27.4 正多边形和圆-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(华东师大版)

27.4 正多边形和圆 课题 27.4 正多边形和圆 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P65-67 教学目标 1.会根据正多边形的概念和圆的有关性质说明正多边形和圆的关系。 2.了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长、边心距、中心、中心角等概念。 3.通过探究正多边形和圆的关系，培养学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力。 教学重难点 重点：探索正多边形和圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行简单的计算。 难点：探索正多边形和圆的关系，正多边形半径、中心、中心角、边心距、边长之间的关系。 教学准备 多媒体课件、圆规、直尺。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 教师提问：什么叫正多边形？ 学生回答：直接回答。各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。 教师追问：从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？ 学生回答：我们家的地面砖，六角螺母，公园里的亭子地基等。正多边形是轴对称图形，但不一定是中心对称图形。 教师提问：你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样画一个正多边形？这节课我们就来学习正多边形和圆。（教师板书课题： 28.4 正多边形和圆） 让学生通过对以往知识的复习，既起到复习巩固的目的，又为本节课的进行创造了条件。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 做一做 教师活动：多媒体展示问题： 教师提问：分别画出图中各正多边形的对称轴。看看能发现什么结果？ 学生画出图形后回答：每个图形额对称轴都交于一点。 教师活动：让学生阅读教材第65页“做一做”到66页例题前的部分， 学生自学目标： ①任何正多边形都有外接圆和内切圆吗？有几个？ ②在以圆内接五边形为例证明中运用了圆的哪些知识？ ③在证明正五边形的过程中需要注意的是什么？ ④如果推广到把圆n等份，你能得出什么结论？ 学生活动：小组讨论，派代表回答上述问题。 预设：①任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆； ②用了在同圆中弧与弦之间的关系和圆周角定理； ③不仅要证明五边形的五条边相等，还要证明五个内角也相等； ④把圆分成n(n>2)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接正n边形。 教师活动：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接正多边形呢？如果是，说明为什么。如果不是，举出反例。 学生活动：小组讨论，派代表回答上述问题。 预设：各边相等的圆内接多边形各个角也相等，它是正多边形；各角相等的圆内接多边形不是正多边形，例如矩形。 【归纳总结】 这两个圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心。 外接圆的半径叫做正多边形的半径。 内切圆的半径叫做正多边形的边心距。 正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角。 【探究2】 教师活动：多媒体展示。 如图，在⊙O中，，那么弦AB，BC，CD，DE，EA之间有什么关系？∠A，∠B，∠C，∠D，∠E之间又有什么关系？ 学生回答：在同一个圆中，等弧对等弦， 因此AB=BC=CD=DE=EA。 而根据圆周角定理，有∠A=∠B=∠C=∠D=∠E。 因此五边形ABCDE是五边形。 教师归纳：这样我们就得到了正多边形和圆的关系：把圆分成n（n>2）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接正n边形。 教师指出：由此，我们就得到了一种画正多边形的方法。 【教材例题】 例 利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形 解：内接正方形的作法： （1）用直尺任作圆的一条直径AC； （2）作与直径AC垂直的直径BD； （3）顺次连结所得的圆上四点，则四边形ABCD即为所求作的正方形。 内接正六边形的作法： （1）用直尺任作圆的一条直径AD； （2）以点A为圆心、OA为半径作圆，与⊙O交于点B，F； （3）以点D为圆心、OD为半径作圆，与⊙O交于点C，E； （4）顺次连结所得的圆上六点，则六边形ABCDEF即为所求作的正六边形。 学生活动：让学生利用尺规作图,，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形。 师生活动：学生动手操作，教师巡视指导。 试一试 教师活动：展示课件： 如图，从圆上某一点开始，依次以圆的半径长为半径作圆，也可以作出圆的内接正六边形。 教师提问：想一想，为什么这两种方法作出来的图形都是正六边形？ 学生回答：这两种方法都是把圆六等分，所以作出来的图形都是正六边形。 通过学生画图，培养学生几何直观能力，通过画对称轴、观察对称轴交点立置，初步形成正多边形的中心的意识。 。 在活动中学生们发现了正多边形与圆有着密切的关系，只要把一个圆分或相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形。问题的设计是将结论由特殊推广到一般。这符合学生的认知规律，并教给学生一种研究问题的方法：由特殊到一般。 此活动中是为了巩固所学知识，使学生明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，且各内角都相等，这两个条件缺一不可，同时教给学生学会举反例，培养学生思维的批判性。 在教师的引导下，推出弧长公式，使学生明确公式的推导过程，知道公式的来龙去脉，更要学会学习新知识的方法。 学生在画图过程中可能出现多种画法，教师应当鼓励学生从多个角度思考，得到更多的画法。 3.学以致用，应用新知 考点 正多边形和圆的有关计算 例 已知圆内接正六边形的半径为，则该内接正六边形的边心距为 （ ） A. B. C. 3 D. 答案：C 变式训练 正六边形的边心距是，则它的面积是（ ） A. B. C. D. 答案：B 学以致用，通过及时练习，进一步提升学生对新知的理解与运用。 4.随堂训练，巩固新知 1. 若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为 （ ） A．6，3 B．3，3 C．6，3 D．6，3 答案：B 2. 下列命题不正确的有____(填所有正确答案的序号)． ①将一个圆分成4份，依次连接各分点所得的四边形是正方形 ②正三角形外接圆的圆心叫做正三角形的中心 ③正方形外接圆的半径等于其边长 ④正五边形的中心角等于72° 答案：① ③ 3 已知⊙O上的一点A。 （1）作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH； （2）在（1）题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的一边。 。 解：（1）作法： ①作直径AC； ②作直径BD⊥AC； ③依次连结A、B、C、D四点，四边形ABCD即为⊙O的内接正方形； ④分别以A、C为圆心，OA长为半径作弧，交⊙O于E、H、F、G； ⑤顺次连结A、E、F、C、G、H各点。 六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形。 （2）证明：连结OE、DE。 ∵∠AOD＝＝90°，∠AOE＝＝60°， ∴∠DOE＝∠AOD－∠AOE＝30°， ∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆。这两个圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角。 2.把圆分成n(n>2)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的―个内接正n边形。 3.将正多边形的中心、半径、中心角、边心距等一些量集中在兰角形中来研究，就是把正多边形的中心与顶点连接起来，将正多边形分割成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的顶角为中心角，腰为半径，底边为边长，底边上的高为边心距，可以利用勾股定理进行计算。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P62练习，P63练习，P55习题27.3 T1—4。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。 板书设计 27.3 圆中的计算问题 1.正多边形的外接圆和内切圆 学生活动区 投影区 2.正多边形的中心、半径、中心角、边心距 提纲挈领，重点突出。 教后反思 本节课重在研究正多边形和圆的关系，教学过程采取了多种教学手段，基本达到教学目标。本节课是按照由特殊到一般的认知规律，以正六边形为例进行探索和证明的，并将结论推广到正n边形。在教学时，通过实际生活中的问题，引导学生从数学的角度发现问题和提出问题，并用数学方法探索、研究和解决问题,使学生体会到数学无处不在，数学是有用的。 本节课在注重数学思想方法教学的同时，也加强了学习方法的指导，尤其是“自学”部分，学生觉得耳目一新，这使得后面的合作交流气氨非常浓厚，学习效率明显提高，从而更加深刻地理解正多边形和圆的关系。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $