 构建学科思维 6 7.把下列各式因式分解： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 7 8.下列各式的因式分解中正确的是( ) D A. B. C. D. 9.已知长方形的边长为和，周长为12，面积为8，则 的值为____． 48 分层训练 构建学科思维 8 10.（1）已知， ，则代数式 的值为____； （2）若，则 的值为___； （3）已知，则代数式 的值为____. 2 分层训练 构建学科思维 9 11.用简便方法计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 10 12.已知， ， （1）求代数式 的值； 解：因为 ， 且， ， 所以，所以 ． 分层训练 构建学科思维 11 （2）求代数式 的值． 解：原式 ． 因为， ， 所以原式 ． 分层训练 构建学科思维 12 13.已知，，为三边的长，且 ， ，试判断 的形状，并说明理由. 解： 是等边三角形.理由如下： 因为 ， 所以 . 所以 . 因为 ， 分层训练 构建学科思维 13 所以.所以 . 因为 ， 所以 . 所以 . 因为 ， 所以.所以 . 所以 . 所以 是等边三角形. 分层训练 构建学科思维 14.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： . 分层训练 构建学科思维 15 （1）上述分解因式的方法是____________，共运用了___次； 提公因式法 2 （2）若分解因式 ，则需运用上述 方法_____次，结果是___________； 100 分层训练 构建学科思维 16 （3）分解因式： （ 为正整数）. 解：原式 . 分层训练 构建学科思维 17 $